047 đề HSG toán 7 huyện kim thành 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KIM THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn : Toán lớp 7
Năm học 2017-2018

Câu 1. (4,0 điểm)
3 3 3 1 1 1
 
 
4
11
13
2
3 4
a) Tính A 

5 5 5 5 5 5
 
 
4 11 13 4 6 8
b) Chứng minh rằng với n nguyên dương thì 3n2  2n2  3n  2n chia hết cho 10
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x  2 y  3xy  3
1 1 1
1
1
2
3
2015 2016

b) Cho A     ..... 
;B 


 .... 

.
2 3 4
2017
2016 2015 2014
2
1
A
Tính
B
Câu 3. (3,0 điểm)
2016
a) Cho x  2  y  1   x  y  z  2   0. Tính giá trị của A  5x 2 y 2016 z 2017
a c
b) Cho các số dương a, b, c, d ; c  d và  .
b d

a
CMR:
c

2016

 b2016 

a

 c

2016

 d 2016

2017

2017

2017

2017

 b2017 

2016

 d 2017 

2016

Câu 4. (3,0 điểm)
1
1
1
1
1





a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b 40
a
b
c
d
Tính giá trị của S 



bcd cd a d ab abc

a) Cho a  b  c  d  2000 và

b) Xác định tổng các hệ số của đa thức f  x    5  6 x  x 2 

2016

. 5  6 x  x 2 

2017

Câu 5. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC
các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
a) Chứng minh rằng ADC  ABE.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều

c) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE


ĐÁP ÁN
Câu 1.
3 3 3
 
4
11 13 
a) A 
5 5 5
 
4 11 13
A

1 1 1 3. 1  1  1 
1 1 1
 
 


2 3 4   4 11 13   2 3 4
5 5 5
1 1 1  5 1 1 1
 
5.   
.   
4 6 8
 4 11 13  2  2 3 4 

3 2
 1
5 5

b) Ta có:

3n 2  2n 2  3n  2n
  3n2  3n    2n2  2n 
 3n.10  2n1.10
  3n  2n1 .10 10 . Vậy 3n2  2n2  3n  2n 10

Câu 2.
a) Ta có: x  2 y  3xy  3
 3x  6 y  9 xy  9   3x  9 xy    6 y  2   7
 3x 1  3 y   2 1  3 y   7   3x  2 1  3 y   7

Vì x, y  nên 3x  2;1  3 y là các số nguyên
Mà  3x  2 .1  3 y   7  3x  2;1  3 y là ước của 7.
Ta lại có U (7)  1; 7  3x  2;1  3 y 1; 7
Bảng giá trị:
3x  2
1  3y
x
y

-7
-1
-5/3
2/3
ktm

Vậy  x; y  1; 2 ; 3;0 

-1
-7
1/3
8/3
ktm

1
7
1
-2
tm

7
1
3
0
tm


1
2
3
2015 2016


 ..... 

2016 2015 2014

2
1
 1
  2
  3

 2015 
B
 1  
 1  
 1  .....  
 1  1
 2016   2015   2014 
 2

2017 2017 2017
2017 2017
1 
1 1 1
B


 ..... 

 2017.    .... 

2016 2015 2014
2
2017
2017 

2 3 4
A
1
Do đó 
B 2017
b) B 

Câu 3.
a) Vì x  2  0

x; y  1  0y;  x  y  z  2 

Do đó x  2  y  1   x  y  z  2 

2016

2016

 0x, y, z

 0 khi

x2 0
x  2  0
x  2



  y 1  0
 y 1

 y 1  0

x  y  z  2  0 z  1
2016

 x  y  z  2   0 
Do đó A  5.22.12016.12017  20
Vậy A  20.
a c
a b
b) Vì a, b, c, d là các số dương và c  d , mà  nên 
b d
c d
 a 2016 
a 2016 b 2016 a 2016  b 2016
 2016  2016  2016
  2016 
c
d
c  d 2016
c


2017

 a 2016  b 2016 
  2016
2016 
c d


2017

2016

 a 2017  b 2017 
  2017
2017 
c d


2016

2016
2016
a 2016.2017  a  b 
 2016.2017 
(1)
2016
2016 2017
c
c  d 
2017

 a 2017 
a 2017 b 2017 a 2017  b 2017
 2017  2017  2017

 2017 
c

d
c  d 2017
c



2017.2016

a
c 2017.2016

a

c

2017

2017

 b 2017 
d

2016



2017 2016

(2)

a
Từ (1) và (2) 
c
a  b 
Vậy
c  d 

2016

2016

2016

2016 2017

2016

2017 2017

 b 2016 

a

d 
c
a  b 

c  d 
2017

2017

2016 2017

2017

2017

2017 2016

2017

2017 2016

 b 2017 
d

2016



2017 2016

.

Câu 4.
a) Ta có:
a
b

c
d
S



bcd cd a d a b a bc
abcd a bcd a bc d a bc d
S 4



bcd
cd a
d ab
abc
1
Do đó S  4  2000.  46
40
b) Vì tổng các hệ số của đa thức f  x  bằng f 1 . Mà đa thức
f  x   5  6 x  x2 

Có f 1   5  6.1  12 

2016

2016

. 5  6 x  x 2 

. 5  6.1  12 

2016

2017

0

Vậy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0.


Câu 5.

E

A
D
J

N
K

I
M

B
C
a) Ta có: AD  AB; DAC  BDE và AC  AE
Suy ra ADC  ABE (c.g.c)
b) Từ ADC  ABE  ABE  ADC mà BKC  AKD (đối đỉnh)

Khi đó xét BIK và DAK  BIK  DAK  600 (dfcm)
Từ ADC  ABE  CM  EN và ACM  AEN

 ACM  AEN (c.g.c)  AM  AN , CAM  EAN

MAN  CAE  600. Do đó AMN đều.
c) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ  IB  BIJ đều.
 BJ  BI và JBI  DBA  600

Suy ra IBA  JBD, kết hợp BA  BD

 IBA  JBD(c.g.c)  AIB  DJB  1200 mà BID  600  DIA  600
Từ đó suy ra IA là phân giác của DIE