Khóa luận tốt nghiệp toán phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau ở trường THCS

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Mạnh Hùng, người trực
tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo tơi trong q trình thực hiện đề tài.
Và để hồn thành khóa luận này, chúng tôi rất trân trọng cảm ơn các quý
thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên trong suốt quá trình giảng dạy đã cung
cấp kiến thức nền tảng để tôi có thể nghiên cứu được đề tài.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã dành thời gian q báu
của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tơi.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ trong
suốt q trình tơi thực hiện khóa luận này.
Đồng Hới, tháng 06 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Lê Thị Hiền


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Chữ cái viết tắt/ký hiệu

Cụm từ đầy đủ

cmt

Chứng minh trên

đpcm

Điều phải chứng minh

gt

Giả thiết

∆

Tam giác

∠

Góc

∽

Đồng dạng

//đ

Song song

∈

Thuộc

⊥

Vng góc


MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu:........................................................................................ 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu: ....................................................................................... 2
4. Phạm vi nghiên cứu........................................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG........................................................................................... 3
CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG
BẮNG NHAU. ...................................................................................................... 3
1. Phương pháp 1: Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.................... 3
2. Phương pháp 2: Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân...................... 7
3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất trung điểm.................................................. 8
4. Phương pháp 4: Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến
hai cạnh của góc. ................................................................................................... 9
5. Phương pháp 5: Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một
đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng. .................................................................... 10
6. Phương pháp 6: Dùng tính chất bắc cầu. ........................................................ 12
7. Phương pháp 7: Có cùng độ dài. ..................................................................... 14
8. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của đẳng thức, hai phân số bằng nhau..... 15
9. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vng,
đường trung bình trong tam giác......................................................................... 17
10. Phương pháp 10: Sử dụng tính chất, định nghĩa về cạnh và đường chéo của
các tứ giác đặc biệt .............................................................................................. 19
11. Phương pháp 11: Sử dụng kiến thức về diện tích. ........................................ 21
12. Phương pháp 12: Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm của đường trịn.. 25
13. Phương pháp 13: Sử dụng tính chất tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.27
14. Phương pháp 14: Quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn. ... 28
CHƯƠNG II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI GĨC BẰNG
NHAU. ................................................................................................................ 31
1. Phương pháp 1: Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. .................. 31


2. Phương pháp 2: Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân .................. 31
3. Phương pháp 3 : Các góc của tam giác đều. ................................................... 33

4. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc........................ 34
5. Phương pháp 5: Có cùng số đo. ...................................................................... 36
6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau. ........... 36
7. Phương pháp 7: Hai góc đồng vị, so le trong, so le ngồi. ............................. 37
8. Phương pháp 8: Hai góc đối đỉnh.................................................................... 39
9. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc
khác. .................................................................................................................... 41
10. Phương pháp 10: Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng. .............. 42
11. Phương pháp 11: Sử dụng tính chất về góc của tứ giác đặc biệt. ................. 44
12. Phương pháp 12: Sử dụng tính chất về góc của tứ giác nội tiếp................... 45
13. Phương pháp 13: Sử dụng tính chất góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp
tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn
bằng nhau. ........................................................................................................... 48
PHẦN III: KẾT LUẬN ....................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................... 52


PHẦN I: MỞ ĐẦU
**********

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một mơn khoa học tự nhiên đóng vai trị quan trọng trong
cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Toán học được xem là một
trong những yếu tố then chốt để dẫn tới cánh cửa thành công. Đặc biệt trong nhà
trường, tốn học là mơn học chính được giáo viên và học sinh rất coi trọng. Tuy
nhiên, cũng có một số học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng của việc
học Tốn và chưa có phương pháp học phù hợp nên hiệu quả đạt được chưa cao.
Để học sinh có thái độ tích cực khi học mơn tốn thì người giáo viên cần phải
tìm tịi, nghiên cứu, sáng tạo các phương pháp dạy học có tính ứng dụng cao. Có
như vậy mới phát huy tối đa vai trò của người dạy cũng như người học. Với

người giáo viên, để kích thích học sinh đam mê, thích thú học bộ mơn Tốn là
cơng việc gian nan vất vả nhưng đầy hứng thú.
Trong thực tế tiềm năng về Toán học, đặc biệt là khả năng giao tiếp và
giải quyết các vấn đề về hình học của học sinh chưa được phát huy một cách
tồn diện và triệt để. Đó khơng phải là lỗi hồn tồn của người thầy và càng
không phải do lỗi của học sinh mà do người giảng dạy chưa có một phương
pháp phù hợp để truyền thụ kiến thức nói chung. Đề tài này tơi muốn đề cập đến
“ Phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau ở
trường THCS” bởi vì từ kết quả của phương pháp này ta có thể suy ra nhiều
quan hệ hình học khác. Tuy nhiên khơng phải học sinh nào cũng lĩnh hội kiến
thức, phương pháp mà người giáo viên truyền thụ cho mà phần lớn do các em
tích cực vận dụng và khơng ngừng sáng tạo, rút ra bài học kinh nghệm cho bản
thân, chịu khó học hỏi và tham khảo các loại sách.
Là một sinh viên sắp ra trường tôi nhận thấy cần phải xây dựng các
phương pháp phù hợp để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng
nhau từ đó học sinh vận dụng và giải các bài tập đạt hiệu quả cao nhất. Xuất

1


phát từ lý do trên tôi không ngừng học hỏi để trở thành một giáo viên đủ khả
năng truyền thụ kiến thức cho các em, đó cũng là lý do tơi chọn đề tài này.

2. Mục đích nghiên cứu:
Hình thành những phương pháp chứng minh “Hai đoạn thẳng bằng nhau,
hai góc bằng nhau” nhằm giúp học sinh chủ động, sáng tạo trong việc học Tốn,
góp phần nâng cao chất lượng Giáo dục, cũng như tạo cho học sinh những năng
lực thích hợp với những thay đổi trong thực tiễn để học sinh hịa nhập vào cuộc
sống lao động, với mơi trường nghề nghiệp. Hình học tạo cho học sinh có năng
lực hành động, năng lực ứng xử, hình thành những diễn đạt bằng lời nói, bằng

viết, kích thích trí tưởng tượng,

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau:
- Đề xuất một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai
góc bằng nhau.
- Đưa ra một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phương pháp có
thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh.

4.Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu: tập hợp và tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài
kết hợp nghiên cứu, trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
*************

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN
THẲNG BẮNG NHAU.
1. Phương pháp 1: Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
♦ Kiến thức:
1. Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng
bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
2. Kí hiệu
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết:
∆ABC = ∆A’B’C’
Người ta quy ước rằng khi kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác, các chữ cái
chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo cùng thứ tự.

3. Các trường hợp bằng nhau của tam giác
a) Trường hợp 1: (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
b) Trường hợp 2: (cạnh – góc – cạnh) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau.
c) Trường hợp 3: (góc – cạnh – góc) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác
này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
4. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
a) Trường hợp 1: hai cạnh góc vng (cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh góc
vng của tam giác vng này bằng hai cạnh góc vng của tam giác vng kia
thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
3


b) Trường hợp 2: cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh – góc): Nếu cạnh huyền và
một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của
tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
c) Trường hợp 3: cạnh huyền – cạnh góc vng (cạnh – cạnh – cạnh): Nếu cạnh
huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng này bằng cạnh huyền và một
cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho ∆ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm AC. Trên tia đối
của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N
sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm MN.
Giải:
M

A
N

K

E

C
B

Xét ∆AKM và ∆BKC
AK = BK
∠ MKA = ∠ CKB ( hai góc đối đỉnh)

MK = CK (gt)
Do đó: ∆AKM = ∆BKC (c - g -c)
Suy ra: AM = BC (hai cạnh tương ứng)
∠ Mak = ∠ CBK (hai góc tương ứng)

Suy ra: MA // BC
Xét ∆AEN và ∆CEB có:
AE = CE (gt)
∠ AEN = ∠ CEb (hai góc đối đỉnh)

EN = EB (gt)
Do đó : ∆AEN = ∆CEB (c - g - c)
Suy ra: AN = BC (hai cạnh tương ứng) và ∠ NAE = ∠ BCE (hai góc tương ứng)
4


Suy ra: AN // BC
Từ

MA // BC, AN // BC nên M, A, N thẳng hàng
AM = BC, AN = BC nên AM = AN

Vậy A là trung điểm của MN => Đpcm
Ví dụ 2: Cho ∆ABC. Vẽ về phía ngồi ∆ABC các tam giác vng tại A là ABD,
ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vng góc với BC, DM vng góc với
AH, EN vng góc với AH. Chứng minh rằng:
a) DM = AH
b) MN đi qua trung điểm của DE.
Giải:
N
1

O

E

1
M

D

A

B

H

C

a) Xét ∆ADM và ∆BAH vuông có:
AD = BA (gt)
∠ ADM = ∠ BAH ( cùng phụ ∠ MAD)

Do đó: ∆ADM = ∆BAH (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: DM = AH ( hai cạnh tương ứng)
b) Xét ∆ENA và ∆AHC vng có:
EA = CA (gt)
∠ NEA = ∠ HAC ( cùng phụ với góc EAN)

Do đó : ∆ENA = ∆AHC (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: EN = AH (hai cạnh tương ứng)
5


Mà: DM = AH
=> EN = DM
Mặt khác:
DM ⊥ AH
NE ⊥ AH
=> DM // NE
Suy ra: ∠ D1 = ∠ e1 (hai góc so le trong)
Gọi O = DE ∩ NM
∆DMO = ∆ENO (g - c - g) vì:
∠ D1 = ∠ E1

EN = DM
∠ DMO = ∠ ENO = 900

Suy ra: DO = EO, MO = NO

Vậy MN đi qua trung điểm của DE.
Ví dụ 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ cát tuyến
chung CAD và EAG (C, E thuộc (O), D, G thuộc (O’)) sao cho AB là phân giác
của ∠ CAG. Chứng minh: CD = EG.
Giải:

D
E

A

G

C

O'
O
B

∆ CBD vµ ∆ EBG cã ∠ BDC = ∠ BGE, ∠ C = ∠ E
=> ∠ CBD = ∠ EBG.
L¹i cã: ∠ BDG = ∠ BAG ( 2 gãc nh− trên cùng chắn cung BG)
6


∠ BGD = ∠ BAC (cïng bù víi ∠ BAD)

Mµ ∠ BAG = ∠ BAC (gt)
=> ∠ BDG = ∠ BGD => BG = BD.
Vậy ∆ CBD = ∆ EBG (g.c.g) => CD = EG

2. Phương pháp 2: Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân
♦ Kiến thức:
- Định nghĩa tam giác cân: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tính chất hình thang cân:
+ Định: Trong Hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
B

A

C

D

Hình thang cân ABCD (AB // DC) có hai cạnh bên: AD = BC.
Ví dụ 1: Cho ∆ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ
đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC
theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng: DE = BD + CE
Giải:
A

I

D
1

2

2
1

B

E
2
1
C

Ta có: DI // BC => ∠ I1 = ∠ B1 (so le trong)
Mà BI là tia phân giác góc B => ∠ B1 = ∠ B2
Suy ra: ∠ I1 = ∠ B2 => ∆DBI cân => BD = DI
Ta có: IE // BC => ∠ I2 = ∠ C1
Mà CI là tia phân giác góc C => ∠ C2 = ∠ c1
7

(1)


Suy ra: ∠ I2 = ∠ c2 => ∆EIC cân => IE = EC
Từ (1) và (2): BD + EC = DI + IE

(2)

DE = BD + CE

Ví dụ 2: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC
sao cho AD = AE.
a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
A

D

1
2
B

1

E

1

2

1
C

a) Ta có: ∆ABC cân nên AB = AC => BD = EC, BD // EC
=> Tứ giác BDEC là hình thang cân
b) Ta thấy: BD = DE <=> ∠ B1 = ∠ E1
<=>
∠ B1 = ∠ B2 (vì ∠ B2 = ∠ E1, DE // BC)
DE = EC <=> ∠ D1 = ∠ C1
<=> ∠ C1 = ∠ C2 (vì ∠ D1 = ∠ C1, DE // BC)
Như vậy nếu BE, CD là các đường phân giác của ∆ABC thì DB = DE = EC
3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất trung điểm
♦ Kiến thức:
Tính chất của trung điểm của 1 đoạn thẳng:
- Mỗi 1 đoạn thẳng có duy nhất 1 trung điểm.

- Trung điểm nằm giữa và cách điều 2 đầu mút.
Ví dụ 1: Cho tam giác có 3 góc nhọn ABC và một điểm O bất kì trong tam giác
đó. Ba điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA. Ba
điểm M, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Chứng
minh rằng: DE = QM, MP = EF, DF = PQ
8


Giải:
A

M
D

F
O

P

Q

B

E

C

Ta có: D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA nên DE, EF, FD
là các đường trung bình của ∆ABC
DE =

1
1
1
AC, EF = AB, DF = BC (1)
2
2
2

Mặt khác: M là trung điểm của AO
P là trung điểm của BO
Q là trung điểm của CO
1
1
1
Nên MP = AB, PQ = BC, QM = AC (2)
2
2
2
Từ (1), (2) suy ra: DE = QM, MP = EF, DF = PQ
4. Phương pháp 4: Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc
đến hai cạnh của góc.
♦ Kiến thức:
-

Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều

hai cạnh của góc đó.
- Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của

góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ hai đường phân giác của hai góc ngồi tại
B, C và chúng cắt nhau tại K. Gọi D, F lần lượt là chân đường vng góc kẻ từ
K xuống AB và AC. Chứng minh rằng: KD = KF.
Giải:

9


A

B
E
C
D
F

K

Ta có :
K thuộc tia phân giác của ∠CBD => KD = KE

(1)

K thuộc tia phân giác của ∠ BCF => KE = KF

(2)

Từ (1), (2) suy ra KD = KF
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân

giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều
ba đường thẳng a, b, c.
Giải:
c
E

A

C

a

I

b
F

B

Gọi A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c
Xét hai góc trong cùng phía E và F:
- Do I thuộc tia phân giác góc E nên IA = IC
- Do I thuộc tia phân giác góc F nên IC = IB

(1)
(2)

Từ (1), (2) suy ra: IA = IB = IC tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
5. Phương pháp 5: Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một
đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng.

10


♦ Kiến thức:
- Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều
hai mút của đoạn thẳng đó

d
M

A

B
I

GT

d là trung trực của AB
M∈d

KL

MA = MB

- Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung
trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ 1: Cho gãc xOy, ®iĨm A n»m trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Oy là
trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Ox là trung trùc cđa AC. Chøng minh
r»ng OB = OC.
Giải:

x
C

A

y
O

B

Oy lµ ®−êng trung trùc cña AB ⇒ OA = OB (1).
Ox là đờng trung trực của AC OA = OC (2).
11


Tõ (1) vµ (2) ⇒ OB = OC.
Ví dụ 2: Cho ∆ABC, có ∠ A = 900, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối
xứng với M qua AB, vẽ điểm F đối xứng với M qua AC. Chứng minh rằng:
AD = AF
Giải:
F

A
D

B

C

M

Ta có:
- F là điểm đối xứng với M qua AC => AC là đường trung trực của MF
=> AF = AM (1)
- D là điểm đối xứng với M qua AB => AB là đường trung trực của DM
=> AD = AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AF = AD
6. Phương pháp 6: Dùng tính chất bắc cầu.
Ví dụ 1: Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vng ABCD.
Đoạn thẳng CM và DN cắt nhau ở P. Chứng minh rằng: AP = AB
Giải:
A

M

B

P

N

K

D

C
I

- Xét ∆BCM và ∆CDN có:
BC = CD ( Cạnh hình vng ABCD)

0

∠ MBC = ∠ NCD = 90

12


BM = CN ( =

1
CD)
2

Do đó ∆ BCM = ∆ CDN (c.g.c)
Suy ra: ∠ BCM = ∠ CDN.
Mặt khác: ∠ BCM + ∠ MCD = 900
=> ∠ CDN + ∠ MCD = 900
=> ∠ DPC = 900
=> CM ⊥ DN ti P
Gọi I là trung điểm của CD, K = AI ∩ DN
- Xét tứ giác CMAI có: AM // IC (I DC)
AM = IC =

1
DC
2

=> CMAI là hình bình hành
=> CM//AI
M DN CM hay DP PC

=> AI ⊥ DP hay AK ⊥ DP (1)
- ∆CDP có: AI ⊥ DP hay KI ⊥ DP => KI // PC
DI = IC (cách dựng)
=> KI là đường trung bình của ∆CDP
=> DK = KP (2)
Từ (1),(2) ta có AK vừa là đờng trung tuyến vừa là đờng cao ca APD
=> APD cân tại A => AP = AD

=> AP = AB (đpcm)

Mà AD = BP (tớnh cht hình vng)

Ví dụ 2: Vẽ ra ngồi tam giác ABC có ∠ B, ∠ C nhỏ hơn 900 các tam giác vuông
cân ADB, ACE ( ∠ ABD = ∠ ACE = 900 ). Gọi I và K là chân các đường vng
góc kẻ từ D và E đến BC. Chứng minh rằng: BI = CK
Giải:

13


D

A
E

1
1
1

I

2

B

2

1

C

H

K

Từ A kẻ AH ⊥ BC.
Ta có ∠ C1 + ∠ C2 = 90O; ∠ E1 + C2 = 90O
⇒ ∠ C1 = ∠ E1
Xét ∆ vuông AHC và ∆ vng CKE có:
AC = CE (gt)
∠ C1 = ∠ E1 ( cmt)

⇒ ∆ AHC = ∆ CKE (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ AH = CK (1)
Ta lại có: ∠ B1 + ∠ B2 = 900; ∠ D1 + ∠ B1 = 900.
⇒ ∠ D1 = ∠ B2
Xét ∆ vuông AHB và ∆ vng BID có :
DB = BA (gt)
∠ D1 = ∠ B2 (cmt)

⇒ ∆ AHB = ∆ BID (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ IB = AH (2)
Từ (1), (2) có IB = AH = CK ⇒ đpcm.
7. Phương pháp 7: Có cùng độ dài.
Ví dụ 1 : Hai đoạn thẳng AC, BD vng góc với nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đoạn thẳng. AB, BC, CD, DA có bằng nhau khơng ? Vì sao ?
Biết AC = 12cm, BD = 16cm.
Giải :

14


A

B
O

D

C

Ta có OA = OC = 6cm
OB = OD = 8cm
Áp dụng định lí Py - ta -go ta có:
AB2 = OA2 + OB2 => AB = 10cm
AD2 = OA2 + OD2 => AD = 10cm
CD2 = OD2 + OC2 => CD = 10cm
BC2 = OB2 + OC2 => BC = 10cm
Vậy: AB = AD = CD = BC
8. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của đẳng thức, hai phân số bằng nhau.

♦ Kiến thức:
- Tính chất của đẳng thức:
+ Nếu a = b thì a + c = b + c
+ Nếu a + c = b + c thì a = b
+ Nếu a = b thì b = a
- Định nghĩa hai phân số bằng nhau: Hai phân số

a
c
và gọi là bằng nhau nếu
b
d

a.d = b.c
Ví dụ 1: Cho hình (a), biết rằng AB = CD, MA + MB = MC + MD. Chứng minh
rằng:
MB = MD

15


M
B
A

D
O

C

hình (a)
Giải:
M
B
A

D
O

C

Ta có: MA + MB = AB + 2MB
và MC + MD = CD + 2MD
Theo giả thiết : AB = CD
MA + MB = MC + MD
Suy ra: MB = MD
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy không bằng nhau. Chứng minh
rằng: đường thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì chia hai đáy của hình
thang thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
Giải:

16


P

A

M

B

C
D

C

N

Áp dụng định lý Talét ta có:
+ AB // CD: ⇒
⇒
+Mặt khác :

AM NC
=
(1)
BM ND

AM PM MB
=
=
DN PN NC
⇒

Từ (1)(2) ⇒

AM MB MB
=
=

NC CN DN

AM DN
=
(2)
BM NC

DN NC
=
NC ND

⇒ DN2= NC2
⇔ DN = NC
⇒ MA = MB
⇒ đpcm.
9. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vng,
đường trung bình trong tam giác.
♦ Kiến thức
- Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
+ Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền bằng nửa cạnh
huyền ấy.
17


- Tính chất đường trung bình trong tam giác:
+ Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài
bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác

góc ACB ( D thuộc AB) qua D kẻ đường vng góc với CD; đường này cắt
1
đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = EC
2
Giải:

A

D
1
1
2
E

B

K

C

Gọi K là trung điểm của EC
Tam giác vuông EDC vng tại D có KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
DK =

EC
và DK = KC.
2

Vậy tam giác KDC cân tại K => ∠ D1 = ∠ C2
Mà ∠ C1 = ∠ C2 ( do CD là phân giác góc ACB)

=> ∠ D1 = ∠ C1 = ∠ C2
Ta có: ∠ DKB = ∠ D1 + ∠ C2 = ∠ C1 + ∠ C2 = ∠ ACB (góc ngoài tại đỉnh K của
tam giác DKC) = ∠ DBC ( do tam giác ABC cân tại A)
=> Tam giác DKB cân tại D => BD = DK =

18

EC
2


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ
tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD,
CE. Chứng minh rằng:
MI = IK = KN
Giải:
A

D

E

N

M
I

K
C

B

Vì ∆ABC có: AE = EB, AD = DC nên ED là đường trung bình
Đặt BC = a
1
a
Do đó ED // BD và ED = BC =
2
2
Do MN là đường trung bình của hình thang EDCB nên MN //BC và MN // ED
∆EDB có EM = MB, MI // ED nên MI là đường trung bình, MI =

ED a
=
2 4

∆EDC có DN = NC, NK // ED nên NK là đường trung bình, NK =

ED a
=
2 4

∆EBC có EM = MB, MK // BC nên MK là đường trung bình, MK =

BC a
=
2 2

a a a
Suy ra: IK = MK - MI = - =

2 4 4
Vậy MI = IK = KN =

a
4

10. Phương pháp 10: Sử dụng tính chất, định nghĩa về cạnh và đường chéo của
các tứ giác đặc biệt
- Gồm: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng,...
♦ Kiến thức:
19


- Hình bình hành:
+ Các cạnh đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Hình chữ nhật:
+ Hình chữ nhật là có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
+ Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
- Hình vng:
+ Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi
+ Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và có bốn cạnh bằng nhau.
Suy ra:
• Hình vng là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình vng vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
- Hình thoi:
+ Hình thoi là Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hai đường chéo vng góc nhau.
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,
AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng

DE = EF = FB.
Giải:
K

A

B

F
E
D

Vì AK =

I

C

AB
CD
, IC =
(cạnh của hình bình hành)
2
2

Mà AB = CD nên AK = IC
Tứ giác AKCI có AK // IC, AK = IC nên là hình bình hành. Do đó AI // CK.
∆DCF có DI = IC, IE // CF nên EF = DE
20

(1)


∆ABE có AK = KB, KF //AE nên EF = FB

(2)

Từ (1), (2) suy ra DE = EF = FB => đpcm
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB vng góc CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là
trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH
Giải:
C

E

B
H

A

F

G

D

∆ACD có HG là đường trung bình nên HG // CD
∆BCD có EF là đường trung bình nên EF // CD
Suy ra: GH // EF // CD (1)
∆BCA có HE là đường trung bình nên HE // AB

∆BAD có GF là đường trung bình nên GF // AB
Suy ra: HE // GF // AB (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác EFGH là hình bình hành.
Ta có: AB ⊥ CD => EF ⊥ AB
EF ⊥ HE (HE // AB)
Suy ra EFGH là hình chữ nhật.
Vậy EG = FH ( tính chất đường chéo của hình chữ nhật).
11. Phương pháp 11: Sử dụng kiến thức về diện tích.
♦ Kiến thức:
- Cơng thức tính diện tích:
1
+ Tam giác vng: S = . a . b
2
b
a

21