Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian docx

Vectơ và các phép toán vectơ trong
không gian




1. Vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó
đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những
khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng
hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ

và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của
hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa
ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD
khi
và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây:
a)
b) Với .
Giải
N
ếu gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh thì
) Ta có là trung điểm của đoạn hay là trọng tâm của tứ
diện b) Với . Bởi vậy
.Ví dụ 2. Ch
ứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp
cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.
Giải Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì trong
không gian, ta đều có :

(1)
Thật vậy
Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức (1).
Bây giờ ta giả sử tứ diện có
(theo (1))
Ví dụ 3. Cho hình lập phương lần lượt là trung điểm của hai
cạnh .
a) Chứng minh rằng
b) Tìm của góc hợp bởi hai đường thẳng
Giải gọi là cạnh của hình lập phương
a) Ta có :
.Vậy
Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng
bằng 0 nên
Như vậy .
b) Gọi là góc hợp bởi và . Ta có:
(1)
Mặt khác ta có :


Nên

Mặt khác:
, ngoài ra ta có
Thay vào (1) ta có
3. Vectơ đồng phẳng
Đ
ịnh nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng
chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng
Trên hình 24 các đường thẳng chứa 3 vectơ đều song song

với mặt phẳng nên ba vectơ này đồng phẳng.
Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ

thì ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm nằm tr
ên
cùng một phẳng.
Định lí 1. Cho 3 vectơ trong đó không đồng thời đồng
phương.

Khi đó ba
vectơ đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số sao
cho