số phức lớp 12 trương trình mới

y

u
r
b M(a+ bi)


O a x
1. Một số kiến thức cơ bản cần l u ý :
y
Số phức z=a+bi (a, bR ;
i là đơn vị ảo, i
2
=-1)
a là phần thực, b là phần ảo của z.
z là số thực b= 0
z là số ảo a = 0
Biểu diễn hình học :
số phức z =a+bi có sự tơng ứng 1-1 với điểm M(a, b) .Mỗi điểm M(a, b) lại có sự t-
ơng ứng 1-1 với vectơ
OM
uuur
hay với vectơ
u
r
(a, b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt
phẳng phức).
Để chỉ số phức z tơng ứng với điểm M ta viết M(z)
Môđun của số phức z =a + bi (a, b R) :
2 2
.z a b z z OM OM= + = = =

uuur

z
=1 : tập hợp các điểm M(z) là đờng tròn (O,R=1)

z
1 : tập hợp các điểm M(z) là hình tròn tâm O, bán kính R=1,
kể cả biên là đờng tròn.
M(z) là trung điểm của đoạn M
1
(z
1
)M
2
(z
2
) z =
1
2
(z
1
+z
2
) . Với z
1
=a
1
+b
1
i ;

z
2
= a
2
+b
2
i.

0 0
MM z z= -
uuuuur
Với z
0
=a
0
+b
0
i
MM
0
2
= (
0
z z-
).(
z
-
0
z
)

(vì
.z z z=
)

2
0 0
( ).( )z z z z R- - =
là phơng trình đờng tròn tâm I
0
(z
0
), bán kính R.
2. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn từng điều kiện sau :
a)
z
=
3 4z i- +
b)
3 4z z+ + =
c)
1 2z z i- + - =
Giải :
a) Cách 1 :
sử dụng kết quả
z z=
, và
1 1
z z z z+ = +

, ta có:
z
=
3 4z i- +

z
=
3 4z i- +

3 4z z i= - -
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z
1
=3+4i ; M là điểm biểu diễn số phức z=x+yi
Thì
3 4z i- -
=
AM
uuuur
.
Vậy
3 4z z i= - -
OM=AM Tập hợp M là đờng trung trực của đoạn thẳng OA.
Cách 2 :
z=x+yi
z x yi= -
Do đó :
3 4z z i= - -
x
2
+y

2
=(x-3)
2
+(y-4)
2
6x+8y=25 (*)
Vậy tập hợp M là đờng thẳng có phơng trình (*)
b) Vì:
3 2 3z z x+ + = +
nên:

3 4z z+ + =

2 3x +
=4 (2x+3)
2
=16
1
2 3 4
2
2 3 4 7
2
x
x
x
x
ộ
ờ
=
ộ

+ =
ờ
ờ

ờ
ờ
+ = -
ờ
ờ
ở
= -
ờ
ở
c) Vì
1z z i- + -
=1+(2y-1)i
1 2z z i- + - =
1+(2y-1)
2
=4
4y
2
-4y-2=0
1 3
2
1 3
2
y
y
ộ

+
ờ
=
ờ
ờ
ờ
-
ờ
=
ờ
ở
Vậy tập hợp M là hai đờng thẳng có phơng trình
1 3
2
y

=
Ví dụ 2 : Cho hai điểm M(z) và I(z
1
) tơng ứng với số phức z=x+yi , x, y R và số phức
z
1
=a+bi .
a) Chứng minh hệ thức ;
(z-z
1
).(
1
z z-
) =(x-a)

2
+(y-b)
2
b) suy ra hệ thức :
(z-z
1
).(
1
z z-
) =R
2
( R> 0)
Là phơng trình một đờng tròn tâm I, bán kính R
Giải :
a) z-z
1
= (x-a) +(y-b) i ;

1
z z-
=(x-yi) (a-bi) =(x-a)- (y-b)i
Từ đó (z-z
1
).(
1
z z-
) =[(x-a)+(y-b)i].[(x-a) (y-b)i]
=(x-a)
2
+(y-b)

2
b) (z-z
1
).(
1
z z-
) =R
2
(x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
. Đây là phơng trình đờng tròn tâm
I(z
1
) , bán kính R
Ví dụ 3 : Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn từng điều kiện sau :
a)
1 2z i- + =
b) 1
1z i+ -
2
c)
4z i-
+
4z i+
=10
Giải :

a) Xét số phức z=x+yi và z
1
=1-i tơng ứng với các điểm M và M
1
, thế thì :

1 2z i- + =

1
z z-
= 2
( ) ( )
1 1x y i- + +
=2 (x-1)
2
+(y+1)
2
=4.
Vậy tập hợp M là đờng tròn tâm M
1
(z
1
) , bán kính bằng 2
Cách 2 :
1 2z i- + =

1
z z-
= 2M
1

M = 2 M cách M
1
cố định một khoảng
bằng 2.
Vậy tập hợp M là đờng tròn tâm M
1
, bán kính bằng 2.
b) Xét điểm A(-1,i) . Từ giả thiết :
1 MA 2
Vậy tập hợp M là hình vành khăn giới hạn bởi
hai đờng tròn đồng tâm, tâm A, bán kính
thứ tự bằng 1 và 2
3. Bài tập :
1. Cho điểm M(z) với số phức z = a-3 +ai , a là tham số.
a) tìm tập hợp các điểm M khi a thay đổi.
b) Xác định a để tọa độ điểm M thỏa mãn : xy = 1
c) Xác định a sao cho
z
đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn từng điều kiện sau :
a)
6 2
2 2 2
2
z i
-
- - =
b)
( )
2 z-

( )
i z+
là số ảo tùy ý.
3. Tìm tập hợp các điểmM(z) thỏa mãn :
a) 2
z i-
=
2z z i- +
b)
( )
2
2
z z-
= 4
4. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn :

Y
A 1
-1 0 x
a)
z i-
1 b)
1z i- -
< 1
5. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z =x+yi thỏa mãn
từng điều kiện sau :
2
0 1
1
x y

y x
ỡ
ù
Ê + Ê
ù
ù
ớ
ù
Ê - +
ù
ù
ợ

Giải :
1. a) Ta có :
3x a
y a
ỡ
ù
= -
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
y =x+3 . Vậy tập hợp M là đờng thẳng
có phơng trình : y = x+3
b) Ta có :
3x a

y a
ỡ
ù
= -
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
xy = 1 (a-3).a= 1 a
2
-3a-1 = 0
3 13
2
a

=
c)
z
=
( )
3a ai- +
=(a-3)
2
+a
2
=2a
2
-6a+9=2(a

2
-3a+
9
2
) =2(a-
3
2
)
2
+
9
2
z

9
2
. Vậy môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng
9
2
khi và chi khi a =
3
2
2. a)
6 2
2 2 2
2
z i
-
- - =

2 2
( )
2 2
z i- +
=
6 2
4
-
. ( * )
Gọi A là điểm biểu diễn số phức z
1
=
2
2
+
2
2
i, thế thì :
(*)
1
z z-
=
6 2
4
-

AM
uuuur
=
6 2

4
-
AM =
6 2
4
-
Tập hợp M là đờng tròn tâm A(z
1
), bán kính
6 2
4
-
.
b)
Ta có z =x+yi thì
z x yi= -
.
( )
2 z-
( )
i z+
=[(2-x)-yi].[(x+(1-y)i]=(-x
2
-y
2
+2x+y)+(-x-2y+2)i
( )
2 z-
( )
i z+

là số thuần ảo -x
2
-y
2
+2x+y = 0x
2
+y
2
-2x-y=0
(x-1)
2
+(y-
1
2
)
2
=
5
4
. Vậy tập hợp M là đờng tròn, tâm là điểm I biểu diễn số phức z=
1+
1
2
i, bán kính bằng
5
2
.
3. a)

2

z i-
=
2z z i- +
2
( )
1x y i+ -
=
( )
2 1y i+
4[x
2
+(y-1)
2
]=4(y+1)
2
y=
1
4
x
2
Y
1
0 1 x
Vậy tập hợp M là parabol : y=
1
4
x
2
.
b)

( )
2
2
z z-
= 4
( ) ( )
.z z z z- +
= 4
4xyi
=4 16x
2
y
2
=16y=
1
x

Vậy tập hợp M là hai hypebol có phơng trình : y=
1
x

4.
a) Xét điểm A(0,1) biểu diễn số phức z
1
=i. Thế thì :
z i-
1
1
z z-
1

AM
uuuur
1 AM 1. Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A ,
bán kính 1, kể cả biên.
b)
1z i- -
< 1
Xét điểm A (1, 1), thế thì :
1z i- -
< 1
AM
uuuur
< 1 AM< 1.
Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A , bán kính 1, không kể biên.
5. Tập hợp các điểm M là miền hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song
y=-x ; y=-x+1 và parabol y=-x
2
+1

Y
1 A
0 1 x