Eureka uni đại số tuyến tính ch1 ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

EUREKA! UNI – YOUTUBE

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
1. Bùi Xuân Diệu (2009). Bài giảng Đại số tuyến tính. Viện Tốn ứng dụng và tin học. ĐH BKHN.

2. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB Đại học KTQD.

3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Tốn học cao cấp tập I. Tái bản lần 10.
NXB Giáo Dục.

Free Video Playlists

1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:
4. GIẢI TÍCH 2:

/> />
5. TỐN CAO CẤP NEU:

/>
7. KINH TẾ LƯỢNG:

/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:

/>
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />DONATE cho Eureka! Uni

*Momo/Shoppe/Vietinbank/Techcombank/VPbank: 0986.960.312 – Hoang Ba Manh


Eureka! Uni - YouTube

2

MỤC LỤC CHƯƠNG 1

Eureka Uni (facebook.com)

1.1. DẠNG 1. MA TRẬN & CÁC PHÉP TỐN ........................................................................................................... 3

1.1.5.1. Tìm lũy thừa bậc cao của ma trận ....................................................................................................... 3

1.1.5.2. Tìm lũy thừa bậc cao của ma trận ....................................................................................................... 7

1.2. DẠNG 2. ĐỊNH THỨC ..............................................................................................................................................12
1.2.1. Định nghĩa và tính chất ...............................................................................................................................12

1.2.2. Các phương pháp tính định thức...........................................................................................................15

1.2.3. Bài tập tập tổng hợp ......................................................................................................................................21

1.3. DẠNG 3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .....................................................................................................................23
1.3.1. Tóm tắt về trận nghịch đảo .......................................................................................................................23

1.3.2. Bài tập tổng hợp ..............................................................................................................................................25

1.4. DẠNG 4. HẠNG CỦA MA TRẬN ...........................................................................................................................33
1.4.1. Tóm tắt về hạng của ma trận ....................................................................................................................33

1.4.2. Bài tập về hạng của ma trận .....................................................................................................................34

1.5. DẠNG 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ...............................................................................................40
1.5.1. Tóm tắt về hệ phương trình tuyến tính .............................................................................................41

1.5.2. Bài tập ....................................................................................................................................................................43

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


3

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

1.1. DẠNG 1. MA TRẬN & CÁC PHÉP TỐN

1.1.5.1. Tìm lũy thừa bậc cao của ma trận

Cộng ma trận

𝑎𝑎11
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �𝑎𝑎21
𝑎𝑎31

𝑎𝑎12
𝑏𝑏11
𝑎𝑎22 � + �𝑏𝑏21
𝑎𝑎32
𝑏𝑏31

Nhân ma trận với 1 vô hướng

𝑎𝑎11 + 𝑏𝑏11
𝑏𝑏12
𝑏𝑏22 � = �𝑎𝑎21 + 𝑏𝑏21
𝑏𝑏32
𝑎𝑎31 + 𝑏𝑏31

𝑎𝑎11
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12
2𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 � + �𝑎𝑎21
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32
𝑎𝑎31
2𝑎𝑎11 2𝑎𝑎12
= �2𝑎𝑎21 2𝑎𝑎22 �
2𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32

Trừ ma trận

𝑎𝑎12
𝑎𝑎11 + 𝑎𝑎11
𝑎𝑎22 � = �𝑎𝑎21 + 𝑎𝑎21
𝑎𝑎32
𝑎𝑎31 + 𝑎𝑎31

𝑎𝑎11 − 𝑏𝑏11
𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 + (−𝐵𝐵) = �𝑎𝑎21 − 𝑏𝑏21
𝑎𝑎31 − 𝑏𝑏31

Chuyển vị ma trận

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑎𝑎12 + 𝑏𝑏12
𝑎𝑎22 + 𝑏𝑏22 �
𝑎𝑎32 + 𝑏𝑏32
𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎12
𝑎𝑎22 + 𝑎𝑎22 �
𝑎𝑎32 + 𝑎𝑎32

𝑎𝑎12 − 𝑏𝑏12
𝑎𝑎22 − 𝑏𝑏22 �
𝑎𝑎32 − 𝑏𝑏32

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


4

Eureka! Uni - YouTube

𝑏𝑏12
𝑏𝑏
𝑏𝑏22 � ⇒ 𝐵𝐵′ = � 11
𝑏𝑏12
𝑏𝑏32

𝑏𝑏11
𝐵𝐵 = �𝑏𝑏21
𝑏𝑏31

Nhân 2 ma trận

𝑎𝑎11
𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐵𝐵′ = �𝑎𝑎21
𝑎𝑎31

𝑎𝑎12
𝑏𝑏
𝑎𝑎22 � � 11
𝑎𝑎32 𝑏𝑏12

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖 (𝐵𝐵′ )𝑐𝑐𝑗𝑗 ,

Ví dụ 1. Cho hai ma trận
2
𝐴𝐴 = �1
5

3
2
2

𝑏𝑏21
𝑏𝑏22

𝑏𝑏21
𝑏𝑏22

𝑏𝑏31
�
𝑏𝑏32

𝑏𝑏31
� = �𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 �
3×3
𝑏𝑏32

𝑐𝑐11 = 𝑎𝑎11 𝑏𝑏11 + 𝑎𝑎12 𝑏𝑏12
1
1
8

1
2
1

4

−1�
−3

2 −1 3 0
3
2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵 = 2 �1 4 2 −3� − 3 � 6
5 3 2 1
−2
−5
−5
3 −12
= �−16
5
−2 −3 �
16 −18 1
11
Tính 𝐴𝐴(3𝐵𝐵′ )

1
1
8

1
2
1

a) Lập các ma trận

−1
4

3

Eureka Uni (facebook.com)

0
−3� ,
1

𝐴𝐴(3𝐵𝐵′ ),

2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵,

b) Tìm ma trận 𝑋𝑋 biết

3
𝐵𝐵 = � 6
−2

(3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵)′

3(𝑋𝑋 − 𝐵𝐵𝐴𝐴′ ) = 2𝐴𝐴𝐵𝐵′

c) Tìm phần tử dịng 2 cột 3 của các ma trận
Giải

𝐴𝐴′ 𝐵𝐵,

a) Tính 2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

(𝐴𝐴𝐵𝐵′ )2

4
−1�
−3

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

5

3
𝐵𝐵 = � 6
−2

𝐴𝐴(3𝐵𝐵

′)

Tính (3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵)′

1
1
8

1
2

1

4
−1� ,
−3

2
= 3𝐴𝐴𝐵𝐵 = 3 �1
5
′

24
= �−9
72

−1
4
3

Eureka Uni (facebook.com)

3 6 −2
1 1
8
𝐵𝐵 ′ = �
�
1 2
1
4 −1 −3
3 6 −2

3 0
1 1
8
�
2 −3� �
1 2
1
2 1
4 −1 −3

51 −27
51 123 �
108 39

2 −1 3 0
3 1
3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵 = 3 �1 4 2 −3� − 2 � 6 1
5 3 2 1
−2 8
0 −5 7 −8
= �−9 10 2 −7�
19 −7 4 9
0 −9 19
−5 10 −7
(3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵)′ = �
�
7
2
4
−8 −7 9

b) Tìm 𝑋𝑋, biết:

1
2
1

4
−1�
−3

3(𝑋𝑋 − 𝐵𝐵𝐴𝐴′ ) = 2𝐴𝐴𝐵𝐵′

⇔ 3𝑋𝑋 − 3𝐵𝐵𝐴𝐴′ = 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ ⇔ 3𝑋𝑋 = 3𝐵𝐵𝐴𝐴′ + 2𝐴𝐴𝐵𝐵′
40 25
18
3
3
⎛
⎞
2
1
190
85
⎟
⇔ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵𝐴𝐴′ + 𝐴𝐴𝐵𝐵′ = (3𝐵𝐵𝐴𝐴′ + 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ ) = ⎜15
3
3
3 ⎟
3

⎜
65
7
65
⎝
3 ⎠
8 17 −9
′
𝐴𝐴𝐵𝐵 = �−3 17 41 �
24 36 13

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

6
′

𝐵𝐵𝐴𝐴 = (𝐵𝐵

′ )′ ′

𝐴𝐴 = (𝐴𝐴𝐵𝐵

c) Tìm phần tử dịng 2 cột 3 của

′ )′

Ma trận 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′ 𝐵𝐵

Eureka Uni (facebook.com)

8
= � 17
−9

−3
17
41

24
36�
13

1
= (−1 4 3) �2� = −1 × 1 + 4 × 2 + 3 × 1 = 10
𝑐𝑐23 =
1
2
1 5
2 −1 3 0
−1 4 2
𝐴𝐴 = �1 4 2 −3� ,
𝐴𝐴′ = �
�
3
2 2

5 3 2 1
0 −3 1
3 6 −2
3 1 1 4
1 1
8
𝐵𝐵 = � 6 1 2 −1� ,
𝐵𝐵 ′ = �
�
1 2
1
−2 8 1 −3
4 −1 −3
Ma trận 𝐷𝐷 = (𝐴𝐴𝐵𝐵′ )2 = (𝐴𝐴𝐵𝐵′ )(𝐴𝐴𝐵𝐵′ )
(𝐴𝐴′ )𝑟𝑟2 . 𝐵𝐵3𝑐𝑐

Tìm

𝑑𝑑23 = (−3

(𝐴𝐴𝐵𝐵′ )𝑟𝑟2 = (−3

17

17 41)
−9
𝑐𝑐
′
(𝐴𝐴𝐵𝐵 )3 = � 41 �
13

−9
41) � 41 � = (−3)(−9) + 17 × 41 + 41 × 13 = 1257
13

Ví dụ 2. Hãy tìm 𝑓𝑓(𝐴𝐴) với

1 −1
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 3 và 𝐴𝐴 = �
�
−3 3
1 4 0
2
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 5 và 𝐴𝐴 = � 0 2 5�
−3 0 2

Giải

a) Ta có:

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


7

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

𝑓𝑓(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴2 − 5𝐴𝐴 + 3𝐼𝐼
1 −1
4
−4
1 −1
1 −1
𝐴𝐴2 = �
� = 4𝐴𝐴
� = 4�
�=�
��
−3 3
−12 12
−3 3
−3 3
2 1
1 0
1 −1
𝑓𝑓 (𝐴𝐴) = 4𝐴𝐴 − 5𝐴𝐴 + 3𝐼𝐼 = −𝐴𝐴 + 3𝐼𝐼 = − �
�
�=�
� + 3�
3 0
0 1
−3 3
6
28 60
b) 𝑓𝑓(𝐴𝐴) = �−45 13 50�
−21 −36 13

1.1.5.2. Tìm lũy thừa bậc cao của ma trận
Lũy thừa bậc 𝑛𝑛 của ma trận vuông

𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑛𝑛−𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. 𝐴𝐴𝑛𝑛−1
𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐼𝐼,

Quy nạp tốn học

𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴

Tính một vài lũy thừa đầu tiên để tìm ra quy luật

Giả sử quy luật đúng với 𝑛𝑛, chỉ ra nó đúng với 𝑛𝑛 + 1

Khai triển Nhị thức Newton

𝑛𝑛

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑛𝑛−𝑘𝑘
𝑘𝑘=0

Cộng 2 ma trận

𝐴𝐴 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝐵𝐵,
𝐵𝐵𝑘𝑘 = 𝑂𝑂,

𝑘𝑘 ≥ ⋯

cos 𝑥𝑥

sin 𝑥𝑥

𝑛𝑛

Ví dụ 3. Thực hiện các phép toán lũy thừa
Giải

1
𝐴𝐴𝑛𝑛 = �
0

𝑛𝑛

1
� ,
1

𝛼𝛼 ∈ ℝ

𝐵𝐵𝑛𝑛 = �

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

− sin 𝑥𝑥
� ,
cos 𝑥𝑥

2
𝑛𝑛
𝐶𝐶 = �0

0

1
2
0

0 𝑛𝑛
1�
2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


8

Eureka! Uni - YouTube

1
Tính 𝐴𝐴 = �
0
𝑛𝑛

Quy nạp

1 𝑛𝑛
�
1

Eureka Uni (facebook.com)

1
1
�=�
0
1

1 1
��
1 0

1
𝐴𝐴2 = �
0

𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴. 𝐴𝐴2 = �

1 1
��
1 0

1
0

1
⇒ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = �
0

2
�
1

1
2
�=�
0
1

𝑛𝑛
�
1

3
�
1

Giả sử đúng với 𝑛𝑛, ta sẽ chỉ ra điều này đúng với 𝑛𝑛 + 1. Thật vậy:
Vậy

Khai triển Nhị thức

𝐴𝐴𝑛𝑛 = �

𝐴𝐴 = �

1
0

1
𝑛𝑛
�=�

0
1

1 1
��
1 0

1
𝐴𝐴𝑛𝑛+1 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴1𝑛𝑛 = �
0

1
0

𝑛𝑛
�
1

1
1
�+�
0
0

0
1
�=�
0
1

𝑛𝑛 + 1
�
1

0
� = 𝐴𝐴1 + 𝐼𝐼
1

𝑛𝑛

⇒ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = (𝐴𝐴1 + 𝐼𝐼)𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝐴𝐴1𝑘𝑘 𝐼𝐼

𝐴𝐴12 = �

0
0

1 0
��
0 0

0
1
�=�
0
0

⇒ 𝐴𝐴1𝑘𝑘 = 𝑂𝑂, ∀𝑘𝑘 ≥ 2

1

⇒ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐼𝐼 + 𝐶𝐶𝑛𝑛1 𝐴𝐴1 + 𝑂𝑂 = 𝐼𝐼 + 𝑛𝑛𝐴𝐴1 = �
0
cos 𝑥𝑥
Tính 𝐵𝐵 = �
sin 𝑥𝑥
𝑛𝑛

𝑘𝑘=0

− sin 𝑥𝑥 𝑛𝑛
�
cos 𝑥𝑥

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

0
� = 𝑂𝑂
0

0
0
� + 𝑛𝑛 �
0
1

1
1
�=�
0
0

𝑛𝑛
�
1

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


9

Eureka! Uni - YouTube

cos 𝑥𝑥
𝐵𝐵2 = �
sin 𝑥𝑥

Eureka Uni (facebook.com)

− sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥
�
��
cos 𝑥𝑥
sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥
2
2
𝑥𝑥
−
sin
𝑥𝑥
− cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 �

cos
=�
sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥
− sin2 𝑥𝑥 + cos2 𝑥𝑥
cos 2𝑥𝑥 − sin 2𝑥𝑥
=�
�
sin 2𝑥𝑥 cos 2𝑥𝑥
⇒ 𝐵𝐵 𝑛𝑛 = �

cos 𝑛𝑛𝑛𝑛
sin 𝑛𝑛𝑛𝑛

− sin 𝑛𝑛𝑛𝑛
�
cos 𝑛𝑛𝑛𝑛

Giả sử đúng với 𝑛𝑛, ta sẽ chỉ ra điều này đúng với 𝑛𝑛 + 1. Thật vậy:

cos 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐵𝐵 𝑛𝑛+1 = �
�
��
sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥
sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛
cos 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − cos 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛
=�
�
sin 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 + cos 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 + cos 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛
cos(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 − sin(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥

=�
�
sin(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 cos(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥
sin(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) = sin 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 ± sin 𝑏𝑏 cos 𝑎𝑎

cos(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) = cos 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 ∓ sin 𝑎𝑎 sin 𝑏𝑏

Vậy

2
𝑛𝑛
Tính 𝐶𝐶 = �0
0

1
2
0

0 𝑛𝑛
1�
2

2
𝐶𝐶 = �0
0

cos 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐵𝐵 𝑛𝑛 = �
sin 𝑛𝑛𝑛𝑛

1
2
0

0
0
1� = � 0
2
0

𝑛𝑛

1
0
0

− sin 𝑛𝑛𝑛𝑛
�
cos 𝑛𝑛𝑛𝑛

0
2
1� + �0
0
0

0
2
0

0
0� = 𝐷𝐷 + 2𝐼𝐼
2

𝑛𝑛

⇒ 𝐶𝐶 𝑛𝑛 = (𝐷𝐷 + 𝐼𝐼)𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝐷𝐷𝑘𝑘 (2𝐼𝐼)𝑛𝑛−𝑘𝑘 = � 2𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝐷𝐷𝑘𝑘 𝐼𝐼
𝑘𝑘=0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑘𝑘=0

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

0
𝐷𝐷 = �0
0
2

0
𝐷𝐷 = �0
0
3

1
0

0
1
0
0

10

0 0
1� �0
0 0
0 0
1� �0
0 0

⇒ 𝐷𝐷 𝑘𝑘 = 𝑂𝑂,

1
0
0
0
0
0

Eureka Uni (facebook.com)

0
0
1� = �0
0
0

1
0
0� = �0
0
0

∀𝑘𝑘 ≥ 3

0
0
0
0
0
0

1
0�
0
0
0�
0

⇒ 𝐶𝐶 𝑛𝑛 = 𝐶𝐶𝑛𝑛0 𝐼𝐼 + 𝐶𝐶𝑛𝑛1 𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝑛𝑛2 𝐷𝐷2 + 𝑂𝑂 = 2𝑛𝑛 𝐼𝐼 + 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛𝐶𝐶1 + 2𝑛𝑛−2
1
= 2 �0
0

0
0 1 0
𝑛𝑛−1

0� + 2 𝑛𝑛 �0 0 1�
1
0 0 0
0 0 1
2𝑛𝑛 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛
+ 2𝑛𝑛−3 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) �0 0 0� = � 0
2𝑛𝑛
0 0 0
0
0
8 4𝑛𝑛 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)
𝑛𝑛−3
=2
�0 8
4𝑛𝑛 �
0 0
8
𝑛𝑛

0
1
0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) 2
𝐶𝐶2
2

2𝑛𝑛−3 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)

�
2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛
2𝑛𝑛

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


11

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

EUREKA! UNI – YOUTUBE

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
4. Bùi Xn Diệu (2009). Bài giảng Đại số tuyến tính. Viện Tốn ứng dụng và tin học. ĐH BKHN.

5. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB Đại học KTQD.

6. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập I. Tái bản lần 10.
NXB Giáo Dục.

7. Nguyễn Hữu Việt Hưng (2008). Giáo trình Đại số tuyến tính. NXB ĐH QGHN.

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


12

Eureka! Uni - YouTube

1.2. DẠNG 2. ĐỊNH THỨC

Eureka Uni (facebook.com)

Định thức

Định nghĩa
và tính chất

Các phương
pháp tính

Luyện tập

Đưa về tam
giác

Khai triển

1.2.1. Định nghĩa và tính chất
1.2.1.1. Định nghĩa

𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝐴𝐴 = � . . .
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

...
...
...
...

𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
... �
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

Định thức (determinant) của ma trận vuông 𝐴𝐴 kí hiệu là |𝐴𝐴| hoặc det(𝐴𝐴), xác
định bởi tổng của 𝑛𝑛! tích số dạng:
Chỉ số cột:

Chỉ số dịng:

Số cách chọn:

1

2

(−1)ℎ 𝑎𝑎𝑚𝑚1 1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 2 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑛𝑛
…

𝑛𝑛

…

𝑛𝑛

𝑚𝑚1

𝑚𝑚2 …

2

1

1

…

2

…

𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 2)…2.1

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


13

Eureka! Uni - YouTube

Trong đó

Eureka Uni (facebook.com)

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

là phần tử dịng 𝑖𝑖, cột 𝑗𝑗 của ma trận 𝐴𝐴 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = �����
1, 𝑛𝑛).

ℎ

là tổng số nghịch thế trong hoán vị của các chỉ số dòng.

𝑚𝑚𝑘𝑘 là chỉ số dòng.
𝑗𝑗
𝑖𝑖

1
𝑚𝑚1

Diễn giải bổ sung

2
𝑚𝑚2

…
…

𝑗𝑗
𝑚𝑚𝑘𝑘

Hoán vị của 5 số tự nhiên đầu tiên:
Nghịch thế

( 1,2,3,4,5)

(1,3,2,4,5)

…
…

(2,1,5,3,4)

𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑛𝑛

…

𝑚𝑚𝑘𝑘 < 𝑚𝑚𝑘𝑘+𝑖𝑖 ⇒ 𝑚𝑚𝑘𝑘 và 𝑚𝑚𝑘𝑘+𝑖𝑖 tạo thành 1 nghịch thế
Ví dụ

Hốn vị 2,1,5,3,4 có tổng cộng ℎ = 3 nghịch thế.

𝑎𝑎11
|𝐴𝐴3×3 | = �𝑎𝑎21
𝑎𝑎31

𝑎𝑎
|𝐴𝐴2×2 | = �𝑎𝑎11
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32

21

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22 � = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12

𝑎𝑎13
𝑎𝑎23 � = |𝐴𝐴|
𝑎𝑎33

= 𝑘𝑘𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎21 𝑎𝑎32 𝑘𝑘𝑎𝑎13 + 𝑎𝑎31 𝑘𝑘𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 − 𝑎𝑎31 𝑎𝑎22 𝑘𝑘𝑎𝑎13
− 𝑘𝑘𝑎𝑎11 𝑎𝑎32 𝑎𝑎23 − 𝑎𝑎21 𝑘𝑘𝑎𝑎12 𝑎𝑎33

Một cách tính “thân thiện” với định thức cấp 3
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑎𝑎13
𝑎𝑎23
𝑎𝑎33

𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
𝑎𝑎31

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎32

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


14

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

|𝐴𝐴| = (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 𝑎𝑎31 + 𝑎𝑎13 𝑎𝑎21 𝑎𝑎32 )

− (𝑎𝑎31 𝑎𝑎22 𝑎𝑎13 + 𝑎𝑎32 𝑎𝑎23 𝑎𝑎11 + 𝑎𝑎33 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 )

Máy tính bỏ túi: tính được định thức cấp ≤ 4.
Ví dụ 1. Tính định thức

Nhận xét

−2 3
�1
4
3 −1

(i)

(ii)

5
2� = (−16 + 36 − 5) − (60 + 8 + 6) = −72
2

Định thức là 1 số xác định, mỗi ma trận có 1 và chỉ 1 giá trị định

thức.

Ma trận gồm tồn số ngun sẽ có định thức cũng là ngun (Điều
ngược lại nhìn chung khơng đúng).

1.2.1.2. Tính chất
TC1: |𝐴𝐴| = |𝐴𝐴′ |

|𝐴𝐴𝐴𝐴| = |𝐴𝐴| × |𝐵𝐵|

𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑂𝑂1×𝑛𝑛
TC2: ∃ � 𝑐𝑐
⇒ |𝐴𝐴| = 0
𝐴𝐴𝑗𝑗 = 𝑂𝑂𝑛𝑛×1

TC3: Đổi chỗ 2 dòng (cột) ⇒ định thức đổi dấu.

Hệ quả: Nếu có 2 dịng bằng nhau ⇒ |𝐴𝐴| = 0

TC4: Nhân 1 dịng (cột) với 1 số 𝑘𝑘 thì giá trị định thức bằng 𝑘𝑘 |𝐴𝐴|
Hệ quả: Nếu có 2 dịng tỷ lệ ⇒ |𝐴𝐴| = 0

Kéo theo: |𝑘𝑘𝑘𝑘| = 𝑘𝑘 𝑛𝑛 |𝐴𝐴|

|2𝐴𝐴| = 2𝑛𝑛 |𝐴𝐴|

𝑎𝑎11
...
�𝑏𝑏𝑖𝑖1 + 𝑐𝑐𝑖𝑖1
�
...
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
...
𝑏𝑏𝑖𝑖2
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

TC5: Tách dòng (cột) thành tổng ⇒ tách định thức thành tổng.
𝑎𝑎12
...
𝑏𝑏𝑖𝑖2 + 𝑐𝑐𝑖𝑖2
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

...
...
...
...
...

𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎11
...
...
�
�
𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 � = � 𝑏𝑏𝑖𝑖1
...
...
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛1

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

. . . 𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎11
... ...

...
�
�
. . . 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 � + � 𝑐𝑐𝑖𝑖1
... ...
...
. . . 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
...
𝑐𝑐𝑖𝑖2
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

...
...
...
...
...

𝑎𝑎1𝑛𝑛
...
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ��
...
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

15

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

TC6: Nhân 1 dòng (cột) với số 𝑘𝑘, rồi cộng vào dòng (cột) khác
⇒ |𝐴𝐴| không đổi.

𝑎𝑎11
...
�𝑎𝑎𝑖𝑖1 + 𝑘𝑘𝑎𝑎11
�
...
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
...
𝑎𝑎𝑖𝑖2 + 𝑘𝑘𝑎𝑎12
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

...
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎11
...
...
...
. . . 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑘𝑘𝑐𝑐1𝑛𝑛 �� = �� 𝑎𝑎𝑖𝑖1
...

...
...
...
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
...
𝑎𝑎𝑖𝑖2
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

. . . 𝑎𝑎1𝑛𝑛
... ...
. . . 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ��
... ...
. . . 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

TC7: Nếu 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑘𝑘1 𝐴𝐴1𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2 𝐴𝐴𝑟𝑟2 + ⋯ + 𝑘𝑘𝑖𝑖−1 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖−1 + 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖+1 + ⋯ + 𝑘𝑘𝑛𝑛 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑛𝑛
⇒ |𝐴𝐴| = 0

Tương tự cho 𝐴𝐴𝑗𝑗𝑐𝑐 .

1.2.2. Các phương pháp tính định thức
1.2.2.1. Phương pháp khai triển

Minh họa phần bù và phần bù đại số

−2 3
𝐷𝐷 = � 1

4
3 −1

𝑎𝑎11 = −2 có phần bù là 𝑀𝑀11 = �

4
−1

2
�
2

và phần bù đại số là (−1)1+1 �

Khai triển định thức

𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
|𝐴𝐴| = � . . .
𝑎𝑎𝑛𝑛1

4
−1

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

5

2�
2
2
�
2

...
...
...
...

𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
... �
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 có phần bù là 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 và phần bù đại số là (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


16

Eureka! Uni - YouTube
𝑛𝑛

Eureka Uni (facebook.com)

𝐷𝐷 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑎𝑎𝑖𝑖1 (−1)𝑖𝑖+1 𝑀𝑀𝑖𝑖1 + 𝑎𝑎𝑖𝑖2 (−1)𝑖𝑖+2 𝑀𝑀𝑖𝑖2 + ⋯ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 (−1)𝑖𝑖+𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑗𝑗=1

𝑛𝑛

𝐷𝐷 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑖𝑖=1

Nhận xét

= 𝑎𝑎1𝑗𝑗 (−1)1+𝑗𝑗 𝑀𝑀1𝑗𝑗 + 𝑎𝑎2𝑗𝑗 (−1)2+𝑗𝑗 𝑀𝑀2𝑗𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 (−1)𝑛𝑛+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑛𝑛𝑛𝑛

Dịng, cột có nhiều 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 nhất nên được lựa chọn để khai triển.

Kết hợp các tính chất 3,4,6 để làm gọn định thức trước.

Ví dụ 2. Tính các định thức sau bằng phương pháp khai triển.
1 1
|𝐴𝐴| = − �1
2
3

−6
4
−1

−10
2 �,
2

−2

1
�
|𝐶𝐶 | = � 3
2
0

Giải

1
0
|𝐵𝐵| = �
−5
2

5
0
0
3
−1 0
6 −4
−3 −1

−1 0 2
−2 1 3
�
4 2 1
3 0 −1

−1 3
7 −2

5 −5��
1
2
2
3

Tính |𝐴𝐴|

Khai triển theo cột 1
−2
|𝐴𝐴| = � 1
3

3
4
−1

5
2�
2

4 2
3 5
� + 1 × (−1)2+1 �
�
−1 2
−1 2
3 5
+ 3 × (−1)3+1 �
� = −2 × 10 − 1 × (11) + 3 × (−14) = −73

4 2

= −2 × (−1)1+1 �

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


17

Eureka! Uni - YouTube

Khai triển theo dòng 2
−2 3
|𝐴𝐴| = � 1
4
3 −1

Eureka Uni (facebook.com)

5
2�
2

3 5
−2 5
� + 4 × (−1)2+2 �
�
3 2

−1 2
−2 3
+ 2 × (−1)2+3 �
� = −1 × 11 + 4 × (−19) − 2 × (−7)
3 −1
= −73

= 1 × (−1)2+1 �

Tạo ra các số 0 bằng các tính chất của định thức
1
5 (1)
2� = − �−2
3
2

4 2 (2) 1
4
2
3 5� = − �0 11
9�
−1 2
0 −13 −4
11
9
= −1 × 1 × (−1)1+1 �
� = −73
−13 −4

−2 3

|𝐴𝐴| = � 1
4
3 −1

(1) Đổi chỗ dòng 1 và dòng 2
(2) 𝑟𝑟2 + 2𝑟𝑟1 và 𝑟𝑟3 + (−3𝑟𝑟1 )

Tính |𝐵𝐵|

1
0
|𝐵𝐵| = �
−5
2

−1
−2
4
3

0
1
2
0

2
3
�
1
−1

−1 2
1 −1
3+3
= 0 + 1 × (−1
�0 −2
4
1 � + 2 × (−1)
3 −1
2 3
1 −1 2 (1) 1 −1 2
1 −1 2
= − �−5 4
1 � + 2 �0 −2 3 � = − �0 −1 11 �
2 3 −1
2
3 −1
0 5 −5
1 −1 2
−1 11
−2 3
�+2�
�
+ 2 �0 −2 3 � = −1 × �
5 −5
5 −5
0 5 −5
= −1 × (−50) + 2 × (−5) = 40
)2+3

1
�−5
2

(1) Định thức thứ nhất: 𝑟𝑟2 + 5𝑟𝑟1 và 𝑟𝑟3 + (−2)𝑟𝑟1
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

2
3 �+0
−1

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

Định thức thứ hai:

Tính |𝐶𝐶 |

−2 5
1
0
�
|𝐶𝐶 | = � 3 −1
2
6
0 −3

1

0
= �
0
0

(3)

−9
−13
26
36

𝑟𝑟3 + (−2𝑟𝑟1 )

18

Eureka Uni (facebook.com)

0
3
0
−4
−1

−1 3
−2 5
0 −1
3
7 −2 (1) 1 −9 0 13
7

�
�
5 −5� = � 3 −1 0
5
−5 ��
1
2
2 18 0 −7 −10
2
3
0 −3 −1 2
3
−2 5 −1
3
1 −9 13
7
= −1 × (−1)5+3 �
�
3 −1 5
−5
2 18 −7 −10
1 −9 13
7
−2 5 −1
3
3
1 −9 13
7 (2) −2 5 −1
�
= −�

� = �
3 −1 5
−5
3 −1 5
−5
2 18 −7 −10
2 18 −7 −10

13
7
−13 25
17
25
17
� = � 26 −34 −26�
−34 −26
36 −33 −24
−33 −24
−13 25
17 (4) −13 25 17
= 6 � 13 −17 −13� = 6 � 0
8
4�
12 −11 −8
−1 14 9
0 −157 −100
−13 25 17 (5)
= 24 � 0
2
1 �

2
1 � = 24 � 0
−1
14
9
−1 14 9
−157 −100
= 24 × (−1)(−1)1+3 �
� = −24 × 43 = −1032
2
1

(1) 𝑟𝑟2 + 3𝑟𝑟5 và 𝑟𝑟4 − 4𝑟𝑟5

(3) 𝑟𝑟2 + 2𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟3 − 3𝑟𝑟1 và 𝑟𝑟4 − 2𝑟𝑟1
(5) 𝑟𝑟1 − 13𝑟𝑟3

(2) đổi chỗ 𝑟𝑟1 và 𝑟𝑟2

(4) 𝑟𝑟2 + 𝑟𝑟1 và 𝑟𝑟3 + 𝑟𝑟1

1.2.2.2. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

𝑎𝑎11

0
|𝐴𝐴| = � …
0

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
…
0

…
…
…
…

19

Eureka Uni (facebook.com)

𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
… � = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

Chứng minh: Khai triển lần lượt từ cột 1, 2, …
Trong quá trình biến đổi về dạng tam giác:
Đổi chỗ 2 dòng (cột)

Nhân 1 dòng với 1 hằng số 𝑘𝑘, đồng thời nhân định thức với 1/𝑘𝑘.
Nhân 1 dòng (cột) với 1 số → cộng vào dịng (cột) khác.
Kết hợp phương pháp khai triển để trình bày cho gọn.

Ví dụ 2. Tính các định thức sau bằng cách biến đổi về dạng đường chéo.
−2
1
�
|𝐶𝐶 | = � 3
2
0

5
0 −1 3
0
3
7 −2
−1 0
5 −5��
6 −4 1
2
−3 −1 2
3
𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑎𝑎 … 𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 … 𝑎𝑎
|𝐷𝐷| = �� 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 … 𝑎𝑎 ��
… … … … …
𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 … 𝑥𝑥

Giải
Tính |𝐶𝐶 |

−2 5

1
0
�
|𝐶𝐶 | = � 3 −1
2
6
0 −3

0
3
0
−4
−1

−1
7
5
1
2

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

3
−1 5
−2 (1) 1
0
�
�
−5� = � 3 −1
2

2
6
3
0 −3

3
3
0
−4
−1

6
7
5
1
2

1
−2
−5��
2
3

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

−1
(2) 0

= �� 0
0
0

−1
(4) 0
= �� 0
0
0

−1
0
�
= −8 � 0
0
0

5
5
14
16
−3

3
6
9
2
−1

5

3
−1
4
0
65
0
66
0 −13

−1
0
�
= 8� 0
0
0

5
−1
0
0
0

5
−1
0
0
0

3
4

1
0
−13
3
4
1
0
0

6
13
23
13
2

6
17
261
285
−49

6
17
40
2
−49

1
−1
5 (5) 0

68 �� = �� 0
84
0
−12
0

5
−1
14
16
−3
5
−1
0
0
0

1
−1
5 (6)
0
�
�
24 � = − 8 � 0
1
0
−12
0

1

6
−1
5
17
0
�
�
24
40 � = 8 � 0
1
2
0
300 471
0

5
−1
0
0
0

3
4
9
2
−1

6
17
23

13
2

5
−1
0
0
0

3
4
1
0
0

3
4
0
1
−13

= 8(−1)(−1)(−129) = −1032

3
4
1
0
0

1

5
−2��
4
3

6
17
16
40
−49

1
5
24
1
0

1
5
8 ��
24
−12

6
1
17
5
40
24 ��
2

1
471 300
6
17
40 ��
2
−129

(4) 𝑟𝑟3 + 14𝑟𝑟2 , 𝑟𝑟4 + 16𝑟𝑟2 và 𝑟𝑟5 − 3𝑟𝑟2

(3) 𝑟𝑟2 + 2𝑟𝑟5

(6) 𝑟𝑟5 + 13𝑟𝑟3

(5) 𝑟𝑟3 + 5𝑟𝑟5 và 𝑟𝑟4 + 5𝑟𝑟5
𝑥𝑥
𝑎𝑎
|𝐷𝐷| = �� 𝑎𝑎
…
𝑎𝑎

1
−1
−1 (3) 0
−2�� = �� 0
4
0
3
0

Eureka Uni (facebook.com)

(2) 𝑟𝑟2 + 𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟3 + 3𝑟𝑟1 và 𝑟𝑟4 + 2𝑟𝑟1

(1) 𝑟𝑟1 + 𝑟𝑟2

Tính |𝐷𝐷 |

20

𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑎𝑎
…
𝑎𝑎

𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑥𝑥
…
𝑎𝑎

…
…
…
…
…

𝑥𝑥 + (𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎
𝑎𝑎

𝑎𝑎 (1) 𝑥𝑥 + (𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎
𝑎𝑎 �� = �𝑥𝑥 + (𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎
�
…
…
𝑥𝑥
𝑥𝑥 + (𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑎𝑎
…
𝑎𝑎

𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑥𝑥
…
𝑎𝑎

… 𝑎𝑎
… 𝑎𝑎
�
… 𝑎𝑎 �
… …
… 𝑥𝑥

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Eureka! Uni - YouTube

𝑥𝑥 + (𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎
0
(2)
�
= �
0
…
0

𝑎𝑎
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
0
…
0

𝑎𝑎
0
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
…
0

21

…
…
…

…
…

Eureka Uni (facebook.com)

𝑎𝑎
0
0 �� = [𝑥𝑥 + (𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎](𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛−1
…
𝑥𝑥 − 𝑎𝑎

1.2.3. Bài tập tập tổng hợp
Cộng ma trận

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


22

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

EUREKA! UNI – YOUTUBE

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
1. Bùi Xn Diệu (2009). Bài giảng Đại số tuyến tính. Viện Tốn ứng dụng và tin học. ĐH BKHN.

2. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Tốn cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB Đại học KTQD.

3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập I. Tái bản lần 10.
NXB Giáo Dục.

4. Nguyễn Hữu Việt Hưng (2008). Giáo trình Đại số tuyến tính. NXB ĐH QGHN.

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


23

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

1.3. DẠNG 3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1.3.1. Tóm tắt về trận nghịch đảo
1.3.1.1. Định nghĩa
Nghịch đảo của số thực 𝑎𝑎 ≠ 0 là 1/𝑎𝑎 hay 𝑎𝑎−1
Xét ma trận 𝐴𝐴 vng cấp 𝑛𝑛:

1 = 𝑎𝑎 ×

𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �

𝑛𝑛×𝑛𝑛

1
= 𝑎𝑎 × 𝑎𝑎−1
𝑎𝑎
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
= � ...
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝐴𝐴𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼

. . . 𝑎𝑎1𝑛𝑛
. . . 𝑎𝑎2𝑛𝑛
... ... �
. . . 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

|𝐴𝐴−1 𝐴𝐴| = |𝐴𝐴−1 ||𝐴𝐴| = |𝐼𝐼| = 1

𝐴𝐴 có ma trận nghịch đảo (khả nghịch, khơng suy biến) ⇔ |𝐴𝐴| ≠ 0.
Lúc đó:

𝐴𝐴−1

𝐴𝐴11
1 ∗
1 𝐴𝐴12
=
𝐴𝐴 =
�
|𝐴𝐴|
|𝐴𝐴| . . .
𝐴𝐴1𝑛𝑛

𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = (−1)𝑖𝑖+𝑗𝑗 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 là phần bù đại số của 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 .
∗
𝐴𝐴∗ = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
�

𝑛𝑛×𝑛𝑛

(𝐴𝐴−1 )−1 = 𝐴𝐴

𝐴𝐴21
𝐴𝐴22
...
𝐴𝐴2𝑛𝑛

...
...
...
...

𝐴𝐴𝑛𝑛1
𝐴𝐴𝑛𝑛2
�
...
𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛

∗
là ma trận phụ hợp của 𝐴𝐴. Lưu ý rằng: 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
= 𝐴𝐴𝑗𝑗𝑗𝑗

(𝐴𝐴′ )−1 = (𝐴𝐴−1 )′

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

(𝐴𝐴𝐴𝐴)−1 = 𝐵𝐵−1 𝐴𝐴−1

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


24

Eureka! Uni - YouTube

Chứng minh

Cần chỉ ra rằng, khi |𝐴𝐴| ≠ 0 ta có:

𝐴𝐴𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 ⇔ 𝐴𝐴 �

Hay

và

Eureka Uni (facebook.com)

1 ∗
1
𝐴𝐴 � = � 𝐴𝐴∗ � 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼
|𝐴𝐴|
|𝐴𝐴|

⇔ 𝐴𝐴∗ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴∗ = |𝐴𝐴|. 𝐼𝐼

𝐴𝐴11 𝐴𝐴21
𝐴𝐴
𝐴𝐴22
� 12
... ...
𝐴𝐴1𝑛𝑛 𝐴𝐴2𝑛𝑛
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
� ...
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12
. . . 𝐴𝐴𝑛𝑛1
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22
. . . 𝐴𝐴𝑛𝑛2
�� ...
...
... ...
𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑎𝑎𝑛𝑛2
. . . 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛

. . . 𝑎𝑎1𝑛𝑛
|𝐴𝐴|
. . . 𝑎𝑎2𝑛𝑛
0
�
=
�
... ...
...
. . . 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
0

0
|𝐴𝐴|
...
0

...
...
...

...

0
0
�
...
|𝐴𝐴|

. . . 𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝐴𝐴11
. . . 𝑎𝑎2𝑛𝑛
𝐴𝐴12
�
�
... ...
...
. . . 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
𝐴𝐴1𝑛𝑛

|𝐴𝐴| 0
. . . 𝐴𝐴𝑛𝑛1
. . . 𝐴𝐴𝑛𝑛2
0 |𝐴𝐴|
�=�
... ...
... ...
. . . 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑛𝑛
0
0

...
...
...
...

0
0
�
...
|𝐴𝐴|

𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
|𝐴𝐴| = � . . .
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

...
...
...
...

𝐴𝐴21
𝐴𝐴22
...
𝐴𝐴2𝑛𝑛

𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
. . . � = 𝑎𝑎11 𝐴𝐴11 + 𝑎𝑎12 𝐴𝐴12 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝐴𝐴1𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

⇒ phần tử dòng 1, cột 1 của ma trận 𝐴𝐴𝐴𝐴∗ là |𝐴𝐴|.
𝑎𝑎11
𝑎𝑎11
0 = � ...
𝑎𝑎𝑛𝑛1

𝑎𝑎12
𝑎𝑎12
...
𝑎𝑎𝑛𝑛2

...
...
...
...

𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎1𝑛𝑛
. . . � = 𝑎𝑎11 𝐴𝐴21 + 𝑎𝑎12 𝐴𝐴22 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝐴𝐴2𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

⇒ phần tử dòng 1, cột 2 của ma trận 𝐴𝐴𝐴𝐴∗ là 0.

⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴∗ = |𝐴𝐴|𝐼𝐼.

Tương tự, khai triển theo cột, ta chứng tỏ được 𝐴𝐴∗ 𝐴𝐴 = |𝐴𝐴|𝐼𝐼.
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


25

Eureka! Uni - YouTube

1.3.1.2. Tìm ma trận nghịch đảo

Eureka Uni (facebook.com)

Dùng ma trận phụ hợp

Phương pháp khử Gauss – Jordan

(𝐴𝐴|𝐼𝐼 ) → (𝐼𝐼|𝐴𝐴−1 )

Đổi chỗ 2 dòng

Nhân 1 dòng với 1 số khác 0

Cộng vào 1 dịng, tích của 1 dịng khác với 1 số bất kì.

Máy tính bỏ túi (Casio fx 570, 580)

1.3.2. Bài tập tổng hợp

Ví dụ 1. Tìm ma trận nghịch đảo
Cho các ma trận:

1
𝐴𝐴 = � 2
−4

0
−1
1

6
1
3
3� , 𝐵𝐵 = �
2
5
−5

3 −1
1 −3
𝐶𝐶 = �
0 1
4 −3

2
0
7
3

3
1
0
−2

0
5
�
−1
2

−3
−2
4
5

4
2
�
−3
𝑘𝑘

a) Hãy tìm 𝐴𝐴−1 , (𝐴𝐴′ 𝐴𝐴)−1 và tính |𝐴𝐴∗ (−3𝐴𝐴)−1 |, det(𝐴𝐴∗ (−3𝐴𝐴)−1 ).

b) Tìm 𝑘𝑘 để 𝐵𝐵 là ma trận khơng suy biến. Khi 𝐵𝐵 khả nghịch, tìm phần tử ở dịng
2 cột 3 của 𝐵𝐵−1 .

c) Tìm 𝐶𝐶 −1 .

Giải

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook