Phương pháp giải phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 23 trang )
1
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ………………
TRƯỜNG THPT ……………….
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
NĂM HỌC 2012 - 2013
GIÁO VIÊN:
HOÀNG THỊ BIÊN
TỔ BỘ MÔN:
TOÁN - TIN
2
MỤC LỤC
PHẦNI:PHẦNMỞĐẦU Trang
1. Tínhcấpthiếtcủađềtài…………………………… …………….3
2. Tìnhhìnhnghiêncứu…………………………………………… 3
3. Mụcđíchnghiêncứu……………………………………………….3
4. Nhiệmvụnghiêncứu……………………………………… …….4
5. Đốitượngvàphạmvinghiêncứu…………………… ………….4
6. Phươngphápnghiêncứu……………………………… ………….4
PHẦNII.PHẦNNỘIDUNG
I. Côngthức……………………………………………… ………….5
II. Phươngtrìnhlượnggiác…………………………………………….7
II.1.Phươngtrìnhlượnggiáccơbản:…………………………………7
II.2.Mộtsốphươngtrìnhlượnggiácthườnggặp:……………… ….8
III. Cácphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiác.…………………13
III.1.Phươngphápbiếnđổivềdạngcơbản
……………………….…13
III.2.Phươngphápđặtẩnphụ…………………… ……………….…14
III.3.Phươngphápphântíchthànhtích………………… ….…….…16
III.4. Phương pháp tìm nghiệm của phương trình lượng giác chứa điều
kiện.
……………………………………………………….………….…17
IV. Bàitậprènluyện:
…………………………………………….…18
V. ĐềthịđạihọcphầnPhươngtrìnhlượnggiácquacácnăm……….19
PHẦNIII.KẾTTHÚCVẤNĐỀ………………………….…………….….…21
PHẦNIV.TÀILIỆUTHAMKHẢO………………….……………………… 21
3
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG GIÁO VIỆN
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trongquátrìnhdạyhọc,phươngphápdạycủathầy,việctiếpthukiếnthức
củahọctròlàvấnđềchúngtađặcbiệtquantâm.Chuyênđềnàytôiđặcbiệtdành
tặngcácemhọcsinhcólựchọctrungbìnhnhưnglạicókhátvọngvươnlêntrong
cuộcsống,quyếttâmthayđổisốphậncủamìnhtrênconđườnghọctập,bướcchân
vàongưỡngcủaĐạihọc.
Trongnhiềunămgầnđây,phươngtrìnhlượnggiácluôncốđịnhtrongđềthi
Đạihọc,Caođẳng.Chuyênđềnàysẽgiúpcácemrènluyệnkĩnănggiảiphương
trìnhlượnggiáctrongcácbàithi.
2. Tình hình nghiên cứu
PhấnđấuđểdạytốtcácmônhọcnóichungvàmônToánnóiriênglànguyện
vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên. Trong quá trình thực tiễn giảng dạy, bồi
dưỡngchuyênmôntôiđãsưutầmtàiliệu,soạngiảngvàrútrakinhnghiệmqua
cácgiờdạy.Hệthốnglạikiếnthứcvàphươngpháp,cóvídụminhhọavàbàitập
rènluyện.
3. Mục đích nghiên cứu
Thựchiệnđềtàinàytôimuốnlấyđâylàmphầntàiliệuphụcvụtrựctiếpcho
quátrìnhgiảngdạycủabảnthân,đồngthờicóthểlàmtàiliệuthamkhảochocác
bạnđồngnghiệp.Trongđềtàinàytôiđềcậpđếnmộtsốphươngphápgiảiphương
trìnhlượnggiác,quađóchohọcsinhthấyđượcsựsángtạovàlinhhoạttronggiải
toán.Từđóhọcsinhsẽthấythíchthúvàsaymêhơntronghọctập,dovậysẽđem
lạikếtquảcaohơn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thamkhảo,tìmhiểutàiliệu,nghiêncứumộtphươngphápgiảiphươngtrình
lượnggiác,hệthốngkiếnthức,phânloạitheodạngvàphươngpháp,đưaracácví
4
dụcụthểtừdễđếnkhó,cácbàitậprènluyện.sưutậpcácbàithiĐạihọcvềphần
phươngtrìnhlượnggiác.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đốitượngnghiêncứulàcácphươngpháp,kĩnănggiảiphươngtrìnhlượng
giác.
Ápdụngchohọcsinhkhối11,12.Đặcbiệtlàhọcsinhlớp12thamgiathi
đạihọc,caođẳngvàtrunghọcchuyênnghiệp.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Sửdụngphươngphápphântích,tổnghợp,sosánh,thựcnghiệm.
PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG
I. CÔNG THỨC
Đểgiảiđượcphươngtrìnhlượnggiáctrướchếthọcsinhcầnnắmvưỡngcác
côngthứclượnggiác.Hệthốnglạicôngthứclượnggiácgiúphọcsinhcủngcốkiến
thức,vậndụnglinhhoạttrongcácphépbiếnđổilượnggiác,biếncácbiểuthứcphức
tạpvềđơngiản,nhữngphươngtrìnhlạvềdạngphươngtrìnhcơbảnvàthườnggặp.
Vớimộtsốcôngthứckhóthuộc,giáoviêncóthểnhấnmạnhlạicáchnhớ
bằngcácthuậtngữ,chẳnghạn“cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém
tan và cot” khi
ônlại“Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt”
I. 1. Công thức lượng giác cơ bản
2 2 2
2
2
2
1
sin os 1 1 tan , ( )
os 2
1
tan .cot 1, ( ) 1 cot ,
2 sin
a c a a a k k
c a
a a a k k a a k k
a
¢
¢ ¢
I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối:
àv
os os ; tan tan ; sin sin ; cot cot
c c
b. Cung bù:
àv
sin sin ; tan tan ; os os ; cot cot
c c
5
c. Cung phụ:
à
2
v
sin os ; tan cot ; os sin ; cot tan
2 2 2 2
c c
d. Cung hơn kém
: àv
sin sin ; tan tan ; os os ; cot cot
c c
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém
tan và cot
I. 3. Công thức cộng
sin sin .cos cos .sin
sin sin .cos cos .sin
os cos .cos sin .sin
os cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
c a b a b a b
c a b a b a b
tan tan
tan
1 tan .tan
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
a b
a b
a b
Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng
tan tổng chia 1 trừ tích tan.
I. 4. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
sin 2 2sin .cos
os2 os sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
c a c a a a a
a
a
a
I. 5. Công thức hạ bậc
2 2 2
1 os2 1 os2 1 os2
sin os tan
2 2 1 os2
c a c a c a
a c a a
c a
I. 6. Công thức tính theo
tan
2
t
2
2 2 2
2 1 2
sin cos tan ,
1 1 1 2 2
t t t a
a a a k k
t t t
¢
I. 7. Công thức nhân ba
3
3 3
2
3tan tan
sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan3
1 3tan
a a
a a a c a a a a
a
6
I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos os cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin os sin sin 2 os sin
2 2 2 2
sin sin
tan tan , , tan tan , ,
cos .cos 2 cos .cos 2
a b a b a b a b
a b c a b
a b a b a b a b
a b c a b c
a b a b
a b a b k k a b a b k k
a b a b
¢ ¢
I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng
1 1
cos .cos os os sin .sin os os
2 2
1
sin .cos sin sin
2
a b c a b c a b a b c a b c a b
a b a b a b
I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Cung
0
0 0
0
30
6
0
45
4
0
60
3
0
90
2
0
2
120
3
0
3
135
4
0
5
150
6
0
180
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tan
0
1
3
1
3
║
3
1
1
3
0
Cot ║
3
1
1
3
0
1
3
1
3
║
Chú ý:
sin
2
n
với
0 0 0 0 0
0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90
ứngvới
n = 0; 1; 2; 3; 4
.
Côngthứcđổitừđộsangradianvàngượclại:
0
0
a
180
I. 11. Đường tròn lượng giác:
Giáo viên cần giúp học sinh hiểu
được đường tròn lượng giác, cách ghi
nhớvàtrabảnggiá trịlượnggiácđặc
biệtbằngđườngtrònlượnggiácngoài
ra đường tròn lượng giác còn là công
cụhứuíchchoviệcđốichiếu.nghiệm
thỏa mãn điều kiện trong việc giải
phươngtrìnhlượnggiáccóđiềukiện
3
3
1
3
3
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
3
-1
-1
-1
0
- 3
3
- 3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
5
3
7
4
6
4
3
- 3
3
cosin
cotang
11
6
7
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Mộtphươngtrìnhlượnggiácdùđơngiảnhayphứctạp,đểtìmđượcnghiệm
baogiờcũngđượcbiếnđổiđưađượcvềdạngphươngtrìnhcơbảnhoặcphương
trìnhthường. Dovậy họcsinhcũngcần nắmvữngcácdạngphươngtrìnhlượng
giáccơbảnvàcôngthứcnghiệmcủanócũngnhưcácphươngphápgiảicácdạng
phươngtrìnhlượnggiácthườnggặp.
II. 1. Phương trình lượng giác cơ bản:
II.1.1. Phương trình
sin
x a
1
a
: Phươngtrìnhvônghiệm
1
a
2
sin sin
2
x k
x k
x k
¢
0 0
0
0 0 0
360
sin sin
180 360
x k
x k
x k
¢
sin 2
sin
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
¢
Tổng quát:
2
sin sin
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
¢
* Các trường hợp đặc biệt
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
x x k k
x x k k
x x k k
¢
¢
¢
Ví dụ: Giảicácphươngtrìnhsau:
)sin sin
12
a x
0
)sin 2 sin 36
b x
1
)sin 3
2
c x
2
)sin
3
d x
II.1.2. Phương trình
cos x a
1
a
: Phươngtrìnhvônghiệm
1
a
os os 2c x c x k k
¢
8
0 0 0
os os 360c x c x k k
¢
os os 2c x a x arcc a k k
¢
Tổng quát:
os os 2c f x c g x f x g x k k
¢
* Các trường hợp đặc biệt
os 1 2
os 1 2
os 0
2
c x x k k
c x x k k
c x x k k
¢
¢
¢
Ví dụ: Giảicácphươngtrìnhsau:
)cos os
4
a x c
0
2
)cos 45
2
b x
2
) os4
2
c c x
;
3
)cos
4
d x
II.1.3. Phương trình
tan x a
0 0 0
tan t an =
tan t an = 180
tan = arctan
x x k k
x x k k
x a x a k k
¢
¢
¢
Tổng quát:
tan tanf x g x f x g x k k
¢
Ví dụ: Giảicácphươngtrìnhsau:
) tan tan
3
a x
1
) tan 4
3
b x
0
) tan 4 20 3
c x
II.1.4. Phương trình
cot x a
0 0 0
cot cot x = +k
cot cot x = +k180
cot x = arccot + k
x k
x k
x a a k
¢
¢
¢
Tổng quát:
ot otc f x c g x f x g x k k
¢
Ví dụ: Giảicácphươngtrìnhsau:
3
)cot3 cot
7
a x
)cot 4 3
b x
1
)cot 2
6
3
c x
II.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
II.2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
9
* Định nghĩa:phươngtrìnhbậcnhấtđốivớimộthàmsốlượnggiáclàphươngtrình
códạng
0
at b
trongđóa,blàcáchằngsố
0
a
vàtlàmộttrongcáchàmsố
lượnggiác.
*Phương pháp:Đưavềphươngtrìnhlượnggiáccơbản.
Ví dụ:
1
)2sin 1 0; ) os2 0; )3tan 1 0; ) 3 cot 1 0
2
a x b c x c x d x
Giải
2
1
6
) 2sin 1 0 sin sin sin
5
2 6
2
6
x k
a x x x k
x k
¢
1 1 2 2
) os2 0 os2 os2 cos 2 2
2 2 3 3 3
b c x c x c x x k k x k k
¢ ¢
1 1
) 3tan 1 0 tan arctan
3 3
c x x x k k
£
1 2 2
) 3 cot 1 0 cot cot cot
3 3
3
d x x x x k k
¢
II.2.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
*Định nghĩa: Phươngtrìnhbậchaiđốivớimộthàmsốlượnggiáclàphươngtrình
códạng
2
0
at bt c
,trongđóa,b,clàcáchằngsố
0
a
vàtlàmộttrongcác
hàmsốlượnggiác.
*Phương pháp:Đặtẩnphụtlàmộttrongcáchàmsốlượnggiácđưavềphương
trìnhbậchaitheotgiảitìmt,đưavềphươngtrìnhlượnggiáccơbản(chúýđiều
kiện
1 1t
nếuđặttbằngsinhoặccos).
Ví dụ:
a)
2
2sin sin 3 0
x x
làphươngtrìnhbậchaiđốivới
sin x
.
b)
2
3 1 0
cos x cosx
làphươngtrìnhbậchaiđốivới
os2c x
.
c)
2
2 tan tan 3 0
x x
làphươngtrìnhbậchaiđốivới
tan x
.
d)
2
3cot 3 2 3 cot3 3 0
x x
làphươngtrìnhbậchaiđốivới
cot3x
.
II.2.3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
*Định nghĩa:Phươngtrìnhbậcnhấtđốivớisinxvàcosxlàphươngtrìnhcó
dạng
sin cos
a x b x c
trongđó
, ,a b c
¡
và
2 2
0
a b
10
*Phương pháp:Chiahaivếphươngtrìnhcho
2 2
a b
tađược:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
Nếu
2 2
1
c
a b
:Phươngtrìnhvônghiệm.
Nếu
2 2
1
c
a b
thìđặt
2 2 2 2
os sin
a b
c
a b a b
(hoặc
2 2 2 2
sin os
a b
c
a b a b
)
Đưaphươngtrìnhvềdạng:
2 2
sin
c
x
a b
(hoặc
2 2
os
c
c x
a b
)sau
đógiảiphươngtrìnhlượnggiáccơbản.
Chú ý:Phươngtrình
sin cos
a x b x c
trongđó
, ,a b c
¡
và
2 2
0
a b
cónghiệm
khi
2 2 2
c a b
.
Ví dụ:
3 sin 3 cos3 2
x x
Giải:
3 1 2
3 sin 3 cos3 2 sin 3 os3
2 2 2
sin 3 . os os3 .sin sin sin(3 ) sin
6 6 4 6 4
x x x c x
x c c x x
II.2.4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
*Định nghĩa: Phươngtrìnhđẳngcấpbậchaiđốivớisinxvàcosxlàphươngtrình
códạng
2 2
.sin .sin cos . os , , 0
a x b x x c c x d a b c
*Phương pháp:
Cách 1:Ápdụngcôngthứchạbậc
và tađưacóphươngtrình:
Phươngtrìnhnàyđãbiếtcáchgiảiởphầntrên
Cách 2:Cáchnàytaxéthaitrườnghợp
Trườnghợp1: cólànghiệmcủaphươngtrìnhkhông?
11
Trườnghợp2: Chiahaivếcủaphươngtrìnhcho ,khiđóphương
trìnhtrởthành:
Phươngtrìnhtrênlàphươngtrìnhbậchaitheo ,tacóthểgiảiđược.
Ví dụ: Giảipt:cos
2
x-
3
sin2x-sin
2
x=1
2 2
cos sin 3sin 2 1 cos2 3sin 2 1
1 3 1
cos2 sin 2 cos 2 cos
2 2 2 3 3
x x x x x
x x x
II.2.5. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một
cung:
II.2.5.1.Phương trình chứa tổng và tích.(còngọilàphươngtrìnhđốixứngtheo
sinvàcôsin)
Dạngphươngtrình:a(sinx+cosx)+bsinx.cosx+c=0(a,b,c
)R
(1)
Cách giải :Đặtt=sinx+cosx=
2
4
sin2
tx
(*)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
(1)
)1.1(0220
2
1
.
2
2
bcatbtc
t
bat
.
Giảiphươngtrình(1.1)chọnnghiệmt=t
0
thỏamãn
2
0
t
.
Thaygiátrịt
0
vàoPT(*)vàgiảiPTsin2x=
1
2
0
t
đểtìmx
Ví dụ .Giảiphươngtrình
02cos12)sin(cos122sincossin
xxxxxx
(1)
012)cos(sin122sincossin
xxxxx
sin cos 0 (1)
12(sin cos ) sin 2 12 0 (2)
x x
x x x
(1)
kx
4
12
(2)
xxtt
t
t
tt cossin1
13
1
01312
2
2
02sin1
k
xxt
+Vậy(1)có2họnghiệmlà
)(
2
;
4
Zk
k
xkx
II.2.5.2.Phương trình chứa hiệu và tích.(còngọilàphươngtrìnhphảnxứng)
Dạngphươngtrình:a(sinx-cosx)+bsinx.cosx+c=0(a,b,c
)R
(2)
Cách giải :Đặtt=sinx-cosx=
2
4
sin2
tx
(**)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
(1)
)1.2(0220
2
1
.
2
2
bcatbtc
t
bat
.
Giảiphươngtrình(2.1)chọnnghiệmt=t
0
thỏamãn
2
0
t
.
Thaygiátrịt
0
vàoPT(**)vàgiảiPTsin2x=1-
2
0
t
đểtìmx.
Ví dụ :Giảiphươngtrình
4
sin27cos2sin3sin2sin32cos8
xxxxxx
072sin3)sin(cos8sincos
xxxxx
sin cos 0 (1)
8(cos sin ) 3sin 2 7 0 (2)
x x
x x x
(1)
kx
4
(2):Đặtt=
(*)12sin2sin1)2(;sincos
22
txxttxx
(2)
3
2
3
2
2
0483
2
t
t
t
tt
,thayt=-2/3vào(*):
sin2x=
kx
kx
9
5
arcsin
2
9
5
arcsin
2
1
9
5
13
III.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Từ các dạng phương trình lượng giác cơ bản và phương trình lượng giác
thườnggiặp,giáoviêncóthểhệthốngtheophươngphápgiảiphươngtrìnhlượng
giácgiúphọcsinhbaoquát,phândạng,địnhhướnggiảiquyếttrướckhilàmbài
theosơđồsauđây.
Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong ôn thi đại học.
PTLG cho trước
Áp dụng a.sinx+b.cosx
PTLG còn một cung
PTLG còn hai cung
PT cơ bản
sinf(x)=sing(x) hoặc
cosf(x)=cosg(x)
Còn một HSLG
Còn hai HSLG
sin và côsin
PT tích
Ẩnphụ
PT đại số
Cần chú ý sự xuất hiện
các biểu thức:
a.sinx+b.cosx với:
, 1; 2; 3
a b
PTLG cơ bản
PTLG thường gặp
III.1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản
Đây là phương pháp cơbản nhất trongviệc giảiphươngtrình lượnggiác.
Trong phươngpháp này, chúng tabiến đổiphương trìnhđãchothànhtrở thành
14
nhữngphươngtrìnhcơbảnđãbiếtcáchgiảiởphầnII Chúngtachúýtớicáccung
liênkết,côngthứchạbậc,….Sauđâylàmộtvàivídụ
Ví dụ 1.Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:(KhốiB–2009)
(2)
Lời giải. Tacóphươngtrìnhđãchotươngđươngvới
<=>
III.2.Phương pháp đặt ẩn phụ
Phươngphápđặtẩnphụđượcsửdụngkhiphươngtrìnhđãchocóbiểuthức
lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về
phươngtrìnhtheomộthàmlượnggiácnàođó,…nhưtrongmụcII.2,ngoàiracòn
nhiềuphươngtrìnhcóthểgiảibằngphươngphápnày,sauđâytôixinnêuravài
dạngquenthuộcnhất.
III.2.1.Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác
Đốivớidạngnày,tathườngbiếnđổiphươngtrìnhvềchỉ cònmộthàmsố
lượnggiác,sửdụngcôngthứchạbậc(tăngcung),
Ví dụ 2.Giảiphươngtrình (5)
Lời giải: Điềukiện
Đặt ,phươngtrìnhtrởthành
15
Với
Với
III.2.2. Phương trình đưa về hàm tang
Biếnđổiphươngtrìnhvềchỉcònhàmtang,hoặcđặtẩn vàtínhtất
cảcácbiểuthứccònlạitheo .Sauđâychúngtaxétmộtvàivídụ.
Ví dụ 3. Giảiphươngtrìnhsau: (6)
Lời giải.
Tathấy khôngphảilànghiệmcủaphươngtrình.
Chiahaivếcủaphươngtrìnhcho tađượcphươngtrình
Đặt ,tacóphươngtrình
Với
Với
Với
III.2.3. Phương trình
Cách giải
Đặt
,đưaphươngtrìnhđãchovềphươngtrìnhbậc2
theo .Giảiphươngtrìnhnàyranghiệm ,từđóđưavềdạngphươngtrìnhcơ
bản(1)đãbiếtcáchgiải.
Ví dụ 4: Giảiphươngtrình (9)
(ĐHCảnhSát2000)
Lời giải.
Đặt .Khiđó
16
Phươngtrìnhtrởthành
2 ( ô / )
1
1
t kh ng t m
t
t
Với
Với
III.3.Phương pháp phân tích thành tích
Đây là phương pháp cơ bảnvà thường đượcsử dụng nhất trong việc giải
phươngtrìnhlượnggiác.Việcphântíchtùythuộcvàobàitoán,tuynhiênchúngta
cầnbiếtmộtsốbiếnđổihaysửdụngnhư:cáccôngthứcbiếntổngthànhtích,
,
,…
Chúngtasẽxétmộtvàivídụsauđây.
Ví dụ 5.Giảiphươngtrìnhlượnggiác:
(B,2008)
Lời giải.
Ví dụ 6. Giảiphươngtrình:(A,2003)
(12)
Lời giải.
17
Điềukiện
Tacó
TH1:
TH2: (Vônghiệm)
III.4. Phương pháp tìm nghiệm của phương trình lượng giác chứa điều kiện.
Mộtvấnđềthườnggặptronggiảiphươngtrìnhlượnggiáckhiếnhọcsinhlúng
túng đó là những bài toán về giải phương trình lượng giác có điều kiện. Thông
thườngnhữngbàitoánvềdạngnàylànhữngvấnđềhayvàkhó.
Khigiảicácphươngtrìnhlượnggiáccóchứađiềukiện,saukhitìmđượchọ
nghiệmcủaphươngtrình,họcsinhthườngkhôngbiếtđốichiếuvớiđiềukiệnban
đầu,dẫnđếnkếtluậnhọnghiệmkhôngchínhxác.Bàinàytôigiớithiệuphương
phápđốichiếuđiềukiệnđểkếtluậnnghiệmcủaphươngtrìnhlượnggiáccóchứa
điềukiệnthôngquacácvídụcụthể.
Ví dụ 7. Giảiphươngtrình:
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
x x x
x x x
(*).
Lời giải :ĐK:
cos cos 2 cos3 0
4 2
,
2
3
x x x
k
x
k
x k
¢
.
Khiđó
* tan 2 3 ,
6 2
n
x x n
¢
B'
A'
B
A
O
x
18
Biểudiễntrênđườngtrònlượnggiác,nghiệmcủaphươngtrìnhtìmđượcđánhdấu
“o”,ĐKcủaptđánhđấu“x”.Quabiểudiễn,tathấynghiệmcủaphươngtrìnhlà:
5
; 2 , ,
6 6
x l x m l m
¢
Ví dụ 8 : Giảiphươngtrình:
2 sin cos
1
*
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
Giải: ĐK:
cos 0
tan cot 2 0 sin 2 0
cot 1 0 sin 0
sin cos 0
x
x x x
x x
x x
Khiđó(*)
sin 0
sin 2 2 sin sin . 2cos 2 0
2
cos
2
x
x x x x
x
+Với
sin 0x
viphạmĐKcủabàitoán.
+Với
1
2
3
2
2
4
cos
3
2
2
4
x x k
x k
x x k
¢
Dễ thấy ĐK
cos 0x
,
sin 0x
thoả mãn. Thay trực tiếp các nghiệm
1
x
,
2
x
Vàohệ:
sin 2 0
sin cos 0
x
x x
tathấychỉcónghiệmx
1
thoảmãn.
Vậynghiệmcủaphươngtrìnhlà:
3
2 ,
4
x k k
¢
.
IV. Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
1/cos2x-cos8x+cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin
3
x+2cosx-2+sin
2
x=0
5/3sinx+2cosx=2+3tanx6/
3
2
sin2x+
2
cos
2
x+
6
cosx=0
7/2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-48/cosx-2sin(
3
2 2
x
)=3
9/2cos2x-8cosx+7=
1
cos x
10/cos
8
x+sin
8
x=2(cos
10
x+sin
10
x)+
5
4
cos2x
19
11/1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x12/1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
13/sin
2
x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/2sin3x-
1
sin x
=2cos3x+
1
cos x
15/cos
3
x+cos
2
x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos
3
x+sinx=0
17/tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-
1
cos x
)=0 18/sin2x=1+
2
cosx+cos2x
19/1+cot2x=
2
1 cos 2
sin 2
x
x
20/2tanx+cot2x=2sin2x+
1
sin 2x
21/cosx(cos4x+2)+cos2x-cos3x=0 22/1+tanx=sinx+cosx
23/(1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 24/2
2
sin( )
4
x
=
1 1
sin cosx x
25/2tanx+cotx=
2
3
sin 2x
26/cotx-tanx=cosx+sinx
27/9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 28/sin
3
xcosx=
1
4
+cos
3
xsinx
29/cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 30/tanx+2cot2x=sin2x
31/sin2x(cotx+tan2x)=4cos
2
x 32/sin4x=tanx
33/sin2x+2tanx=3 34/sin2x+cos2x+tanx=2
35/tanx+2cot2x=sin2x36/cotx=tanx+2cot2x
V. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
2
1) cos 3 cos 2 cos 2 0
x x x
(Khối A - 2005)
2) 1 sin cos sin 2 os2 0
x x x c x
(Khối B - 2005)
4 4
3
3) os sin cos sin 3 0
4 4 2
c x x x x
(Khối D - 2005)
6 6
2 cos sin sin cos
4) 0
2 2sin
x x x x
x
(Khối A - 2006)
5)
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
(Khối B - 2006)
6)
os3 os2 cos 1 0
c x c x x
(Khối D - 2006)
7)
2 2
1 sin cos 1 os sin 1 sin 2x x c x x x
(Khối A – 2007)
8)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x
(Khối B – 2007)
20
9)
2
sin os 3 cos 2
2 2
x x
c x
(Khối D – 2007)
10)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
(Khối A – 2008)
11)
3 3 2 2
sin 3 cos sin os 3sin osx x xc x xc x
(Khối B – 2008)
12)
2sin 1 os2 sin 2 1 2cosx c x x x
(Khối D – 2008)
13)
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
(Khối A – 2009)
14)
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x x
(Khối B – 2009)
15)
3 cos5 2sin3 cos2 sin 0
x x x x
(Khối D – 2009)
16)
1 sin os2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x c x x
x
x
(Khối A – 2010)
17)
sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0
x x x x x
(Khối B – 2010)
18)
sin 2 os2 3sin cos 1 0
x c x x x
(Khối D – 2010)
19)
2
1 sin 2 os2
2sin .sin 2
1 cot
x c x
x x
x
(Khối A - 2011)
20)
sin 2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x
(Khối B - 2011)
21)
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
(Khối D - 2011)
22)
3 sin 2 os2 2cos 1x c x x
(Khối A và A1 - 2012)
23)
2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1x x x x x
(Khối B - 2012)
24)
sin 3 os3 sin cos 2 cos 2x c x x x x
(Khối D - 2012)
21
PHẦN III. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
I.Ý nghĩa của đề tài.
Mụcđíchquantrọngnhấtcủađềtàinàylàtôimuốnlấyđâylàmmộtcuấn
tàiliệuphụcvụtrongquátrìnhgiảngdạycủabảnthân,đồngthờicũnglàcuấntài
liệuđểcácđồngnghiệpthamkhảotronggiảngdạy.
Giúphọcsinhđịnhhướnggiảiquyếtbàitoánthôngquasơđồphươngpháp,
đồngthờiquacácphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiác.Nhằmpháttriểntư
duylinhhoạtchohọcsinh.TừđómanglạisựsaymêvàhứngthútronghọcToán.
II. Kết quả nghiên cứu.
Đềtàinàytôibắtđầuthựchiệntừnămhọc2012–2013trựctiếptrênlớp
11A2,11A5,11A6đếnhếthọckìI.Kếtquảđasốhọcsinhnắmđượccácphương
phápgiảiphươngtrìnhlượnggiác,địnhhướngđượccáchgiải.Gópphầnnângcao
kếtquảhọctậpbộmônToánnóiriêng,kếtquảhọctậpcủacácemtrongnhàtrường
nóichung.
KếtquảthihọckìI,của3lớptrênvới109em,đasốcácemđềulàmđược
phầnphươngtrìnhlượnggiác.Cụthểnhưsau:
sốH/S
Đợtthi
Số học sinh không đạt Số học sinh đạt
11A2 9% 91%
11A5 28,6% 71,4%
11A7 19.9 80.1%
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số và giải tích 11 ban cơ bản,NXBGD,2010.
Trần VănHạo(Tổng chủbiên)-Vũ Tuấn(chủbiên)- ĐàoNgọcNam-Lê Văn
Tiến-VũViếtYên,
2. Phương pháp giải toán Đại số và giải tích 11 theo chủ đề.NXBGD,2010.
PhanDoãnThoại,NguyễnXuân,Bình,TrầnHữuNam.
3. Phương pháp giải Toán Lượng Giác .NXB Hà Nội 2008
LêHồngĐức,LêBíchNgọc–LêHữuTrí
22
Nhận xét đánh giá của tổ chuyên môn:
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
23
Nhận xét đánh giá của nhà trường:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… …………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
