Đs7 cđ12 1 tinh chat day ti so bang nhau

3. Chứngminhđẳngthứcvàtínhgiá trịcủabiểuthức.
Dạng
I. Phươngphápgiải
1. Đểchứngminhđẳngthứctừtỉlệthứccho trước,tathườnglàmnhưsau:
Cách 1.Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi dẫn đến đẳng thức cần
chứngminh.
a c
Cách2.Dùngtínhchấtcủatỉlệthức,nếua d  bc
thì  ;…
b

d

Cách 3.Dùng phương pháp “đặtk” theo các bước
sau:Bước1:Đặttỉlệthứcbanđầucógiátrịbằngk .
Bước2.Biểudiễntửtheotíchcủak v ớ i các mẫutươngứng.
Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ
thứcđúng.
2. Tínhgiátrịcủabiểuthức:
Cách1:Đặtgiátrịcủatỉsốbằngk
+Tínhgiátrịcủa biến theok
+Thaygiátrịcủa biến vàobiểuthứcvàthựchiệntính
(Cáchnàychỉápdụng vớicácbàicócấutrúckhơngqphứctạp)
Cách2:Ápdụngtính chấtdãytỉsốbằng nhau
+Ápdụng tínhchấtcủadãytỉsốbằngnhau
+ Biến đổi biểu thức sau khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để làm xuất
hiệnbiểuthức dạngphảitínhgiátrị
+N ế u g ặ p b i ể u t h ứ c m à c á c s ố t r o n g d ã y t ỉ s ố b ằ n g n h a u c ó d ạ n g q u y l u ậ t v ị n
g quanhthìtacầncộngthêmvàotừngvếhoặctrừđitừngvếvớisố1đểđưatửvàmẫucủatỉsốvềcùngmộtbiểuthức.
II. Bàitốn:
a c

Bài1:Chứngminh rằng: 
nếubiết:
b

a) ac
cb
d  a bd

d

b) ab bc
d  a cd

Lờigiải:
a) Ápdụng tínhchấtcủadãytỉsốbằngnhau,tacó:
ac
c
cacbd 2aa(1)2
 a b
a
d
bdbd
b
b
ac
c a cac 2 c c
(2)
a 
 
bd

bd
bd bd
2d d
Từ1

a c
và 2 suyra
b

d

b) Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhau,tacó:
ab b bab a
 
  1)
cd a cd a cdcd2 a( 2c
c
ab b a bab 2 b
(2)
a 
 b
c d
c d
cd cd
2d d
Từ1

a b ac
và 2 suyra
c

Bài2:Chứngminh rằng:

d
b
a c
b

d

d

nếubiết:
1


a) a

bc
acd

b) b bd
cd a

Lờigiải:
a) Ápdụngtínhchất củadãytỉsố bằngnhau,tacó:
a b ba

c acd a cd
c b  ad b ca  cd( đ pbc md)

b) Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsố bằngnhau,tacó:
b
b bb
d c d
 acd
(đpcm)
da c  a  a 
bc d
a c
Bài3:Chứngminh rằng: 
nếubiết:
a)

a



ab

b

c

d

b)

cd

Lờigiải:

a
c
a) Vì

ab
cd

nêna  a
c

b

d

ab cd

b
cd

Ápdụngtínhchất của dãytỉsốbằngnhau,tacó:
a b a   a b
c
a 
b  a  b  a 
c cd
ccd
d
c d
b
b) Vì

b
ab



d
c d

nênb  a
d

d

b
cd

Ápdụngtínhchất của dãytỉsốbằngnhau,tacó:
b
b bb
d c d
 acd
da c  a  a 
c b da  bc
d
Bài4:
2a3c 2 a3c
a c
.Chứngminhrằng
a) Cho

2b3d 2b3d
b d
4 a3b 4a3b
a c
.Chứng minhrằng
b) Cho
4c3d
4c3d
b d
Lờigiải:
a) Ápdụngtínhchấtcủa dãytỉsố bằng nhau,tacó:
2a3c
a3c
a3c2a3c
a


  1)
2b3d 2 2b3d 2 2b3d2b3d4 a( 4b
b
2a3c
a3c 2 a3c2a3c c
(2)
2

6  c
2b3d
2b3d
2b3d 2b3d
6d d

Từ1

a c

và 2 suyra

b

d

(đpcm)

b) Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhau,tacó:
4a3b a3b a3b4a3b a


  1)
4c3d 4 4c3d 4 4c3d4c3d8 a( 8c
c
4a3b a3b 4 a3b4a3b 6b
(2)
4

  b
4c3d
4c3d
4c3d 4c3d
6d d
Từ1

a bac

và 2 suyra

c

d
d

b

(đpcm)

2


Bài5:
4 a3b 4c3d
a c
. Chứ ng minhrằng
a) Cho
b) Cho

a
c
2a3b 4a5b

.Chứngminhrằng
4c5d

2c3d

a c

b

d

b

d

Lờigiải:
a3b c3d
a3b
a3b a
4
 a4
4
a)Vì4
nê n 4
a
c
4c3d
c
4c3d
Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhautacó:
4a3b a a3b4a 3b
4 4
  b

4c3d
4c 4c3d4c
3d d

4c

a
4  b  ab  ac
(đpcm)
4c d
c d
b
d
a3b a5b a6b a5b
4
4
4
b)Vì2
2c3d 4c5d
4c6d
4c5d

Ápdụngtínhchất củadãytỉ sốbằngnhautacó:
4a6b a5b
a6b4a5b
4
4
b
(1)
4c6d

4c5d
4c6d4c5d
d
a3b a5b
a15b
a15b
4
10
 12
Vì2
2c3d 4c5d
10c15d 12c15d
Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhautacó:
10a15b
a15b 10a15b12a15b
a
 12

 22  a
10c15d 12c15d
10c15d 12c15d
22c
Từ1

a bac
và 2 suyra
c

d
d

b

Bài6:C h ứ n g minhrằng:Nếu

c

(2)

(đpcm)

ac2bv à

2bd cbd

a

b

Lờigiải:
Vìa c2bv à

2bd cbd

nên acd cbd

c

b0,d 0thì  .

a c c

bd

d

d

Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhautacó:
a
ac
 c  acc  .
bd
d bdd
b
a c
Vậy
(đpcm)


b
d

Bài7:Chứngminhrằng:Nếu
Lờigiải:
Tacó: xy
3

z

x y zx
z x yzzx y
x
 y z;y  z  
x
2
32
3
5

2 zx y x
xy x




x 5  z (1)v4 à
z
x
y
2
5

Từ(1)và(2)tacó:

xy

y

x y

z
4 y 5

2xy 5yz 3zx  t h ì

z

10

zx

35

 y z

2

y  z x
5 10
 z (2)2


4

5

Bài8:Cho

a
2009

Lờigiải:
a
Tacó:



b



c

2011 2013

.Chứngminhrằng:

 ac 2
4

 a b  b c.

c b c
b
c
a  a  b  k

2009 2011 2013 4
2
2

a
c
a
c4k

4
k


2 
2


 ab2k

4k2 1và a b  b c4k2


4
4
bc2k
 ac 2
 a b  b c (đpcm)
Từ1và2 suyra
4
a b c
a
abc3
Bài9:Cho
. Chứngminh

 .
bcd
d
b c  d


2

Lờigiải:
Đặt a b  c  k abk;bck;cdkb
Dođó

c d
abc3

bkckdk3
k.(bcd)3 k3
 
 

bcd
  bcd
 bcd


Mặtkhác a b c
a
d

Từ1

bkckdk
3 . .
kb c d

..
bcd

abc3

và 2

1

2

(đpcm)

a

suyra b
Bài10:Chotỉlệthức

 d
cd

3 a2bc 3a2bc(
a2bc

b0).C h ứ n g minhrằng

a2bc

ac0.

Lờigiải:
Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhau,ta có:
3a2bca2bc
3a2bc a2bc
a2bc)(3a2bc) b
3
(3
 4  1(b0)

a2bc
a2bc
(a2bc)(a2bc)
4b
3a2bca2bc
2a2c0ac0( đ p c m )
Bài11:Chohaisốx ;yt h o ả mãn
x y
2
vàxy
21.Tínhgiá trịcủa biểu thức:
A5x4y.
5
x y
b)
vàyx4.Tínhgiátrịcủabiểuthức:
B 3x5y.

3 5
a)

Lờigiải:
a) Ápdụngtínhchấtcủadãy tỉsố bằngnhauta có:
x

y 21
y5x 25
 
7 32
x
 3x62




y

3y 155

DođóA5.(6)4.(15)90
b) Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhautacó:
x

x
 y5 y 53
 4  23
2



x

2x63

y
 2y105

Dođó B3.65.1068
Bài12:
a) Choa :b:c3:4:5v à a bc24.Tính

Ma.bb.cca.

b) Choa :b:c:d2:3:4:5v à a bcd42.Tính
Lờigiải:
a)Vìa :b:c3:4:5n ê n

a

3 b4c.5

Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhautacó:
a
bc
4
 b5 c 
 24 12

a
23
345
a6;b8;c10
Dođó: M 6.88.1010.6488060188
b))Vìa :b:c:d2:3:4:5nê n

a

2 b3c
4 d. 5

Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhautacó:
a
bcd 42
3
 b4 c 
  14
a
32
5 d
2345
a6;b9;c12;d 15
Dođó: N  6.912.155 4 180 2 3 4
Bài13:
a) Biết xy  z v à
b)

2 3
x y  z

5

6

và
7

4

xyz

x–yz6

24. Tính E 3x2y6z.

2 . TínhE xyyz.

Lờigiải
a) Ápdụng tínhchấtcủadãytỉsốbằngnhautacó:
x
y z
2 3
 y4 z 
 24  89 3
x
234
x  8
8 16


x2.
2 3
y  8

3 3
8.3

y  8
3 3
3
z  8 8.4 32

z 
4 3
3
3
Vậy E 3.62.86.32 6166442
3
3

b) Ápdụngtínhchấtcủa dãytỉsốbằngnhautacó:
x
 y z 2
2
y z  x
6  6
5 6 7 567
x

y



2 x55 2
2 y66 2

Na.bc.d


z


2 z77 2
Dođó E52 . 6
62 . 7
2
Bài14:

2

608424

a) Cho xy và3 x2y 44.TínhgiátrịcủabiểuthứcC 20x22y.
5 2
x y
b)
Dx2y3.
3 2 và2 x5y48.Tínhgiátrịcủabiểuthức
Lờigiải:
a) Vì

x
x y

5 y2 nên315 2 4

Ápdụngtínhchất dãytỉsốbằng nhautacó:
3x y x2y

4
15 2 4 3 154 44 11
3x
4.15 
Dođó
4x
2015 3
2y
4.4 
4y 
8
4
2

KhiđóC 20.1022.824
x y
b)
3 2 và2 x5y 48
x y
Vì 
3

x y
2 nên2 6 5 10

Ápdụngtínhchất dãytỉsốbằngnhautacó:
2x y
x5y
5 2

6 10
610 4 8 163
2 x
3.6 
Dođó
3x
9
6
2
5y
10.3
3y 
6
10
5

DođóD 926381216297.
Bài15:
a) Cho xy y 
vàx yz25.Tính
2 3 ; 2 z5
b) Cho xy ;y  z và2 x3y4z 34.Tính

2 5 3 2
Lờigiải
a) Vì x

2 y3x 4y ; 6
y

 z y  z
nên x y  z
2 5
6 15
4 6 15
Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhautacó:

K 3

x2y3z
xyz .

5z
Lx yyz .


x

y  z yz 25  1
x
4 6 15 4615
25

x



1x44
y
 1y 66
z
 1z1515



Dođó

2.63.15
K 3.4 4.615  45  59

b) Vì x
 y x  y ;
2

5

6

15

y

 z y  z

nên xy  z 2x 3y 4 z
3 2 15 10
6 15 10 12 45 40
Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhautacó:
2x y
z
x3y4z 34
3 4  2
  17
2
12 45 40 124540
2x
2.1212122

2x
3y
2.4530453

2y
4 z
 2.40 2040

2z 
4

Dođó

L 

12.305.20

3020   26

Bài16:
a) Cho x vàx 2 y2 25 .Tính G  x 3y 2
3 y4
x y
b)
2
2
x0;y0.Tính
3 2 và3 x –5y 63v ớ i

H x.y2

Lờigiải:
x y
a)

3

2
4 vàx 

y225

Đặ x y 
k(k 0),khiđó
t
3

x3k;y4k

4

Thay x3k;y4k

x2 y2 25 ,tađược:

vàobiểuthức

(3k)2 (4k)225

9k216k2 25
25k225
k21

k 1thì
-Khi
-Khi

k 1
x3.13; y4.14.DođóG 3342271643

k1thì x3.(1)3;
x y
b)
và3 x2– 5y2 28
3 2

y4.(1)4.DođóG  33 4 2271611

Đặ x y
 k(k0)3
t
2

x 3k;y2k,thayvàobiểuthức3 x2–5y228

Tađược3 . ( 3 k)2–5.(2k)2 28
27k220k228
7k228
k24k 2(loại) hoặc

-Khi

k 2(thoảmãn)

k2 thì x3.(2)6;
x y  z v à

Bài17:Cho

y2.(2)4.Dođó

xyz0.Tính

y z x
Lờigiải:
Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhau,ta có:

x
yz
y z  x
y z x yzx 1

Suyra: x
y

H  6  .  4 26.1696

x3.z6
.
y9

1xyy

1yzz

xy z
x3.z6

Khiđó

x3.x6

x9


9


9

y

1
9

x

x

x
vàx ,y ,z 0.Tính:
y  z
2 5 7

Bài18:C h o x,y ,z thoảmãn:

2y3z
Px
5x2yz

Lờigiải:
Cách1:Đặtgiátrịcủa dãytỉsốbằngk
*Đ ặ t xy  z  k( k0)
suyra x2k,y  5kv à z  7k
5 7
2k10k21k
P10k10k7k

2

Khiđó:
Vậy:

9

9k
9
7
7k

7

Cách2:Biếnđổi thơngquasửdụng tínhchất dãytỷsốbằngnhau
9z
Tacó: x
x2y 3z  2y 3z
y z
x

2y

3z

suyra
y  z  2 3 
x








2

Lạicó:

x

5

7

10

21

21021

x y
y  z  5  2 
2 5 7 10
10
9z








9

5x2y z
x2y z
5
10107
7

P7  9z  9 (Vì z0) .
7
7z
z
Vậy:
9
P 7
Bài19:Cho x1y 2 z 3

suyra

5x2yz z

Dođó:

.Tínhgiátrịcủabiểuthức

3

4

5

7

N 2xy 2z.


Lờigiải:
Đặ x1 2 3

t
3 y 4z 5k
x 1

k x3k13
y2
ky 4k24
z3
kz5k3.
5

N 2. 3k 14k 22.5k 3

Dođó:

6k24k210k62
Bài20:Cho a,b ,c 0vàthỏamãnabc c ab bca
c

Tínhgiátrịbiểuthức
Lờigiải:
Trường hợp
a,b ,c 0và
1:thứcStađược:
S 

Trườnghợp2:

S (

b

a

ab)(bc)(ca)
.
abc

abc0abc;

acb;bca

thayvàobiểu

c.(a)(b)

abc 1

a,b,c0và

abc0

Ápdụngtínhchất củadãytỉsốbằngnhautađược
abc ab ca bccabbca

 aa
c c
bb
c
b1a
Suyra: ab2c;c a2bvàb c2a
thayvàobiểuthứcS
Tacó:
Vậy:

c.2a.2b
S 2 abc =8

S 1khi a

bc ab ca
bb
c c

bc ab ca
bb

S 8kh i a c  c
PhầnIII.BÀI TẬPTỰLUYỆN

a
a

vàa ;b;c0;v abc0
abc0

àa ;b;c0;

Dạng1. Ápdụngtính chấtcủa dãytỉsốbằngnhauđềtìmthànhphầnchưabiết.
Bài1.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
a)
c)

x y
7

4 vàx y30

x y
3

v à x y90

b)

d)

6

5

a) 2x5yv à

vàx y48

7

x y
2

Bài2.Tìmhaisố

c) 4x 5y

x y

v à xy 12

5

x,y b i ế t :
xy30

và3 x2y35

b) 3x4y và2 x3y 34
d)

x y
2

3

và4 x3y 9


Bài3.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
x y
a) 
vàx 2y 225
3 4
x y
c) 
3

x y
b) 

d)

vàx 2y 2 58

7

vàx 2y21600

5 3

x y
3

vàx 2y2400

4

Bài4.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
x y
a) 

3
3
2 3 vàx y  35
x y

c)

3

3 3
5 vàx y  98

12 13 15
x y  z

và

x y  z  9
7

Bài6.Tìmx ,y ,z biết:
x y  z
a)
và2 x3y4z54
5 3
2
x y  z
và2 x3y4z48
c)
3 2 3
Bài7.Tìmx ,y ,z biết:
3

5

x y ;y  z
a) 

vàx yz46

3

23
4
x  y ;x z

c)

3

24

5

vàx 3y335

d)

vàx3y 3 37

3 2
x y

Bài5.Tìmcácsốx ,y ,z biết:
x y  z
a)
vàx y z160
c)

x y
b) 

vàx yz10

3

4

x y z

b)

5 16
x y  z

d)

2

3

17

và3 x–2y2z 24.

2

3
6
x y  z

d)

2

vàx yz27.

4

x y  z

b)

vàx –y z38.

và4 x–3y2z 81.
4

3

x y ;x z
b) 

vàx yz51

4

32
5
x  z ;y  z

d)

3

vàx yz33

42

3

Bài8.Tìmx ,y ,z biết:
a)

c)

x y ;
2y3z2 vàx yz49
3
x y ;7
3

5

y5zv à

xyz45

b)

x y ;5
3

5

y 3zv à

d) 2x3y;

y z

3

và

xyz98
xyz21

2

Bài9.Tìmx ,y ,z biết:
a)x3

1

2 3
y  z v à
4
5

xy z18

Bài10.Tìmx ,y ,z biết:
x y  z
và
a)
xy36
5 6 7
c)

x y z

5

16

và3 x2y47
17

1 2 33 4
b)x y 5z

b)
d)

x y  z
7

3

và
4

x y  z
3

5

vàx yz30

yz28

và3 y2z 99
7


Dạng2.Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhauđểgiảicácbàitốnthựctế(Tốnchiatỉlệ)
Bài1:Sốhọcsinhgiỏi,khá,trungbìnhcủakhối7lầnlượttỉlệvới2:3:5.Tínhsốhọcsinhgiỏi,khá,
trungbình,biếttổngsố họcsinhgiỏi,khávàtrungbìnhlà180em.


Bài2 : B a l ớ p 9A,9 B,9 Cq u y ê n g ó p đ ư ợ c 24 0kgg i ấ y v ụ n . T í n h s ố k g g i ấ y v ụ n c ủ a m ỗ i
lớpquyêngópđược,biếtrằngsốkggiấyvụnquyêngópđượccủamỗilớplầnlượttỉlệvới3:4:5.
Bài3:B a n h à sản x u ấ t g ó p v ố n th e o tỉ lệ 3;5;7.H ỏ i m ỗ i n h àsả n x u ất ph ải g ó p b a o nh i ê u vốnbiết
rằngtổngsốvốncủanhàthứnhấtvànhàthứhainhiềuhơnnhàthứbalà80triệuđồng.
Bài4:Sốhọcsinhbốnkhối6,7,8,9tỉlệvớicácsố 9 ; 8 ; 7 ; 6 .Biếtrằngsốhọcsinhkhối
6n h i ề u hơnsốhọc sinhkhối9 l à 30học sinh.Tínhsốhọcsinhcủamỗikhối.
Bài5:SốviênbicủababạnMinh,Hùng,Dũngtỉlệvớicácsố 2 ; 4 ; 5 .Tínhsốviênbicủamỗibạn,biếtrằ
ng:3 lầnsốbicủabạnHùngnhiềuhơn 2lầnsốbicủabạnMinhlà40viên.Bài6.Chiasố135t h à n h
baphầntỉlệvới 3 ; 4 ; 8 .Hãytìmmỗiphầncủasốđó?
Dạng3.Chứngminh đẳngthứcvàtínhgiátrịcủabiểuthức.
a c
Bài1:Chứngminh rằng: 
nếubiết:
b

a) ac da
c  b bd

Bài2:Chứngminh rằng:

d

b) ab d
b c d
a c
b

d

nếubiết:

a3b c3d
a11b c11d
2
7
.
b)7
.
2a3b 2c3d
4a5b
4c5d
Bài3:Chohaisốx ;yt h o ả mãn
x y
a)
7
vàxy
27.Tínhgiátrịcủa biểu thức:
A2x3y.
4

a)2

b) Cho4 x5y

và3 x2y

35. Tínhgiá trịcủabiểuthức

B11y4x.

Bài4:
27.Tính C 

a) Biết x
vàx yz
2 y3 z 4

b) Cho xy và3 x25y 2 28.Tính
3 2

2 x3yz.
yz

Dx 3y2

Bài5:
a) Cho3 x4y;2y5z

và2 x3y5z55.Tính

E 7

x2yx.z
x.zy .

b) Cho x99 y 98 z 97
.Tínhgiátrịcủabiểuthức
1
2

F x2yz.

3

ĐÁPSỐ BÀITẬPTỰLUYỆN

Dạng1. Ápdụngtính chấtcủa dãytỉsốbằngnhauđềtìmthànhphầnchưabiết.
Bài1.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
a)x 70;y40
c)x 30;y60

b)x 20;y28
d)x 8;y20

Bài2.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
a)x 50;y20

b)x 8;y6


c)x 25;y20

d)x 18;y27

Bài3.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
a) x3;y4hoặc
c) x3;y7hoặc

x3;y4

b) x50;y30h o ặ c

x3;y7

d)x 12;y16

x50;y30

hoặc x12;y16

Bài4.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
a)x 2;y3
c)x 3;y5

b)x 3;y2
d)x 3;y4

Bài5.Tìmcácsốx ,y ,z biết:
a)x 48;y52;z60
c)x 27;y45;z63

b)x5;y16;z17.d)x

18;y27;z36.

Bài6.Tìmx ,y ,z biết:
a)x 10;y6;z4
c)x 12;y8;z12
Bài7.Tìmx ,y ,z biết:

b)x 4;y6;z12.
d)x 18;y27;z36.

a)x 18;y12;z16

b)x 12;y9;z30

c)x 24;y16;z30

d)x 27;y24;z36

Bài8.Tìmx ,y ,z biết:
a)x 14;y21;z14

b)x 18;y30;z50

c)x21;y45;z63

d)x 27;y18;z12

Bài9.Tìmx ,y ,z biết:
a)x21;y45;z63

b)x 7;y10;z13

Bài10.Tìmx ,y ,z biết:
a)x 180;y216;z252

b)x 28;y12;z16

c)x5;y16;z17

d)x 297;y495;z693

Dạng2.Ápdụngtínhchấtcủadãytỉsốbằngnhauđểgiảicácbàitốnthựctế(Tốnchiatỉlệ)
Bài 1:Sốhọcsinh giỏi,khá,trungbìnhlần lượtlà:3 6 ; 5 4 ; 9 0
Bài2:Sốgiấybalớp9 A,9 B,9 Cq u y ê n gópđượclầnlượtlà:6 0 kg;80kg;100kg.
Bài3:Sốv ố n c ủ a n h à t h ứ n h ấ t , n h à t h ứ h a i v à n h à t h ứ b a l ầ n l ư ợ t l à : 240;400;560triệuđồng
Bài 4:Sốhọc sinhkhối6 , 7 , 8 , 9 l ầ n l ư ợ t l à : 9 0 ; 8 0 ; 7 0 ; 6 0 h ọ c s i n h .
Bài 5:Sốviên bicủa ba bạn Minh,Hùng,Dũnglầnlượtlà:10;20;25v i ê n .
Bài6.Số1 3 5 đ ư ợ c chiathànhbaphầnlà: 27;36;72.
Dạng3. Chứngminhđẳngthứcvàtínhgiá trịcủabiểuthức.
a c
Bài1:Chứngminh rằng: 
nếubiết:
b

d

a) Vì ac d c c cacac bd
 b bd a bad  abdbd

2a a

  (1)2
b
b


c c a cac 2c
a  a 
  c
bd
bd
bd bd
2d

d

(2)

Từ1 và 2  đpcm
b)

b d b
bb
b
Vìa c ad b
cadd c a
d ba

d
c

cd

(đpcm)

c  a
d
b

a c
Bài2:Chứngminh rằng: 

nếubiết:

b d
a3b c3d a3b a3b a3b2a3b a
 23d 2c
3d
a)22a3b 2 2c3d2
2 3d
a( 1 ) . 4c c
2c
2c3d42c
a3b a3b 2 a3b2a3b 6b
2
2

  b
2c3d
2c3d
2c3d 2c3d

6d
và
2
đpcm



Từ1

d

(2)

a11b c11d a11b a5b
 7 7c
b)7 4a5b 7 4c5d
4
11d
4c5d
a55b
a55b
a55b44a55b
a
35
(1)
 44
 35
 79  a
35c55d
44c55d

35c55d44c55d
79c c
a44b
a35b 28 a44b28a35b 79b
(2)
28
 28


b
28c44d
28c35d
28c44d28c35d
d
79d

Từ1 và 2  đpcm
Bài3:
a)x 63;y36A 2.633.36234
b)x 25;y20B11.204.25120
Bài4:
2.18 3.2736 9.
a)x 18;y27;z36C

2736

7

b)x 6;y4D200h o ặ c x 6;y4D232
Bài5:

7.20 2.1520.6 46
a)x 20;y15;z6E
20.615

27

x99 98 97
 y z
 k.
1
2
3

b)Đặt

xk99;y2k98;z3k97

F  0.

PHIẾUBÀITẬP
Dạng1. Ápdụngtính chấtcủa dãytỉsốbằngnhauđềtìmthànhphầnchưabiết.
Bài1.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
x y
x y
a. 
b) 
vàx y16
vàx y20
3

5

5

3


Bài2.Chotỉlệthức

x y
7

.Tínhx v à y b i ế t :

3

a)x y110

b)x y52

Bài3.Chotỉlệthức

x=y
3

.Tínhx v à y b i ế t :

7

a)x y50

Bài4.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
a) 3x5yv à xy 40
Bài5.Tìmx ,y b i ế t :
a) 2x3yv à xy 10
Bài6.Tìmx ,y ,z biết:
x y  z
v à xyz 18
a)
2

b)x y56

b) 4x3yv à x–y 11
b)

4
Bài7.Tìmx ,y ,z biết:
x y  z
a)
vàxyz
14 2
7 3 4
Bài8.Tìm x,y b i ế t :
a)3 x4y và2 x3y34
Bài9.Tìmhaisốx ,y b i ế t :
x y
a)
và3 x2y 44
5 2
Bài10.Tìmx ,y b i ế t :

x y
a)
và4 x–3y 9
2 3
Bài11.Tìmx ,y b i ế t :
x y
a)
và2 x4y68
3 7
Bài12.Tìmx ,y ,z biết:
x y  z
a)
và2 x–3y5z 9,5
5 2 3
Bài13.Tìm x,y ,z b i ế t :
x y  z
a)
vàx z 18
c)

3

b)

x y  z
5

6

và

x–y z36.

7

x y  z
5

vàx yz32.
7

6

b)x :2y:(5)v à
b)

b)

x y
3

2

x–y  7

và2 x5y 32

x y
3

và3 xy35

16

b) 4x 5y và3 x2y 35
x

b)

10
b)

2 3 4
x y  z

y z và2 x3y–2z 16
6 3

x y  z
5

và3 x2y52
13 15
Bài14.Tìmx ,y b i ế t :
x y
a)
vàx 2y233
4 7
Bài15.Tìmx ,y b i ế t :
x y

a)
vàx 2 y2 100
3 4
Bài16.Tìmx ,y b i ế t :

xy30

b) 2x5yv à

vày –z 39
7

6

12

a) 3x5yv à

x2–y 248

Bài17.Tìmx ,y b i ế t :

b)

x y
5

b)

b)

x y
4

3

x y
3

2

3

vàx .y3

và3 x2–5y 2 63

vàx 2y 2 34


a)

x y
3

vàx 3y3 91

4

b) 2x 5y vàx 3y3 133.

Bài18.Tìmx ,y ,z b i ế t :
x y
a)
vàx yz50
2 3 ;y 2 z 5
Bài19.Tìmx,y,zb i ế t :
x y
a) 
2 5 ;y 3 z 2 và2 x3y4z 34
Bài20.Tìmx ,y ,z biết:
a) 4x3y và( xy)2(xy )2 50
Bài21.Tìm x,y,zb i ế t :
1

2

32

a)x y z

32 3

4z
Bài22.Tìm x,y,zb i ế t :

b)

x1

y

2

34

b)

x z ;
3

4

y
 vàx –y–z33
2 z3

b)2 x3y; 5 y 7z

và3 x7y5z30.

b) 3x2y và( xy)3(xy)3 126

và2 x3yz 50
vàx 2y3z14

1 3 52 46
a)x y z
và5 z3x4y50
4

b)
3
2
vàx yz10


3x2y
2z4x
4y3z
Bài23.Tìmcácsố x ,y,zbiếtchúngthỏamãnđồngthờicácđiềukiệnsau 3 x2yz169
x25

và3

y169 14414425
z
169

2

Bài24.Tìmcácsố x,y,zb i ế t
x y z
a) 
và
2
2 2

x y z 585
5 7 3
b)x :y:z3:4:5v à 2 x22y23z2 100

Dạng 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tế
(Toánchiatỉlệ)
Bài 1:Ba lớp8 A, 8B, 8Ct r ồ n g đ ư ợ c 1 2 0 c â y . T í n h s ố c â y t r ồ n g đ ư ợ c
c ủ a m ỗ i l ớ p , b i ế t rằngsốcâytrồngđượccủamỗilớplầnlượt tỉlệvới3:4:5.
Bài2:Ba nh à s ả n x u ất g ó p vố n t h eo tỉ lệ 3 ; 5;7 .H ỏ im ỗ in h à sản xu ấ t p h ả ig ó pb ao n h i ê u
vốnbiếtrằngtổngsốvốnlà300 triệuđồng.
Bài 3:Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũngtỉ lệ với các số2; 4; 5. Tính số viên bi
củamỗibạn,biếtrằngbabạncótấtcả4 4 v i ê n bi.
Bài4:Mộtsốđượcchiathành3 ph ầnlầnlượ t tỉlệvới 5:4:3.Tìmm ỗiphầnbiếtrằng tổ ng
baphầnbằng2 4 0 .
Bài5 : Mộtc ơ n g t y c h i 1 8 2 triệuđ ồ n g đ ể t h ư ở n g c u ố i n ă m c h o n h â n v i ê n ở b a t ổ s ả n x u ấ t . S
ố tiền thưởng của batổ tỉ lệ vớibasố3 ; 4;5.Tínhsốtiềnthưởngcủa mỗitổ?
Bài 6:Hưởng ứng Tết trồng cây, học sinh ba lớp 9A;9B;9Cđã trồng tổng cộng 240 cây.
Sốcâycáclớp9 A;9B;9Cđ ã trồngđượclầnlượttỉlệvới5 ; 4;3.Tínhsốcâymỗilớpđãtrồng.
Bài 7.Thành phầncủamứt dừa khi hồnt h à n h c h ỉ g ồ m c ó d ừ a v à đ ư ờ n g t h e o
tỉ
lệ2
:1.
E m hãytínhxemtrong12kgmứtdừa cóbaonhiêu kilơgamdừavà bao
nhiêukilơgam đường.


Bài8 : S ố h ọ c s i n h g i ỏ i , k h á , t r u n g b ì n h c ủ a k h ố i 7l ầ n l ư ợ t t ỉ l ệ v ớ i 2:3:5.T í n h s ố h ọ
c sinhgiỏi,khá,trungbình,biếttổngsốhọcsinhkhávàhọcsinhtrungbìnhhơnhọcsinhgiỏilà180e m.


Bài9.ĐiểmsốbàikiểmtraTốnvừaquacủalớp7 Ađ ư ợ c phânloạinhưsau:sốđiểmkém,số
điểmtrungbình,sốđiểmkhá,sốđiểmgiỏitươngứngtỉlệvớicácsố2 ; 6;5;2.Biếtrằngsốđiểmkémvàtr
ungbìnhnhiềuhơnsố điểmkhá,giỏilà3 .Hỏivớimỗiloạiđiểmcóbaonhiêungười?

Bài 10.Bác Long xây một ngôi nhà. Bác phải chi ba khoản lớn là: thiết kế, xây thơ,
hồnthiện.Chiphíchocáckhoả nnàytỉlệvớicácsố 2;36;62.Sốtiềnhồnthiện nhiềuhơntổng
sốtiềnthiếtkếvàxâythơlà1 8 0 triệuđồng.Hỏimỗikhoảnphảichibaonhiêutiền?
Bài11:Sốhọcsinhgiỏi,khá,trungbìnhcủalớp7Elầnlượttỉlệvới2:3:5.Tínhsốhọc
sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi và học sinh trung bình nhiều hơn
họcsinhkhálà16e m.
Bài 12:B a b ạ n M i n h , H ù n g , D ũ n g q u y ê n g ó p t i ề n đ ể l à m t ừ t h i ệ n
t h e o t ỉ l ệ 3 ; 5 ; 4 . Hỏi mỗibạn quyêng ó p đ ư ợ c b a o n h i ê u t i ề n b i ế t r ằ n g
M i n h v à H ù n g q u y ê n g ó p đ ư ợ c 4 0 0 n g à n đ ồ n g . Bài 13:Số học sinh bốn
khối6,7,8,9tỉ
lệ
với
các
số9;
8;7 ; 6 .
Biết
rằng
số
học
sinhkhối9 í t hơnsốhọcsinhkhối7 l à 7 0 họcsinh.Tínhsốhọcsinhcủamỗikhối.
Bài14:Sốhọcsinhbốnkhối 6 , 7 , 8 , 9 t ỉ lệvớicácsố 1 8 ; 1 7 ; 1 6 ; 1 5 .Biếtrằngsốhọcsinh
khối7 nhiềuhơnsốhọcsinhkhối8 l à 1 5 họcsinh.Tínhsốhọcsinhcủamỗikhối.
Bài1 5 : C h o t a m g i á c A B C cós ố đ o c á c g ó c t ỉ l ệ v ớ i 3;5;7 .T í n h s ố đ o c á c g ó c c ủ a t a m gi
ácABC.
Bài16.Mộtmảnhvườncódạnghìnhchữnhậtvớitỉsốđộdàihaicạnhcủanóbằng

5 và
3

chuvibằng64m.Tínhdiệntíchcủamảnhvườnđó.

Bài17.Minhvà Khơithinhaugiảitốnơntập cuốikì.Kếtquảlà Minhlàmđượcnhiềuhơn
3
Khơi3 b à i vàsốbài Khơilàmđượcbằng
sốbàiMinhlàmđược.Hãy tìmsốbài mỗibạn
4

làmđược.
Bài 18.Trong cửa hàng lương thực có 15 bao gạo, 8 bao đỗ, 5bao lạc. Khối lượng của
mỗibaogạo,mỗibaođỗ,mỗibaolạc
tỉlệvớicácsố10;6;3.Hỏimộtbaocủa
mỗiloạinặngbaonhiêukg,biếtrằnglượnggạonhiềuhơnlượngđỗvàlạclà4 3 5 kg?
Bài1 9 : B a m á y b ơ m c ù n g b ơ m n ư ớ c v à o m ộ t b ể b ơ i c ó d u n g t í c h 2 3 5 m3.B i ế t r ằ n g t h
ời
gianđểbơmđược 1 m3nướccủabamáylầnlượtlà3 p h ú t , 4p hú t và5 p h ú t . Hỏimỗimáybơmđư
ợcbaonhiêumétkhốinướcthìđầybể?
Bài20:B a lớp7 c ó tấtcả153h ọ c sinh.Sốhọcsinhlớp7 Bb ằ n g
sốhọcsinhlớp7 Cb ằ n g

17
16

8

9

sốhọ c s i n h l ớ p 7 A,

sốhọcsinhlớp7 B.Tínhsốhọcsinhcủamỗilớp.

Bài 21:Trong vận chuyển hàng cứu trợ đồng bào do ảnh hưởng của dịch Covid- 19, ba

độixe được giao vận chuyển ít nhất3030tấn hàng. Cuối đợt, độiIvượt mức26%,
độiIIvượtmức5 % , độiI I I v ư ợ t m ứ c 8 % đ ị n h m ứ c c ủ a m ỗ i đ ộ i n ê n k h ố i
lượng
hàng
mà
ba
đội
đ ã vậnchuyểnđượcđềubằngnhau.Tínhđịnhmứcvậnchuyểncủamỗi xe.
1
1
Bài22:B a khocótấtcả 7 1 0 tấnthóc.Saukhichuyểnđi
sốthócởkho I ,
sốthócở
5
6
1
khoI I v à
sốthócởkho I I I t h ì sốthóccịnlạicủabakhobằngnhau.Hỏilúcđầumỗi
11

khocóbaonhiêutấnthóc.


Dạng3. Chứngminhđẳngthứcvàtínhgiá trịcủabiểuthức.
a c
Bài1:Chứngminh rằng: 
b d nếubiết:
a) ac
cb
d  a bd

Bài2:Chứngminh rằng:
a) a

b) ab bc
d  a cd
a c
b

b) b
cd a
a c

bc
acd

Bài3:Chứngminh rằng:
a

a)



d
bd

b

c

d

b)

nếubiết:

nếubiết:
b

d

ab cd

ab
cd
Bài4:
2a3c 2 a3c
a c
.Chứngminhrằng
a) Cho
2b3d 2b3d
b d
4 a3b 4a3b
a c
.Chứng minhrằng
b) Cho
4c3d
4c3d
b d
Bài5:

4 a3b 4c3d
a c
. Chứ ng minhrằng
a) Cho
b) Cho

a
c
2a3b 4a5b

.Chứngminhrằng
4c5d

2c3d

a c

Bài6:C h ứ n g minhrằng:Nếu ac2bv à
Bài7:Chứngminhrằng:Nếu
a

b

b

d

b

d

2bd cbd

2xy 5yz 3zx  t h ì

c

 ac 2

a

c

b0,d 0thì  .
b

x y
z

y
4
5

Bài8:Cho

 a b  b c.
.Chứngminhrằng:


4

2009 2011 2013
a b c
a
abc3
Bài9:Cho
. Chứngminh
 .
bcd
d
b c  d
3 a2bc 3a2bc(
Bài10:Chotỉlệthức
b0).C h ứ n g minhrằng
ac0.
a2bc
a2bc
Bài11:Chohaisốx ;yt h o ả mãn
x y
a)
2
vàxy
21.Tínhgiá trịcủa biểu thức:
A5x4y.
5
x y
b)
vàyx4.Tínhgiátrịcủabiểuthức:
B 3x5y.
3 5

Bài12:
a) Choa :b:c3:4:5v à a bc24.TínhM  a.bb.cca.
b) Choa :b:c:d2:3:4:5v à a bcd42.Tính
Na.bc.d
Bài13:
a) Biết xy  z v à xyz 24. Tính E 3x2y6z.
b)

2 3
x y  z

5

6

và
7

Bài14: a) C
h

4

x–yz6

2 . TínhE xyyz.

o
x

y

d