Đề Thi Toán tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2012

Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể
học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến
phí .
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi : TOÁN
(Đề gồm có 01 trang) (Môn chung cho tất cảc thí sinh)
Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 17 tháng 6 năm 2012
Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :
1 1 1
4
1 1 2
a a
P a
a a a a
 
+ −
= − +
 ÷
 ÷
− +
 
, (Với a > 0 , a ≠1)
1. Chứng minh rằng :
2
1
P
a
=

−
2. Tìm giá trị của a để P = a
Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x
2
và đường thẳng (d) : y = 2x + 3
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x
2
+ 2mx + m
2
– 2m + 4 = 0
1. Giải phơng trình khi m = 4
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn (O) có đờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) .
Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.
CD là đờng kính của (I). Chứng minh rằng:
1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng
2. Tam giác COD là tam giác cân
3. Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường
tròn (O)
Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dương không âm thoả mãn :
2 2 2
3a b c+ + =
Chứng minh rằng :
2 2 2
1
2 3 2 3 2 3 2
a b c
a b b c c a

+ + ≤
+ + + + + +
Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944323844
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể
học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến
phí .
BÀI GIẢI
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
1. Chứng minh rằng :
2
1
P
a
=
−
1 1 1
4
1 1 2
a a
P a
a a a a
 
+ −
= − +
 ÷
 ÷

− +
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 4
1 1
1
.
2
1 1
a a a
a a
P
a a
a a
+ − − +
+ −
=
+ −
( ) ( )
2 1 2 1 4 4 1
.
2
1 1
a a a a a a a
P
a a
a a

+ + − + − + −
=
+ −
4 1 2
.
1 1
2
a a
P
a a
a a
= =
− −
(ĐPCM)
1.0
2. Tìm giá trị của a để P = a. P = a
=>
2
2
2 0
1
a a a
a
= => − − =
−
.
Ta có 1 + 1 + (-2) = 0, nên phương trình có 2 nghiệm
a
1
= -1 < 0 (không thoả mãn điều kiện) - Loại

a
2
=
2
2
1
c
a
−
= =
(Thoả mãn điều kiện)
Vậy a = 2 thì P = a
1.0
2
1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình
x
2
= 2x + 3 => x
2
– 2x – 3 = 0 có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= -1 và x
2
=
3
3
1

c
a
−
= =
Với x
1
= -1 => y
1
= (-1)
2
= 1 => A (-1; 1)
Với x
2
= 3 => y
2
= 3
2
= 9 => B (3; 9)
Vậy (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt A và B
1.0
2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là
gốc toạ độ)
Ta biểu diễn các điểm A và B trên mặt phẳng toạ độ Oxy như hình vẽ
1.0
Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944323844
2
Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể
học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến
phí .

1
D
C
B
A
9
3
-1
0
1 9
. .4 20
2 2
ABCD
AD BC
S DC
+ +
= = =
. 9.3
13,5
2 2
BOC
BC CO
S = = =
. 1.1
0,5
2 2
AOD
AD DO
S = = =
Theo công thức cộng diện tích ta có:

S
(ABC)
= S
(ABCD)
- S
(BCO)
- S
(ADO)
= 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt)
3
1. Khi m = 4, ta có phương trình
x
2
+ 8x + 12 = 0 có ∆’ = 16 – 12 = 4 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= - 4 + 2 = - 2 và x
2
= - 4 - 2 = - 6
1.0
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
2
+ 2mx + m
2
– 2m + 4 = 0
Có D’ = m
2
– (m

2
– 2m + 4) = 2m – 4
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0
=> 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2
Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1.0
4
1
2
N
K
H
D
I
C
O
A
B
M
1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng:
Ta có MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ MC ⊥ MO (1)
1.0
Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944323844
3
Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể
học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến
phí .
Xét đường tròn (I) : Ta có
·

0
90CMD =
⇒ MC ⊥ MD (2)
Từ (1) và (2) => MO // MD ⇒ MO và MD trùng nhau
⇒ O, M, D thẳng hàng
2. Tam giác COD là tam giác cân
CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇒ CA ⊥AB(3)
Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại C ⇒ CA ⊥ CD(4)
Từ (3) và (4) ⇒ CD // AB =>
·
·
DCO COA=
(*)
( Hai góc so le trong)
CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) ⇒
·
·
COA COD=
(**)
Từ (*) và (**) ⇒
·
·
DOC DCO=
⇒ Tam giác COD cân tại D
1.0
3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di
động trên đờng tròn (O)
* Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H.
·
0

90CHD =
⇒ H ∈ (I) (Bài toán
quỹ tích)
DH kéo dài cắt AB tại K.
Gọi N là giao điểm của CO và đường tròn (I)
=>
·
0
90
can tai D
CND
NC NO
COD

=

⇒ =

∆


Ta có tứ giác NHOK nội tiếp
Vì có
¶
µ
·
2 1
H O DCO= =
( Cùng bù với góc DHN) ⇒
·

·
0
180NHO NKO+ =
(5)
* Ta có :
·
·
NDH NCH=
(Cùng chắn cung NH của đường tròn (I))
·
· ·
( )
CBO HND HCD= =
⇒ ∆DHN ∆COB (g.g)



HN OB
HD OC
OB OA HN ON
OC OC HD CD
OA CN ON
OC CD CD

⇒ =



⇒ = ⇒ =




⇒ = =


Mà
· ·
ONH CDH=
⇒∆NHO ∆DHC (c.g.c)
⇒
·
0
90NHO =
Mà
·
·
0
180NHO NKO+ =
(5) ⇒
·
0
90NKO =
, ⇒ NK ⊥ AB ⇒ NK // AC
⇒ K là trung điểm của OA cố định ⇒ (ĐPCM)
1.0
5
Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số dơng không âm thoả mãn :
2 2 2
3a b c+ + =
Chứng minh rằng :

2 2 2
1
2 3 2 3 2 3 2
a b c
a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
* C/M bổ đề:
( )
2
2 2
a b
a b
x y x y
+
+ ≥
+
và
( )
2
2 2 2
a b c
a b c
x y x x y z
+ +
+ + ≥
+ +
.
Thật vậy
( )

( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2
0
a b
a b
a y b x x y xy a b ay bx
x y x y
+
+ ≥ <=> + + ≥ + <=> − ≥
+
(Đúng) ⇒ ĐPCM
1.0
Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944323844
4
Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể
học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến
phí .
Áp dụng 2 lần , ta có:
( )
2
2 2 2
a b c
a b c
x y x x y z
+ +

+ + ≥
+ +
* Ta có :
2 2
2 3 2 1 2 2 2 2a b a b a b+ + = + + + ≥ + +
, tương tự Ta có: … ⇒
2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
A
a b b c c a a b b c c a
= + + ≤ + +
+ + + + + + + + + + + +

1
(1)
2 1 1 1
B
a b c
A
a b b c c a
 
⇔ ≤ + +
 ÷
+ + + + + +
 
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3
Ta chứng minh
1
1 1 1

a b c
a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
3
1 1 1 2
1 1 1
1 1 1
2
1 1 1
1 1 1
2
1 1 1
1 1 1
2 (2)
1 1 1 1 1 1
B
a b c
a b b c c a
b c a
a b b c c a
b c a

a b b c c a
b c a
a b b b c c c a a
−
⇔ − + − + − ≤ −
+ + + + + +
− − − − − −
⇔ + + ≤ −
+ + + + + +
+ + +
⇔ + + ≥
+ + + + + +
+ + +
⇔ + + ≥
+ + + + + + + + +
1 4 4 4 4 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43
* Áp dụng Bổ đề trên ta có:
⇒
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3
3
1 1 1 1 1 1
a b c
B
a b b b c c c a a
+ + +
− ≥
+ + + + + + + + + + +

( )
2
2 2 2
3
3 (3)
3( ) 3
a b c
B
a b c ab bc ca a b c
+ + +
⇔ − ≥
+ + + + + + + + +
* Mà:

( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
2 3( ) 3
2 2 2 2 2 2 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 ( : 3)
2 2 2 6 6 6 9
3
3

3( )
a b c ab bc ca a b c
a b c ab bc ca a b c
a b c ab bc ca a b c Do a b c
a b c ab bc ca a b c
a b c
a b c
a b c ab bc ca a b c
 
+ + + + + + + + +
 
=
+ + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + + =
= + + + + + + + + +
= + + +
+ + +
⇒
+ + + + + + + +
2 (4)
3
=
+
Từ (3) và (4) ⇒ (2)
Kết hợp (2) và (1) ta có điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944323844
5
Tuyển sinh khu vực Tp Đông Hà và các huyện lân cận các lớp 9, 10, 11, 12, các môn Toán, Lý, Hoá,…Các em có thể
học

tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến
phí .
“Bề dày thời gian tồn tại – Chất lượng giáo viên, lòng nhiệt tình - Số lượng lớn học sinh theo học và đạt
thành tích cao- Số lượng tài liệu khổng lồ được học sinh, giáo viên, phụ huynh sử dụng CHÍNH LÀ
NIỀM TỰ HÀO, SỰ KHẲNG ĐỊNH CỦA TT GIA SƯ – TT LUYỆN THI TẦM CAO MỚI”
- Các em học sinh trên địa bàn Đông Hà (Quảng Trị) và các huyện lân cận (Cam Lộ, Triệu Phong, Gio
Linh,…) hoàn toàn có thể đăng kí và học tại nhà, để được hướng dẫn cụ thể các em hãy gọi theo số máy
trung tâm. Ngoài ra các em có thể học tại trung tâm hoặc học tại nhà các giáo viên của trung tâm.
- Các em có thế đăng kí học các môn: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Văn (các khối 9-12, Luyện thi đại học
cấp tốc, luyện thi vào lớp 10 cấp tốc, luyện thi tốt nghiệp 12 cấp tốc). Riêng các lớp học từ khối 8 trở
xuống, phụ huynh hay học sinh nào yêu cầu trung tâm sẽ cho giáo viên phù hợp về dạy kèm các em
- Đối với giáo viên muôn tham gia trung tâm hãy điện thoại để biết thêm chi tiết cụ thể
MỌI CHI TIẾT XIN LIÊN HỆ 01662 843 844 – 0533 564384 – 0536 513844 – 0944323844
Trần Hải Nam - Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới Tell: 01684 356573 – 0533564384 – 0536513844 – 0944323844
6