Phần trình bày về dạng lượng giác của số phức

Biểu diễn hình học của số phức

-
( , )• ≡ = +M a b z a bi
ϕ
r
b
a
o
x
y
2 2
mod( )= + =r a b z
cos
:
sin
ϕ
ϕ
ϕ

=



=

a
r
b
r

trục thực
trục ảo
Định nghĩa môdun của số phức

2 2
mod( ) | |= = +z z a b
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định
nghĩa như sau:
Ví dụ
Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i.
Giải
Vậy mod(z) = |z| =
2 2 2 2
3 ( 4) 5.+ = + − =a b
a = 3; b = -4.
Định nghĩa môdun của số phức

-
Cho z = a + bi và w = c + di.
Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì
2 2 2 2
| | ( 0) ( 0)= + = − + −z a b a b
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).
2 2
| | ( ) ( )z w a c b d− = − + −
Định nghĩa argument của số phức

Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu

là
ϕ
arg( ) .
ϕ
=z
Góc được giới hạn trong khoảng
ϕ
Lưu ý.
0 2
ϕ π
≤ <
hoặc
π ϕ π
− < ≤
Công thức tìm argument của số phức.
2 2
2 2
cos
sin
ϕ
ϕ

= =


+


= =


+

a a
r
a b
b b
r
a b
hoặc
tg
ϕ
=
b
a
Định nghĩa argument của số phức

Giải
Ví dụ
Tìm argument của số phức
3 .= +z i
3; 1= =a b
. Ta tìm góc thỏa:
ϕ
3 3
os =
2
3 1
ϕ
= =
+

a
c
r
1 1
sin =
2
3 1
ϕ
= =
+
b
r
Suy ra
6
π
ϕ
=
Vậy arg(z) =
6
π
Dạng lượng giác của số phức

2 2
; 0= + + >z a bi a b
(cos sin )
ϕ ϕ
= +z r i
Dạng lượng giác của số phức
2 2
2 2 2 2

( )= + +
+ +
a b
z a b i
a b a b
(cos sin )z r i
ϕ ϕ
= +
Dạng lượng giác của số phức

Giải
Môđun:
Ví dụ
Tìm dạng lượng giác của số phức
1 3.= − +z i
1; 3.= − =a b
1 1
os =
2
3 1
ϕ
− −
= =
+
a
c
r
3 3
sin =
2

3 1
ϕ
= =
+
b
r
Suy ra
2
3
π
ϕ
=
Dạng lượng giác:
2 2
| | 2.= = + =r z a b
Argument:
2 2
1 3 2(cos sin )
3 3
π π
= − + = +z i i
Các phép toán với dạng lượng giác của số phức
- - - - - -
1 1 1 1 2 2 2 2
(cos sin ); (cos sin )z r i z r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
1. Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác
1 2
1 2

1 2
2
r r
z z
k
ϕ ϕ π
=

= ⇔

= +

2. Phép nhân ở dạng lượng giác
1 2 1 2 1 2 1 2
(cos( ) sin( ))z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
× = + + +
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau
và argument cộng lại.
Các phép toán với dạng lượng giác của số phức
- - - - - - - -
3. Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác
1 1
1 2 1 2
2 2
(cos( ) sin( ))
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + −
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và
argument trừ ra.
1 1 1 1 2 2 2 2
(cos sin ); (cos sin )z r i z r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
2 2
0 0.≠ ⇔ >z r
Bài tập

Giải
(1 )(1 3)= + −z i i
Dạng lượng giác:
Bài tập 1:
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức
(1 )(1 3).= + −z i i
2( os in ) 2( os in )
4 4 3 3
π π π π
− −
= + × +z c is c is
2 2[ os( ) in( )]
4 3 4 3
π π π π
− −
= + + +z c is
2 2( os in ).
12 12
π π

− −
= +z c is