các công thức toán học 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (9.98 MB, 144 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƢỜNG THPT NGUYỄN DIÊU
HỌC SINH:NGUYỄN NGỌC HẢI
LỚP:12a3
NĂM HỌC 2013 - 2014
CHƢƠNG I.ÔN TẬP CÔNG THỨC TOÁN HỌC 1
1.Các tinh chất cơ bản của bất đẳng thức 1
2.Bất đẳng thức caushy(cô si) 1
3.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 1
4.Định lí Vi Ét 2
5.Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trƣớc 2
6.Trọng tâm tam giác 2
7.Các hệ thức lƣợng trong tam giác 2
8.Tỉ số lƣợng giác của một số góc cần nhớ 3
9.Công thức biến đổi tích thành tổng 3
10.Công thức biến đổi tổng thành tích 3
11.Công thức nhân đôi 3
12.Công thứ nhân 3 3
13.Công thức hạ bậc 4
14.Công thức cộng 4
15.Công thức tính tga,cosa,sina theo t = tg
a
2
4
16.Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau,phụ nhau,đối nhau và hơn kém nhau 1 góc π hoặc
π
2
4
17.Phƣơng trình lƣợng giác 8
18.Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác 8
I.Phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện 8
1.Phƣơng pháp loại nghiệm trực tiếp 8
2.Phƣơng pháp loại nghiệm trên đƣờng tròn lƣợng giác 9
3.Phƣơng Pháp đại số 9
II.Phƣơng trình lƣợn giác chứa các biểu thức đối xứng bậc cao 11
1.Phƣơng pháp hạ bậc 11
2.Phƣơng pháp đánh giá 12
3.Phƣơng pháp dùng bất đẳng thức 14
II.Phƣơng trình lƣợng giác giải bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ 15
1 Đổi biến dƣới hàm lƣợng giác 15
2.Đặt một biểu thức làm ẩn phụ 17
IV.Phƣơng trình lƣợng giác giải bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số 19
V.Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số 20
Dạng 1.Tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm x € D 20
Dạng 2.Tìm điều kiện để phƣơng trình có nghiệm k € D 21
VI.Bài tập tự luyện 23
19.Tổ hợp,hoán vị,chỉnh hợp 26
20.Phƣơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian 27
21.Đƣờng thẳng trong mặt phẳng và không gian 27
22.Mặt Phẳng 29
23.Cấp số cộng 29
24.Cấp số nhân 29
25.Học nhanh các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình 30
Chuyên đề 3:Hệ phƣơng trình đại số 30
Phần 1.Một số hệ thƣờng gặp 30
A.Hệ phƣơng trình bậc nhất 30
B.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1 30
I.Định nghĩa chung 30
II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1 hai ẩn 30
C.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2 33
D.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 3 34
E.Hệ phƣơng trình đẳng cấp 35
Phần II.Phƣơng pháp giải hệ thƣờng gặp 36
1.Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 36
2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 37
3.Phƣơng pháp đánh giá 39
4.Phân tích phƣơng trình thành nhân tử 41
5.Bài tập 42
Phần 3.Hệ ba ẩn 43
I.Phƣơng trình đối xứng loại 1 ba ẩn 43
II.Phƣơng trình đối xứng loại 2 ba ẩn 44
CHƢƠNG II.HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 46
Bài toán 1.Chiều biến thiên của hàm số 46
Dạng 1.Xét chiều biến thiên lập bảng biến thiên của hàm số 46
Dạng 2.Tìm tham số để hàm số đồng biến nghịch trên một khoảng cho trƣớc 46
B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 47
Bài toán 2.Cức trị của hàm số 48
A.Phƣơng pháp 48
Dạng 1.Tìm cực trị của hàm số 48
Dạng 2.Tìm tham số để hàm số để hàm số đạt cực đại tại x = x
0
48
Dạng 3.Tìm tham số để hàm số có số cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó 49
B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 50
☻Kỹ năng tính nhanh cực trị hàm bậc ba 51
* Hàm trùng phƣơng bậc 4 52
۞ Bài Tập 52
Bài toán 3.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 53
Sơ đồ chung về khảo sát hàm số 53
1.Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+cx + d (a ≠ 0) 53
2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hàm trùng phƣơng y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) 54
3.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hàm phân thức y =
ax + b
cx +d
(a.c ≠ 0) 55
Bài toán 4.Bài toán tƣơng giao 56
Dạng 1.Dựa vào đồ thi ( hoặc bảng biến thiên ) biện luận số nghiệm của phƣơng trình 56
Dạng 2.Dựa vào tính chất của phƣơng trình biện luận số giao điểm hai đồ thị 57
Dạng 3.Biến đổi trong toán tƣơng giao (tham khảo thêm) 58
B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 58
۞Bài tập 59
*Hàm bậc ba 59
*Hàm trùng phƣơng 60
*Hàm nhất biến 61
Bài toán 5.Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm 62
B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 63
Dạng 1.Viết phƣơng trình tiếp tuyến 63
Dạng 2.Tìm diều kiện của tham số để tiếp tuyến của đồ thi thoả mãn một tính chất nào đó 64
Bài toán 6.Tìm điểm đặc biệt đặc biệt 66
B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 67
☻Tìm các điểm trên đò thị 67
☻Tìm các điểm cố định 68
☻Tìm quỹ tích 69
Bài toán 7.Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 70
B.Bài tập nâng cao theo chƣơng trình cơ bản 71
♦ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số nhờ vào đặt biến phụ 71
♦ Tìm GTLN,GTNN của hàm số bằng phƣơng pháp sử dụng miền giá trị 72
♦ Tìm GTLN,GTNN của biểu thức thông qua đặt ẩn đƣa về xét hàm(thƣờng là những câu khó yêu
cầu sử dụng tất cả các kiến thức tổng hợp) 72
Bài toán 8.Sử dụng hàm để chứng minh bất đẳng thức 73
Bài toán 9.Sử dụng hàm số vào phƣơng trình,bất phƣơng trình 73
CHƢƠNG III.HÀM SỐ MŨ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ LÔGARIT 74
Phần I.Công thức luỹ thừa 74
1.Công thức luỹ thừa 74
2.Bài tập áp dụng 74
Phần II.Công thức lôgarít 76
1.Công thức lôgarít 76
2.Bài tập áp dụng 77
Phần III.Hàm số mũ – Hàm số lôgarit 79
1.Hàm số mũ 79
2.Hàm số lôgarit 79
3.Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit 80
4.Các công thức tính đạo hàm 80
5.Bài tập áp dụng 80
Phần IV.Phƣơng trình mũ 81
1.Phƣơng trình mũ cơ bản 81
2.Các dạng phƣơng trình mũ 81
3.Bài tập áp dụng 81
♦ Nâng Cao 83
Phƣơng pháp 1. Biến đổi phƣơng trình về dạng tích số A.B =0 83
Phƣơng pháp 2. Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất 84
Phần V. Bài tập ôn tập phƣơng trình mũ 84
Phần VI. Phƣơng trình lôgarit 85
1. Phƣơng trình lôgarit cơ bản 85
♥ Bài tập áp dụng 85
Phần VII. Bài tập ôn tập phƣơng trình lôgarit 88
Phần VII. Bất phƣơng trình mũ 89
Phần IX. Bất phƣơng trình lôgarit 90
Phần X. Hệ phƣơng trình mũ và lôgarit 92
CHƢƠNG III. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 94
Phần I. Công thức tính đạo hàm 94
I. Đạo hàm 94
II. Nguyên hàm 95
Phần II. Tích phân 99
I. Các phƣơng pháp tính tích phân 99
Phần III. Tích phân một số hàm thƣờng gặp 102
1. Tích phân hàm lƣợng giác 102
2. Tích phân hàm lƣợng giác 105
3. Tích phân hàm vô tỉ 105
4.Tích phân hàm có dấu giá trị tuyệt đối 105
Phần V. Tích phân một số hàm đặc biệt 105
CHƢƠNG IV. HÌNH HỌC 107
*Diện tích hình phẳng – thể tích vật tròn xoay 107
♥ Hình Học 107
I Phƣơng pháp toạ độ trong mặt phẳng 107
1. Đƣờng thẳng 107
2. Đƣờng tròn 108
3. Elip 109
4. Hypeboy 109
5. Paraboy 109
II. Phƣơng pháp toạ độ trong không gian 110
1. Tích có hƣớng 2 vec tơ 110
2. Mặt phẳng 110
3. Đƣờng thẳng 111
4. Mặt cầu 112
Phần I. Ôn tập hình học không gian 11 113
I. Quan hệ song song 113
II. Quan hệ vuông góc 114
III. Góc – Khoảng cách 115
IV. Nhắc lại một số công thức trong hình học phẳng 116
Phần II. Khối đa diện và thể tích của chúng 117
Chƣơng V. Một số đề thi thử đại học 126
Phần bổ sung. Hƣớng dẫn chia đa thức bậc ba công thức tính đạo hàm tổng quát và công thức chia
Y cho y’ 138
1
1
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
CHƢƠNG I : ÔN TẬP CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1.
a > b và b > c
a > c
a > b
a + c > b + c
Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta đƣợc bất đẳng thức cùng chiều và tƣơng đƣơng với bất
đẳng thức đã cho.
a > b + c
a – c > b
ab
a c b d
cd
Nếu cộng các vế tƣơng ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đƣợc một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có
quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
a > b
a.c > b.c nếu c > 0
hoặc a > b
c.c < b.c nếu c < 0
0
0
ab
a c b d
cd
Nếu nhân các vế tƣơng ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đƣợc một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có
quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
a > b > 0
a
n
> b
n
(n nguyển dƣơng)
0
nn
a b a b
(n nguyên dƣơng)
2. -si):
Nếu
0a
và
0b
thì
.
2
ab
ab
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Nếu 2 số dƣơng có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.
Ý Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Nếu 2 số dƣơng có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3.
0
0
x
x
x
Từ định nghĩa suy ra: với mọi
xR
ta có:
a. |x|
0
b. |x|
2
= x
2
c. x
|x| và -x
|x|
Với mọi số thực a và b ta có:
|a + b|
|a| + |b| (1)
|a – b|
|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
0
|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
0
nếu x
0
nếu x < 0
2
2
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
4. -et:
Nếu phƣơng trình bậc 2: ax
2
+ bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x
1
, x
2
(a
0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó
là:
S = x
1
+ x
2
=
b
a
P = x
1
.x
2
=
c
a
Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phƣơng trình (*) có nhiệm x
1
= 1 và x
2
=
c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phƣơng trình (*) có nhiệm x
1
= -1 và x
2
=
c
a
Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phƣơng trình: x
2
–
S.x + P = 0
5.
Cho 2 điểm phân biệt A,B.Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MA =kMB
Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
1 thì với điểm O bất kì ta có:
OM + =
OA - kOB
1 - k
6.
a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: GA + GB + GC = 0
b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG = OA + OB + OC
7.
Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c b a ba C
g tam giác:
Trong tam giác ABC, với R là bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp ta có:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
24
24
24
a
b
c
b c a
m
a c b
m
b a c
m
3
3
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
8.
Góc
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
-1
tg
0
1
3
1
3
||
3
1
1
3
0
cotg
||
3
1
1
3
0
1
3
1
3
||
9.
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
10.
cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
11.
2 2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2
2 ( , , )
1 2 2 2
a a a a a
a a a
tga
tg a a k a k k
tg a
Z
12.
3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
4
4
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
13.
2
2
2
3
3
cos2 1
cos
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
1 cos2
3sin sin3
sin
4
3cos cos3
cos
4
a
a
a
a
a
tg a
a
aa
a
aa
a
14.
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:
( ) (*)
1.
( ) (**)
1.
tga tgb
tg a b
tgatgb
tga tgb
tg a b
tgatgb
(*) có điều kiện:
,,
2 2 2
a k b k a b k
(**) có điều kiện:
,,
2 2 2
a k b k a b k
15. tga, cosa, sina theo
2
a
t tg
:
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
,
12
t
a
t
t
a
t
t
tga a k
t
16.
2
:
16.1. Hai góc bù nhau:
sin( ) sin
cos( ) cos
()
()
aa
aa
tg a tga
cotg a cotga
5
5
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
16
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
()
2
()
2
aa
aa
tg a cotga
cotg a tga
16
sin( ) sin
cos( ) cos
()
()
aa
aa
tg a tga
cotg a cotga
16
2
:
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
()
2
()
2
aa
aa
tg a tga
cotg a cotga
16
:
sin( ) sin
cos( ) cos
()
()
aa
aa
tg a tga
cotg a cotga
16
sin cos 2 sin( )
4
sin cos 2 sin( )
4
x x x
x x x
6
6
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
17. Ph
1. Ph:
* sinx = sina x = a + k2π
hoặc x = π - a + k2π
* cosx = cosa x = ± a + k2π
* tgx = tg a x = a + kπ (x ≠ k )
* cotgx = cotga x = a + kπ (x ≠ kπ)
2. Ph:
Các phƣơng trình lƣợng giác
* asin
2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x = 0 (1)
* asin
3
x + bsin
2
x.cosx + c.sinx.cos
2
x + dcos
3
x = 0 (2)
* asin
4
x + bsin
3
x.cosx + csin
2
x.cos
2
x + dsinx.cos
3
x + ecos
4
x = 0 (3)
gọi là phƣơng trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx.
Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phƣơng trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos
2
x, cos
3
x, cos
4
x đƣa ph-
ƣơng trình đã cho về phƣơng trình mới và ta dễ dàng giải các phƣơng trình này.
3. Ph:
* sinx + bcosx + c = 0 (1), a
2
+ b
2
≠ 0 phƣơng trình (1) có nghiệm a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0
Có ba cách giải loại phƣơng trình này :
- Giả sử a ≠ 0
(1) sin cos 0
bc
xx
aa
(2)
Đặt :
b
tg
a
(2) sin cos 0
c
x tg x
a
sin( ) cos
c
x
a
Ta dễ dàng giải phƣơng trình này.
- Đặt :
2
x
tg t
2
22
21
(1) 0
11
tt
abc
tt
Giải phƣơng trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải đƣợc phƣơng trình (1).
- Do
22
0ab
, chia hai vế của phƣơng trình cho
22
ab
:
2 2 2 2 2 2
(1) sin cos
a b c
xx
a b a b a b
Đặt :
22
22
sin
cos
a
ab
b
ab
7
7
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
22
(1) sin( )
c
x
ab
(đây là phƣơng trình cơ bản).
Chú ý : Ta luôn có :
22
| sin sin |a x b x a b
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1.
4. Ph:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số)
Giải phƣơng trình (1) bằng cách đặt :
sinx + cosx = t ,
| | 2t
Đƣa (1) về phƣơng trình
2
2 ( 2 ) 0bt at b c
Giải phƣơng trình (2) với
| | 2t
.
1) Hệ phƣơng trình lƣợng giác một ẩn. Chẳng hạn có hệ phƣơng trình :
sin 1
cos 0
x
x
Có hai phƣơng pháp giải :
* Phƣơng pháp thế, giải một phƣơng trình của hệ rồi thế nghiệm tìm đƣợc vào phƣơng trình còn lại.
* Phƣơng pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phƣơng trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung.
2) Hệ phƣơng trình lƣợng giác hai ẩn. Chẳng hạn có hệ phƣơng trình :
3
sin sin 1
xy
xy
Phƣơng pháp chung là đƣa nó về hệ phƣơng trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phƣơng trình tổng tích.
18 MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
I. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Phƣơng pháp loại nghiệm trực tiếp
Ví dụ 1(Khối A năm 2011):
2
1 sin2x os2x
2sinxsin2x 1
1 cot
c
x
Giải
sinx 0
22
1 1 sin2x os2x sin 2 2sin osxc x xc
8
8
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
sinx 0
1 sin2x os2x 2 2 osx
sinx 0 ai do sinx 0
osx osx sinx 2 0
cc
lo
cc
osx 0 2
2
c x k k
Z
sinx osx 2 sin 1 2
44
c x x l l
Z
* Ví dụ 2:
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1 2
os
xx
x
cx
Giải
0 sinx 1
Ta có (2)
4 4 2
sin os (2 sin 2 )sin3x c x x x
2
(2 sin 2 )(1 2sin3 ) 0xx
1
sin3
2
x
(*) (do 2 sin
2
2x
1
3
1
3sinx 4sin
2
x
(**)
Thay sinx =
2
18 3
k
x
; x=
52
18 3
k
k
2. Phƣơng pháp loại nghiệm trên đƣờng tròn lƣợng giác
* Chú ý:
+) x =
2k
+) x =
k
+) x =
2
3
k
+) x =
2
3
k
n
n
* Ví dụ 3
Giải
Khi cosx
0 thì (3)
cosx + sin3x = 0
4
(*)
3
82
xk
k
x
1 2 3
3
2 ; 2 ; 2
4 8 8
x k x k x k
9
9
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
Khi cosx < 0 thì (3)
- cosx + sin3x = 0
4
(**)
82
xk
k
x
4 5 6
5 9 5
2 ; 2 ; 2
8 8 4
x k x k x k
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
3. Phƣơng pháp đại số.
* Cơ sơ
̉
cu
̉
a phƣơng pha
́
p:
- Giả s
0
2
x m m
p
-
k
=
2
kk
n
k
sao cho
0
22
k x m
np
k
m
sao cho
0
22
k x m
np
- u:
a)
1:
ax by c
,
,,abcZ
,a b c
.
:
,1ab
th
ax by c
.
b)
2:
ax by c
,
,,abcZ
,
22
0ab
,
,1ab
00
,xy
:
0
0
x x bt
y y at
,
tZ
:
3 2 1xy
1, 1
:
12
13
xt
yt
,
tZ
Ví dụ 4
sinxcot5
1
os9
x
cx
Giải
sin5 0
5
os9 0
18 9
m
x
x
m
c x m
x
(4)
sinx.cos5x = cos9x.sin5x
sin6x sin4x = sin14x sin4x
sin14x = sin6x
10
10
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
4
20 10
k
x
k
k
x
4
k
*
5 4 4
45
km
k m k t t
( Vì (5,4) = 1)
*
2 1 9 4 2 9 4 2
4 18
k
m k m k m
24
49
kt
t
mt
4
k
(2 1)
4
l
( l
)
20 10
k
20 10
k
x
*
20 10
k
2 1 4
5
m
km
20 10
k
x
5
m
,
k
.
*
20 10
k
18 20 1
18 9
m
km
20 10
k
x
18 9
m
20 10
k
trình.
* Ví dụ 5
Giải
0
10 5
m
xm
PT (5):
2sin5 . os3 2sin7 . os5
sin8 sin12
2
20 10
x c x x c x
xx
xk
k
k
x
2
k
2 10 5
km
5 2 1km
12
25
kt
t
mt
2
k
)
11
11
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
20 10
k
20 10
k
=
10 5
m
1 2 2 4km
nguyên.
20 10
k
.
và x =
20 10
k
)
II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHỨA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG BẬC CAO
-
1. Phƣơng pháp hạ bậc
-
+) sin
4
x + cos
4
x =
2
1
1 sin 2
2
x
=
2
11
os 2
22
cx
=
31
os4
44
cx
.
+) sin
4
x cos
4
x = - cos2x
+) sin
6
x + cos
6
x = 1 -
2
3
sin 2
4
x
=
2
1 3 5 3
os 2 os4
4 4 8 8
c x c x
+) sin
6
x cos
6
x =
3
13
os 2 os2
44
c x c x
.
* Ví dụ 6
8
x + cos
8
x =
17
32
(6)
Giải
Ta có sin
8
x + cos
8
x = (sin
4
x + cos
4
x)
2
2sin
4
x.cos
4
x
= (
2
1
1 sin 2
2
x
)
2
-
4
1
sin 2
8
x
=
42
1
sin 2 sin 2 1
8
xx
42
1 17
sin 2 sin 2 1
8 32
xx
42
4sin 2 32sin 2 15 0xx
2
2
1
sin 2
11
2
(1 os4 )
15
22
sin 2
2
x
cx
x loai
os4 0
84
k
c x x k
* Ví dụ 7
8
x + cos
8
x 2(sin
10
x + cos
10
42
k
Giải
12
12
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
Ta có VT = sin
8
x(1 2sin
2
x) + cos
8
x(1 2cos
2
x) = sin
8
x.cos2x cos
8
x.cos2x
= (sin
8
x cos
8
x).cos2x = (sin
4
x cos
4
x) (sin
4
x + cos
4
x) cos2x = -cos
2
2x (
2
11
os 2
22
cx
)
= -
1
2
cos
2
2x (
2
1 os 2cx
)
-
1
2
cos
2
2x (
2
1 os 2cx
) = mcos2x
3
os2 0 (*)
os 2 os2 2 0 (**)
cx
c x c x m
42
k
3
+ t + 2m = 0
t
3
+ t = -2m
42
k
-
3
D =[-1; 1]\{0}.
Xét hàm y = t
3
2
+ 1 > 0 ,
tD
( 1) 2 (1) 2 2 2 1 1
2 (0) 2 0 0
y m y m m
m y m m
2. Phƣơng pháp đánh giá
-
+) |sinx|
1; |cosx|
1
+) sin
n
x
sin
2
x; cos
n
x
cos
2
+) |asinx + bcosx|
22
ab
* Ví dụ 8
66
10 10
22
1 sin os
(sin os )
4 sin 2 4cos 2
x c x
x c x
xx
(8)
Giải
Ta có VP =
66
22
sin os
sin 2 4cos 2
x c x
xx
=
2
2
22
3
1 sin 2
4 3sin 2 1
4
4 3sin 2 4(4 3sin 2 ) 4
x
x
xx
Xét VT ta có
10 2
10 10 2 2
10 2
sin sin
1 1 1
sin os sin os
4 4 4
os os
xx
VT x c x x c x
c x c x
1
4
VT
10 2
10 2
sin sin
os os
xx
c x c x
sinx 0
sinx 1
sinx 0
osx 0
2
cos 0
cos 1
k
xk
c
x
x
* Ví dụ 9: :
2
2 sin 1 0x x xy
(9)
13
13
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
Giải
PT:
2
2 sin 1 0x x xy
2
2
sin cos 0x xy xy
sin x 0
sin x 0
sin xy=1
cos 0
sin x 1
xy
xy
xy
y
sin 1
10
sin x 1
10
xy
x
y
x
1
2
2
1
2
2
x
yk
x
yl
V
,klZ
* Ví dụ 10
2012
x + cos
2013
x = 1 (10)
Do |sinx|
1 nên sin
2012
x
sin
2
x
Do |cosx|
1 nên cos
2013
x
cos
2
x
2012
x + cos
2013
x
sin
2
x + cos
2
x
sin
2012
x + cos
2013
x
1
=> PT (10)
2012 2
2013 2
sinx 0
sinx 1
sin sin
2
cos 0
os os
2
cos 1
xx
xk
k
x
c x c x
xk
x
Nhận xét:
n
x + cos
m
.
Ta có:
2
2
sin sin
os os
n
m
xx
c x c x
. PT (*)
2
2
sin sin
os os
n
m
xx
c x c x
(**)
(**)
sinx 0
sinx 1
sinx 0
cos 0
2
cos 0
cos 1
x k k
x
x
x
(**)
sinx 0
sinx 1
sinx 1
2
2
cos 1
cos 0
2
cos 1
xk
k
x
x
xk
x
(**)
sinx 0
sinx 1
cos 0
2
cos 1
cos 0
2
cos 1
x
xk
k
x
x
xk
x
14
14
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
(**)
sinx 0
sinx 1
sin 1
2
2
sin 0
cos 0
cos 1
x
xk
k
x
x
xk
x
3. Phƣơng pháp dùng BĐT.
* Ví dụ 11
1
tan cot cos sin
4
n
nn
x x x x
; >1nnZ
(11)
Giải
:
cos 0
sin 0
2
x
k
x
x
ôs
tan cot
1 1 1
tan cot tan cot 2 1 tan cot 1
4 4 4 4
n
Ci
xx
x x x x x x
2
1 1 1
tanx cot tan tan
4 4 2
x x x
2:n
2
1
tan cot 1
4
xx
11
tanx arctan
22
xk
>2n
:
:
22
sin os sin cos 1
nn
x c x x x
2
2
,
2 2 2 1
2
x k khi n m
km
x k hay x k khin m
2
k
.
>2n
.,
: nghi:
1
arctan
2
xk
,
k Z
* Ví dụ 12
8
2x + cos
8
2x =
1
8
(12)
Giải
444
ôs
82
444
ôs
82
1 1 1 1
sin 2 sin 2
2 2 2 2
1 1 1 1
os 2 os 2
2 2 2 2
Ci
Ci
xx
c x c x
4
8 8 2 2 8 8
1 1 1
sin 2 os 2 6. sin 2 os 2 sin 2 os 2
2 2 8
x c x x c x x c x
15
15
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
4
8
22
4
8
1
sin 2
2
1
sin 2 os 2 os4 0
2
1
os 2
2
4
2 8 4
x
x c x c x
cx
x k x k k
III. PHƢƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phƣơng pháp :
1. Đổi biến dƣới hàm lƣợng giác
Phƣơng pháp:
2
k
Ví dụ 13:
2
4
cos cos
3
x
x
(13)
Giải:
Ta có
4 1 cos2
cos
32
xx
23
32
xt
tx
1 cos3
cos2
2
t
t
3 2 3
23
2cos2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos
4cos 2 4cos 3cos 1 0
t t t t t t
t t t
2
cos 1 3 4cos 0tt
16
16
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
cos 1
2
3
cos
42
2
t
tk
k
tk
t
(*)
x
ta có
(*)
2
3
2
3
()
2
2
42
33
x
xk
k
k
x
xk
k
Ví dụ 14
3
tan tanx 1
4
x
(14)
Giải
g trình (14
;
4
x k x k k
2. Đặt một biểu thức lƣợng giác làm ẩn phụ.
42
0 ( 0)ax bx c a
2
0t x t
44
( ) ( )x a x b c
2
ab
tx
( )( )( )( )x a x b x c x d k
a b c d
( )( )t x a x b
17
17
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
4 3 2
0ax bx cx bx a
2
( 0)xx
1
tx
x
Ví dụ 15:
22
tan 3tan 9cot 9cot 2 0x x x x
(15)
Giải :
Ta có:
sin 0
sin2 0
cos 0
2
x
x x k k
x
2
2
93
(tan ) 3(tan ) 2 0
tan tan
xx
xx
3
tan 2 3
tan
t x t
x
(*)
2 2 2 2
22
99
tan 6 6 tan
tan tan
t x t x
xx
5
2
1
3 4 0
4
t
tt
t
(**)
Do (*) nên ta có (**)
4t
2
3
tan 4 tan 4tan 3 0
tan
x x x
x
tan 1
()
4
tan 3 tan
x
xk
k
x
xk
Chú ý:
Ví dụ 16:
42
(sin 3)sin (sin 3)sin 1 0
22
xx
xx
(16)
Giải:
2
sin 0 1
2
x
tt
2
sin 3 (sin 3) 1 0 (*)x t x t
Do
sin 3 0x
t
2
(sin 3) 4(sin 3)
(sin 1)(sin 3)
x
xx
18
18
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
0, x
2
0
sinx 1 sinx 1
1 1 cos 1
sin
2
2 2 2 2
b
xx
t
a
sin 1
sin 1 2
cos 0
2
x
x x k
x
()k
Chú ý:
Ví dụ 17
2
cos 2 cos 2xx
(17)
Giải:
2 cosux
13u
2
2 cos (*)ux
.
2
2
2 cos
cos 2
ux
xu
Ta có
22
cos cosu x u x
22
cos cos 0x x u u
(cos )(cos ) cos 0
cos
cos (cos 1) 0
cos 1
x u x u x u
xu
x u x u
xu
-
cosux
2
cos 1
cos cos 2 0 2 ( )
cos 2 ( )
x
x x x k k
x vn
-
cos 1ux
2
cos cos 1 0
15
cos ( )
2
2 ( )
51
cos cos
2
xx
x vn
x k k
x
Nhận xét:
IV. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 18:
2
1 cos
2
x
x
v
0
2
x
(18)
19
19
Phone:01629870849 facebook:Cỏ Dại
-2014)
2
1 cos 0
2
x
x
2
'
( ) 1 cos ( ) sin
2
x
f x x f x x x
"
( ) 1 cos 0 0 ;
2
f x x x
x
0
2
( )'fx
( )''fx
0
1
2
()fx
0
2
1
8
( ) 0 0 ;
2
f x x
0x
x = 0.
Ví dụ 19:
2
sin cos 2
n
nn
n
xx
0
2
x
và n là s t nhiên l hn 2
Giải:
2
( ) sin cos 2
n
nn
n
f x x x
0
2
x
và n là s t nhiên l hn 2.
Ta có
1 1 2 2
( )' sin . cos sin . cos sin .cos (sin cos )
n n n n
f x n x x n x x n x x x x
22
( )' 0 sin cos 0
4
nn
f x x x x
