rèn luyện kĩ năng giải một số dạng toán trong không gian

1
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
… …….o0o…………
KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG
KHÔNG GIAN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP: 11
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH










ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………………
Bằng chữ:………………………………………
Họ và tên giám khảo số 1:…………………………………chữ ký…………….
Họ và tên giám khảo số 2:…………………………… …chữ ký…….………
Năm học 2012 - 2013
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT KHÚC THỪA DỤ
……… …O0O……………
KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG
KHÔNG GIAN
MÔN: TOÁN
TÊN TÁC GIẢ BÀ: BÙI THỊ NHƯ
Xác nhận của nhà trường
(Ký, đóng dấu)
Số phách
3
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
………… o0o………….
KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG
KHÔNG GIAN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP: 11
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP CƠ SỞ










ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………………
Bằng chữ:………………………………………

Họ và tên Giám khảo số 1:………………………………chữ ký…………….
Họ và tên Giám khảo số 2:………………………… … chữ ký……….…
Năm học 2012 - 2013
4
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
………….o0o…………
KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG
KHÔNG GIAN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP: 11
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH










ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………………
Bằng chữ:………………………………………
Họ và tên giám khảo số 1:…………………………………………….
Họ và tên giám khảo số 2:………………………… …………….…
Năm học 2012 - 2013
PHẦN 1: MỞ ĐẦU

A. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế
hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm
chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta
phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng
như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói
riêng.
Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng. Trong quá trình học tập
của học sinh ở trường phổ thông, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh. Càng
lên các lớp trên thì sự tư duy đó đòi hỏi càng nhiều.
Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo
đề cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết
vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho
học sinh dễ hiểu nhất.
Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến
thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những
nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó
biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp
chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn
gọn hơn.
B. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học
không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan.
Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng
gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các
5
dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng
đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt
hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng

lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với
tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những
phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy toán học nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành
một kinh nghiệm: “Rèn luyện kĩ năng giải một số dạng toán về quan hệ song
song trong không gian”
C. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán hình
học không gian, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học
tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán
khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình
học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải
các bài toán về quan hệ song song trong không gian” ở lớp 11, tôi thấy cần phải
hướng dẫn học sinh một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải
toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh có kĩ năng giải toán phù hợp với từng dạng bài là
một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ
giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được
điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh
lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng
6
bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và
trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy
vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp
giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình Học lớp 11 một
cách có hiệu quả.

D. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy
từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11B
,
11D
,
11E

.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của kinh nghiệm là “Chương II: Đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ
bản.
PHẦN 2: NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian
ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải
chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình
vẽ hay không? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của
đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến
thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác
và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà
không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết,
phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, chứng minh 3 điểm thẳng
hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, chứng minh hai đường thẳng song
song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
7
B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong
không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng
khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song
trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học
lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm
bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát
kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách
không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc
chứng minh quan hệ song song trong không gian.
C. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp làm bài toán này.
I.1. Phương pháp
+) Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng.
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A
AB
B
α β
α β
α β
= ∩

⇒ = ∩

= ∩



- Trong cách này giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng tìm điểm chung của
( )
α
và
( )
β
cụ thể: Chọn lấy đường thẳng a
( )
α
⊂
và đường thẳng b
( )
β
⊂
sao cho a và b
cùng nằm trên mặt phẳng thứ 3.
+) Cách 2: Tìm 1 điểm chung và dựa vào một trong các kết quả sau:
Hệ quả (SGK – trang 57): Nếu
/ /
/ / / /
( )
( )
( ) ( )
a b
a b
a
a
b
b

α
β
α β

∆


⊂


⇒ ∆ ≡


⊂


∆ ≡


∩ = ∆

8
A
D
E
S
B
C
Định lý 2 (SGK – trang 61): Nếu
( )

( )
( ) ( )
/ /
/ /
a
a b a
b
α
β
α β


⊂ ⇒


∩ =

Hệ quả ( SGK – trang 62): Nếu
( )
( )
( ) ( )
/ /
/ / / /
a
b b a
b
α
β
α β



⇒


∩ =

* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu
phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1
điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2.
I.2. Ví dụ cụ thể
- Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện trước sau đó hướng dẫn học sinh
một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn.
Ví dụ 1: Trong mp(
α
) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD
cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(
α
). Tìm giao tuyến của
các mp sau:
a) mp (SAB) và mp(SCD)
b) mp(SAC) và mp(SBD)
Hướng dẫn giải
- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:
Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ ta xác định được những điểm chung nào của 2 mặt
phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao?
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung
thứ nhất là S
Ta có
( )
( ) ( ).

( )
E AB E SAB
E SAB SCD
E CD E SCD
 ∈ ⇒ ∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈


Vậy
( ) ( )SE SAB SCD= ∩
.
- Với câu b) tương tự cách làm câu a).
9
F
A
D
E
S
B
C
Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF,
nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình
giải thích vì sao.
Có
( )
( ) ( ).
( )

F AC F SAC
F SAC SBD
F BD F SBD

∈ ⇒ ∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈


Vậy
( ) ( )SF SAC SBD= ∩
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt là
trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA. Xác định giao tuyến của
(MHK) và (SAD).
Hướng dẫn giải
- Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác
định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp.
Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi
Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung
thứ nhất là điểm nào?
Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy
S = (MHK)
∩
(SAD).
Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2
đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD)
và cùng nằm trong mặt phẳng thứ 3?
Với câu hỏi này học sinh chọn 2 đường thẳng là HK và AD cùng nằm trong mặt

thứ 3 là (ABCD). Khi đó kéo dài HK và AD cắt nhau tại E.
Câu hỏi 3: Chứng minh E là điểm chung của (MHK) và (SAD)?
Ta có
( )
( ) ( )
( )
E HK E MHK
E MHK SAD
E AD E SAD
∈ ⇒ ∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈

.
Câu hỏi 4: (MHK) và (SAD) có giao tuyến là đường thẳng nào?
Ta có
( ) ( )SE MHK SAD= ∩
.
10
- Trong ví dụ 2 giáo viên nên nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ: Hai đừơng thẳng
trong không gian muốn cắt nhau thì chúng phải cùng thuộc một mặt phẳng và
không song song.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm
hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
( )
α
đi qua O, song song với AB và SC.
* Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của

( )
α
và cần xác định
giao tuyến của
( )
α
với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng
không biết xác định giao tuyến với mp nào trước. Khi đó giáo viên cần chỉ cho học
sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm
( )
α
đi qua và chứa đường thẳng mà
( )
α

song song.
* Hướng dẫn
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước?
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với mp (ABCD)
Câu hỏi 2: mặt phẳng
( )
α
và (ABCD) có những điểm
chung nào?
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của
( )

α
với (ABCD) ta
làm thế nào? Vì sao?
Thấy O =
( ) ( )
ABCD
α
∩
Thấy
( )
( )
/ /AB
AB ABCD
α


⇒

⊂


Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của
( )
α
và
(ABCD) phải song song với AB.
Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d
∩
BC = N, d
∩

AD = M
Vậy
( ) ( )
d ABCD
α
= ∩
. Đoạn giao tuyến là MN.
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với (SBC)
11
Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là
điểm nào?
Câu hỏi 5: (SBC) và
( )
α
có quan hệ gì?
Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của
( )
α
và (SBC) bằng
cách nào?
Thấy N =
( )
( )SBC
α
∩
Thấy
( )

( )
SC
SC SBC
α


⇒

⊂


P
giao tuyến của
( )
α
và (SBC)
phải song song với SC.
Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P. Vậy
( )
( )SBC
α
∩
= d’ hay đoạn giao tuyến là NP.
+ Xác định
( )
( )SAB
α
∩
Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là
điểm nào?

Câu hỏi 8: (SAB) và
( )
α
có quan hệ gì?
Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của
( )
α
và (SAB) bằng
cách nào?
Thấy P =
( )
( )SAB
α
∩
Thấy
( )
( )
/ /AB
AB SAB
α


⇒

⊂


giao tuyến của
( )
α

và (SAB) phải
song song với AB.
Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q. Vậy d’’ =
( )
( )SAB
α
∩
hay đoạn giao tuyến là PQ.
+ Xác định
( )
( )SAD
α
∩
Câu hỏi 10:
( )
α
và (SAD) có mấy điểm chung và đó là
những điểm nào?
Câu hỏi 11:
( )
( )SAD
α
∩
là đoạn giao tuyến nào?
Thấy M =
( )
( )SAD
α
∩
và Q =

( )
( )SAD
α
∩
12
Vậy
( )
( )SAD
α
∩
theo đoạn giao tuyến là MQ.
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?
Thiết diện là hình thang MNPQ.
I.3. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)

(ABC) b) (MNI)

(BCD)
c) (MNI)

(ABD) d) (MNI)

(ACD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến
sau: a) (SAC)

(SBD) b) (SAB)


(SCD) c) (SAD)

(SBC
Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm
các giao tuyến sau: a) (BMN)

(ACD) b) (CMN)

(ABD) c) (DMN)

(ABC)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và
ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) (ABJ)

(ACD) b) (IJK)

(ACD)
c) (IJK)

(ABD) d) (IJK)

(ABC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)

(JAD)
c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao

tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)

(DMN)
II. Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và
( )
α
II.1 . Phương pháp : Để tìm giao điểm của d và
( )
α
ta có thể thực hiện theo các
bước sau:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng
( )
β
chứa d (Nên chọn mặt phẳng
( )
β
sao cho dễ tìm
giao tuyến với
( )
α
)
+ Bước 2: Xác định
∆
=
( )
α
∩
( )
β

.
13
+ Bước 3: M =
d∆ ∩
+ Bước 4: Chứng minh M = d
∩

( )
α
.
- Với dạng toán này trước hết giáo viên nên cho học sinh làm một ví dụ đơn giản để
học sinh có thể hình dung ra các bước làm đối với dạng toán này.
II.2. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh
AD sao cho
2
3
AN
AD
=
. Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (BCD).
* Hướng dẫn
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng chứa MN là
mặt phẳng nào?
- Với câu hỏi này học sinh dễ dàng chọn
được mặt phẳng là mặt phẳng (ABD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của
(ABD) và (BCD)?
Ta dễ thấy BD = (ABD)
∩

(BCD).
Gọi E = MN
∩
BD.
Câu hỏi 3: Chứng minh E = MN
( )BCD∩
?
Ta có
( )
( )
E MN
E MN BCD
E BD E BCD
∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈

.
- Sau khi học sinh đã hiểu được các bước làm thì giáo viên có thể giao bài tập khó
hơn. Cụ thể:
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
14
* Hướng dẫn
a) Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng

cách đặt ra các câu hỏi
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng nào chứa BM mà dễ xác định giao tuyến với mp
(SAC)?
Với câu hỏi này học sinh sẽ xác định được mp cần chọn
là mp (SBD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)?
Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của
(SAC) và (SBD).
Dễ thấy S = (SAC)
∩
(SBD).
Gọi O = AC
∩
BD. Khi đó O = (SAC)
∩
(SBD).
Vậy SO = (SAC)
∩
(SBD)
Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM?
Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM
∩
(SAC)?
Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc mp
(SBD).
Gọi E = SO
∩
BM.
Khi đó
( )

( ) ( )
E BM
E BM SAC
E SO SAC E SAC
∈

=> = ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈

.
b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề.
Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến
với (SBC) là mặt phẳng nào?
Chọn mặt phẳng (SAD) chứa IM
Câu hỏi 6: Xác định (SAD)
∩
(SBC)?
Ta có S = (SAD)
∩
(SBC).
Gọi P = AD
∩
BC. Khi đó
( )
( )
P AD P SAD
P BC P SBC
∈ ⇒ ∈



∈ ⇒ ∈

15
=> P = (SAD)
∩
(SBC).
Vậy SP = (SAD)
∩
(SBC).
Gọi F = SP
∩
IM
Câu hỏi 7: Chứng minh F = IM
∩
(SBC)?
Ta có
( ) ( )
F IM
F SP SBC F SBC
∈


∈ ⊂ => ∈

=> F = IM
∩
(SBC).
c) Với ý c) học sinh sẽ khó phát hiện và tìm ra được
mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học

sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét.
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa
SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến
với (IJM)?
Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP).
Câu hỏi 9: Xác định (SBP)
∩
(IJM)?
Thấy J = (SBP)
∩
(IJM) ( Vì
J SB
∈
)
Mặt khác
(IJ ) ( )
F IM
F M SBP
F SP
∈

⇒ = ∩

∈

Vậy JF = (SBP)
∩
(IJM)
Gọi K = SC
∩

JF
Câu hỏi 10: Chứng minh K = SC
∩
(IJM)?
Thấy
(IJ )
(IJ ) (IJ )
K SC
K SC JF K SC M
K JF M K M
∈

= ∩ => => = ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈

II.3. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của SB và SC
a) Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
16
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các
giao điểm sau: a) IJ

(SBC) b) IJ

(SAC)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên

đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của:
a) CD và (MNP) b) AD và (MNP)
Bài 4: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên
đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC).
III. Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng
( )
α
.
III.1. Phương pháp : Để chứng minh cho d //
( )
α
ta chứng minh cho d // a với a là
một đường thẳng nằm trong mp
( )
α
.
Tóm tắt: Nếu
( )
( )
/ /
/ /
d a
d
a
α
α



⇒

⊂


- Việc khó nhất của phương pháp này là chọn được
đường thẳng a
( )
α
⊂
. Nên giáo viên cần hướng dẫn cụ thể để học sinh có thể xác
định được a.
III.2. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh rằng MN // (SBC).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB // (MNP)
c) Chứng minh SC // (MNP).
* Hướng dẫn
a) Với ý a) học sinh dễ dàng xác định được đường thẳng
a là đường thẳng BC. Do đó học sinh dễ dàng chứng
minh được MN // (SBC).
17
Cụ thể: Do
/ /
/ /( )
( )
MN BC
MN SBC
BC SBC


⇒

⊂

.
b) Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a
là đường MP. Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ
của giáo viên.
* Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP?
Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên
SB // MP
Mà MP
⊂
(MNP) nên SB // (MNP).
c) Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi
này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a.
Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì học sinh mới có thể giải quyết
được vấn đề.
* Hướng dẫn:
Câu hỏi 2: Lấy O = MN
∩
AC.
Chứng minh SC // OP?
Vì O = MN
∩
AC => O là trung điểm của AC
=> OP là đường trung bình của tam giác SAC
=> SC // OP.

Câu hỏi 4: Chứng minh SC // (MNP)?
Do SC // OP mà OP
⊂
(MNP)
=> SC // (MNP).
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE.
Chứng minh MN // (CEF).
* Hướng dẫn
18
- Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện
đường thẳng a trong mp (CEF). Khi đó giáo viên phải
chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp
(CDFE). Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng
chính là chứng minh MN // (CDEF).
Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ?
Do M là trọng tâm của tam giác ABD =>
1
3
KM
KD
=
Do N là trọng tâm của tam giác ABE =>
1
3
KN
KE
=
Vậy
/ /

KM KN
MN DE
KD KE
= ⇒
(Định lý Talet)
Câu hỏi 2: Chứng minh MN // (CEF) ?
Do MN // DE mà DE
⊂
(CDFE) => MN // (CDFE)
Mà (CEF)
⊂
(CDFE). Vậy ta có MN // (CEF).
III.3. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD
a) Chứng minh rằng BD//(AIJ)
b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD.
Chứng minh rằng HK//(ABD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là
trung điểm của SA và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD)
b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = SD
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC)
và (IJN)//(SAD).
IV. Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song
19
IV.1 . Phương pháp : Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho
mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
Tóm tắt: Nếu
( )

( )
( )
( ) ( )
,
/ /
/ /
/ /
a b
a b I
a
b
α
α β
β
β
 ⊂

∩ =

⇒




- Cái khó của phương pháp này là phải xác định được 2 đường thẳng a và b. Vậy
nhiệm vụ của giáo viên là phải hướng dẫn làm sao để học sinh phát hiện được 2
đường thẳng a và b đó.
IV.2. Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của SA và CD.

a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên
mp(ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh (IJK) // (SAB).
* Hướng dẫn
a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần
chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại. Có thể chọn 2 đường là OM, ON
hoặc BC, SC
Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)?
Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam
giác SAC)
Mà SC
( )SBC⊂
. Vậy OM // (SBC).
Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)?
Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong
tam giác DBC)
Mà BC
( )SBC⊂
. Vậy ON // (SBC).
Câu hỏi 3: Chứng minh (OMN) // (SBC)?
20
Ta có
, ( )
/ /( )
( ) / /( )
/ /( )
OM ON = O
OM ON OMN
OM SBC
OMN SBC

ON SBC
⊂



⇒



∩

- Trong ý a) giáo viên cũng có thể hướng cho học sinh cách chứng minh BC//
(OMN) và SC // (OMN).
b) Với ý này trước tiên giáo viên phải hướng dẫn học sinh xác định điểm K
Gọi P là trung điểm của BC. Khi đó những điểm
nằm trên JP sẽ cách đều AB và CD. Do đó ta chỉ cần
lấy K
JP
∈
.
Câu hỏi 1: Chứng minh IJ // (SAB)?
Có IJ là đường trung bình trong tam giác SAD
=> IJ // SA
⊂
(SAB) => IJ // (SAB).
Câu hỏi 2: Chứng minh JK // (SAB)?
Có JP // AB mà K
JP∈
nên JK // AB
⊂

(SAB) => JK // (SAB)
Câu hỏi 3: Chứng minh (IJK) // (SAB)?
Ta có
IJ, JK (IJ )
IJ//( )
(IJ ) / /( )
/ /( )
IJ
K
SAB
K SAB
JK SAB
JK J
⊂



⇒



∩ =

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, ACC’, A’B’C’.
a) Chứng minh (IGK) // (BB’C’C).
b) Chứng minh (A’GK) // (AIB’).
* Hướng dẫn
a) Với ý a) học sinh sẽ rất khó nhìn ra 2 đường thẳng a và b. Nhiệm vụ của giáo
viên là phải giúp học sinh phát hiện ra 2 đường thẳng đó bằng cách hướng dẫn học

21
sinh xác định thêm các trung điểm M và M’ của AC và A’C’. Khi đó học sinh sẽ
nhìn ra hướng giải quyết vấn đề.
Câu hỏi 1: Chứng minh IK // (BB’C’C)?
Do I, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và
tam giác A’B’C’ =>
' 1
' ' 3
MI M K
MB M B
= =
. Mà MM’ // BB’
=> IK // BB’
⊂
(BB’C’C) => IK // (BB’C’C).
Câu hỏi 2: Chứng minh IG // (BB’C’C)?
Do G là trọng tâm của tam giác ACC’ =>
1
' 3
MI MG
MB MC
= =
=> IG // BC’
⊂
(BB’C’C)
=> IG // (BB’C’C).
Câu hỏi 3: Chứng minh (IGK) // (BB’C’C)?
Ta có
/ /( ' ' )
/ /( ' ' )

( ) / /( ' ' )
, ( )
IK BB C C
IG BB C C
IGK BB C C
IK IG I
IK IG IGK



⇒

∩ =


⊂

.
b) Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong
việc tìm ra 2 đường thẳng a và b. Giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm
các trung điểm E, F của BC và B’C’.
Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt
phẳng nào?
Do E là trung điểm của BC => A, I, E thẳng hàng
=> (AIB’) chính là (AEB’)
Câu hỏi 2: Mặt phẳng (A’GK) được mở rộng thành mặt
phẳng nào?
Do F là trung điểm của B’C’ => A’, K, F thẳng hàng
22

Do G là trọng tâm của tam giác ACC’
=> A’, G, C thẳng hàng
Do đó (A’GK) chính là (A’FC)
Câu hỏi 3: Chứng minh (AEB’) // (A’FC)?
Do BB’C’C là hình bình hành => B’E // FC => B’E // (A’FC)
Mặt khác ta lại có AE // A’F => AE // (A’FC)
Vậy (AEB’) // (A’FC) hay (AIB’) // (A’GK).
IV.3. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD,
ACD. Chứng minh rằng (HKL) // (BCD).
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)
b) Tìm các giao điểm I = B’D

(BA’C’); J = B’D

(ACD’). Chứng minh
rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần bằng nhau
c) GọiM, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện của hình hộp
với mặt phẳng (BMN).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm
của SD
a) Xác định giao điểm K = BI

(SAC)
b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH // (SAD)
c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN) // (SBC)
d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN)
* MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Để làm được một bài toán hình học không gian ngoài việc nắm được phương

pháp làm thì hình vẽ cũng đóng một vai trò quan trọng. Một hình vẽ tốt phải là hình
đảm bảo các yêu cầu sau:
+) Phải đúng theo các quy tắc của một hình biểu diễn trong không gian và khái
niệm của các hình như: hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt
23
+) Phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn và có tính thẩm mỹ.
+) Phải đủ các dữ liệu, không thừa
+) Phải thể hiện được dữ liệu của đề bài cho.
D – BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc “Giải các bài toán về quan hệ song
song trong không gian” với thời lượng lên lớp chính khóa tôi nghĩ là chưa đủ. Do
đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải
soạn bài thật tốt, đọc và nghiên cứu nhiều sách tham khảo, có kĩ năng vẽ hình chính
xác, biết đưa ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài và hệ thống các bài tập
phù hợp.
2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà
trường tổ chức hoặc trong các giờ học tự chọn môn toán.
3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (học sinh có
học lực khá, có uy tín với các bạn ). Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà
giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa
ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giải của mình (có thuyết trình). Các
thành viên còn lại của lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài (nếu câu hỏi
hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em).
4/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em (bản thân tôi
photo các đề bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau
thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng cách trình
bày, hình vẽ. Đây là một việc làm không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự
tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc.
E - KẾT QUẢ THỤC NGHIỆM

24
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm
giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải các bài toán về quan hệ song song trong
không gian cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến
một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 11. Tôi cũng chỉ đi
sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng giải toán trên mảng
quan hệ song song trong không gian, bởi vì muốn giải được bài toán về hình không
gian ngoài việc nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các
phương pháp chứng minh học sinh còn phải biết cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ
hình.
Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự nghiên cứu áp dụng.
Bước đầu tôi thấy có một số kết quả sau:
- Trước khi thực hiện phương pháp này, tôi cho học sinh các lớp 11 do tôi
phụ trách làm một bài toán. Tôi ghi lại kết quả theo dõi như sau:
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ trên Trung bình
Đánh giá
Trung bình Khá giỏi
11B 45 19/45 = 42% 5/45 = 11% Trung bình
11D 47 16/47 =34% 1/47 = 2% Yếu
11E 50 19/50 =38% 2/50 = 4% Yếu

Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên rõ rệt:
Lớp Sĩ số
Tỉ lệ trên Trung bình
Đánh giá
Trung bình Khá giỏi
11B 45 26/45 = 58% 9/45 = 20% Khá
11D 47 22/47 = 47% 5/47 = 11% Trung bình
11E 50 23/50 = 46% 6/50 = 12% Trung bình

Tuy nhiên, một kết quả khác mà học sinh của tôi đạt được. Tôi thiết nghĩ
không thể nói lên bằng các con số đó là:
- Phần lớn học sinh đã say mê giải những bài toán về hình học không gian.
- Các em không còn thấy khó khăn khi vẽ hình không gian.
25