Các phép biến đổi trong không gian 2 chiều

Chương 3
Các phép biến đổi trong không gian
2 chiều
Nội dung

Biểu diễn điểm

Phép biến đổi khái quát

Các phép biến đổi hình học

Các phép biến đổi hệ trục

Chuyển đổi quan sát
1. Biểu diễn điểm(1)

Trong hệ toạ độ đề các

M(x,y)

Biểu diễn bằng ma trận:

Ma trận hàng:

Ma trận cột:
O x
y
M (x, y)
x
y
yy







=
y
x
M
[ ]
yxM
=
[ ]
yxM
=
1. Biểu diễn điểm(2)

Trong hệ toạ độ thuần nhất

M(kx, ky, k) với k≠0, k=0 điểm M ở vô cùng

k=1 khi đó M(x, y, 1) được gọi là toạ độ đề các của điểm
thuần nhất

Biểu diễn bằng ma trận

Ma trận hàng:

Ma trận cột:

[ ]
1yxM
=










=
1
y
x
M
2. Phép biến đổi hình học khái quát (1)

Phép biến đổi T biến điểm M thành điểm M’:

Công thức biến đổi:

Trong đó: a1, b1, c1, a2, b2, c2 là hằng số

Ma trận biến đổi




++=
++=
222
111
'
'
cybxay
cybxax
)','('),( yxMyxM
T
→










=
1cc
0bb
0aa
T
21
21
21
2. Phép biến đổi hình học khái quát (2)


Ta có:

Suy ra:
⇔
⇔
[ ]
1yxM =
[ ]
1'y'x'M =
[ ]
=
1'y'x
[ ]
×
1yx










1cc
0bb
0aa
21

21
21
[ ]
=1'y'x
[ ]
1cybxacybxa
222111
++++


M'= M.T
3. Các phép biến đổi hình học

Phép bất biến

Phép tịnh tiến

Phép biến đổi tỉ lệ tại gốc toạ độ

Phép đối xứng

Phép quay tại gốc toạ độ

Phép biến đổi kết hợp
3.1. Phép bất biến

Biến điểm M thành chính nó:

Ma trận biến đổi:
)y,x(M)'y,'x('M)y,x(M

T
≡→
I
100
010
001
T
=










=
3.2. Phép tịnh tiến

Tịnh tiến điểm M một vector (m,n) thành
điểm M’:

Công thức biến đổi:

Ma trận biến đổi:
v

)'y,'x('M)y,x(M

v
T
→

O
x
y
M (x, y)
x
y
y'
x'
M' (x', y')



+=
+=
ny'y
mx'x











=
1nm
010
001
T
3.3. Phép biến đổi tỉ lệ tại gốc toạ độ

Co dãn so với gốc toạ độ:

Công thức biến đổi:
với tlx, tly là các hệ số tỉ lệ

Ma trận biến đổi:
Nhận xét:

tlx=tly: phép biến đổi đồng dạng

tlx=tly >1: phép phóng ảnh

tlx=tly <1: phép thu ảnh

tlx ≠ tly: phép biến dạng (phép nhiễu hình)
)'y,'x('M)y,x(M
T
→



×=
×=

ytly'y
xtlx'x










=
100
0tly0
00tlx
T
3.4.Phép đối xứng

Phép đối xứng qua trục Ox:

Phép đối xứng qua trục Oy:

Phép đối xứng qua tâm O:











−
=
100
010
001
T










−
−
=
100
010
001
T











−=
100
010
001
T
3.5. Phép quay tại gốc toạ độ

Điểm M quay quanh O góc α thành M’:

Công thức biến đổi:

Ma trận biến đổi:

Lưu ý:

Chiều dương góc quay ngược chiều kim đồng hồ
O
x
y
M (x, y)
x'
y
y'

x
M' (x', y')
α
( )
)'y,'x('M)y,x(M
,O
T
 →
α



α+α=
α−α=
cosysinx'y
sinycosx'x










αα−
αα
=
100

0cossin
0sincos
T
3.6. Phép biến đổi kết hợp (1)

Điểm M qua phép biến đổi T1 thành M1, M1 qua phép biến đổi T2
thành M2, suy ra tồn tại một phép biến đổi T biến M thành M2:

T được gọi là phép biến đổi kết hợp của T1 và T2, khi đó:

Ta có:

M1=M×T1, M2=M1×T2
⇒
M2=M×T1 ×T2
=M ×(T1 ×T2)

M2=M ×T
Suy ra: T= T1 ×T2
)y,x(M)y,x(M
)y,x(M)y,x(M)y,x(M
222
T
222
T
111
T
21
→⇔
→→

T = T1
T = T1
×
×
T2
T2
3.6. Phép biến đổi kết hợp (2)

Ví dụ 1:

Tính ma trận T với T1, T2 lần lượt là các phép tịnh tiến vecto
(a1, b1) và (a2, b2) ?
)y,x(M)y,x(M
)y,x(M)y,x(M)y,x(M
222
T
222
T
111
T
21
→⇔
→→
Giải quyết vấn đề:
Ta có:
Suy ra:











++
=










×










=×=

1bbaa
010
001
1ba
010
001
1ba
010
001
TTT
21212211
21










=
1ba
010
001
T
11
1











=
1ba
010
001
T
22
2
3.6. Phép biến đổi kết hợp (3)

Ví dụ 2:

Tính ma trận biến đổi biểu diễn phép quay góc α
quanh điểm A(x0,y0) bất kỳ.
'MMMMM
3
T
2
T
1
T
3

21
≡→→→
Giải quyết vấn đề:
Ta phân tích thành các phép biến đổi
cơ sở:
Trong đó:
T
1
: phép tịnh tiến vecto (-x0,-y0)
T
2
: phép quay tại O góc quay α
T
3
: phép tịnh tiến vecto (x0, y0)
Suy ra: T=T
1
×T
2
×T
3
M(x,y)
M'(x',y')
A
x
0
x
y
0
O

y
4. Các phép biến đổi hệ trục toạ độ

Phép biến đổi hệ trục toạ độ là phép biến đổi nghịch
đảo của phép biến đổi vật:
T
hệtrục
= T
vật
-1


Hai phép biến đổi được gọi là nghịch đảo của nhau
nếu phép biến đổi kết hợp của chúng là phép bất
biến.

Ví dụ:

Phép tịnh tiến hệ trục bởi vecto (m, n) bằng phép tịnh tiến
vật đi vecto (-m,-n)

Phép quay hệ trục tại gốc toạ độ góc α bằng phép quay vật
tại gốc toạ độ góc - α
5. Chuyển đổi quan sát

Mục đích

Một số khái niệm

Xây dựng công thức chuyển đổi quan sát


Áp dụng xây dựng bộ công cụ 2D thực

Áp dụng bộ công cụ 2D để vẽ đồ thị hàm sin
5.1.Mục đích

Mô phỏng hình ảnh trong không gian thực
hai chiều lên thiết bị hiển thị (màn hình)

Ví dụ:
Hình ảnh biểu diễn trên màn hình
Màn hình
Không gian th c 2 chi uự ề
5.2. Một số khái niệm

Cửa sổ:

Là một vùng hình chữ nhật
trong không gian thực 2 chiều,
giới hạn hình ảnh cần hiển thị.

Cửa sổ được xác định bởi
đường chéo chính: (xw1,yw1),
(xw2, yw2)
(xw
1
, yw
1
)
HÖ to¹ ®é thÕ giíi thùc

(xw
2
, yw
2
)
y
O
cöa sæ
x

Cài đặt:

xw1,yw1, xw2, yw2: kiểu float, biến toàn cục

void cuaso(float x1, float y1, float x2, float y2)
{
xw1=x1; yw1=y1; xw2=x2; yw2=y2 }
5.2. Một số khái niệm (2)

Khung nhìn:

Là một vùng hình chữ nhật trên
màn hình dùng để hiển thị hình
ảnh trong cửa sổ.

Khung nhìn được xác định bởi
đường chéo chính: (xv1,yv1), (xv2,
yv2)

Cài đặt:


xv1,yv1, xv2, yv2: kiểu int, tlx,tly: kiểu float, là các biến toàn cục

void khungnhin(int x1, int y1, int x2, int y2)
{ xv1=x1; yv1=y1; xv2=x2; yv2=y2;
tlx=(xv2-xv1)/(xw2-xw1); tly= (yv2-yv1)/(yw2-yw1); }
Hệ toạ độ thiết bị hiển thị
Hệ toạ độ màn hình
Màn hình
O
m
x
m
y
m
(xv
1
, yv
1
)
(xv
2
, yv
2
)
Khung nhìn
Hệ toạ độ màn hình
Màn hình
O
m

x
m
y
x
O
HÖ to¹ ®é thÕ giíi thùc
y
m
(xw
2
, yw
2
)
(xw
1
, yw
1
)
cöa sæ
(xv
1
, yv
1
)
(xv
2
, yv
2
)
Khung nhìn

5.3. Xây dựng công thức chuyển đổi quan sát
Bài toán:

Input:

Cửa sổ

Khung nhìn

Điểm P(x,y)

Output:

Tính Pm(xm,ym)?
xw
1
xw
2
x
yw
1
yw
2
y
O
Cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực
O
m
x

m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
P(x,y)
x
y
P
m
=?
x
m
y
m
Pm(xm,ym)
Khung nhìn
Hệ toạ độ màn hình
Giải pháp 1(1)
xw
1
xw
2
x

yw
1
yw
2
y
O
cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực
Hệ toạ độ màn hình
O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nhìn
P
x
y
P
m
=?

x
m
y
m
A
1
B
1
C
1
D
1
A B
CD
M
1
N
1
M
N







=
⇔
11

11
BA
MA
AB
AM
11
11
DA
NA
AD
AN
=
Giải pháp 1(2)







=
=
11
11
11
11
DA
NA
AD
AN

BA
MA
AB
AM
( )
( )







+−
−
−
=
+−
−
−
=
⇔
12
12
12
m
11
12
12
m

yvyyw
ywyw
yvyv
y
xvxwx
xwxw
xvxv
x
12
12
12
12
ywyw
yvyv
tly
xwxw
xvxv
tlx
−
−
=
−
−
=
( )
( )
⇒




+−=
+−=
⇒
12m
11m
yvyywtlyy
xvxwxtlxx
Đặt:
( )
( )



+−=
+−=
)yvyywRound(tlyy
)xvxwxRound(tlxx
12m
11m







−
−
=
−

−
−
−
=
−
−
⇔
12
1m
12
2
12
1m
12
1
yvyv
yvy
ywyw
yyw
xvxv
xvx
xwxw
xwx
xw
1
xw
2
x
yw
1

yw
2
y
O
cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực
Hệ toạ độ màn hình
O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nhìn
P
x
y
P
m
=?
x
m

y
m
A
1
B
1
C
1
D
1
A
B
CD
M
1
N
1
M
N
Giải pháp 2
xw
1
xw
2
x
yw
1
yw
2
y

O
cöa sæ
x
y
x
1
y
1
O
1
T
1
x
2
y
2
O
2
T
2
x
3
y
3
O
3
T
3
T
4

O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nh×n
P
m
x
m
y
m
T1: PhÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc vecto v(xw1,yw2)
T2: PhÐp ®èi xøng qua trôc Ox
T3: PhÐp biÕn ®æi tØ lÖ
T4: PhÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc vecto u(-xv1,-yv1)
T=T
1
*T
2
*T

3
*T
4
v

u

O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nh×n
P
m
x
m
y
m
O
m

x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nhin
P
m
x
m
y
m
T