ÁNH XẠ (I J )PHỦDÃY.

ĐẠIH Ọ C Đ À N Ẵ N G
TRƯỜNGĐ Ạ I H Ọ C S Ư P H Ạ M
——————————–

TRƯƠNGPHƯỚCHẢI

ÁNHXẠ(I,J)-PHỦ-DÃY.

KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP

ĐàNẵng-2021


TRƯƠNGPHƯỚCHẢI

ÁNHXẠ(I,J)-PHỦ-DÃY.

KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP

Giảngviênhướngdẫn:
TS.LươngQuốcTuyển

ĐàNẵng-2021


LỜICẢMƠN

Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn với
thầygiáo TS. Lương Quốc Tuyển, người đã dìu dắt em từ những kiến thức
cơbản trên giảng đường đến người hướng dẫn khoa học trong khóa luận
này.Trong q trình nghiên cứu, em đã gặp khơng ít những khó khăn và

thiếusótv ề m ặ t k i ế n t h ứ c v à k ĩ n ă n g n h ư n g k h ô n g q u ả n đ i ề u đ ó , t h ầ y đ ã
h ỗ trợ và hướng dẫn tận tìnhvàcặn kẽ. Thầy là tấmgương mẫu mực vềhọctập, nghiên cứu và là
điểm tựa vững chắc, là động lực để em có thể thựchiện tốt khơng chỉ
trong phạm vi khóa luận mà cịn là cả chặng đường họctậpsaunày.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy cơ khoa TốnĐHSP Đà Nẵng. Những kiến thức mà em được học từ quý thầy cơ
trêngiảng đường một cách thầm lặng giúp em có được nền tảng vững
chắc đểcóthểhồnthànhkhóaluậnnày.
Emxinchânthànhcảmơn!

TrươngPhướcHải


MỤCLỤC
MỞĐẦU.....................................................................................1
CHƯƠNG1. Cơs ở l ý t h u y ế t .........................................................4
1.1. Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp..............4
1.2. Tậphợpđóngvàbaođóngcủamộttậphợp...................................7
1.3. Mộtsốtiênđềtách......................................................................11
1.4. Tậphợpcompactvàánhxạliêntục............................................12
1.5. Khơnggiancon................................................................................13
CHƯƠNG2.Ánhxạ(I,J)-phủ-dãy...............................................15
2.1. TínhchấtcủadãyI-hộitụ........................................................15
2.2. Ánhxạ(I,J)-phủ-dãy...................................................................25
KẾTLUẬN...............................................................................36
TÀILIỆUTHAMKHẢO......................................................37


1

MỞĐẦU

1. Lýdo ch ọn đề tà i
Khái niệm giới hạn của dãy số hay sự hội tụ của dãy số vốn đã có
từrấtlâuvàlànềntảngcơbản,vơcùngquantrọngđốivớigiảitíchcổđiểnnói chung cũng
nhưgiảitíchhiệnđạinóiriêng.Trảiquaqtrìnhpháttriểnvớirấtnhiềucơngtrìnhnghiêncứu,sựhộitụcủadãy
sốđãđượcmở rộng thành khái niệm mới là hội tụ thống kê do H. Fast đưa
ra vàonăm 1951 (xem[3]).Trong thời gian gần đây, người ta đã quan tâm
nhiềuđếnsựmởrộngkháiniệmhộitụthốngkêtrênmộtkhơnggiantopotheonhiều
khía cạnh khác nhau. Một trong những hướng mở rộng mới
đượccáctácgiảtrênthếgiớiquantâmnhiềulàkháiniệmIhộitụtrênkhơnggiantopovớiIlàmộtidealtrêntậpsốtựnhiênN.
Cùngvớisựnghiêncứucáckháiniệmvềsựhộitụ,trong50nămtrởlạiđây, lý thuyết về
ảnhcủacáckhơnggianmetricquấnhxạcũnglàmảnhđất “màu mỡ” cho những nhà khoa
học nghiên cứu với rất nhiều nhữngbài báo được giới thiệu. Một trong
những cơng trình có thể được kể đến làcủaSiwiecgiớithiệuvàonăm1971(xem[5]),tác
giả
đã
đưa
ra
khái
niệmvềánhxạphủdãyvàthuđược nhiềukếtquả thúvị.Hướngnghiên cứuvề đặc trưng ảnh của
khônggianmetricquacácánhxạphủ-dãyvàmốiquan hệ của ánh xạ phủ-dãy với các ánh
xạ khác đã trở thành một hướngnghiên cứu điển hình trong sự phát triển
của lý thuyếtk-mạng, góp phầnlàm phong phú cho sự tiến bộ và phát triển
của lĩnh vực nghiên cứu Lýthuyếtvềtopođạicương.
Năm 2019, bằng cách khái quái quát hóa khái niệm ánh xạ phủdãytrên cơ sở nhờ vào khái niệm của dãyI-hội tụ, các tác giả S.K. Pal,
N.Adhikary,U.Samantađãgiớithiệukháiniệmánhxạ(I,J)-phủ-dãy,nhờ


đócáctácgiảđãthuđượcmộtsốtínhchấtquantrọngcủakháiniệmnày.
Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn các tính chất của dãyI-hội tụ,

mốiquanhệcủadãyIhộitụvớihộitụthơngthườngvàtínhchấtcủấnhxạ(I,J)-phủdãycũngnhưánhxạ(I,J)-1-phủdãy,dướisựhướngdẫncủathầygiáoTS.LươngQuốcTuyển,chúngtơiquyếtđịnh
chọnđềtài:“Ánhxạ(I,J)-phủ-dãy”làmđềtàikhóaluậntốtnghiệpchomình.
2. Mụcđ í c h n g h i ê n c f í u
Trong đề tài này, chúng tơi chứngminh chi tiết một số kết quả
liênquanđếndãyIhộitụcủacáctácgiảđitrướcvànghiêncứumộtsốtínhchấtcủấnhxạ(I,J)phủ-dãyvàánhxạ(I,J)-1-phủ-dãy.
3. Đốit ư ợ n g n g h i ê n c f í u
Mộtsốtínhchấtcủaideal,dãyI-hộitụ,ánhxạ(I,J)-phủdãyvàánhxạ(I,J)-1-phủ-dãy.
4. Phạmv i n g h i ê n c f í u
Nghiên cứu tính chất của dãyI-hội tụ, mối quan hệ giữa dãyI-hội
tụvới hội tụ thông thường trên không gian topo, mối quan hệ giữa ánh xạ(I,J)-phủdãyvàánhxạ(I,J)-1-phủ-dãy.
5. Phươngp h á p n g h i ê n c f í u
• Thamkhảotàiliệu,hệthốnglạimộtsốkiếnthứcvềtopođạicương.
• Thuthậpcácsách,cácbàibáokhoahọccủacáctácgiảđitrướcliênquanđếnc ác tí
nhchấtc ủ a dãyI-hộitụ,ánhxạ( I,J)-phủ-dãyvàánhxạ(I,J)-1-phủdãy.
• Đọckỹvàchứngminhchitiếtcáckếtquảđãtìmkiếm.
• Phântích,đánhgiá,tổnghợpvàtraođổivớithầyhướngdẫnkếtquả


đangnghiêncứuđểhồnchỉnhđềtàicủamìnhcủamình.

4.Cấutrúccủađềtài
Nộid un gđ ề tàiđư ợ ctrìnhb ày trong h aic hươn g. Ng o ài ra , đ ềtà icó
Lờicảmơn,Mụclục,phầnMởđầu,phầnKếtluậnvàTàiliệuthamkhảo.
Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương
nhằmphụcvụchoviệcnghiêncứuChương2.
Chương2,trìnhbàyvềánhxạ(I,J)phủdãybaogồm2mục:Mục2.1,trìnhbàyvềmộtsốtínhchấtcủadãyIhộitụ;Mục2.2,trìnhbàyvềánhxạ(I,J)-phủ-dãy.


CHƯƠNG1

CƠSỞLÝTHUYẾT

Chươngnàydànhchoviệctrìnhbàymộtsốkiếnthứcvềtopođạicương.Cáckháiniệmvà
các
tính
chất
trong
chương
này
được
trình
bày
nhằmphụcvụchoviệcchứngminhcáckếtquảchínhcủachươngsau.
1.1. Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp
Địnhn g h ĩ a 1 . 1 . 1 ( [ 2 ] ) .G i ả s ử τ l à h ọ n à o đ ó g ồ m c á c t ậ p c o
n c ủ a tậphợpXthỏamãncácđiềukiệnsau.
(a) ∅,X∈τ;
(b) NếuU ,V ∈ τ,t h ì U∩V∈ τ;
S
(c) Nếu{Uα}α∈Λ⊂τ,thì U α∈τ.
α∈Λ

Khiđó,
(1) τđ ư ợ c gọilàmộttopot r ê n X.
(2) Cặp( X,τ)đ ư ợ c g ọ i l à m ộ t k h ô n g g i a n t o p o .
(3) Mỗiphầntửcủaτđược gọilàmộttậphợpmở.
(4) MỗiphầntửcủaXđượcgọilàmộtđiểmc ủ a nó.
Nhậnx é t 1 . 1 . 2 ( [ 2 ] ) .Đ ố i v ớ i k h ô n g g i a n t o p o X,c á c k h ẳ n g đ ị n h
s a u làđúng.
(1) ∅,Xlàcáctậphợpmở;

(2) Giaohữuhạntậphợpmởlàmộttậphợpmở;
(3) Hợptùyýcáctậphợpmởlàmộttậphợpmở.
Víd ụ 1 . 1 . 3 .
( 1 ) G i ả sử X l à mộ ttậ p h ợ p t ùy ý , T = {∅,X}.K hi đó , Tlà
một
topo
trênXvà
nó
được
gọi
làtopo
thơtrênX,
(X,T)đượcgọilàkhơnggiantopothơ.
(2) Giảs ử X l à m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý , T = P (X).K h i đ ó , T làm ộ t t o p o trên
XvànóđượcgọilàtoporờirạctrênX.
(3) GiảsửX=R.Kýhiệu
τ=

[∈

}

I(ai,bi):a i,bi∈R,ai≤bi .

i

Khi đó,τlà một topo trênXvà nó làtopo tự nhiênhaytopo
thơngthườngt r ê n R.

Định nghĩa 1.1.4([2]).Giả sửAlà một tập con khác rỗng của khônggian
topo(X, τ τ). Khi đó, tập conUcủaXđược gọi là mộtlân cận
củaAnếutồntạiV∈ τs a o cho
A⊂V⊂ U.
Ngoàir a , n ế u U ∈ τ ,t h ì t a n ó i r ằ n g U l à l â n c ậ n m ở c ủ a A .Đ ặ c b i ệ t ,
nếuA={x},thìtanóirằngUl à lâncậncủax.
Nhậnx é t 1 . 1 . 5 ( [ 2 ] ) .Lânc ậ n c ủ a m ộ t đ i ể m k h ô n g n h ấ t t h i ế t l à
m ộ t tậphợpmở,nhưngmỗitậphợpmởlàlâncậncủamọiđiểmthuộcnó.
Chứngm i n h . T r ê n t ậ p h ợ p c á c s ố t h ự c R vớ i t o p o t h ô n g t h ư ờ n g τ ,g i ả s ử
U= [−1;1]vàV= (−1;1).Khiđó, V∈ τv à Ul à m ột lâncận của điểm
x=0vìx∈V⊂ Unhưng U
∈/τ .Dođó,lânc ậnc ủ a mộtđiểmkhơng
nhấtthiếtlàmộttậpmở.
Ngượcl ại , g i ả sử U l à t ậ p m ở v à x ∈U.Khi đ ó, nế u t a đ ặt V = Ut h ì r õ ràngV∈
τvàx∈V⊂ U.Nhưvậy,Ulàmộtlâncậncủax.


Bổđ ề 1 . 1 . 6 ( [ 2 ] ) .Đốiv ớ i k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ),c á c k h ẳ n g đ ị n h s a u l à
tươngđương.
(1) Ul à tậphợpmở;
(2) Ul à l â n c ậ n c ủ a m ọ i đ i ể m t h u ộ c n ó ;
(3) Vớimọi x ∈U,t ồnt ạil ân c ận V xcủax saoch o x ∈Vx⊂U.
Chứngminh.
(1)=⇒(2)GiảsửUlàtậpmởvàx∈U.TađặtV=U,thìrõràngV∈ τv à x∈V
⊂ U.Nhưvậy,Ul à mộtlâncậncủax.
(2)=⇒(3)GiảsửUl à lâncậncủamọix∈U.Khiđó,vớimọix∈U,nếutađ
ặtV x=U,thìV xlàlâncậncủaxvà
x∈Vx=U⊂U.
Dođó,(3)thỏamãn.
(3)= ⇒( 1 ) G i ả s ử v ó i m ọ i x ∈ U ,t ồ n t ạ i l â n c ậ n V xc ủ a x s a o c

h o x∈V x⊂ U.K h i d ó , v ì V xl à l â n c ậ n c ủ a x nênt ồ n t ạ i W x∈ τs a o c h o
x∈Wx⊂Vx⊂U.Dođó,
U=

S
x∈U

S

kéotheoU=

{x}⊂

S

Wx⊂U,

x∈
U

Vx.BởivìW x∈τv ớ i mọix ∈Un ê n t asuy ra U∈ τ,

x∈U

nghĩalàUmở.

Định nghĩa 1.1.7.[[2]]Giả sử(X, ττ)là mộtkhơng gian topo vàB ⊂τ.Ta
nóirằngBlàcơ sởcủa(X, τ τ)(hay làcơ sởcủaτ) nếu mỗi phần
tửcủaτl à hợpnàođócácphầntửcủaB.
Nhậnx é t 1 . 1 . 8 ( [ 2 ] ) .G i ả s ử ( X,τ)l à m ộ t k h ô n g g i a n t o p o v à m ộ t h ọ

B⊂τ.Khiđó,


(1) NếuB l à c ơ s ở c ủ a τ ,t h ì m ỗ i p h ầ n t ử c ủ a B l à m ộ t t ậ p h ợ p m ở
trongX,nhưngmỗitậphợpmởtrongXcóthểkhơngthuộcB.
(2) Blà c ơ s ở c ủ a k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ)k h i v à c h ỉ k h i v ớ i m ọ i U ∈ τ
vàvớimọix∈U,tồntạiV∈ Bsaocho
x∈V⊂ U.
Chứngminh.
( 1 ) BởivìB⊂τn ê n mọiphầntửcủaBđềumởtrongX.Tiếpt h e o , đ ể c
h ỉ r a m ỗ i t ậ p m ở t r o n g X c ó t h ể k h ô n g t h u ộ c B ,t a x é t phảnvídụsauđ
ây:trêntâphợpcácsốthựcRvớitopothơngthườngτ,giảs ử B ={(ai,bi):
a i,bi∈R,ai≤b i,i∈I}vàU = ( 1; 2)∪(3;4).K h i
đó,rõràngBlàmộtcơsởcủa(R,τ)vàU∈τnhưngU∈/B.
(2)♣Điềuk i ệ n c ầ n .GiảsửhọBlàmộtcơsởcủaτ,U∈ τv à x∈U.
Khiđó,theo Định nghĩa1.1.7 ,U= S Bi: B i
.Bởivìx
Unên
∈B}
i∈I{
tồnt ạ i i 0∈ I s a o c h o x ∈ B i0⊂ U .N ế u đ ặ t V =∈B i0t h ì V ∈ B v à
x∈V⊂U.
♣Điềuk i ệ n đ ủ .GiảsửU∈ τv à Blàhọgồmcáctậpconmởtrong X
thỏam ã n : v ớ i m ỗ i x ∈U,t ồ n t ạ i V x∈ Bsa o c h o x ∈V x⊂ U.K h i đ ó ,
S
U=
Vx.Đ i ề u n à y c h ứ n g t ỏ r ằ n g B làm ộ t c ơ s ở c ủ a τ .
x∈U

1.2. Tậph ợ p đ ó n g v à b a o đ ó n g c ủ a m ộ t t ậ p h ợ p

Địnhnghĩa1.2.1([2]).T ậ p conXcủamộtkhơnggiantopo(X,τ)đượcgọi
làtậphợpđóngt r o n g XnếuX\A∈τ.
Địnhl í 1 . 2 . 2 ( [ 2 ] ) .Đốiv ớ i k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ),c á c k h ẳ n g đ ị n
h s a u làđúng.
(1) ∅,Xlàcáctậphợpđóng;


(2) Hợphữuhạntậphợpđónglà mộttậphợpđóng;
(3) Giaot ù y ý c á c t ậ p h ợ p đ ó n g l à m ộ t t ậ p h ợ p đ ó n g .
Chứngmi nh. ( 1 ) BởivìX\∅=X∈τv à X\
X=∅∈τn ê n ∅vàXl à cáctậpđóngtrongX.
(2) Giảsử F 1,...,Fnlàc ác t ậ p đóng.K hi đó , X \F1,...,X\Fnlà các
tậpmở.TheoNhậnxét1.1.2, T (X Fi) τ.Mặtkhác,vì
\
n
i=1

n

\

[
(X\Fi )=X\

Sn

i=1

n

Fi
i=1

F ∈τ.Đ i ề u n à y c h ứ n g t ỏ r ằ n S Filàmộttậpđóng.
nênX\
i= i
i=
g
1
(3) Giảsử{F
α:α∈Λ}làmộthọgồmcáctậpconđóng.Khiđó,với
1
mỗiα S∈
ΛthìX
Fαlàtậpmở.TheoNhậnxét1.1.2thì
\
X
α∈Λ
\Fα∈ τ.
Lạivì
[X
\
\Fα=X\ F α
n

α∈Λ

α∈Λ

T

nênX T
\ Fα∈τ.Điềunàychứngtỏrằng Fαlàtậpđóng.
α∈Λ
α∈Λ
Nhậnxét1.2.3([2]).H ợ p tùcáctậphợpđóngtrongkhơnggiantopocóth
ểkhơngđóng.Dođó,giaotùcáctậphợpmởcóthểkhơngmở.
Chứngminh.G i ả sửRlàtậphợpsốthựcvớitopoτt h ô ng thườngvà
n

1
A= 0,1− vớim ọ i n ∈N∗.
n

Khiđó,
• AnlàtậphợpđóngtrongRvớimọin∈N∗.
•

n∈S
N∗

An=[0,1).


Thậtvậy,giảsửx

S

∈

n∈N∗

An.Suyr atồntạin∈N∗s a o cho

x∈A =0,1−
n

1⊂

[0,1).

n

Ngượclại,giảsửx∈[0,1),kéotheo
0≤x<1.
Dođó,tồntạin∈N∗s a o cho
1
0≤x≤1−

n.

Điềunàysuyrarằng
1
x∈0,1− =A
n

n

⊂n

∈SN

An.

∗

• [0,1)khơnglàtậphợpđóngtrong(R,τ).
Từchứngminhtrêntasuyrarằnghợptùcáctậphợpđóngcóthểkhơngđóng.Do
đó,giaotùcáctậphợpmởcóthểkhơngmở.
Định nghĩa 1.2.4([2]).Giả sửAlà một tập con của khơng gian topo(X,
τ). Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trongXchứaAđược
gọilàbaođóngc ủ a AvàkýhiệulàA.
Địnhlí1 . 2 . 5 ( [ 2 ] ) .G i ả s ử A ,B l à c á c t ậ p c o n c ủ a k h ô n g g i a n
topo
(X,τ).K h i đ ó , c á c k h ẳ n g đ ị n h s a u l à đ ú n g .
(1) AlntồntạivàA⊂A;
(2) Alàt ậ p h ợ p đ ó n g n h ỏ nh ất c h ứ a A ;
(3) AđóngkhivàchỉkhiA=A;
(4) NếuA⊂B,thìA⊂B;


(5) A∪B=A∪B;
(6) A∩B⊂A∩B,và đ ẳn gt hứ ck hô ng xả y ra.
Chứngminh.
(1)TừĐịnhnghĩa1.2.4vàĐịnhlí1.2.2tasuyraAlntồntạivàAlàmộttập
conđóngchứaA.
(2) Giả sửGlà tập đóng nhỏ nhất chứaA. Khi đó, vìAlà tập
đóngchứaA nênA ⊂G.N h ư v ậ y , G =A ,n g h ĩ a l à A làt ậ p đ ó n g n h ỏ n h
ấ t chứaA.
(3) Giả sửA⊂Xlà tập hợp đóng. Khi đó, vìAlà tập đóng nhỏ
nhấtchứaAvàAcũng là tập đóng chứaAnênA⊂A. Mặt khác, theo

khẳngđịnh(1),tacóA⊂A.Dovậy,A=A.
Bâygiờ,giảsử A=A,khiđótheokhẳngđ ịnh (1)tasuyra Alàtậpconđ
óng.
(4) GiảsửA⊂B,khiđótheokhẳngđịnh(1)tacóB⊂B,kéotheoA⊂B.
Như vậy, kết hợp với khẳng định (1) ta suy raBlà tập con
đóngchứaA.Mặtkhác,lạitheokhẳngđịnh(1),Alàtậpđóngnhỏnhấtch
ứaAnêntasuyraA⊂B.
(5) BởivìA⊂A∪Bv à B⊂A∪Bn ênnhờkhẳngđịnh(4),tasuyra
A⊂A∪BvàB⊂A∪B.
Dođó,tanhậnđược
A∪B⊂A∪B. τ τ τ τ τ τ τ τ τ
Mặtkhác,lạitheokhẳngđịnh(1)tacóA⊂AvàB⊂Bnên
A∪B⊂ A∪B.
Hơnnữa,nhờĐịnhlí1.2.2vàkhẳngđịnh(1)tasuyraA∪Blàtậpđóng

(1.1)


vàA∪B⊂A∪B.Dođó
A∪B⊂A∪B.

(1.2)

Dovậy,từ(1.1)và(1.2)tasuyrarằngA∪B=A∪B.
(6) BởivìA∩B⊂AvàA∩B⊂Bnêntheokhẳngđịnh(4),tasuyra
A∩B⊂AvàA∩B⊂B.Suyra
A∩B⊂A∩B.
Bâygiờ,taxétRvớitopothơngthường.Giảsử
A=(0,1)và B=(1,2).
Khiđó,A∩B=∅=∅,A∩B={1}.Nhưvậy,A∩B̸ =A∩B.

Địnhl í 1 . 2 . 6 ( [ 2 ] ) .Đốiv ớ i k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ),c á c k h ẳ n g đ ị n
h s a u làtươngđương.
(1) x∈A;
(2) U∩A̸=∅ v ớ i m ọ i l â n c ậ n U c ủ a x ;
(3) Tồnt ạ i m ộ t c ơ s ở B xc ủ a x saoc h o U ∩A̸=∅với m ọ i U ∈ Bx.
1.3. Mộtsốtiênđềtách
Địnhn g h ĩ a 1 . 3 . 1 ( [ 2 ] ) .G i ả sử(X,τ)làmộtkhơnggiantopo.Khiđó,
(1) (X, τ τ)được gọi làT1-khơng giannếu với mọix,y∈Xmàx̸=y,
tồntạicáclâncậnUc ủ a xvàVcủaysaochox∈/Vvày∈/U;
(2) (X, τ τ)được gọi làT2-không gianhay làkhông gian Hausdorffnếu
vớimọix,y∈Xm à x̸=y,
tồn
tại
các
lân
cậnUc ủ a xvàVc ủ a ysaochoU∩V=∅.


(3) (X, τ τ)được gọi làkhơng gian chính quy, nếu với mọiFđ ó n g
t r o n g Xvàx∈/F,tồntạicáclâncậnUcủaxvàVcủaFs a o choU∩V
=∅.T1-khơnggianchínhquyđượcgọilàT 3-khơnggian.
Địnhl í 1 . 3 . 2 ( [ 2 ] ) .Giảs ử ( X,τ)l à m ộ t k h ô n g g i a n t o p o . K h i đ ó ,
(1) T2-khơngg i a n = ⇒T 1-khôngg i a n ;
(2) T1 -khônggian≠⇒T 2 -khônggian.
1.4. Tậphợpcompactvàánhxạliêntục
Định nghĩa 1.4.1([2]).Giả sửUlà một họ nào đó gồm các tập con
củakhơnggiantopoXvàA⊂X.Khiđó,
S
(1) UđượcgọilàmộtphủcủaAnếuA⊂ {U:U∈U}.
(2) Uđược gọi làphủ mở củaAnếuUlà một phủ củaAvà mỗi phần

tửcủaUlàtậphợpmở.
(3) Uđược gọi làphủhữuhạn
cóhữuhạnphầntử.

củaAnếuUlà

một

phủ

củaAchỉ

Định nghĩa 1.4.2([2]).Giả sửKlà một tập con của khơng gian topoX.Ta
nói rằngKlàtập compactnếu mỗi phủ mở củaK,tồn tại một
phủconhữuhạnphủK.
Bổđề1.4.3([2]).Mỗi tập con compact trong không gian Hausdorff
làtậphợpđóng.
Bổđề1 . 4 . 4 ( [ 2 ] ) .G i ả s ử { F1,F2,...,Fk}l à h ọ g ồ m c á c t ậ p c o n đ ó n g
củak h ơ n g g i a n X.K h i đ ó , F = S
k Fil à c o m p a c t k h i v à c h ỉ k h i F il à
i=
compactvớimọii≤k.
1


Định nghĩa 1.4.5([2]).Giả sửf:X→Ylà một ánh xạ liên tục
từkhônggiantopoXv à o khơnggiantopoY.Khiđó,
(1)

fđ ư ợ c g ọ i l à l i ê n t ụ c t ạ i x ∈Xn ế u v ớ i m ọ i l â n c ậ n m ở V c ủ a f (x)

trongY,tồntạilâncậnmởUc ủ a xtrongXsaochof(U)⊂V.
(2) fđượcgọilàliêntụctrênX(hayliêntục)nếunóliêntụctạimọi
x∈X.
(3) fđượcgọilàphépđồngphơin ế u flà mộtsongánhvàf,f −1làcácánhxạ
liêntục.

Địnhl í 1 . 4 . 6 ( [ 2 ] ) .Đ ố i v ớ i
khẳng định sau làtươngđương.

không

gian

t o p o X,các

(1) flàánhxạ liêntục;
(2) f−1(U)m ở t r o n g X v ớ i m ọ i U m ở t r o n g Y ;
(3) f−1(F)đ ó n g t r o n g X v ớ i m ọ i F đ ó n g t r o n g Y ;
(4) f(A)⊂f(A)vớimọiA⊂X.
Bổ đề 1.4.7([2]).Nếuflà ánh xạ liên tục từ khơng gian topoXvàokhơng
gian topoYvàKlà tập compact trongX,thìf(K)là tập compacttrongY.
1.5. Khơngg i a n c o n
Địnhnghĩa1.5.1([2]).G i ả sử(X,τ)làmột khônggiantopo,Y⊂ Xvà
τY= {Y∩ U: U∈ τ}.
Khiđó, τ Yl à m ột t o p o t r ê n Y .T an ói r ằn g ( Y,τY)l à m ộ t k hô ng g i a n c o n
củakhônggiantopo(X,τ).


Địnhl í 1 . 5 . 2 ( [ 2 ] ) .Giảs ử ( X,τ)l à m ộ t k h ô n g g i a n t o p o ,
( Y,τY)l à m ộ t khônggi an c on của X v à A ⊂Y.Kh i đó,

(1) Alàđ ó n g t r o n g Y k h i v à c h ỉ k h i t ồ n t ạ i t ậ p c o n đ ó n g F t r o n g X
saocho A =Y∩ F;
(2) A

Y=

A∩Y.


CHƯƠNG2

ÁNHXẠ(I,J)-PHỦ-DÃY

Trong chương này, đầu tiên chúng tơi trình bày khái niệm dãyIhộitụtrênmộtidealvàchứngminhchitiếtmộtsốtínhchấtcầnthiếtcủachúngnhằ
mhiểumộtcáchsâusắcvàcặnkẽhơnvềkháiniệmmớinày.Sauđó,chúngtơinghiê
ncứuvềtínhchấtcủấnhxạ(I,J)-phủ-dãy,(I,J)-1-phủdãyvàmốiliênhệgiữachúng.
Nếu khơng nói gì thêm, trong tồn bộ chương này chúng tôi quy
ướcrằng tất cả các ideal đều là chấp nhận được và các ánh xạ đều là ánh
xạliêntụcvà
N={1,2,...}.
2.1. TínhchấtcủadãyI-hộitụ
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm dãyI-hội tụ trên một
idealvàc h ứ n g m i n h c h i t i ế t m ộ t s ố t í n h c h ấ t c ầ n t h i ế t c ủ a c h ú n g n h ằ
m h i ể u mộtcáchsâusắcvàcặnkẽhơnvềkháiniệmmớinày.
Địnhnghĩa2.1.1([6]).C h o tậphợpMvà2MlàhọtấtcảcáctậpconcủaM.
XétI⊂2M:
1) Iđược gọilàidealtrênMnếuIthỏamãncácđiềukiện sau:
◦ A∈I,B⊂AthìB∈I.
◦ A∈I,B∈IthìA∪B∈I.
2) IđượcgọilàmộtidealkhơngtầmthườngnếuIlàmộtideal,I̸=∅

vàM∈/I.
3) IđượcgọilàmộtidealchấpnhậnđượcnếuIlàmộtidealkhơngtầm


thườngvà{{x},x∈M}⊂ItứchọIchứat ấ t c ả c á c t ậ p h ợ p c ó một
phầntửcủaM.
4) GiảsửIlàmộtidealkhơngtầmthường.Takíhiệu
FI={A⊂M:M\A∈I}.
5) GiảsửIlàmộtidealt r ê n M.Takíhiệu
If={A⊂M:Ahữuhạn}.
Nhậnx é t 2 . 1 . 2 ( [ 6 ] ) .GiảsửIl à mộtid ea ltrên M.Khiđó
1) HợphữuhạncủacácphầntửthuộcIcũngthuộcI.
2) NếuMlàtập hợpvơhạnthìIflàideal chấp nhận được
3) NếuIlàmộtidealchấpnhậnđượcthìIchứatấtcảcáctậpconhữuhạncủa
M.
Chứngminh.
( 1 ) : T a s u y r a t r ự c t i ế p t ừ đ ị n h n g h ĩ a 2 . 1 . 1 b ằ n g p h ư ơ n g phápchứng
minhquynạp.
(2) GiảsửMlà τtậpvơhạn.Khiđóta có:
• BởivìMvơhạnnênM∈/I.
• Vớimỗix∈M,tậphợp{x}làhữuhạnnên{x}∈If.SuyraIf̸=∅
và{{x}:n∈X}⊂If.
Như vậy,Iflà τidealchấpnhận được.
(3) Giả sửAlà tậphữu hạn vàA⊂M. Khi đóAcó thể biểu diễn dướidạng
hợp hữu hạn các tập con có một phần tử củaM. Mặt khác, vì
mỗitậpconđóđềuthuộcIvàIlàidealnênA∈I.
Địnhn g h ĩ a 2 . 1 . 3 ( [ 6 ] ) .Cho(X,τ)l àmột k hô n g g ian top o,
{ xk}⊂X,x∈X,U xlàhọgồmtấtcảcáclâncậncủaxvàIlàmộtidealtrênN
.