Hiện tượng khuếch tán doc

Hiện tượng khuếch tán

1
HIỆN TƯỢNG KHUẾCH TÁN
Biên soạn: Lê Quang Nguyên

Khi mở một lọ nước hoa, mùi thơm sẽ lan tỏa khắp phòng. Sự
lan truyền của các phân tử hương liệu từ nơi mật độ hạt cao
đến nơi có mật độ hạt thấp hơn được gọi là hiện tượng khuếch
tán. Hiện tượng khuếch tán xảy ra do chuyển động nhiệt của
các phân tử trong chất khí, chất lỏng hay chất rắn.

1. ĐỊNH LUẬT FICK
1.1 MẬT ĐỘ DÒNG HẠT VÀ THÔNG LƯỢNG HẠT
Xét một dòng hạt có mật độ hạt n chuyển động với vận tốc
v

.
Vectơ mật độ dòng hạt
j

được định nghĩa như sau:
vnj



(1.1.1)

Giả sử có một hình phẳng, diện tích bằng đơn vị, vuông góc
với dòng hạt (hình 1.1.1). Số hạt đi qua hình phẳng ấy trong
một đơn vị thời gian chính bằng số hạt nằm trong hình hộp có

đáy là hình phẳng và chiều cao bằng vận tốc dòng hạt. Số hạt
đó sẽ bằng mật độ hạt nhân với thể tích của hình hộp:
nvvn



1
(1.1.2)

Vậy
j

có độ lớn bằng số hạt đi qua một đơn vị diện tích vuông
góc với dòng hạt trong một đơn vị thời gian, và thông lượng
hạt đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với dòng hạt
là
jS


. Nếu S không vuông góc với dòng hạt (hình 1.1.2)
thì ta lập luận như sau:
Thông lượng qua S = thông lượng qua S
’
= jS
’
= jScos



Vậy:

Snj



(1.1.3)

Lưu ý rằng thông lượng là một số đại số, thông lượng là dương
nếu các hạt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của vectơ
đơn vị pháp tuyến
n

), và âm trong trường hợp ngược lại.

Nếu dòng hạt có mật độ dòng bất kỳ và bề mặt S cũng có hình
dạng bất kỳ (hình 1.1.3) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều phần
nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và mật độ
dòng hạt tại đó cũng có thể coi là không đổi. Như vậy thông
lượng hạt qua dS là:
dSnjd



(1.1.4)

Thông lượng hạt qua S là tổng các thông lượng qua các phần
nhỏ dS trên mặt S:


SS
dSnjd



(1.1.5)

Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước
chọn
n

hướng ra ngoài, như thế thông lượng ra khỏi mặt là
dương, còn thông lượng vào mặt là âm.

1.2 ĐỊNH LUẬT FICK
Mật độ dòng khuếch tán tỷ lệ với gradient của mật độ hạt:
nDj 


(1.2.1)

Hình 1.1.1
v

dS
S

j

Hình 1.1.3

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Hiện tượng khuếch tán

2
Dấu trừ trong hệ thức trên cho thấy hạt luôn khuếch tán về phía
mật độ hạt thấp hơn.

Hệ số D là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào loại hạt
khuếch tán, áp suất và nhiệt độ. D được gọi là hệ số khuếch
tán, có đơn vị là m
2
.s
-1
.

Bảng 1.2.1 giới thiệu cỡ độ lớn của hệ số khuếch tán trong chất
khí, chất lỏng và chất rắn ở điều kiện áp suất và nhiệt độ bình
thường.

2. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
2.1 SỰ BẢO TOÀN CÁC HẠT
Xét một mặt kín S trong một môi trường có khuếch tán (hình
2.1.1). Vì các hạt được bảo toàn, nên nếu trong thời gian dt bên
trong mặt S số lượng hạt giảm đi dN, thì cũng phải có một
lượng hạt tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời gian ấy.
Hay nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ giảm hạt
bên trong S phải bằng thông lượng hạt ra khỏi S. Như thế:


S
dSnj

dt
dN


(2.1.1)

Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dN < 0, còn thông lượng ra
khỏi mặt S lại là một số dương. Hệ thức trên cũng đúng trong
trường hợp số hạt trong S tăng lên, tức là dN > 0, khi đó thông
lượng sẽ hạt qua S sẽ âm, tương ứng với dòng hạt đi vào trong
mặt S.

Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có:




VV
dV
t
n
ndV
dt
d
dt
dN
(2.1.2)

Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, thông lượng hạt
qua mặt kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V

của
jdiv

:
 

S V
dVjdSnj




(2.1.3)

Thay (2.1.2) và (2.1.3) vào (2.1.1) rồi chuyển vế, ta thu được:











V
dVj
t
n

0


(2.1.4)

Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu
tích phân phải bằng không tại mọi điểm:
0


j
t
n


(2.1.5)

Tương tự như phương trình (2.1.1), phương trìnhø (2.1.5) cũng
mô tả sự bảo toàn của các hạt khuếch tán. Chỉ có điểm khác
biệt là nó diễn tả sự bảo toàn hạt trong một thể ích nhỏ dV bao
quanh một vị trí xác định, bởi vì
j



chính là thông lượng
hạt qua bề mặt bao quanh dV chia cho dV (thông lượng hạt
trên một đơn vị thể tích).

2.2 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN

Bảng 1.2.1. Cỡ độ lớn của hệ số khuếch tán

D (m
2
.s
-1
)
Chất khí 10
-6
– 10
-4
Chất lỏng 10
-12
– 10
-8
Chất rắn 10
-30
– 10
-16

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hiện tượng khuếch tán

3
Thay biểu thức của mật độ dòng khuếch tán từ định luật Fick
(1.2.1) vào phương trình bảo toàn các hạt (2.1.5) ta thu được
phương trình khuếch tán:
0).( 



nD
t
n


(2.2.1)

Biết rằng:
2
2
2
2
2
2
.
zyx 









(2.2.2)

Nên phương trình khuếch tán còn được viết dưới dạng:
0



nD
t
n
(2.2.3)

Phương trình khuếch tán là một phương trình đạo hàm riêng,
nếu biết điều kiện ban đầu và điều kiện biên của một bài toán
khuếch tán cụ thể ta có thể giải phương trình ấy để tìm mật độ
hạt khuếch tán theo vị trí và thời gian
1
. Tuy nhiên, đó là một
vấn đề vượt quá phạm vi của giáo trình này. Ở đây chúng ta
chỉ xét các trường hợp khuếch tán theo một chiều. Ngoài ra,
chúng ta sẽ xét trường hợp khuếch tán dừng, tức là khi mật độ
hạt không thay đổi theo thời gian.

2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
2.3.1 KHUẾCH TÁN DỪNG
Xét sự khuếch tán dừng của các phân tử khí theo chiều dài của
một ống có tiết diện S, chiều dài L. Để duy trì trạng thái dừng,
người ta tiếp thêm hạt vào một đầu ống và lấy bớt hạt ra ở đầu
còn lại, sao cho mật độ hạt ở hai đầu ống được giữ cố định, n =
n
1
tại x = 0 và n = n
2
tại x = L (n
1

> n
2
). Tìm mật độ hạt n theo
vị trí x và thông lượng hạt qua ống. Cho hệ số khuếch tán của
các phân tử khí là D.

Vì các hạt chỉ khuếch tán theo trục x nên phương trình khuếch
tán có dạng:
0
2
2






x
n
D
t
n


Ngoài ra ở trạng thái dừng thì
0 tn
nên:
0
2
2




x
n


Tích phân hai lần phương trình trên và dùng các điều kiện về
mật độ ở hai đầu ống, ta được:
1
12
nx
L
nn
n 




Theo định luật Fick, mật độ dòng hạt là:
 
21
nn
L
D
x
n
Dj 






Thông lượng hạt qua ống sẽ là:
 
21
nn
L
DS
jS 


2.3.2 KHUẾCH TÁN TRONG CHẤT BÁN DẪN
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hiện tượng khuếch tán

4
Cho một thanh silicium hình trụ tiết diện S, chiều dài rất lớn.
Xét sự khuếch tán dừng của các hạt điện tích q dọc theo chiều
dài thanh với hệ số khuếch tán D. Ngoài sự khuếch tán, trong
thanh silicium còn có những quá trình tạo thêm và hấp thụ các
hạt. Tốc độ tạo thêm và hấp thụ trong một đơn vị thể tích tuân
theo các hệ thức sau:

0
n
r
c



n
r
a


Trong đó n
0
và

là các hằng số dương, còn n là mật độ hạt.
Tìm mật độ hạt n và cường độ dòng I qua thanh theo vị trí x,
nếu cho trước mật độ tại x = 0 là n(0).

Do có các quá trình tạo thêm hạt và hấp thụ hạt, nên dạng của
các phương trình mô tả sự bảo toàn hạt cũng khác đi. Xét một
thể tích nhỏ dV, và để cho đơn giản giả sử chỉ có các hạt đi ra
khỏi dV, sự bảo toàn hạt trong dV trong một khoảng thời gian
dt cho ta:
Độ biến thiên số hạt = Số hạt được tạo thêm – Số hạt bị hấp
thụ – Số hạt ra khỏi dV

Nếu xét trong một đơn vị thời gian và một đơn vị thể tích ta có
thể viết hệ thức bảo toàn trên như sau:

n
j
n
t

n





0


Dùng mật độ dòng từ định luật Fick ta thu được phương trình
khuếch tán trong trường hợp này:


n
n
nD
t
n



0


Vì khuếch tán là dừng (
0 tn
) và chỉ diễn ra theo một
chiều (phương x), nên phương trình trên trở thành:

D

n
D
n
x
n
0
2
2





Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

















x
b
x
ann expexp
0

với

D
2


Để tìm các hằng số a và b ta dùng các điều kiện biên ở hai đầu
của thanh, n = n(0) tại x = 0 và n hữu hạn khi x



. Suy ra:


0
0 nna 

0

b


Vậy mật độ hạt khuếch tán có dạng:
 

 








x
nnnn exp0
00


Theo định luật Fick mật độ dòng khuếch tán là:
 
 














x
nn
D
x
n
Dj exp0
0


Suy ra cường độ dòng điện qua thanh silicium do khuếch tán:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hiện tượng khuếch tán

5
 
 










x
nn
qDS

qjSI exp0
0


3. CHUYỂN ĐỘNG NHIỆT VÀ SỰ KHUẾCH TÁN
Hiện tượng khuếch tán, cũng như sự truyền nhiệt và hiện tượng
nội ma sát, đều bắt nguồn từ chuyển động nhiệt của các phân
tử vật chất. Do đó, hệ số khuếch tán cũng phụ thuộc vào các
đại lượng đặc trưng cho chuyển động nhiệt như tiết diện hiệu
dụng và quãng đường tự do trung bình.

3.1 TIẾT DIỆN HIỆU DỤNG CỦA VA CHẠM
Xét một phân tử B chuyển động về phía một phân tử A (hình
3.1.1). Để có thể xảy ra va chạm thì khoảng cách giữa chúng
phải nhỏ hơn một đoạn

nào đó. Nói cách khác, hạt B phải đi
qua đường tròn có tâm đặt tại A, bán kính

, vuông góc với
phương chuyển động của nó. Diện tích của đường tròn đó,
2


, được gọi là tiết diện hiệu dụng của quá trình va
chạm đang xét.

Ví dụ, nếu các phân tử có thể coi như những quả cầu rắn bán
kính r, thì
r2



và
2
4 r


.

Tiết diện hiệu dụng còn được đo bằng barn:
1 barn = 10
-28
m
2

Tiết diện hiệu dụng càng lớn thì khả năng va chạm giữa các
phân tử càng gia tăng. Do đó số lần va chạm trung bình của
một phân tử trong một đơn vị thời gian cũng tỷ lệ với tiết diện
hiệu dụng.

Trước hết, để cho đơn giản ta giả sử chỉ có một phân tử loại B
chuyển động thẳng với vận tốc trung bình là
v
, còn tất cả các
phân tử loại A đều đứng yên, phân bố đều với mật độ n (phân
tử bia). Trong một đơn vị thời gian, phân tử B sẽ va chạm với
tất cả các phân tử A nằm trong một hình trụ đáy là

, và chiều
cao là

v
(hình 3.1.2). Như vậy, số lần va chạm trung bình Nc
trong một đơn vị thời gian chính bằng số phân tử nằm trong
hình trụ ấy:

vnN
c

(3.1.1)

Tất nhiên, do va chạm nên phân tử không chuyển động thẳng
mà đi theo một đường zig-zag, nhưng cả trong trường hợp này
lập luận trên vẫn còn giá trị.

Nếu các phân tử là đồng nhất thì tất cả đều chuyển động, vì thế
trong (3.1.1) ta phải dùng vận tốc tương đối trung bình của một
phân tử so với những phân tử mà nó đến va chạm. Theo phân
bố Maxwell, vận tốc tương đối trung bình là:
2vv
rel

(3.1.2)

Do đó, số lần va chạm trung bình trong một đơn vị thời gian
được xác định bởi:
vnN
c

2
(3.1.3)

3.2 QUÃNG ĐƯỜNG TỰ DO TRUNG BÌNH
Quãng đường trung bình mà hạt đi được giữa hai lần va chạm
liên tiếp được gọi là quãng đường tự do trung bình. Ta có:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hiện tượng khuếch tán

6

vl

(3.2.1)

Trong đó

là thời trung bình giữa hai va chạm kế tiếp nhau.


chính là nghịch đảo của số lần va chạm trung bình trong một
đơn vị thời gian. Do đó:
c
N
v
l 
(3.2.2)

3.3 TÍNH HỆ SỐ KHUẾCH TÁN
Trong phần này, để cho đơn giản chúng ta chỉ xét khuếch tán
dừng trong một môi trường gồm các hạt đồng nhất. Chúng ta

sẽ tính mật độ dòng khuếch tán theo trục x (giả sử các hạt
khuếch tán theo chiều dương của trục x). Gọi S là một hình
phẳng vuông góc với trục x (hình 3.3.1), N
1
, N
2
là số hạt đi qua
một đơn vị diện tích của S trong một đơn vị thời gian theo
chiều dương và theo chiều âm, ta có mật độ dòng qua S là:
21
NNj
x

(3.3.1)

Trên thực tế, các hạt có vận tốc tuân theo một phân bố xác định
(như phân bố Maxwell chẳng hạn), nhưng ở đây ta coi như
chúng có cùng một vận tốc bằng vận tốc trung bình. Ngoài ra,
vì chuyển động nhiệt là hỗn loạn, nên có 1/3 số hạt đi theo mỗi
phương x, y và z. Trong số các hạt đi theo phương x, lại có một
nửa đi theo chiều dương và một nửa đi theo chiều âm. Vì vậy:
vnN
11
6
1

(3.3.2)
vnN
22
6

1

(3.3.3)

Với n
1
, n
2
là mật độ hạt ở hai bên mặt S. Vì các hạt luôn va
chạm làm cho mật độ thay đổi dọc theo trục x, nên n
1
, n
2
phải
là mật độ ở các vị trí cách S một khoảng bằng quãng đường tự
do trung bình l. Tại đó, các hạt va chạm lần chót trước đi qua
mặt S.

Ta có:
 
vnnj
x 21
6
1

(3.3.4)

Nếu quãng đường tự do trung bình đủ nhỏ ta có gần đúng:
x
n

lnn


 2
21
(3.3.5)

Vậy:
x
n
vlj
x



3
1
(3.3.6)

So sánh hệ thức trên với định luật Fick ta có biểu thức của hệ
số khuếch tán:
vlD
3
1

(3.3.7)

3.4 VÍ DỤ ÁP DỤNG
Một bình khí Argon được giữ ở áp suất P = 10
5

Pa và nhiệt độ
T = 300 K. Coi Argon như một khí lý tưởng và các nguyên tử
Argon như những quả cầu cứng có bán kính r = 0,15 nm.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Hiện tượng khuếch tán

7
3.4.1. Hãy xác định tiết diện hiệu dụng của các nguyên tử
Argon khi va chạm lẫn nhau.

3.4.2. Tính thời gian trung bình giữa hai lần va chạm và quãng
đường tự do trung bình. Cho biết khối lượng mol của
Argon M = 39,9 g.m
-3
; hằng số khí lý tưởng R = 8,31
J.K
-1
.mol
-1
; số Avogadro NA = 6,02.10
23
mol
-1
.

3.4.3. Tìm sự phụ thuộc của hệ số khuếch tán vào áp suất và
nhiệt độ của khí. Dùng các số liệu trong câu trên để tính
hệ số khuếch tán của Argon.

Tiết diện hiệu dụng:


219
2
10.83,22 mr





Vì các hạt là đồng nhất nên quãng đường tự do trung bình có
dạng:
nvn
v
N
v
l
c

2
1
2



Trong đó mật độ hạt n có thể suy ra từ phương trình trạng thái
khí lý tưởng:
RT

PN
n
A



Suy ra:
m
PN
RT
l
A
7
10.03,1
2





Thời gian trung bình giữa hai lần va chạm:
vn
N
c


2
11


Vận tốc trung bình được xác định từ phân bố Maxwell và có
dạng
1
:
1
.88,398
8

 sm
M
RT
v



Vậy:
s
PN
MRT
A
10
10.59,2
4






Hệ số khuếch tán có thể tính theo công thức (3.3.7):


125
2/3
.10.38,1
3
2
3
1

 sm
PNM
RT
vlD
A



TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Thermodynamique, 1
re
année MPSI-PCSI-PTSI, Jean-
Marie Brebec et al, Hachette Supérieur.
[2] Molecular Physics, A. K. Kikoin and I. K. Kikoin,
translated from Russian by G. Leib, Mir Publishers
(Moscow).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.