206 đề hsg toán 7 trường phương trung 2018 2019

TRƯỜNG THCS PHƯƠNG TRUNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Năm học 2018-2019
Câu 1. (3 điểm) Tìm số hữu tỉ x, biết:
5

a)  x  1  243
x2 x2 x2 x2 x2




11
12
13
14
15
c) x  2 x 0
( x 0)

b)

Câu 2. (3 điểm)
5 y 1
 
x
,
y
x
4 8
a) Tìm số nguyên

biết:
b) Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên, biết:

A

x 1
x 3

 x 0 

Câu 3. (5 điểm)
a  1 b 3 c  5


2
4
6 và 5a  3b  4c 46. xác định a, b, c
1) Cho
2a 2  3ab  5b 2 2c 2  3cd  5d 2
a c

 .
2b 2  3ab
2d 2  3cd , với
2) Cho tỉ lệ thức b d Chứng minh
điều kiện mẫu thức xác định
Câu 4. (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  2001  x  1
Câu 5. (7 điểm) Cho tam giác cân ABC , AB  AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên
tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BD BE. Các đường thẳng vng góc với

BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N . Chứng minh:
a) DM ED
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN .


c) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln luôn đi qua một điểm cố định khi
D thay đổi trên BC.


ĐÁP ÁN
Câu 1.
5

5

a)  x  1   3  x  1  3  x  2
1 1 1 1 1
b)  x  2     

 0  x  2 0  x  2
11
12
13
14
15


 x 0
 x 0
c) x  2 x 0  x x  2 0  


 x 4
 x  2 0
Câu 2.
5 y 1 5 2y 1 5 1 2y
  , 
 , 
8
a) x 4 8 x 8 8 x





x  1  2 y  40  1  2 y là ước lẻ của 40. Ước lẻ của 40 là 1; 5
  x; y    40;0  ;   40;1 ;  8;  2  ;  8;3  
A
b)

x 1
4
1 
x 3
x 3

4
A nguyên khi x  3 nguyên  x  3 U (4)   4;  2;  1;1;2;4
Các giá trị nguyên của x là: 1;4;16;25;49
Câu 3.
a  1 b  3 c  5 5  a  1  3  b  3  4  c  5  5a  3b  4c  5  9  20

1)






 2
2
4
6
10
 12
 24
10  12  24
 a  3; b  11; c  7
2) Chứng minh:
a c
 k  a kb; c kd
b
d
Đặt
. Thay vào các biểu thức:

2a 2  3ab  5b 2 2c 2  3cd  5d 2 k 2  3k  5 k 2  3k  5



0  dfcm
2b 2  3ab

2d 2  3cd
2  3k
2  3k
Câu 4.
A  x  2001  x  1  x  2001  1  x  x  2001  1  x 2000
Vậy biểu thức đạt GTNN là 2000  1 x 2001
Câu 5.


a) MDB NEC  DN EN
b) MDI NEI  IM IN  BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC, ta có:


AHB AHC  HAB
HAC
Gọi O là giao AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I thì


OAB OAC (c.g .c )  OBA
OCA
(1)


OIM OIN  OM ON  OBN OCN (c.c.c )  OBM
OCM
(2)
0



Từ (1) và (2) suy ra OCA OCN 90  OC  AC
Vậy điểm O cố định