ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP TẦN SỐ TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN XUNG CỰC NGẮN TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************




BÙI XUÂN KIÊN






ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP TẦN SỐ
TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN
XUNG CỰC NGẮN TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ









- 2013 -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************

BÙI XUÂN KIÊN




ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP TẦN SỐ
TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN
XUNG CỰC NGẮN TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN




LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 62 44 01 09





Cán bộ hướng dẫn khoa học
:

PGS. TS. Trịnh Đình Chiến

VINH - 2013

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận án này là công trình nghiên
cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trịnh Đình Chiến. Các số
liệu, kết quả trong bản luận án là hoàn toàn trung thực và chưa ai công bố
trong bất cứ luận án nào hoặc các công trình nào khác.


Tác giả luận án

Bùi Xuân Kiên

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Trịnh Đình Chiến, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy
giáo,
những người đã đặt đề tài, dẫn dắt tận tình và động viên tác giả trong suốt
quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận án.

Tác giả xin được chân thành cảm ơn các thầy giáo, các nhà khoa học và
các bạn đồng nghiệp, Khoa Vật lý và Công nghệ, phòng Đào tạo Sau đại học
– Trường Đại học Vinh, Viện KH & CNQS – Bộ Quốc phòng, Viện Vật liệu
– Viện hàn lâm khoa học Việt Nam đã đóng góp những ý kiến khoa học bổ
ích cho nội dung luận án, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong thời gian học
tập và nghiên cứu
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học
Điện lực, khoa Khoa học cơ bản, phòng chức năng khác của trường đã giúp
đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu luận án
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân trong gia
đình đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và
hoàn thành luận án.

Xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả luận án



Bùi Xuân Kiên




i
MỤC LỤC
Lời cảm ơn……………………………………………………………………
Lời cam đoan…………………………………………………………………
Mục lục……………………………………………………………………… i
Danh mục các ký hiệu……………………………………………………… iii
Danh mục các hình vẽ……………………………………………………… iv
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… 1
CHƯƠNG 1: CÁC HIỆU ỨNG PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG DẪN
QUANG VÀ LASER SOLITON SỢI QUANG …………………………… 5
1.1. Phương trình truyền ánh sáng trong sợi quang 5
1.1.1. Hệ phương trình Maxwell 5
1.1.2. Phương trình lan truyền xung phi tuyến 8
1.1.3. Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao 12
1.2. Cấu hình và nguyên lý hoạt động của laser sợi quang 21
1.2.1. Cấu tạo của laser sợi quang 21
1.2.2. Kỹ thuật khóa mode 24
1.2.3. Một vài cấu hình laser sợi quang tiêu chuẩn 26
1.3. Kết luận 31
CHƯƠNG 2: VAI TRÒ CỦA CHIRP TRONG KỸ THUẬT NÉN XUNG 33

2.1. Sự tạo chirp và bù trừ chirp trong các thiết bị quang học 33
2.1.1. Quá trình tạo chirp 34
2.1.2. Quá trình bù trừ chirp 38
2.2. Kỹ thuật nén xung sáng 41
2.2.1.Nén xung trong buồng cộng hưởng 41
2.2.2. Nén xung ngoài buồng cộng hưởng. 45
2.3. Kết luận 51

ii
CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP TẦN SỐ LÊN SỰ
BIẾN DẠNG XUNG GAUSS TRONG SỢI QUANG 53
3.1. Sự mở rộng xung tán sắc cảm ứng 53
3.1.1. Hệ số mở rộng xung Gauss có chirp 53
3.1.2. Ảnh hưởng của tham số tán sắc và tham số chirp 56
3.1.3. Sự thay đổi dạng xung truyền trong sợi quang 59
3.1.4. Tốc độ mở rộng xung 62
3.1.5. Khảo sát sự phụ thuộc của chiều dài sợi vào tham số chirp C 64
3.2. Mở rộng xung khi có tán sắc bậc ba 67
3.2.1. Hệ số mở rộng xung 67
3.2.2. Ảnh hưởng của tham số tán sắc bậc ba 70
3.3. Kết luận 74
CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU SỰ PHÁT XUNG SOLITON CỦA LASER
SỢI QUANG BUỒNG CỘNG HƯỞNG VÒNG KHÓA MODE THỤ ĐỘNG77
4.1. Cấu hình laser sợi quang buồng cộng hưởng vòng khóa mode thụ động 77
4.2. Phương trình truyền lan 78
4.3. Điều kiện tồn tại soliton 79
4.4. Quá trình biến đổi xung trong laser sợi quang 82
4.5. Ảnh hưởng của tham số chirp 83
4.6. Ảnh hưởng của các tham số lên chiều dài buồng cộng hưởng cho trường
hợp phát Soliton 87

4.6.1. Ảnh hưởng của tham số chirp C……………………………… 87
4.6.2. Ảnh hưởng của tham số tán sắc β
2
……………………….……89
4.7. Kết luận 93
KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………………… 95
Các công trình khoa học đã công bố liên quan đến đề tài………………… 98
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….100
Phụ lục…………………………………………………………………… 110
iii
DANH MỤC VIẾT TẮT

CPM Colliding Pulse Mode – Locking
DBR Distributed Bragg Reflectors
LD Laser Diode
NA Number Aperture
NLSE Nonlinear Schrodinger Equation
MM Multiple Mode
MQW Multiple Quantum Well
GVD Group Velocity Dispersion
GNLSE Generalized Nonlinear Schrodinger Equation
GI Grade Index
SM Single Mode
SI Step Index
SPM Self - Phase Modulation
SESAM Semiconductor Saturable Absorber Mirror
SQW Semiconductor Quantum Well
SRS Stimulated Raman Scattering
SBS Stimulated Brillouin Scattering
XPM Cross - Phase Modulation

FWHM Full Width at Half Maximum
WDM Wave Division Multiplexing








iv
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

TT Hình
Trang
1
Hình 1.1. Thay đổi tham số tán sắc D = d

1
/d

(liên tục) và

2
(đường đứt )
của sợi thủy tinh.
11
2 Hình 1.2. Biến đổi theo thời gian của hàm đáp ứng Raman rút ra từ phổ
khuếch đại Raman thực nghiệm.
18

3 Hình 1.3. Cấu tạo của sợi quang hai vỏ (a); phân bố chiết suất trên tiết
diện ngang (b).
22
4
Hình 1.4.
Cấu tạo của cách tử Bragg sợi quang.

23
5
Hình 1.5.
Laser bơm và cách liên kết với sợi laser.

23
6
Hình 1.6.
Cấu hình laser sợi quang công suất cao

24
7 Hình 1.7. Một số linh kiện SESAM 26
8 Hình 1.8. Sơ đồ laser quang sợi khoá mode bằng quay phân cực phi tuyến 27
9 Hình 1.9. Sơ đồ của buồng cộng hưởng laser với cách tử bragg có chirp 29
10
Hình 2.1. Hệ hai lăng kính (a); hệ bốn lăng kính để điều chính tán sắc
vận tốc nhóm (b)
39
11 Hình 2.2. Sơ đồ tính toán GVD của cặp cách tử G
1
, G
2
40

12 Hình 2.3. Sơ đồ tính toán GVD của cặp lăng kính P
1
và P
2
40
13 Hình 2.4. Buồng cộng hưởng vòng cho laser màu CPM. Hệ số 4 lăng
kính, GVD trong buồng cộng hưởng có thể điều chỉnh được
42
14 Hình 2.5. Buồng cộng hưởng vòng cho laser CPM dùng một hoặc hệ hai
lăng kính.
42
15 Hình 2.6. Xung được truyền qua bộ khuếch đại và bộ hấp thụ bão hoà 44
16 Hình 2.7. Minh hoạ bộ nén xung hai tầng 46
17 Hình 2.8. Bộ nén xung một tầng dùng cách tử và sợi quang 47
18 Hình 3.1. Sự phụ thuộc vào tham số chirp của độ rộng xung truyền qua
sợi quang 100km với các tham số tán sắc: -50ps
2
/km (liên tục); -20ps
2
/km
(gạch); +20ps
2
/km (chấm) và +50ps
2
/km (gạch-chấm).
57
19 Hình 3.2. Độ rộng xung ra phụ thuộc vào tham số tán sắc mô phỏng với
xung vào Gauss có tham số chirp khác nhau.
58
20 Hình 3.3. Dạng xung Gauss không có chirp lan truyền trong sợi quang

60
v
ứng với trường hợp tán sắc thường
2
2
50 /
ps km


.
21 Hình 3.4. Dạng xung Gauss có chirp C = 2 lan truy
ền trong sợi quang
ứng với trường hợp tán sắc thường
2
2
50 /
ps km


.
61
22 Hình 3.5. Dạng xung Gauss có chirp C = -2 lan truy
ền trong sợi quang
ứng với trường hợp tán sắc thường
2
2
50 /
ps km



.
61
23 Hình 3.6. Cường độ đỉnh của xung Gauss phụ thuộc vào tham số chirp C
lan truyền trong sợi quang ứng với trường hợp tán sắc thường
2
2
50 /
ps km


.
62
24 Hình 3.7. Thay đổi độ rộng xung theo quãng đường truyền 63
25 Hình 3.8. Sự phụ thuộc của chiều dài vào tham số chirp C với giá trị của
hệ số mở rộng

cho trước.
65
26 Hình 3.9. Sự phụ thuộc của chiều dài lan truyền để xung không bị mở
rộng theo tham số chirp C trong môi trường tán sắc thường
66
27 Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ rộng xung ra vào tham số tán sắc cảm
ứng
2

với các tham số tán sắc bậc ba khác nhau
3
3
0.0;50;100 /

ps km


và
0
100
T ps

,
6
C
 
,
100
L km


71
28 Hình 3.11. Sự phụ thuộc của độ rộng xung ra vào tham số tán sắc cảm
ứng
2

với các tham số tán sắc bậc ba khác nhau
3
3
0.01;0,1;10 /
ps km


và

0
10
T ps

,
6
C
 
,
100
L km


72
29 Hình 3.12. Sự phụ thuộc của độ rộng xung ra vào tham số tán sắc cảm
ứng
2

với các tham số tán sắc bậc ba khác nhau
3
3
0.01;0,05;1 /
ps km


và
0
1
T ps


,
6
C
 
,
100
L km

.
73
30 Hình 3.13. Sự phụ thuộc của độ rộng xung ra vào tham số chirp C với các
tham số tán sắc bậc ba khác nhau
3
3
0,0;1,0;2,0 /
ps km


và
0
1
T ps

,
6
C
 
,
100
L km


2
2
2 /
ps km


.
74
31 Hình 4.1. Sơ đồ laser sợi quang khóa mode. 77
32 Hình 4.2. Quá trình biến đổi xung trong sợi quang laser với C=5. 82
33 Hình 4.3. Quá trình biến đổi xung trong sợi quang laser với C=-5. 83
34 Hình 4.4. Xung Gauss không chirp (C = 0) sau một số vòng qua lại trong
BCH.
84
vi
35 Hình 4.5. Xung vào chirp âm sau một số vòng trong BCH với C = -5. 85
36 Hình 4.6. Xung vào chirp âm sau một số vòng trong BCH với C = -10. 85
37 Hình 4.7. Xung vào chirp dương sau một số vòng trong BCH với C = 5. 86
38 Hình 4.8. Xung vào chirp dương sau một số vòng trong BCH với C = 10. 86
39 Hình 4.9. Phụ thuộc L
c
vào C với các giá trị khác nhau của công suất đỉnh 88
40
Hình 4.10. Phụ thuộc của L
c
vào

2
, P

0
với các tham số khác nhau của
công suất đỉnh
90
41 Hình 4.11. Phụ thuộc L
c
vào P
0
với các giá trị khác nhau của tham số
chirp dương
91
42 Hình 4.12. Phụ thuộc L
c
vào P
0
với các tham số khác nhau của tham số
chirp âm.
92

1
MỞ ĐẦU
Sợi quang là một trong những môi trường phi tuyến vì chiết suất thay
đổi theo cường độ của ánh sáng mạnh lan truyền. Các xung Laser ngắn và cực
ngắn luôn luôn có cường độ lớn, vì vậy chúng chịu tác động bởi các hiệu ứng
phi tuyến của môi trường sợi quang. Lan truyền xung laser ngắn và cực ngắn
trong sợi quang đã gắn với hàng loạt hiện tượng quan trọng trong thực tế [30,
31, 34, 51, 52, 54, 61]. Tính chất tán sắc và phi tuyến của sợi quang dẫn đến
nhiều bức tranh khác nhau của quá trình tiến triển xung, trong đó, chủ yếu là
thay đổi dạng xung, phổ và chirp tần số [77, 80]. Sợi quang học đầu tiên đã
được chế tạo trong năm 1966 [37] cùng với sự xuất hiện của laser, tuy nhiên
sợi quang lúc này có hệ số hấp thụ cao nên chưa được sử dụng trong thông tin
quang học. Nhưng dựa vào kết quả này, một đề xuất về cấu trúc sợi dẫn
quang đơn mốt đã được đưa ra bằng tính toán lý thuyết theo hệ phương trình
Maxwell [23, 47] và từ đó đã phát triển quy trình chế tạo sợi quang có hệ số
suy giảm thấp [42]. Những nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang
với hệ số suy giảm thấp ngày càng được quan tâm với mục đích bảo đảm hiệu
năng đường truyền (B.L) lớn. Hiện tượng tán xạ Raman [75] và tán xạ
Brillouin [33] được nghiên cứu đầu tiên (1972), hiệu ứng Kerr (1973)[50, 83],
trộn thông số bốn sóng (1974)[84] và tự biến điệu xung (1978) [5, 6, 7, 69] là
những hiệu ứng phi tuyến đã được nghiên cứu rất kỹ trong thời gian qua.
Soliton là một trạng thái truyền dẫn đặc biệt của các xung quang ngắn
và cực ngắn lan truyền trong môi trường phi tuyến vì chúng không bị méo
dạng xung do tán sắc và không suy giảm về năng lượng [29]. Lý thuyết về
xung soliton quang học đã được đề cập trong năm 1973 như là kết quả của
quá trình cân bằng giữa hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng phi tuyến của sợi quang,
và quá trình lan truyền xung soliton đã được xây dựng bảy năm sau đó (1980)
[2, 12]. Hiện nay, xung soliton đã được sử dụng như “bit” thông tin trong sợi
quang [31, 60].

2
Phương trình Schrodinger phi tuyến dạng secant cho các lời giải để giải
thích sự tồn tại của xung soliton quang học [10, 12, 53]. Lời giải phương trình
Schrodinger phi tuyến cho xung soliton rất ổn định không những cho dạng
xung secant mà còn cho các dạng xung khác. Thí dụ, một xung Gauss ban đầu
có thể trở thành xung soliton sau khi lan truyền qua một đoạn sợi quang và
giữ nguyên trạng thái đó trong quá trình lan truyền qua từng các đoạn lặp.
Quãng thời gian lặp lại được gọi là chu kỳ soliton.
Soliton không chỉ nghiên cứu nhằm ứng dụng trong thông tin quang mà
còn được nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực liên quan đến công nghệ tạo xung
cực ngắn và tương tác laser với môi trường, ví dụ, laser sợi quang, quang học
phi tuyến, vật lý plazma, sinh học,…[9, 13, 29, 97].
Trước khi trở thành xung soliton, các xung laser lan truyền trong sợi
quang chịu tác động của nhiều hiệu ứng khác nhau, tùy thuộc vào tính chất
của môi trường và đặc trưng của xung. Xung laser luôn luôn bị mở rộng do
hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm trong sợi quang, và chính hiện tượng này gây
nên chirp tuyến tính. Xung laser càng ngắn thì tác động của hiệu ứng tán sắc
vận tốc nhóm bậc cao càng rõ ràng [10, 14]. Mặt khác, hiệu ứng tự biến điệu
pha kiểu Kerr của xung laser lan truyền trong sợi quang gây nên hiện tượng
chirp tần số ngược với hiện tượng chirp tần số do tán sắc vận tốc nhóm gây
nên [15, 16, 23, 85, 86, 87]. Ngoài ra, các xung laser còn bị ảnh hưởng bởi
các hiệu ứng khác trong sợi quang như bị suy giảm công suất trong quá trình
lan truyền hoặc được khuếch đại trong buồng cộng hưởng [17], do đó có thể
tạo ra các xung laser có dạng khác nhau [18, 92, 95]. Sự cân bằng giữa tác
động của các hiệu ứng lên xung laser khởi phát là điều kiện cần để tạo ra
xung soliton quang học trong môi trường lan truyền [88, 89, 90].
Nghiên cứu biến đổi xung laser lan truyền trong sợi dẫn quang nói
chung và trong laser sợi nói riêng là vấn đề nghiên cứu hấp dẫn trong lĩnh vực
quang tử hiện đại [53].
3

Một số công trình nghiên cứu sự phát xung soliton quang học ổn định
trong laser sợi quang đã được tiến hành cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Các
công trình đáng chú ý nhất là sử dụng phương trình Schrodinger phi tuyến để
khảo sát sự tiến triển của các xung ngắn lan truyền trong sợi quang tán sắc (
môi trường Kerr ), với các dạng xung Parabol [25, 26, 38], Gauss [39], Secant
và Secant có chirp [43]. Tuy nhiên, các nghiên cứu chỉ dừng lại cho xung
laser khởi phát có dạng Parabol, Gauss, Secant và Secant có chirp. Các xung
laser ngắn và cực ngắn dạng Gauss hay siêu Gauss luôn có hiện tượng chirp
tần số khi chúng lan truyền trong môi trường tán sắc (sợi quang) hoặc yếu tố
sinh ra tán sắc ( cách tử Bragg trong sợi quang - FBG ) chưa được nghiên cứu
đến. Theo chúng tôi, đây là vấn đề nghiên cứu lý thú vì chúng có thể đem lại
các kết quả để mở rộng bức tranh tổng thể trong quá trình tạo xung soliton với
các dạng xung laser khởi phát có chirp tần số.
Xuất phát từ lý do nêu trên, chúng tôi đề xuất một số nội dung nghiên
cứu trong luận án với tiêu đề: “Ảnh hưởng của chirp tần số trong quá trình
hình thành và lan truyền xung cực ngắn trong môi trường phi tuyến ”.
Trong luận án này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu quá trình tiến
triển của xung laser khởi phát dạng Gauss có chirp tần số lan truyền trong sợi
quang tán sắc và trong buồng cộng hưởng với mục đích xác định điều kiện
hình thành soliton quang học từ xung này.
Mục đích của luận án:
Khảo sát quá trình hình thành và biến dạng xung laser dạng Gauss có
chirp trong laser sợi quang và trong quá trình truyền trong sợi quang tán sắc,
phân tích điều kiện hình thành soliton quang học thời gian từ xung Gauss có
chirp.
Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng các công cụ lý thuyết để đưa ra các phương trình mô tả quá
trình truyền lan xung ngắn trong môi trường tán sắc và môi trường tán sắc
4
khuếch đại và biểu thức cho các điều kiện mô tả sự phụ thuộc giữa các tham

số nguyên lý.
Sử dụng phương pháp số và phần mềm tính toán để mô phỏng các quá
trình tiến triển và đặc trưng của xung.
Cấu trúc của luận án:
Chương 1: Trình bày về quá trình lan truyền ánh sáng trong môi trường
tán sắc nói chung và trong sợi quang nói riêng. Phân tích những hiệu ứng ảnh
hưởng đến quá trình biến dạng xung laser trong môi trường tán sắc phi tuyến.
Từ đó, trình bày về cấu hình chung của laser sợi quang và một số lý thuyết và
công nghệ laser sợi quang.
Chương 2: Trình bày về chirp tần số, quá trình sinh chirp và hủy chirp.
Phân tích ảnh hưởng của chirp lên quá trình biến đổi xung trong môi trường
tán sắc. Từ đó, dẫn ra những vấn đề nghiên cứu trong chương 3 và chương 4.
Chương 3: Dẫn phương trình lan truyền xung Gauss có chirp tần số
trong sợi quang tán sắc cảm ứng và tán sắc bậc ba cho xung Gauss có chirp.
Khảo sát ảnh hưởng của tham số chirp và tham số tán sắc lên quá trình biến
đổi độ rộng xung. Từ biểu thức tính hệ số biến đổi độ rộng xung, tìm điều
kiện xuất hiện soliton. Khảo sát và phân tích ảnh hưởng của tham số chirp bậc
ba lên hệ số biến đổi độ rộng với các xung có độ rộng khác nhau.
Chương 4: Đề xuất mẫu laser sợi quang biến điệu thụ động với buồng
cộng hưởng laser sử dụng cách tử Bragg sợi quang. Dẫn phương trình lan
truyền xung Gauss có chirp tần số trong buồng cộng hưởng. Sử dụng phương
trình đã dẫn ra để khảo sát quá trình biến dạng xung trong buồng cộng hưởng
laser đồng thời tìm điều kiện phát ổn định hay phát soliton thời gian phụ
thuộc vào chiều dài sợi quang.
5
Chương 1
CÁC HIỆU ỨNG PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG DẪN QUANG
VÀ LASER SOLITON SỢI QUANG

Khi ánh sáng truyền trong môi trường dẫn quang (sợi quang), nó sẽ

chịu nhiều hiệu ứng khác nhau, đặc biệt hiệu ứng phi tuyến đối với xung ngắn
và cực ngắn. Trong chương này chúng ta xem xét các hiệu ứng trên thông qua
phương trình lan truyền ánh sáng Schrodinger phi tuyến. Tiếp theo, chúng ta
xem xét laser soliton sợi quang hoạt động dựa trên nguyên lý lan truyền ánh
sáng trong sợi quang với các hiệu ứng phi tuyến và nguyên lý hoạt động của
laser. Phương trình Schrodinger phi tuyến đã được áp dụng nghiên cứu lan
truyền xung ánh sáng trong sợi quang đặt trong buồng cộng hưởng biến điệu
thụ động. Phương trình Ginzburg - Landau áp dụng cho laser sợi quang phát
soliton đã được dẫn ra trên cơ sở phương trình Schrodinger phi tuyến kết hợp
với nguyên lý hoạt động của laser.
1.1. Phương trình truyền ánh sáng trong sợi quang
1.1.1. Hệ phương trình Maxwell
Như chúng ta đã biết, bản chất của ánh sáng là một sóng điện từ. Sự lan
truyền của sóng điện từ tuân theo hệ phương trình Maxwell. Xét môi trường
không có nguồn hệ phương trình Maxwell có dạng [1, 10, 12]:

t
B
Erot





(1.1)

t
D
Hrot






(1.2)
div
D

=0 (1.3)
div
B

=0 (1.4)
Ở đây
E

và
H

là hai véc tơ cường độ điện trường và cường độ từ trường và
D

,
B

là véc tơ cảm ứng từ và cảm ứng điện.
6
Mối liên hệ giữa chúng là:

D


=
0

E

+
P

(1.5)
B

=
0

H

+
M

(1.6)
0

: là hằng số điện môi trong chân không,
0

là độ từ thẩm trong chân không,
P

và

M

là véc tơ phân cực điện và phân cực từ.
Nói chung quan hệ giữa
E

và
P

có thể phi tuyến. Mặc dù quan hệ phi
tuyến đưa lại nhiều vấn đề bên trong sợi quang, nhưng chúng ta có thể bỏ qua
trong trường hợp sợi quang đơn mode.
P

và
E

liên hệ với nhau bởi phương
trình:
P(r,t)=
0

,,,
),(),( dttrEttr





(1.7)


là độ cảm tuyến tính.
Những sợi quang trở thành lưỡng chiết do những biến đổi trong lõi
hoặc méo địa phương. Những hiệu ứng lưỡng chiết cho biết sự tác động của
không gian sợi. Tuy nhiên nó bao gồm tác động của sự trì hoãn thời gian do
tán sắc, một đặc tính có liên quan đến truyền thông tin trong sợi quang.
Phương trình (1.1) và (1.5) cho biết sự lan truyền của sóng trong sợi quang.
Trong thực tế sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng biến cường độ điện trường E. Sử
dụng phương trình (1.1) và (1.2), (1.5) và (1.6) ta thu được phương trình
sóng:
2 2
0
2 2 2
1
E P
E
c t t

 
   
 
(1.8)
Ở đây với
00
1

c
là vận tốc ánh sáng trong môi trường chân không.
Để mô tả một cách tổng quan, hệ thức liên hệ giữa phân cực
P


và cường độ
điện trường
E

cần được biểu diễn theo cách tiếp cận cơ học lượng tử. Nhìn
chung, để đánh giá
P

chúng ta sử dụng cách tiếp cận theo quan điểm cơ học
lượng tử khi tần số quang học gần với miền cộng hưởng. Đối với trường hợp
7
sợi quang trong vùng bước sóng (0,5  2) m, nếu chúng ta chỉ nghiên cứu
đến hiệu ứng phi tuyến bậc ba thì phân cực cảm ứng có thể được phân ra làm
hai thành phần:
),(),(),( trPtrPtrP
NLL




(1.9)
Ở đây
),( trP
L

,
),( trP
NL


lần lượt là phân cực cảm ứng tuyến tính và phân cực
cảm ứng phi tuyến, chúng có mối liên hệ với cường độ điện trường bởi hệ
thức:



t
L
dttrEtttrP ')',()'(),(
)1(
0



(1.9a)
321321321
)3(
0
),(.),().,(),,(),( dtdtdttrEtrEtrEtttttttrP
t t t
NL
  
  






(1.9b)

Sử dụng biến đổi Fourier:




 dttitrErE )exp(),(),(
~


Tương tự cho P(r,t) và việc sử dụng phương trình (1.3) và (1.4) ta có:
E
c
rExx
~
),(
~
2
2



(1.10)
với

),(
~
1),(





rr


(1.11)

là hằng số điện môi,
),(
~


r
là biến đổi Fourier của
),(


r
. Nói chung
),(


r
là phức, phần ảo và phần thực của nó liên quan tới chỉ số chiết suất n
và hệ số hấp thụ

.

2
)

2
(



ci
n 
(1.12)
Sử dụng phương trình (1.11) và (1.12) ta có:

2
1
)
~
Re1(

n
(1.13)
8




~
Im
nc

(1.14)
Cả n và


đều phụ thuộc tần số. Sự phụ thuộc tần số của n dẫn đến
hiện tượng tán sắc.
Để giải phương trình (1.10) trước hết ta đơn giản hoá bằng việc bỏ số
hạng n
2
trong

vì trong sợi thuỷ tinh mất mát thấp. Sử dụng phương trình
(1.10) và
ED
~
~


,
E
~

=0, khi
),(

rn
độc lập với tọa độ r của lõi ta có:

EEEExx
~
~
)
~
(

~
22

(1.15)
Từ phương trình (1.12) và (1.15) ta được:

0
~
)(
~
2
0
22
 EknE

(1.16)
Với k
0
là số sóng trong chân không.




2
0

c
k
(1.17)
Với


là bước sóng trong chân không ở tần số

. Giải phương trình
(1.12) ta thu được chỉ số chiết suất của sợi quang.
1.1.2. Phương trình lan truyền xung phi tuyến
Nghiên cứu đa số các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang liên quan đến
việc sử dụng các xung sáng cực ngắn với độ rộng xung nằm trong vùng từ
10ns đến 10fs. Khi một xung quang học như thế lan truyền trong sợi quang thì
cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến sẽ ảnh hưởng lên phổ và hình dạng của
chúng. Trong phần này chúng ta dẫn ra phương trình cơ bản lan truyền của
các xung quang học trong các sợi quang tán sắc phi tuyến. Chúng ta bắt đầu
từ phương trình (1.8). Có thể được viết lại dưới dạng [1, 10]:

2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
1
t
P
t
P
t

E
c
E
NLL















ở đây thành phần phân cực tuyến tính và phi tuyến liên hệ với trường điện từ
),( trE

được cho bởi (1.9a) và (1.9b) .
9
Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng của nó cỡ picô-
giây. Đối với các xung này, điều kiện chuẩn đơn sắc được thoả mãn
0
1




, phản ứng phi tuyến của môi trường với sóng là tức thời. Khi đó,
sự lan truyền của hàm bao được mô tả bởi phương trình [2, 10]:

2
2
2
1
2
A A i A
i A A
z t 2 t
   
    
  
(1.18)
trong đó
-
g
1
g
n
1 1 dn
n
v c c d
 
     
 

 

liên hệ với vận tốc nhóm của xung:
1
1


g
v

(
g

là vận tốc nhóm của xung).

-
2
2
2
1 dn d n
2
c d d
 
   
 
 
 
là
độ tán sắc vận tốc nhóm.
-
eff
cA

n
02



là hệ số phi tuyến. A
eff
là tiết diện hiệu dụng của sợi quang.
Để đơn giản, ta xét trong hệ tọa độ chuyển động với vận tốc bằng vận
tốc nhóm
g

bằng cách đưa vào biến: T = t -
g
v
z
.
Với phép đổi biến này, phương trình
(1.11) sẽ có dạng sau:

2
2
2
2
A i A
i A A
z 2 T
  
  
 

(1.19)
Phương trình (1.19) mô tả quá trình lan truyền của hàm bao biến thiên
chậm của xung ánh sáng trong môi trường tán sắc phi tuyến, được gọi là
phương trình Schrodinger phi tuyến (Nonlinear Schrodinger Equation-
NLSE). Phương trình này mô tả phù hợp sự lan truyền xung cỡ picô giây hoặc
lớn hơn. Số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm
(GVD), còn số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha. Như vậy, khi
truyền trong sợi quang các xung ánh sáng ngắn có công suất đỉnh lớn một giá
trị ngưỡng nào đó (ngưỡng hiệu ứng Kerr) sẽ tác động lên môi trường sợi
10
quang làm thay đổi chiết suất. Chiết suất thay đổi kết hợp với hiệu ứng tán sắc
sẽ dẫn đến hiệu ứng tự biến điệu pha và cuối cùng dạng xung sẽ thay đổi.
Trong phương trình (1.19), biên độ A được giả thiết chuẩn hóa theo
công suất quang
2
A
. Đại lượng
2
A

có đơn vị đo là m
-1
, nếu hệ số chiết
suất phi tuyến
2
n
có đơn vị đo là m
2
/W. Tham số
eff

A
tiết diện mode hiệu
dụng của sợi quang được định nghĩa như sau:

2
2
eff
4
F(x, y) dxdy
A
F(x, y) dxdy




 
 
 

 
 


Để xác định được tiết diện mode hiệu dụng, chúng ta cần sử dụng phân
bố
F(x,y)
đối với mode cơ bản của sợi quang. Rõ ràng
eff
A
phụ thuộc vào bán

kính lõi và bán kính vỏ của sợi quang. Nếu phân bố
F(x,y)
có dạng gần Gauss
2 2
2
x y
F(x,y) exp
w
 


 
 
, trong đó
w
là tham số độ rộng thì
2
eff
A w
 
.
Phương trình (1.19) mô tả quá trình lan truyền của xung pico giây
trong các sợi đơn mode. Phương trình này có thể rút gọn trong điều kiện nhất
định. Các hiệu ứng tác động vào quá trình lan truyền đó là hấp thụ thông qua
hệ số hấp thụ , hiệu ứng tán sắc thông qua vận tốc nhóm 
1
và hệ số tán sắc
vận tốc nhóm 
2
và hiệu ứng phi tuyến Kerr thông qua hệ số .

Nếu chúng ta xét trường hợp bao xung chuyển động với vận tốc nhóm
g 1
v 1/
 
thì hiệu ứng tán sắc của vận tốc nhóm (GVD – group velocity
dispersion) sẽ thông qua 
2
. Tham số 
2
của hiệu ứng GVD có giá trị dương
hoặc âm, phụ thuộc vào bước sóng ánh sáng  nhỏ hơn hay lớn hơn bước
sóng tán sắc không 
D
của sợi quang, tại đó tham số tán sắc
2 2
1
D d / d d n / cd 0
      
(xem hình 1.1). Trong chế độ tán sắc dị thường,
11
tức là  > 
D
, tham số 
2
có giá trị âm và trong sợi quang có thể hình thành
soliton.

Bước sóng (m)
Hình 1.1. Thay đổi tham số tán sắc D=d


1
/d

(liên tục) và

2
(đường đứt)
của sợi thủy tinh [10].
Phương trình (1.19) là phương trình đạo hàm vi phân tuyến tính. Để
giải phương trình này, người ta sử dụng một phương pháp giải tích đó là
phương pháp tán xạ ngược và thu được lớp nghiệm rất thú vị là các nghiệm
Soliton
Một lưu ý rằng, trong phương trình (1.19) ta đã bỏ qua sự hao phí trong
quá trình lan truyền xung. Trong trường hợp tính đến cả hao phí trên sợi
quang phương trình được viết lại có dạng [10]:
2
2
2
2
A i A
A i A A
z 2 2 T
   
   
 
(1.20)
trong đó

là hệ số hấp thụ, liên quan đến phần ảo của chiết suất, thường
được cho bởi:

Tham số tán sắc
12



)(Im)(
)1(



nc

. (1.21)
1.1.3 Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao
Ở trên ta đã dẫn ra phương trình lan truyền của các xung ngắn trong
môi trường phi tuyến (sợi quang). NLSE mô tả sự biến đổi các xung ngắn
hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, trong những năm 80 - 90 của
thế kỷ XX, các nghiên cứu thực nghiệm đã nhận thấy rằng các xung cỡ femtô
- giây (xung cực ngắn) vi phạm phương trình (1.20). Tức là nếu mô tả sự lan
truyền của các xung cực ngắn bởi phương trình (1.20) sẽ không cho ta nghiệm
Soliton mà trái lại cả hàm bao lẫn phổ của xung đều bị biến đổi. Hiện tượng
này thường được gọi là hiện tượng Soliton tự dịch chuyển tần số ( Soliton self
- frequence shift) hay là hiện tượng tách xung (pulse splitting). Do đó, chúng
ta cần tìm phương trình chính xác hơn (1.20) để mô tả sự lan truyền của các
xung cực ngắn.
Các xung cực ngắn, có phổ rộng so sánh được với tần số sóng mang
nên hiệu ứng tán sắc xảy ra mạnh hơn, nghĩa là ta cần phải tính đến các thành
phần tán sắc bậc cao xẩy ra trong phương trình lan truyền.
Thời gian của các xung cực ngắn có thể so sánh được với các quá trình
nguyên tử, công suất của chúng cũng rất lớn. Ta không thể xem phản ứng phi

tuyến của môi trường là tức thời được. Bởi ta biết các quá trình vi mô có thời
gian từ 0,1 - 10fs, các xung cực ngắn có thời gian từ 10fs đến hàng trăm fs. Do
đó, cần phải đưa thêm số hạng diễn tả sự trễ của môi trường vào phương trình.
Mặc dù phương trình (1.20) đã giải thích một cách hiệu quả nhiều hiệu
ứng phi tuyến, tuy nhiên, nó cũng cần được thay đổi cho phù hợp với thực
nghiệm. Ví dụ, trong phương trình (1.20) cần có số hạng mô tả hiệu ứng tán
xạ không đàn hồi cưỡng bức như tán xạ Raman cưỡng bức (SRS - Stimulated
Raman scattering) hay tán xạ Brillouin cưỡng bức (SBS – Stimulated
Brillouin scattering). Khi công suất đỉnh của xung ánh sáng tới lớn hơn một
13
giá trị ngưỡng nào đó, hiệu ứng SRS và SBS sẽ xuất hiện và chuyển năng
lượng cho một xung mới có bước sóng khác. Các sóng này có thể lan truyền
cùng chiều hoặc ngược chiều với xung tới. Hai xung này sẽ tác động lên nhau
thông qua hiện tượng biến điệu pha chéo (XPM-cross-phase modulation).
Hiện tượng tương tự sẽ xẩy ra khi hai hoặc nhiều xung có bước sóng khác
nhau (với độ rộng phổ nhất định) truyền trong sợi quang. Quá trình lan truyền
đồng thời của nhiều xung cần được mô tả bởi hệ nhiều phương trình tương tự
(1.20) có biến đổi với sự tham gia của các số hạng mô tả hiện tượng XPM và
khuếch đại SRS và SBS.
Phương trình (1.20) cần được biến đổi cho các xung cực ngắn nhỏ hơn
1ps. Độ rộng phổ của các xung này đủ lớn để có thể sử dụng một số gần đúng
trong các phép vi phân trong phương trình (1.20).
Trước tiên, có thể loại bỏ hiệu ứng Raman. Đối với các xung có độ
rộng phổ lớn hơn 0,1 THz, khuếch đại Raman có thể khuếch đại các thành
phần tần số thấp của xung bằng cách chuyển năng lượng từ thành phần tần số
cao của chính xung đó. Hiện tượng này gọi là hiện tượng tán xạ Raman nội
xung (intrapulse Raman scattering). Do hiệu ứng này, khi xung truyền trong
sợi quang, phổ của nó sẽ dịch về phía tần số thấp (phía đỏ). Hiệu ứng này gọi
là dịch tần cảm ứng Raman (Raman-induced frequency shift).
Chúng ta xem xét lại phương trình sóng (1.8). Phương trình (1.9) mô tả

rất nhiều hiệu ứng phi tuyến bậc ba, một số lớn trong đó không liên quan đến
vấn đề thảo luận trên, ví dụ như hiệu ứng tạo hòa âm bậc ba hay tương tác
thông số bốn sóng với điều kiện hợp pha. Các hiệu ứng phi tuyến phụ thuộc
cường độ có thể xem xét đến nếu độ cảm phi tuyến bậc ba được viết dưới
dạng sau [1, 10]:

(3) (3)
1 2 3 1 2 3
(t t ,t t ,t t ) R(t t ) (t t ) (t t ),
          
(1.22)
14
trong đó,
R(t)
là hàm đáp ứng phi tuyến chuẩn hóa sao cho
R(t)dt 1




.
Sau khi thế (1.22) vào (1.9) và sử dụng phương trình cho trường với gần đúng
đường bao biến đổi chậm:
 
0
1
ˆ
E(r,t) x E(r,t)exp( i t) lhp
2
   


 
(1.23)
ta nhận được dạng vô hướng của phân cực phi tuyến bậc ba sau:
t
(3)
0
NL xxxx 1 1 1 1
3
P (r,t) E(r,t) R(t t )E*(r,t )E(r,t )dt
4


  

   
(1.24)
trong đó, giới hạn trên của tích phân chỉ đến t vì theo nguyên lý nhân quả thì
hàm đáp ứng R(t-t
1
) phải bằng không khi t
1
> t.
Chúng ta phân tích theo tần số. Trước tiên chúng ta viết lại các phương
trình cho phân cực:

 
L L 0
1
ˆ

P (r,t) x P (r,t)exp( i t) lhp
2
   

 
(1.25)
là phân cực tuyến tính. Sau khi thay vào (1.9) ta nhận được:
 
 
(1)
0 x 0
(1)
0
x 0 0
( , ) ( ') ( , ') exp ( ') '
( ) ( , ) exp ( )
2
L x
x
P r t t t E r t i t t dt
E r i t d
  

      





  

  







(1.26)
trong đó,
E(r, )



là biến đổi Fourier của
E(r,t)

.
Thành phần phân cực phi tuyến nhận được sau khi thay
 
NL NL 0
1
ˆ
P (r,t) x P (r,t)exp( i t) lhp
2
   

 
(1.27)
vào (1.9b). Chúng ta có thể đơn giản hóa khi đáp ứng phi tuyến được giả thiết

là tức thời sao cho sự phụ thuộc thời gian của
(3)

trong (1.9b) được cho bởi
tích của ba hàm delta dạng
1
(t t )
 
. Khi đó, phương trình (1.9b) được rút gọn
như sau:

15
(3)
NL 0
P (r,t) E(r,t)E(r,t)E(r,t)
  
   
   

(1.28)
Giả thiết đáp ứng phi tuyến tức thời được tính đến sẽ cho phép bỏ qua
đóng góp của dao động phân tử vào
(3)

(tức là hiệu ứng Raman bị loại bỏ).
Đối với sợi thủy tinh sự đáp ứng dao động hay đáp ứng Raman xẩy ra trong
khoảng thời gian 60 - 70fs. Do đó, phương trình (1.28) được đánh giá gần
đúng cho các xung > 1ps.
Sau khi thế (1.23) vào (1.28), phân cực phi tuyến
NL

P (r,t)


sẽ chứa số
hạng dao động theo tần số
0

và số hạng dao động theo tần số
0
3

. Thành
phần này cần có điều kiện hợp pha và nói chung có thể bỏ qua trong sợi
quang. Sử dụng (1.27) chúng ta có:

NL 0 NL
P (r,t) E(r,t)
  

 
, (1.29)
trong đó, phần phi tuyến đóng góp vào hằng số điện môi được định nghĩa như
sau:
2
(3)
NL xxxx
3
E(r,t)
4
  



(1.30)
Để nhận được phương trình sóng cho biên độ
E(r,t)

biến đổi chậm, cần
phải sử dụng biến đổi Fourier. Nói chung biến đổi này không giống như trong
trường hợp tuyến tính, vì hằng số điện môi lúc này phụ thuộc vào cường độ.
Một cách thực hiện là giả thiết là
NL

hằng số khi lấy đạo hàm trong phương
trình lan truyền. Cách này là hợp lý khi giả thiết gần đúng đường bao biến đổi
chậm và bản chất nhiễu loạn của phân cực phi tuyến. Chúng ta thế (1.23) vào
(1.27) và vào (1.8), sau khi sử dụng biến đổi Fourier

 
0 0
E(r, ) E(r,t)exp i t dt


     


 

(1.31)
ta nhận được phương trình Helmholtz sau:
2 2

0
E ( )k E 0
    
 
(1.32)