Tải bản đầy đủ (.pdf) (12 trang)

Toán đại số tổ hợp ôn thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (177.36 KB, 12 trang )

ĐẠI SỐ TỔ HP
Chương V
NHỊ THỨC NEWTON (phần 1)
Nhò thức Newton có dạng :
(a + b)
n
= C a
n
b
0
+ a
n-1
b
1
+ … + a
0
b
n

0
n
1
n
C
n
n
C
=
(n = 0, 1, 2, …)
n
knkk


n
k0
Ca b

=

Các hệ số của các lũy thừa (a + b)
n
với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, … được sắp
thành từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal :
k
n
C

(a + b)
0
= 1
(a + b)
1
= a + b
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

(a + b)
3
= a

3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+b
3

(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4

(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a

3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ b
5






1




1



1

5



1

4


1

3
+
10
1

2

6

1

3

10


1

4




1

5




1





1
Các tính chất của tam giác Pascal :
(i) = = 1 : các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1.
0
n
C
n
n
C
(ii) =
(0 k n) : các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau.
k
n
C
nk
n
C


≤ ≤
(iii) = (0 k
k
n
C +
k1
n
C
+ k1
n1
C
+
+


n – 1) : tổng 2 số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng
số hạng ở giữa 2 số hạng đó ở hàng dưới.
(iv) + … + = (1 + 1)
n
= 2
n

0
n
C +
1
n
C
n

n
C

Các tính chất của nhò thức Newton :
(i) Số các số hạng trong khai triển nhò thức (a + b)
n
là n + 1.
(ii) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhò thức (a + b)
n
là n.
(iii) Số hạng thứ k + 1 là Ca
n – k
b
k
.
k
n
Dạng 1:
TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
1. Khai triển (ax + b)
n
với a, b =
±
1,
±
2,
±
3 …
Cho x giá trò thích hợp ta chứng minh được đẳng thức về , …,
0

n
C,
1
n
C
n
n
C.
Hai kết quả thường dùng
(1 + x)
n
= x + x
2
+ … + x
n
= (1)
0
n
C +
1
n
C
2
n
C
n
n
C
n
kk

n
k0
Cx
=

(1 – x)
n
= x + x
2
+ … + (–1)
n
x
n
= (2)
0
n
C –
1
n
C
2
n
C
n
n
C
n
kkk
n
k0

(1)Cx
=


• Ví dụ : Chứng minh a) + … + = 2
n
0
n
C +
1
n
C
n
n
C

b) + … + (–1)
n
= 0
0
n
C –
1
n
C +
2
n
C
n
n

C
Giải
a) Viết lại đẳng thức (1) chọn x = 1 ta được điều phải chứng minh.
b) Viết lại đẳng thức (2) chọn x = 1 ta được điều phải chứng minh .
2. Tìm số hạng đứng trước x
i
(i đã cho) trong khai triển nhò thức Newton của
một biểu thức cho sẵn

Ví dụ : Giả sử số hạng thứ k + 1 của (a + b)
n
là a
n – k
b
k
.Tính số hạng thứ 13
trong khai triển (3 – x)
15
.
k
n
C
Giải
Ta có :
(3 – x)
15
= 3
15
– 3
14

x + … + 3
15 – k
.(–x)
k
+ … + – x
15

0
15
C
1
15
C
k
15
C
15
15
C
Do k = 0 ứng với số hạng thứ nhất nên k = 12 ứng với số hạng thứ 13
Vậy số hạng thứ 13 của khai triển trên là :
3
12
15
C
3
(–x)
12
= 27x
12

.
15!
12!3!
= 12.285x
12
.
3. Đối với bài toán tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhò thức (a + b)
n

(a, b chứa x), ta làm như sau :
- Số hạng tổng quát trong khai triển nhò thức là :
a
n – k
b
k
=c
m
. x
m
.
k
n
C
- Số hạng độc lập với x có tính chất : m = 0 và 0

k

n, k ∈ N. Giải phương
trình này ta được k = k
0

. Suy ra, số hạng độc lập với x là .
0
k
n
C
0
nk
a

0
k
b
• Ví dụ : Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhò thức
18
x4
2x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển nhò thức là :

18 k
k
18
x
C
2


⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
k
4
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
kk182k18k k
18
C2 .2.x .x

−−
=
k3k18182k
18
C2 .x
−−
Số hạng độc lập với x trong khai triển nhò thức có tính chất :
18 – 2k = 0

k = 9
Vậy, số hạng cần tìm là : .2
9
.
9

18
C
4. Đối với bài toán tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhò thức (a + b)
n
với a,
b chứa căn, ta làm như sau :
– Số hạng tổng quát trong khai triển nhò thức là :
= K
knkk
n
Ca b

mn
p
q
c.d với c, d

¤
– Số hạng hữu tỷ có tính chất :
m
p


N và
n
q


N và 0


k

n, k N. ∈
Giải hệ trên, ta tìm được k = k
0
. Suy ra số hạng cần tìm là :
.
00
knkk
n
Ca b

0
• Ví dụ : Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển nhò thức
(
)
7
3
16 3+
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển nhò thức là :

7k
1
k
3
7
C16

⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠
.
k
1
2
3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
7k
k
k
3
2
7
C.16 .3

.
Số hạng hữu tỷ trong khai triển có tính chất :

7k
N
3
k
N
2
0k7,kN










≤≤ ∈




−=




≤≤

7k3m
k chẵn
0k7

k 7 3m (m Z)
k chẵn
0k7
=− ∈





≤≤

⇔ k = 4
Vậy, số hạng cần tìm là : .
42
17
C .16.3
Bài 120. Khai triển (3x – 1)
16
.
Suy ra 3
16
– 3
15
+ 3
14
– … + = 2
16
.
0
16
C
1
16
C
2
16
C

16
16
C
Đại học Bách khoa Hà Nội 1998
Giải
Ta có : (3x – 1)
16
=
16
16 i i i
16
i0
(3x) ( 1) .C

=


= (3x)
16
– (3x)
15
+ (3x)
14
+ … + .
0
16
C
1
16
C

2
16
C
16
16
C
Chọn x = 1 ta được :
2
16
= 3
16
– 3
15
+ 3
14
– … + .
0
16
C
1
16
C
2
16
C
16
16
C
Bài 121. Chứng minh :
a)

n0 n11 n22 n n
nn nn
2 C 2 C 2 C C 3
−−
++++=
b) .
n0 n11 n22 nn n
nn n n
3 C 3 C 3 C ( 1) C 2
−−
−+++−=
Giải
a)
Ta có : (x + 1)
n
= .
0n 1n1 n
nn
C x C x C

+++
n
n
n
n
)
Chọn x = 2 ta được :
3
n
= .

0n 1n1 n
nn
C2 C2 C

+++
b) Ta có : (x – 1)
n
= .
0n 1n1 n n
nn
C x C x ( 1) C

−++−
Chọn x = 3 ta được :
2
n
= .
n0 n11 n22 nn
nn n
3 C 3 C 3 C ( 1) C
−−
−+++−
Bài 122. Chứng minh : ;
n1
kn1
n
k1
C2(2 1



=
=−

n
kk
n
k0
C(1) 0
=

=

.
Đại học Lâm nghiệp 2000
Giải
Ta có : (1 + x)
n
= (*)
n
0 1 22 nn kk
nn n n n
k0
C C x C x C x C x
=
++ ++ =

Chọn x = 1 ta được
2
n
=

n
k0 1 2 n1
nnnn n
k0
CCCC C C

=
n
n
=
++++ +


2
n
= ⇔
12 n1
nn n
1 C C C 1

++++ +
2
n
– 2 = ⇔
n1
k
n
k1
C


=

Trong biểu thức (*) chọn x = – 1 ta được 0 =
n
kk
n
k0
C(1)
=


.
Bài 123. Chứng minh :
02244 2n2n2n12n
2n 2n 2n 2n
C C 3 C 3 C 3 2 (2 1)

++++ = +
Đại học Hàng hải 2000
Giải
Ta có : (1 + x)
2n
= (1)
0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
C C x C x C x C x
−−
++ ++ +
(1 – x)
2n

= (2)
0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
C C x C x C x C x
−−
−+ +− +
Lấy (1) + (2) ta được :
(1 + x)
2n
+ (1 – x)
2n
= 2
022 2n2n
2n 2n 2n
C C x C x


+++



Chọn x = 3 ta được :
4
2n
+ (–2)
2n
= 2
022 2n2n
2n 2n 2n
C C 3 C 3

⎡⎤
+++
⎣⎦


4n 2n
22
2
+
=
022 2n
2n 2n 2n
C C 3 C 3+++
2n


2n 2n
2(2 1)
2
+
=
022 2n
2n 2n 2n
C C 3 C 3+++
2n
)
2n
= ⇔
2n 1 2n
2(2 1


+
022 2n
2n 2n 2n
C C 3 C 3+++
Bài 124. Tìm hệ số đứng trước x
5
trong khai triển biểu thức sau đây thành đa thức :
f(x) = (2x + 1)
4
+ (2x + 1)
5
+ (2x + 1)
6
+ (2x + 1)
7
.
Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998
Giải
Ta có : (2x + 1)
4
=
4
i4
4
i0
C(2x)
i

=


; (2x + 1)
5
=
5
i5
5
i0
C(2x)
i

=


(2x + 1)
6
=
6
i6
6
i0
C(2x)
i

=

; (2x + 1)
7
=
7

i7
7
i0
C(2x)
i

=


Vậy số hạng chứa x
5
của (2x + 1)
4
là 0.
số hạng chứa x
5
của (2x + 1)
5
là .
05
5
C(2x)
số hạng chứa x
5
của (2x + 1)
6
là .
15
6
C(2x)

số hạng chứa x
5
của (2x + 1)
7
là .
25
7
C(2x)
Do đó hệ số cần tìm là = 0 + + +
05
5
C2
15
6
C2
25
7
C2
= = 28
12
67
(1 C C )2++
5
×
32 = 896.
Bài 125. Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển
n
5

3
1
x
x

+

⎝⎠


+
+
biết rằng
= 7(n + 3).
n1 n
n4 n3
CC
+
+

Tuyển sinh Đại học khối A 2003
Giải
Ta có : = 7(n + 3) (với n
n1 n
n4 n3
CC
+
+



N)


()
(n 4)! (n 3)!
3! n 1 ! 3!n!
++

+
= 7(n + 3)


(n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1)
66
+++ +++

= 7(n + 3)

⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42

⇔ (n
2

+ 6n + 8) – (n
2
+ 3n + 2) = 42
⇔ 3n = 36

⇔ n = 12.
Ta có :

12
51
12 12
36 i
5i312iii
22
12 12
3
i0 i0
1
x C (x ) .(x ) C x
x
−+
−−
==
⎛⎞
+= =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
1

Yêu cầu bài toán –36 + ⇔
11
i
2
= 8 (với i

N và 0 ≤ i 12) ≤



11i
2
= 44

i = 8 (thỏa điều kiện).
Vậy số hạng chứa x
8


8
88
12
12!x
Cx
8!4!
= =
8
12 11 10 9
x
432
×
××
××
= 495x
8
.
Bài 126. Biết rằng tổng các hệ số của khai triển (x
2
+ 1)

n
bằng 1024. Hãy tìm hệ số a
của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
Đại học Sư phạm Hà Nội 2000
Giải
Ta có : (x
2
+ 1)
n
=
02n 12n1 i 2ni n
nn n
C(x) C(x) C(x) C
−−
n
+
++ ++
Theo giả thiết bài toán, ta được
= 1024
01 i
nnn
C C C C+++++
n
n
2
n
= 1024 = 2
10



n = 10
Để tìm hệ số a đứng trước x
12
ta phải có
2(n – i) = 12

10 – i = 6

i = 4
Vậy a =
4
10
10! 10987
C
4!6! 4 3 2
×
××
==
××
= 210.
Bài 127. Tìm hệ số đứng trước x
4
trong khai triển (1 + x + 3x
2
)
10
.
Giải

Ta có :
(1 + x + 3x
2
)
10
= [1 + x(1 + 3x)]
10

=
01 22 233 3
10 10 10 10
C C x(1 3x) C x (1 3x) C x (1 3x)
+
++ + + + +

44 4 10 10
10 10
C x (1 3x) C (1 3x)+++ +
Hệ số đứng trước x
4
trong khai triển chỉ có trong , ,
đó là :
22 2
10
Cx(13x)+
33 3
10
Cx(1 3x)+
44 4
10

Cx(13x)+
234
10 10 10
10! 10! 10!
C9 C9 C 9. 9
8!2! 3!7! 6!4!
++= + +

= 405 + 1080 + 210 = 1695.
Bài 128. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển [1 + x
2
(1 – x
Tuyển sinh Đại học khối A 2004
Giải
+
+

g chứa x g kh i triển trên chỉ có trong và
Vậy hệ số của x
8
là : + = 238.
Bài 129. Cho
)]
8
.
Ta có :
[1 + x
2

(1 – x)]
8
=
012 24 2
88 8
C Cx(1 x) Cx(1 x)+−+−

36348451056126
888 8
C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x)+−+−+−+−

714 7 816 8
88
C x (1 x) C x (1 x)+−+−
Số hạn
8
tron a
36 3
8
Cx(1 x)−
48 4
8
Cx(1 x)−

đó là
36 2
8
Cx.3x và
4
8

C
8
x
3
8
3C
4
8
C
n
x
x1
3
2
22


⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
=
nn1
x
x1 x1
01
3
22
nn
C2 C2 2


−−

⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
.
+
+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠

+ … +
n1 n
xx
x1
n1 n
33
2
nn
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
C2 2 C2


−−

⎛⎞ ⎛⎞

⎛⎞
+
⎝⎠
.
Biết và số hạng thứ tư bằng 20n.
Tuyển sinh Đại học khối A 2002
(điều kiện n
⎝⎠
rằng
31
nn
C5C= Tìm n và x.
Giải

Ta có :
31
nn
C5C=


N và n ≥ 3)



n(n 1)(n 2)

()()
n! n!
5
!

=

6
−−
= 5n
3! n 3 ! n 1−−
n
2
– 3n ⇔ (n – 1)(n – 2) = 30

– 28 = 0
(loại do n 3)
⇔ n = 7

n = –4 ≥

n = 7
Ta có : a
4
= 20n = 140


3
4
x
x1
3
3
2
7

C2 .2


⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟



x2
7!
2
⎜⎟
⎝⎠
= 140
⎝⎠
3!4!

= 140
2
x – 2
= 2
2


x – 2 = 2

x = 4.
Bài 130. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12

1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
.

Đại học Kinh tế Quốc dân 1997
Giải
Ta có :

12
1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
=
i
012 111 i 12i 12
12 12 12 12
12
11
Cx Cx Cx C
xx


⎛⎞ ⎛⎞
+++ ++
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
1
x

Để số hạng không chứa x ta phải có

i
12 i
1
x
x

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= x
0
⇔ x
12 – 2i
= x
0


12 – 2i = 0

i = 6
Vậy số hạng cần tìm là :

6
12
12! 121110987
C
6!6! 65432
×
××××
==
××××
= 924.
Bài 131. Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) trong khai triển
7
3
4
1
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

Tuyển sinh Đại học khối D 2004
Giải
Ta có :
7
3
4
1
x

x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
=
7
1
1
3
4
xx

⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

=
11 1
11
0716 i 7i i 7
33 3
44
77 7 7
C (x ) C (x ) (x ) C (x ) (x ) C (x )
−−

+++ ++
1

7
4


Để tìm số hạng không chứa x ta phải có

11
(7 i) i
34
−− = 0

4(7 – i ) – 3i = 0

28 – 7i = 0


i = 4
Vậy số hạng không chứa x là C =
4
7
7! 7 6 5
35.
4!3! 3 2
×
×
==
×

Bài 132. Trong khai triển
n

28
3
15
xx x


+

⎝⎠


9
hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết
rằng .
nn1n2
nn n
CC C 7
−−
++ =
Đại học sư phạm Hà Nội 2 năm 2000
Giải
Ta có :
nn1n2
nn n
CC C 7
−−
++ =9


() ()

n! n!
1 79
n1! 2!n2!
++
−−
=



(
)
nn 1
n 78
2

+
=
n
2
+ n – 156 = 0 ⇔

n = –13 n = 12 ∨
Do n
∈ N nên n = 12.
Ta có :
12 12
28 4 28
3
15 3 15
xx x x x

−−
⎛⎞⎛
+=+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝





=
12 i
428
12 12
i1
ii
315
12 12
i0 i0
Cx .x Cx

−−
==
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
16
6i

5

Yêu cầu bài toán 16 –

16
i0
5
=


i = 5
Vậy số hạng cần tìm
5
12
12!
C 792.
5!7!
==

Bài 133. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ:
(
)
124
4
35−

Giải
Ta có :
()
124

11
124
4
24
35 35
⎛⎞
−=−=
⎜⎟
⎝⎠

124 k
11
124
kk
24
124
k0
C3 .(5)

=
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠


=
kk
124
62

kk
24
124
k0
(1)C 3 .5

=



Số hạng thứ k là hữu tỉ

k
62 N
2
k
N
4
kN
0k124

−∈










≤≤


≤≤






0k124
k
N
4






≤≤


=

iN
0k124
k4i



iN
0i31
k4i



≤≤


=



i


{
}
0,1, ,31
Do đó trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ.
Bài 134

. Gọi a
3n -3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa thức của
(x
2

+ 1)
n
.

(x + 2)
n
.
Tìm n để a
3n-3
= 26n.
Tuyển sinh Đại học khối D 2003
Giải
Ta có : ( x
2
+ 1 )
n
. (x + 2)
n
=
n
i2n
n
i0
C(x)
i

=

.
n

knk k
n
k0
Cx .2

=

=
nn
ikk3n2ik
nn
i0 k0
CC2.x


==
∑∑

Do yêu cầu bài toán nên 3n – 3 = 3n – (2i + k)

⇒ 2i + k = 3
Do i, k
∈ N và i, k ∈ [0, n] nên
i0
k3
=


=


hay
i1
k1
=


=


Vậy a
3n – 3
= + = 26n
033
nn
CC2
111
nn
C C 2
8 .

()
n!
3! n 3 !

+ 2n
2
= 26n


4

3
n(n – 1)(n – 2) + 2n
2
= 26n
2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39


2n
2
– 3n – 35 = 0
n = 5 n =
⇔ ∨
7
2
− (loại do n

N)

n = 5.
Bài 135*. Trong khai triển
10
12
x
33
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

a

0
+ a
1
x + … + a
9
x
9
+ a
10
x
10
(a
k


R)
Hãy tìm số hạng a
k
lớn nhất.
Đại học Sư phạm Hà Nội 2001
Giải
Ta có :
10
12
x
33
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

=
10
10
1
(1 2x)
3
+
=
10
kk
10
10
k0
1
C (2x)
3
=


Do đó : a
k
=
kk
10
10
1
C2
3

Ta có : a

k
đạt max


kk
kk
aa
aa
1
1

+








k k k1 k1
10 10
kk k1k1
10 10
C2 C 2
C2 C 2
−−
++










() ()
() ()
kk1
kk1
2 10! 2 .10!
k! 10 k ! (k 1)! 11 k !
210! 2 .10!
k!10 k! (k 1)!9 k!

+



−−−





−+−




21
k11k
12
10 k k 1










+



19 22
k
33
≤≤
Do k
∈ N và k ∈ [0, 10] nên k = 7.Hiển nhiên a
k
tăng khi k

[0, 7], và a
k
giảm

khi k ∈ [7, 10].
Vậy max a
k
= a
7
=
7
7
10
10
2
C
3
.

(còn tiếp)

PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vónh Viễn)

×