Đại số tổ hợp luyện thi Đại học 2010

đại số tổ hợp
Dạng 1. Giải pt, bpt, hệ pt có các công thức:
, ,
k k
n n n
P A C

Bài 1. Giải các pt sau:
a.
1 2 3 2
6 6 9 14
n n n
C C C n n+ + =
d.
2 1
14 14 14
2
k k k
C C C
+ +
+ =
b.
5 6 7
5 2 14
n n n
C C C
=
e.
2 2
. 72 6( 2 )
x x x x

P A A P+ = +
c.
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
= +
g.
1
1 1
. 72
y
x x y x
A P P
+
+
=

Bài 2. Giải:
a. 2
2 2
1
3 30
x x
C A
+

+ <
d.
1
1 1
1
1 1
3 5
m m
n n
m m
n n
C C
C C
+
+ +

+ +

=


=


b.
4 3 2
1 1 2
5
0
4

x x x
C C A

<
e.
1 1
1
: : 6 : 5: 2
y y y
x x x
C C C
+
+
=

c.
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


=

g.
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k
+
+
+


(Tốt nghiệp 03-04)
Dạng 2.Tìm hệ số và hằng số của số hạng trong khai triển nhị thức niutơn.
Cách làm: Dựa vào số hạng tổng quát của khai triển nhị thức niutơn.
Bài 1. Tìm số hạng không chứa x của khai triển:
a.
27
1
x
x

+
ữ

b.
7
3
4
1
x
x

+
ữ

với x > 0 (D 04)
Bài 2. Tìm hệ số của số hạng
a. Chứa
31
x
trong khai triển:
40
2
1
x
x

+
ữ

b. Chứa x
10
trong khai triển:

20
3
2
5
2x
x


ữ

Bài 3.
a. Tìm hệ số của số hạng chứa
25 10
x y
trong khai triển:
( )
15
3
x xy+

b. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển:

5
3
1
n
x
x

+
ữ

biết
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
= +
(A - 03)
Bài 4.
a. Cho khai triển: P(x) = (x+1)
9
+ (x+1)
10
+ + (x+1)
14
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2

+ + a
14
x
14
. Tính a
9
.
c. Cho khai triển: (x+2)(x+1)
10
= x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+ + a
11
. Tính a
5
.
d. Tìm hệ số của số hạng chứa x
12
trong khai triển thành đa thức của:
(2x
2
- 3x + 1 )(x - 2)

15
e. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của:x(1-2x)
5
+x
2
(1+3x)
10
(D-07).
Bài 5.
a. Cho khai triển:
1
3
2
(2 2 )
x
x
n


+
biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ
t bằng 20n. Tìm x, n. (A-02)
b.Tìm số hạng không chứa căn trong khai triển:

12
5
7
( 2 3)+

c. Trong khai triển (1+2x)
12
. Tìm số hạng có hệ số lớn nhất.
Bài 6.
a. Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển thành đa thức:
8
2
1 (1 )x x

+

(A-04)
b. Tìm số hạng chứa x
6
trong khai triển thành đa thức: (
2 3
1 x x+ +
)
7
c. Tìm hệ số của
5 3 6 6
x y z t
trong khai triển thành đa thức: (x+y+z+t)

20
.
d. Tìm hệ số của x
3n-3
trong khai triển (x
2
+1)
n
. (x+2)
n
. (D-03)
e. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển: (
2 3
1 x x x+ + +
)
10
.
Dạng 3. Bài toán sử dụng khái niệm
Bài 1. Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 21 nữ, 29 nam. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra:
a. 2 hs làm cán bộ lớp
b. 2 hs trong đó: 1 làm lớp trởng, 1 làm bí th
c. 6 hs trong đó: 1 làm LP, 1 làm PBT, 4 làm cán sự lớp
d. 10 hs đi thi đấu TDTT trong đó có 6 nam và 4 nữ
e. 8 hs đi dự trại hè trong đó có ít nhất 1 nữ
g. 7 hs đi múa trong đó có ít nhất 2 nam
h. 5 hs đi kể truyện trong đó có nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ
Bài 2. Một hộp bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng, 5 viên bi xanh(các bi có đánh

số thứ tự từ 1 đến hết). Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:
a. 3 vb cùng số và khác màu
b. 3 vb khác màu và khác số
c. 3 vb cùng màu
d. 3 vb không đủ cả 3 màu
e. 6 vb trong đó có ít nhất 2 vb đỏ
f. 6 vb trong đó số bi đỏ = số bi vàng
Bài 3. Trong 1 môn học gv có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi TB, 15 câu
hỏi dễ. Hỏi từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu hỏi
khác nhau sao cho mỗi đề có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2 (B-04).
Bài 4. Một đội thanh niên xung kích của 1 trờng THPT có 12 hs gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B, 3
hs lớp C. Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá 2 trong 3 lớp trên.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy (D- 06).
Bài 5. Một đội tuyển hs giỏi của 1 trờng có 18 em gồm 7 hs khối 12, 6 hs khối 11, 5 hs khối
10. Hỏi có bao nhiêu cách cử ra 8 hs trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1
em đợc chọn.
Bài 6. Cho 2 đờng thẳng song song là d
1
và d
2
. Trên d
1
lấy 17 điểm phân biệt, trên d
2
lâý 20
điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn ở d
1
, d
2
.

Bài 7. a Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th cũng khác nhau. Ngời ta lấy 3 tem th và 3 bì th rồi
dán 3 tem th lên 3 bì th. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh vậy biết mỗi tem th chỉ dán lên 1
bì th.
b.Một đội TNTN(thanh niên tình nguyện) có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có
4 nam và 1 nữ.
Bài 8. Cho đa giác đều A
1
A
2
A
2n
(n

2) nội tiếp đờng tròn tâm 0. Biết rằng số tam giác có các
đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1,
A
2
,,A
2n
gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n
điểm A
1,
A
2
,,A
2n
. Tìm n.

Bài 9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên:
a.Có 4 chữ số. Hỏi trong đó có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chia hết
cho 5.
b. Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau
c. Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs hàng chục là cs chẵn
d. Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs 1 xuất hiện 1 lần
e. Có 4 chữ số trong đó cs 5 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại khác nhau và khác 5
g. Có 3 chữ số khác nhau và

345.
Bài 10. Từ các chữ số 0,1,2,3,,8 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên
a. có 3 cs và chia hết cho 5
b. có 4 cs đôi một khác nhau
c. có 4 cs đôi một khác nhau và chia hết cho 2
d. có 5 cs đôi một khác nhau và cs 2 xuất hiện 1 lần
e. có 5 cs và cs 3 xuất hiện 2 lần, các cs còn lại khác nhau và khác 3
Bài 11.
a. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 cs sao cho cs đứng sau lớn hơn cs đứng ngay trớc
nó.
b. Từ các cs số 1,3,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs trong đó có cả 3 cs
1,3,5.
c. Từ các cs 0,1,2,3,4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 cs trong đó cs 1 xuất
hiện 2 lần các cs số còn lại khác nhau và khác 1 xuất hiện 1 lần.
d. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs mà 2 cs đứng cạnh nhau là khác nhau.
e. Từ các cs 1,2,3,,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 cs mà cs 1 và cs 2
đứng cạnh nhau các cs còn lại khác nhau và khác 1,2.

Dạng 3. Tính tổng
+ Tính tổng dựa vào một số khai triển niutơn thờng gặp nh: (1+x)
n

, (1-x)
n
.
+ Tính tổng bằng phơng pháp đạo hàm và tích phân:
- Để tính các tổng có dạng:

=
n
k
k
n
kC
0
hoặc

=

n
k
k
n
Ckk
0
)1(
ta lấy đạo hàm 1 hoặc
2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)
n
- Để tính các tổng có dạng

=

+
n
k
k
n
k
C
0
1
hoặc

=
++
n
k
k
n
kk
C
0
)2)(1(
ta lấy tích phân 1
hoặc 2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)
n
và chọn cận thích hợp.
Bài 1. Tính các tổng sau:

2000
2000
20003

2000
2
2000
1
2000
0
20001
)1(... CCCCCS
+++=

2000
2000
20002
2000
21
2000
0
20002
3...33 CCCCS
++++=

2000
2000
20004
2000
42
2000
20
20003
3...33 CCCCS

++++=

2000
2000
10004
2000
2
2000
0
20004
2...42 CCCCS
++++=

50
100
2
100
1
100
0
1005
... CCCCS
++++=

Bài 2. Tính các tổng sau:

n
nnnn
nCCCCS ++++= ...32
321

1

n
nnnn
nCCCCS
++++=
...32
210
2

n
nnn
CnnCCS )1(...2.31.2
32
3
+++=

Bài 3. Tính các tổng sau:

n
nnn
C
n
CCS
1
1
...
3
1
2

1
1
21
1
+
++++=


n
n
n
nnn
C
n
CCCS
1
2
...
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2
0
2

+
++++=
+

n
n
n
nnn
C
n
CCCS
1
12
...
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
3
+

++

+

+=
+
(B - 03)
Bài 4.
a.Tìm n nguyên dơng sao cho:

2432...42
210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC
(D - 02)
b.Biết tổng các hệ số của khai triển
n
x )1(
2
+
bằng 1024. Tìm hệ số a của số hạng
a.x
12
trong khai triển.
c. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức (2 3x)
2n
với n

N
*
và

1024...
12
12
5
12
3
12
1
12
=++++
+
++++
n
nnnn
CCCC

d.Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển
n
x
x
)
1
(

7
4
+
biết

12...
20
12
2
12
1
12
=+++
+++
n
nnn
CCC
(A - 06)
e. Tìm n nguyên dơng sao cho:

20052).12(...2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1

12
=++++
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC
(A - 05)
f. Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức niutơn (2 + x)
n
biết:

2048)1(...3333
3322110
=+++

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
CCCCC
(B-07)
g. Chứng minh rằng:
12
12
2
1
...
6
1
4
1
2
1
2
12
2
5
2
3
2
1
2
+

=++++

n
C

n
CCC
n
n
nnnn
(A - 07)
Một số bài toán khác
Bài 1. Cm các đẳng thức sau:
a. 1+P
1
+ 2P
2
+ + (n - 1)P
n-1
= P
n

b.
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCC
3

321
33
+

=+++
c.
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
4
4321
464
+

=++++
d.
3
3
2
2

321
452
+
+
+
+
+++
+=+++
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC

Bài 2. Tính tổng:

1
1
1
3
2
1

2
1
1
1
0
)1(
...
321
+
+
++++=
n
n
nnnn
A
Cn
A
C
A
C
A
C
S
biết :
211
210
=++
nnn
CCC