sử dụng giản đồ véc tơ giải đề thi vật lý

1. Cơ sở lý thuyết:
a. Biểu diễn một đại lượng vật lý biến thiên điều hòa bằng véc tơ quay
Một đại lượng vật lý bất kỳ biến thiên điều hòa theo thời gian đều có thể
biểu diễn bằng véc tơ quay.
Ví dụ:
0
os( )u U c t OM
ω ϕ
= + ⇔
uuuur
trong đó véc tơ quay được vẽ tại thời điểm
ban đầu:
0
( ; )
OM U
OM
ϕ

=



∆ =

uuuur
uuuuuuur
b. Phép cộng hai đại lượng vật lý biến thiên điều hòa
Phép cộng hai đại lượng vật lý biến thiên điều hòa cùng phương, cùng
tần số và độ lệch pha không đổi thì tương đương với phép cộng véc tơ. Trong
đoạn mạch xoay chiều R,L,C nối tiếp cương độ dòng điện và điện áp là những
đại lượng biến đổi điều hòa nên chúng ta có thể biểu diễn chúng bằng các véc

tơ quay. Có hai phương án vẽ véc tơ quay là vẽ chung gốc hoặc vẽ nối tiếp.
Ví dụ: Điện áp hai đầu đoạn mạch R,L,C nối tiếp được xác đinh như sau:
R L C R L C
u u u u U U U U= + + ⇔ = + +
ur uuur uur uuur
1
∆
ϕ
O
M
O
I
r
L
U
uur
R
U
uuur
C
U
uuur
U
ur
Vẽ nối tiếp
Vẽ chung gốc
R
U
uuur
L

U
uur
C
U
uuur
U
ur
O
I
r
c. Sử dụng các tính chất hình học
Khi sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài toán cực trị
chúng ta thường sử dụng một số tính chất, định lý trong hình học như: Định lý
hàm số cos, sin, ba điểm thẳng hàng, các tính chất của tam giác vuông…Tùy
vào từng loại bài toán cụ thể mà chúng ta áp dụng các tính chất hình học để
giải quyết vấn đề. Trong đó ta chú ý đến định lý hàm số sin và cosin trong tam
giác:
2 2 2
sin sin sin
2 cos
a b c
A B C
a b c bc A
= =
= + −
Các hệ thức lượng trong tam giác
2. Nội dung
a. Đoạn mạch R,L,C nối tiếp xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện
Đối với học sinh, không phải bài toán nào liên quan đến hiện tượng cộng
hưởng thì các em đều nhận ra ngay, nhiều lúc các em bị bó buộc ở một số điều

kiện thường gặp là
L C
Z Z=
mà quên đi một số điều kiện khác. Chúng ta sẽ thấy
rõ qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho đoạn mạch xoay chiều gồm tụ điện có điện dung biến đổi được
mắc nối tiếp với một cuộn dây có điện trở thuần
30R
= Ω
, độ tự cảm
4
L H
π
=
.
Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức
126 2 os100 ( )u c t V
π
=
. Điều chỉnh giá trị của điện dung C để điện áp hiệu dụng
hai đầu cuộn dây cực đại. Tìm C.
Giải:
Ta có giản đồ véc tơ cho bài toán như hình vẽ.
2
α
d
U
uur
C
U

ur
U
ur
I
r
O
β
Do R, L ,U và
ω
không đổi nên góc
α
cũng
không đổi.
Áp dụng định lý hàm số sin:
Usin
sin sin sin
d
d
U
U
U
α
β α β
= ⇒ =
U
d
đạt cực đại khi
0
90
β

=
khi đó cường độ
dòng điện và điện áp hai đầu đoạn mạch biến
thiên cùng pha, trong mạch xảy ra hiện tượng
cộng hưởng khi đó ta có:
4
2
1 10
4
L C
Z Z C F
L
ω π
−
= ⇒ = =
Chú ý: Đây là bài toán tương đối đơn giản nhưng nếu chúng ta không nhận
biết được điều kiện cực đại tương đương với hiện tượng cộng hưởng thì cũng
có thể dễ dàng nhận được bằng phương pháp sử dụng giản đồ véc tơ. chúng ta
có thể giải các bài toán tương tự liên quan đến hiện tượng cộng hưởng điện
như: Cường độ hiệu dụng cực đại, công suất cực đại… khi đó ta có
U
ur
và
I
r
cùng phương, cùng chiều.
b. Đoạn mạch có C hoặc L thay đổi, tìm C (L) để U
C
(U
L

) max.
Đối với dạng bài toán tìm C hoặc L để trong mạch có U
C
(U
L
) max có
thể sử dụng tam thức bậc để tìm cực trị, tuy nhiên quá trình biến đổi là dài
dòng và nếu học sinh nhớ các công thức có sẵn thì nhiều lúc có thể bị nhầm và
mất đi bản chất vật lý. Nếu sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ thì vừa thuận
lợi vừa nhanh gọn. Chúng ta sẽ thấy ưu điểm khi sử dụng giản đồ véc tơ để giải
qua các ví dụ sau đây:
Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp theo thứ tự gồm: cuộn dây
thuần cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Cho
3
điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch là không đổi và có giá trị hiệu dụng là U =
80V. Điều chỉnh C sao cho U
C
max khi đó U
RL
= 60V. Tính U
R
.
Giải: Ta vẽ giản đồ véc tơ cho bài toán như hình
Áp dụng định lý hàm số sin ta có:
Usin
sin sin sin
C
C
U
U

U
β
β α α
= ⇒ =
Do U,
α
không đổi nên để U
C
max thì
0
90
β
=
.
Khi đó:
3
tan
4
R
LR L
UU
U U
α
= = =
Mặt khác ta có:
2 2
60
R L
U U V+ =
từ hai phương

trình trên dễ dàng suy ra U
R
= 48V, U
L
= 36V.
Ví dụ 3: Cho đoạn mạch R,L,C nối tiếp có
100 3R = Ω
,
6
31,8.10C F
−
=
cuộn dây
thuần cảm có độ tự cảm thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp
xoay chiều có giá trị hiệu dụng 100V tần số 50Hz. Thay đổi L để điện áp hiệu
dụng hai đầu cuộn dây đạt cực đại. Tìm L và U
LMax
.
Giải: Ta có giản đồ véc tơ của bài toán như
hình vẽ:
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác:
Usin
sin sin sin
L
L
U U
U
β
β α α
= ⇒ =

.
Do U, R, C, f không đổi nên
α
và U không
đổi. Để U
L
đạt cực đại thì
0
90
β
=
.
Mặt khác
tan 3 60
o
C
R
Z
α α
= = ⇒ =
.
Khi đó ta có:
4
C
U
ur
U
ur
LR
U

ur
β
α
I
r
O
α
RC
U
ur
U
ur
β
I
r
O
L
U
uur
2 2 2 2
os 200 3
os
C C
L
L
R Z R Z
c Z
Z c
α
α

+ +
= ⇒ = = Ω
4
3
L
Z
L H
ω
π
= =
và
ax
200
sin
3
LM
U
U V
α
= =
Chú ý: Các bài toán trên, khi ta áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác thì
do R,
ω
, L (C) không thay đổi nên góc
α
cũng không đổi, hơn nữa U cũng
không thay đổi nên để U
L
(U
C

) cực đại thì tam giác trên sẽ là tam giác vuông.
Từ đó suy ra đại lượng cần tìm.
c. Sử dụng tính chất thẳng hàng để tìm cực tiểu
Ví dụ 4: Đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh gồm ba đoạn mạch mắc nối
tiếp với nhau. Đoạn AM chứa điện trở thuần
1
90R = Ω
. Đoạn AM chứa điện
trở thuần
2
70R = Ω
mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L; đoạn
NB chứa tụ điện có điện dung C biến thiên. Điện áp hai đầu đoạn mạch
400 2 osu c t
ω
=
. Điện áp hai đầu MB có giá trị cực tiểu là bao nhiêu?
Giải: Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ.
Ở đây ta sử dụng cách vẽ nối tiếp trong
đó điện áp giữa hai điểm được kí hiệu
bằng thứ tự hai điểm đó. Từ hình vẽ ta
có: Để U
MB
đạt cực tiểu thì ba điểm
A,M,B thẳng hàng khi đó trong mạch
xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện.
5
A
M
N

B
I
r
R
2
L
R
1
C
M
N
A
B
1 2
400
2,5
90 70
L C
Z Z
U
I A
R R
=
= = =
+ +
2
. 175
MBMin
U I R V= =
Chú ý: Nếu xét bài toán dưới góc độ đại số thì việc tính toán cực tiểu sẽ phức

tạp và khó hơn nhiều so với việc quan sát hình học. Khi đó bài toán đưa về
hiện tượng cộng hưởng chỉ đơn giản qua phép nhìn ba điểm thẳng hàng.
d. Sử dụng các tính chất hình học khác
Ví dụ 5: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 220V vào hai đầu
đoạn mạch gồm biến trở R nối tiếp với cuộn cảm thuần L. Điều chỉnh R để tích
điện áp U
R
U
L
đạt cực đại. Giá trị cực đại đó là bao nhiêu?
Giải: Ta có giản đồ véc tơ cho bài toán như
hình vẽ. Tam giác vuông có các cạnh là U
R
,
U
L
, U trong đó cạnh huyền U không đổi. Ta
lại có tính chất: Trong các tam giác vuông
có chung cạnh huyền, tam giác vuông cân
có chu vi lớn nhất. Từ đó suy ra tích U
R
.U
L

đạt cực đại khi U
R
= U
L
= 110
2

V. Khi đó
U
R
.U
L
= 24200 V
2
.
Chú ý: Trên đây ta sử dụng tính chất trong các tam giác vuông có chung cạnh
huyền, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất. Điều này thì dễ dàng chứng
minh được bằng cách vẽ đường tròn có đường kính cạnh huyền, sau đó dùng
hình vẽ để giải thích.
3.Hệ thống bài tập và câu hỏi vận dụng
6
O
I
r
R
U
uuur
L
U
uur
U
ur
Bài 1. Cho mạch điện xoay chiều AB gồm hai đoạn mạch nối tiếp: Đoạn AM
gồm điện trở
30R
= Ω
nối tiếp với cuộn dây chỉ có độ tự cảm L, đoạn MB chỉ

có tụ điện điện dung
3
10
8
C F
π
−
=
. Điện áp hai đầu mạch
2 os100 ( )
AB
u U c t V
π
=
. Để
điện áp hiệu dụng U
MB
đạt cực đại, độ tự cảm L bằng bao nhiêu?
Bài 2 Cho mạch điện RLC nối tiếp. Trong đó R = 100
3
Ω; C =
100
2
F
µ
π
cuộn
dâythuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch
là u = 200
2

cos100πt (V). Xác định độ tự cảm của cuộn dây để điện áp hiệu
dụng trên cuộn cảm L là cực đại
Bài 3 Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp. Biết R = 30Ω, Z
L
= 40Ω, còn
C thay đổi được. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế u = 120cos(100t
- π/4)V. Khi C = C
o
thì hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực
đại U
Cmax
bằng
Bài 4 Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn
mạch AM gồm điện trở thuần
30R
= Ω
. Đoạn MB gồm cuộn dây có điện trở
thuần
10r = Ω
và cảm kháng
30
L
Z = Ω
mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C
thay đổi được. Đặt vào AB điện áp xoay chiều
100 2 os100 ( )
AB
u c t V
π
=

. Thay đổi
C thì thấy khi
m
C C=
thì thấy điện áp hiệu dụng U
MB
đạt cực tiểu. Tính dung
kháng
Cm
Z
Và U
MB
khi đó.
Bài 5 Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 220V vào hai đầu
một đoạn mạch gồm biến trở R nối tiếp với tụ điện C. Điều chỉnh R để tổng
điện áp hiệu dụng U
R
+ U
C
đạt cực đại. Tính cực đại đó.
Bài 6. Mạch điện AB gồm đoạn AM và đoạn MB. Điện áp hai đầu mạch ổn
định
200 2 os100 ( )u c t V
π
=
. Điện áp ở hai đầu đoạn mạch AM sớm pha hơn
cường độ dòng điện một góc
30
o
. Đoạn MB chỉ có một tụ điện với điện dung

7
thay đổi được. Điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng U
AM
+ U
MB
có giá trị
lớn nhất. Khi đó điện áp giữa hai đầu tụ điện có giá trị bằng bao nhiêu?
Bài 7. Đoạn mạch mắc nối tiếp theo thứ tự R, L, C. Điện áp đặt vào hai đầu
đoạn mạch
200 2 os100 ( )u c t V
π
=
. Cho
10R
= Ω
và
2
L H
π
=
. Xác định C để U
RC
đạt cực đại.
8