Bài giảng cơ học lý thuyết 1 ppt

Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
1


Cơ học lý thuyết
Chơng I
: Cơ học chất điểm

Bài 1: Những khái niệm mở đầu:
A. Mở Đầu:
1. Cơ học lí thuyết:
Theo quan điểm hiện nay, CHLT là khoa học nghiên cứu về sự cân bằng và
chuyển động của các vật và sự tơng tác giữa chúng. Chuyển động và sự tơng
tác cơ học là một trong những hiện tợng phổ biến nhất của tự nhiên, là đối
tợng nghiên cứu của nhiều KH khác nhau có cùng một tên chung là cơ học nh
cơ học máy nghiên cứu chuyển động và tơng tác chi tiết trong cơ cấu máy, cơ
học thiên thể nghiên cứu chuyển động và sự tơng tác giữa các hành tinh, cơ
học chất lỏng nghiên cứu về chuyển động của các chất lỏng và sự tơng tác
với các vật ở trong chất lỏng v.v Cơ học lí thuyết khác các bộ môn cơ học cụ
thể vừa kể trên ở chỗ chuyên nghiên cứu những quy luật về chuyển động và
tơng tác tổng quát, chung cho mọi vật thể bằng mô hình các vật đã đợc trừu
tợng hoá đến mức lí tởng, nhng vẫn là hình ảnh của các vật thật khảo sát
trong những khoa học cơ học cụ thể khác nhau. Do đó áp dụng các định lí cơ
học lí thuyết, ta có thể tính toán một cách khá chính xác tham số chuyển động
và sự tơng tác cơ học của cả các vật thể rắn, vật thể lỏng. Cho nên CHLT là nội
dung cơ bản của nhiều lĩnh vực khoa học về chuyển động, là cơ sở của nhiều
ngành kỹ thuật công nghiệp, nông nghiệp, xây dựng, giao thông vận tải v.v
Dựa theo các quy luật chuyển động cơ học ngời ta có thể giải thích đợc nhiều
hiện tợng xảy ra trong vật lí, hoá học, sinh học Điều đó giải thích vì sao cơ

học lí thuyết đợc giảng dạy hầu hết các trờng đại học
2. Đối tợng nghiên cứu của cơ học lý thuyết

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
2

- CHLT không nghiên cứu CĐ và tơng tác giữa các vật thể nói chung, mà chỉ
khảo sát chuyển động, sự tơng tác giữa những vật thể là những khối vật chất có
thể định lợng đợc bằng cái gọi là khối lợng tỉ lệ với mặt độ và thể tích của
khối vật chất đó.
Những vật có thể tích vô cùng nhỏ có thể xem nh những điểm hình học có
khối lợng và chuyển động đợc gọi là chất điểm hay vật điểm. Chất điểm trong
CHLT là hình ảnh của vật thể có chuyển động đơn giản nhất theo nghĩa là tất cả
các phân bố của vật thể đều chuyển động nh nhau. Những vật thể lớn bao giờ
cũng có thể phân bố thành vô số các chất điểm có quan hệ lẫn nhau, nên có thể
xem nh hệ các chất điểm. Hệ các chất điểm có khoảng cách với nhau không
đổi trong quá trình chuyển động gọi là vật rắn hay cố thể. Đấy là ba đối tợng
nghiên cứu chính của cơ học lí thuyết, trong đó chất điểm
là mô hình vật thể cơ
bản nhất, nhng vật rắn
và hệ chất điểm lại là mô hình của nhiều vật thể thực
có nhiều ý nghĩa thực tế nhất
3. Ba bộ phận của cơ học lý thuyết

4. Quá trình phát triển của cơ học lý thuyết
B. Cac khái niệm mở Đầu

1.Chất điểm

- Chuyển động cơ học: Chuyển động cơ học của vật thể là sự dịch chuyển
của vật thể này đối với vật thể khác trong không gian và theo thời gian.
- Chất điểm
: Vật thể có kích thớc bỏ qua so với kích thớc đặc trng cho
chuyển động của nó gọi là chất điểm hay là hạt.
Một vật thể đợc coi là chất điểm không phải do kích thớc tuyệt đối của
nó xác định, mà do tỉ số giữa kích thớc của nó và độ dài đặc trng cho chuyển
động của nó xác định.
- Chất điểm cô lập
: Chất điểm mỗi vật thể đợc coi nh chất điểm thì tập hợp
đó gọi là hệ chất điểm hay hệ cơ ở xa các vật thể khác sao cho tơng tác giữa
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
3

nó với vật thể bên ngoài có thể bỏ qua gọi là chất điểm chuyển động tự do hay
còn gọi là chất điểm cô lập.
2. Hệ chất điểm và vật rắn
:
- Hệ chất điểm: Một tập hợp các vật thể mà mi vt th l mt cht im
c gi l h cht im.
- Hệ kín: Hệ chất điểm mà tơng tác giữa hệ với các vật thể bên ngoài hệ có
thể bỏ qua gọi là hệ cô lập hay hệ kín.
- Khái niệm về vật rắn: Vật rắn là một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa hai
chất điểm bất kỳ của hệ không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động của

hệ. Vật rắn cô lập là vật rắn chuyển động tự do.
3. Hệ quy chiếu - Hệ quy chiếu quán tính

3.1: Hệ quy chiếu:
Hệ toạ độ gắn liền với những vật làm mốc, mà ta quy ớc là đứng yên, để
xác định vị trí của hạt trong không gian, và chiếc đồng hồ gắn với hệ này để chỉ
thời gian gọi là hệ quy chiếu.


Hệ quy chiếu đợc chọn để nghiên cứu chuyển động của vật thể là hoàn
toàn tuỳ ý. Chọn hệ quy chiếu khác nhau, nói chung chúng ta sẽ nhìn thấy
chuyển động của cùng một vật diễn ra đơn giản hay phức tạp khác nhau. Nên
chọn hệ quy chiếu nào đó để chuyển động diễn ra đơn giản nhất.
3.2: Hệ quy chiếu quán tính
:
Hệ quy chiếu mà trong đó chất điểm cô lập đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều gọi là hệ quy chiếu quán tính.
Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính
cũng là những hệ quy chiếu quán tính.
4. Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển
:
Hệ quy chiếu = Hệ toạ độ gắn với vật mốc + một chiếc đồng hồ đo thời gian

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
4

Cơ học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật trong không gian và
theo thời gian với vận tốc rất bé so với vận tốc ánh sáng trong chân không.
Không gian và thời gian là những khái niệm cơ bản không những trong cơ học
cổ điển mà cả trong vật lý nói chung. Ta hãy xét không gian và thời gian trong
cơ học cổ điển.
4.1: Tính chất của thời gian trong cơ học cổ điển
:
Ta xét một quá trình vật lý bất kỳ xảy ra trong tự nhiên.
+ Đối với hệ quy chiếu K khoảng thời gian trôi qua của quá trình là (t
2
t
1
)
+ Đối với hệ quy chiếu K

chuyển động bất kỳ tơng đối đối với hệ quy chiếu
K thì khoảng thời gian trôi qua của quá trình vật lý nói trên là (t

2
t

1
). CHCĐ
thừa nhận:: khoảng thời gian trôi qua của một quá trình vật lý bất kỳ trong mọi
hệ quy chiếu chuyển động tơng đối đối với nhau một cách tuỳ ý là nh nhau.
Nghĩa là:
1212
tttt

Đó là tiên đề về tính chất tuyệt đối của thời gian
trong cơ học cổ điển.
Khi t
1
= t

1
= 0 ; t
2
= t ; t

2
= t

thì ta có t =
t

. Tiên đề này khẳng định kỳ chu của các
đồng hồ không thay đổi khi chuyển từ hệ quy
chiếu này sang hệ quy chiêú khác. Tiên đề
này chỉ đúng khi vận tốc chuyển động của
vật bé so với vận tốc ánh sáng trong chân
không.
4.2: Tính chất của không gian trong cơ
học cổ điển :
- Vị trí của chất điểm M ở thời điểm t trong
hệ quy chiếu K đợc xác định bởi véc tơ
r

kẻ
từ gốc O đến điểm M.
kzjyixr





, trong đó x, y, z là hình chiếu
x
r


y
y
/

z
/

z
i



o
/

o

x
/

j


i


r



k



k


j



M
y
x
z
o
j

i


k


y
/

z
/

i


o
/

x
/

k


j


2

r



M
1
1
r



2
r


1
r


M
2
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
5

của
r

trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz).
- Vị trí của chất điểm M nói trên ở thời điểm t

= t đối với hệ quy chiếu K


chuyển động bất kỳ đối với hệ quy chiếu K đợc xác định bằng bán kính véc tơ
r


, kẻ từ gốc O

đến M.
kzjyixr












.
- Xét chuyển động của hai chất điểm M
1

và M
2
.
+ K: Vị trí tơng đối của M
1
đối với M
2
ở thời điểm t đợc xác:

kzzjyyixxrrr






).().().(
1212121212


+ K
/

: Vị trí tơng đối của M
1
đối với M
2
ở thời điểm t

= t:

kzzjyyixxrrr























).().().(
1212121212
.
CHCĐ thừa nhận: khoảng cách giữa hai vị trí của hai chất điểm bất kỳ ở cùng
một thời điểm cho là nh nhau trong tất cả mọi hệ quy chiếu. Nghĩa là
1212

rr





hay:
(

x
2
+

y
2
+

z
2
)
1/2
= (

x
2
+

y
2
+

z
2
)
1/2
.
Đó là tiên đề về tính chất không gian trong cơ học cổ điển. Tiên đề
này chỉ đúng khi chuyển động của vật có vận tốc rất bé so với vận tốc ánh sáng.
Khi M
1
rất gần M
2
thì khoảng cách
dr giữa hai điểm đợc xác định:


1/ 2
2 2 2
dr dx dy dz
(1.5)
Không gian với đặc tính của
nó đợc xác định bằng (1.5) gọi là
không gian ơclít (Euclid) ba chiều.
Không gian trong cơ học cổ điển là
không gian ba chiều.
Từ hệ thức
2 1 2 1
r r r r

ta suy ra một hệ thức đơn giản nhng rất quan trọng
đối với các bán kính véctơ của cùng một điểm trong các hệ quy chiếu khác
nhau.
x
r


y
y
/

z
/

z
i



o
/

o
x
/

j

i


r



k



k


j



M
o
r



Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
6

Kí hiệu:
+
0
:
r


là bán kính véc tơ xác đinh vị trí của gốc O
/
của K chuyển động đối với
K
/
.
+
:
r

là bán kính véc tơ xác địh vị trí của M đối với K
+
:
r


là bán kính véc tơ xác định vị trí của M đối với K
/

Đặt:
2 1 0 2 1
, , & 0

r r r r r r r




, thì ta có :
o
r r r






Bài 2
: Các phơng trình chuyển động
các vec tơ vận tốc và gia tốc

I. Phơng pháp véc tơ:

1.1: Quĩ đạo- phơng trình quỹ đạo của chất điểm
1.1.1: Quỹ đạo của chất điểm
: Xét chuyển động
của chất điểm M đối với hệ quy chiếu K đợc quy
ớc là đứng yên. Giả sử chất điểm M chuyển động
theo một đờng cong AB. Đờng cong do chất điểm
chuyển động vạch ra trong không gian gọi là quỹ
đạo của nó.
1.1.2: Phơng trình quỹ đạo của chất điểm
.

Vị trí của chất điểm M đối với HQC K đợc xác định
r

kẻ từ gốc toạ độ O
đến chất điểm M. Khi chất điểm M chuyển động thì bán kính véc tơ
r

thay
đổi cả độ lớn và phơng. Vì vậy, bán kính véc tơ
r

là hàm của thời gian t:
r

)(tr


(1)
Phơng trình (2.1) xác định vị trí của chất điểm M trong không gian ở thời
điểm t bất kỳ và đợc gọi là phơng trình chuyển động của chất điểm cho dới
dạng véc tơ. Phơng trình này cũng đợc khảo sát nh phơng trình quỹ đạo của
chất điểm cho dới dạng thông số t.
z
B
y
x
o
A
r

( )
r t r




( )
r t


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
7

1.2: Véc tơ vận tốc của chuyển động của chất điểm.
Để đặc trng cho thay đổi bán kính véctơ
r

theo thời gian ta đa vào khái
niệm véc tơ vận tốc. Giả sử ở thời điểm t chất điểm ở vị trí
r

(t), ở thời điểm (t +
t) chất điểm ở vị trí (
r

+
r

). Đại lợng
0
lim
t
r dr
v r
t dt







(2)
Gọi là véctơ vận tốc của chất điểm ở thời điểm t: Vận tốc
v

của chất điểm là
đại lợng đặc trng cho sự thay đổi theo thời gian của bán kính véc tơ
r

và
bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
( )
t

r


Khi chất điểm chuyển động, véc tơ vận tốc có thể thay đổi có thể thay đổi cả
về hớng và độ lớn.
1.3: Véc tơ gia tốc của chuyển động của chất điểm
Để đặc trng cho sự thay đổi của véc tơ vận tốc theo thời gian, ta đa vào
khái niệm gia tốc. Giả sử ở thời điểm t véc tơ vận tốc của chất điểm là
( )
v t

và ở
thời điểm


t t

véc tơ vận tốc của chất điểm là


( )
v t v



. Đại lợng:
0
2
2
lim

t
v dv d r
w r
t dt
dt








(3)
Gọi là véc tơ gia tốc ở thời điểm t. Véc tơ gia tốc
w

của chất điểm đặc trng
cho sự thay theo thời gian của véc tơ vận tốc và bằng đạo hàm bậc nhất theo
thời gian của véc tơ vận tốc, hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của bán
kính véc tơ.
II. Phơng pháp toạ độ tự nhiên
- Trong phơng pháp này quỹ đạo chuyển động
của chất điểm cho biết trớc. Ta chọn một điểm O
1

trên quỹ đạo làm điểm gốc để tính toạ độ cung s
của chất điểm. Vị trí của chất điểm M trên quỹ đạo
đã cho đợc xác định bởi toạ độ cung s. Khi chất
điểm M chuyển động thì ta có:

O

O
1
M
s


dr
ds





( )
r r s



Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
8

)(;)( tsssrr

(4)
+ s = s(t) gọi là phơng trình chuyển động của chất điểm theo quỹ đạo của
nó.
+
v

&
w

của chất điểm có thể biểu diễn dới dạng:
. .
dr dr ds
v s
dt ds dt





(5)
2
. ( )
dv d d ds d
w s s s s s s
dt dt ds dt ds

(6)
Với
ds
rd




là véctơ đơn vị, tiếp tuyến với quỹ
đạo và hớng theo chiều chuyển động của chất
điểm. Vì
1




2
( . ) ( ) 2. . 0
d d d





d

. Véc tơ


d
hớng về phía lõm của quỹ
đạo và nằm trong mặt phẳng đi qua tiếp tuyến



và điểm M' khi điểm M' tiến dần vô hạn đến
điểm M ( mặt phẳng mật tiếp).
- Gọi
n

là véc tơ đơn vị hớng theo chiều của véctơ


d
và đặt tại điểm M thì
n
ds
d
ds
d

.


.

Theo hình vẽ ta thấy d =1.d & ds = Rd


Rds
d 1


.
Véctơ gia tốc toàn phần của chất điểm có thể viết:
n
R
s
sw





2
)(


(7)
+





sw

tiếp tuyến với quỹ đạo gọi là gia tốc tiếp tuyến
+
n
R
s
w
n



2
)(

vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo và hớng về tâm chính
khúc của đờng cong gọi là gia tốc pháp tuyến.
O
M
/

M
d



( )
t dt

( )
t



d


d


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
9

Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết, thuận
tiện hơn cả ta dùng hệ toạ độ vuông góc tạo thành bởi các véc tơ đơn vị


, &
n b n




. Hệ toạ độ này gọi là hệ toạ độ tự nhiên hay tam diện tự nhiên.
Hình chiếu của

&
v w

trên các trục toạ độ tự nhiên có dạng đơn giản:
, 0, 0
n b
v s v v



(8)

2
, , 0
n b
s
w s w v
R




(9)
Biết các thành phần
,
v w

ta sẽ xác định đợc độ lớn và hớng của nó:

2
2
v v s



(10)


2
2
2 2
2
n
s
w w w s
R




(11)

2
cos( , ) ,cos( , )
.
s
s
w w n
w R w

(12)
III. Phơng pháp toạ độ.
3.1. Phơng pháp toạ độ Đề các Trong hệ toạ độ Đề các bán kính véctơ
)(tr


xác định vị trí của chất điểm đợc biểu diễn dới dạng:

ktzjtyitxtr




)()()()(
(13)
Trong đó x,y,z là các thành phần của
)(tr

trên các trục toạ độ. HQC K đợc
quy ớc là đứng yên nên các véctơ đơn vị
i

,
j

và
k

không thay đổi theo thời
gian.
Khi chất điểm M chuyển động thì các toạ độ x, y, z đều biến đổi theo thời
gian t, nghĩa là :

( )
( )
( )
x x t
y y t
x z t








(14)
(14) gọi là các PTCĐ của chất điểm cho dới dạng toạ
độ Đềcác. Đó cũng chính là phơng trình quỹ đạo của chất
r


x
y

z
o
j


i


k


M
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
10
điểm viết dới dạng thông số trong toạ độ Đềcác. Khử thông số t trong các
phơng trình trên ta nhận đợc hai phơng trình biểu diễn hai mặt có dạng:
1
2
( , ) 0
( , ) 0
f x y
f x z

(15)
Giao tuyến của hai mặt này xác định quỹ đạo của chất điểm trong không
gian.
Véctơ vận tốc và gia tốc của chất điểm
:

kzjyix
dt
vd
w
kzjyix
dt
rd
v

(16)

, ,
x y z
v x v y v z



(17)

, ,
x y z
w x w y w z



(18)
Độ lớn và hớng của
&
v w

chúng theo các công thức
sau đây:

2 2 2 2 2 2
x y z
v v v v x y z

(19)

cos( , )
x
v i
v




;
cos( , )
y
v j
v




;
cos( , )
z
v k
v

(20)

2 2 2 2 2 2
x y z
w w w w x y z




(21)

cos( , ) ,
x
w i
w




;
cos( , )
y
w j
w

;
cos( , )
z
w k
w





(22)
3.2: Phơng pháp toạ độ trụ
Trong hệ toạ độ trụ, vị trí của
( , , )
M M z


khi đó véc tơ
)(tr

xác định vị trí
chất điểm M đợc viết dới dạng:

( ). ( )
r t n z t k

(23).
r


k


x
O
1
O
M
z
y
j


i


M
/

n



n

k








Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
11
Những toạ độ trụ
; ;
z

liên hệ với các toạ độ Đềcác của nó bằng các hệ thức
sau:

cos
sin
x
y
z z

(24)
Các véc tơ đơn vị
, ;
k n n



liên hệ với
, ,
i j k


:




Khi M CĐ thì
&
n n

thay đổi chiều nên:
( sin cos )
dn
n i j n
dt











(26)
( cos sin )
dn
n i j n
dt

(27)
* Phơng trình chuyển động:

( ), ( ), ( )
t t z z t


(28)
* Phơng trình vận tốc
:


2 2 2 2 2 2
, ,
( )
z
z
z
dr
v n n zk n n zk v n v n v k
dt
v v v z
v v v v z

(29)


* Phơng trình gia tốc:

2 2
2 2 2
1/ 2
2
2 2 2 2

1
, ( ),
1
( ) ( )
z
z
z
dv
w w n w n w k
dt
d
w w w z
dt
w w w w
d
z
dt

(30)
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
12
- Khi z = 0 thì hệ toạ độ trụ chuyển thành hệ toạ độ cực. Lúc đó
0, 0
z z


.
Phơng trình chuyển động, vận tốc, gia tốc có dạng:
*
( ); ( )
t t


(31)
*

2
2 2 2
v n n
v v v

(32)

*
1/ 2
2
2 2 2 2 2
1
( ) ( )
w n w n
w
d
w w w
dt

(33)


- Khi chất điểm M chuyển động trên đờng tròn
có bán kính

có tâm O
1
thì

,
const

z = OO
1
= const, trong trờng hợp này ta có:
0, 0, 0, 0
z z







dr
v n k n r
dt










(34)

2
2
d r dv dr

w r
dt dt dt
r r



















(35)
Với:
,
d
k
dt

, là véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc trong chuyển động
quay xung quanh trục Oz.
3.3: Toạ độ cầu
O

M



y

x

r



r
n


n

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
13
- Vị trí
( , , ).
M M r


Mối liên hệ giữa các tọa độ Đềcác và toạ độ cầu đợc xác
định bằng các công thức:
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r

(36)
(0 ; 0 2;
0 r

)
.
-
, &
r
n n n


liên hệ với
, &
i j k


:

1
( ) sin cos sin sin cos
sin cos
cos cos cos sin sin
r
r
r
n xi yj zk i j k

r r
n i j
n n n i j k

(37)



sin .
sin cos
cos .
r
r
r
n n n
n n n
n n n

(38)
- Phơng trình CĐ,
&
v w

, của chất điểm trong hệ toạ độ cầu đợc biểu
diễn:
*
( ), ( ), ( )
( ) ( )
r
r r t t t
r r t n t




(39)
*
2 2 2 2 2 2
sin
( sin )
r r r
dr
v rn rn rn r n r n
dt
v r r

(40)
*
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
( sin )
1
( ) sin cos
1
( sin )

sin
r r
r
r
dv
w w n w n w n
dt
w r r
d
w r r
r dt
d
w r
r dt
w w w w

(41)
- Khi
2



thì hệ toạ độ cầu chuyển thành hệ toạ độ cực.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
14
Khi đó
0



và
0





chất điểm CĐ trong mặt phẳng xOy ta có:

2 2
1
, ( )
r
d
w r r w r
r dt





. (42)
Để mô tả CĐ của chất điểm trong mặt phẳng ta đa vào khái niệm vận tốc

diện tích. Vị trí của chất điểm M ở thời điểm t là
r

, ở thời điểm (t + dt) là


r dr


. Trong khoảng thời gian dt bán kính
r

quét đợc một diện tích bằng độ
lớn của véc tơ

1 1
( )
2 2
dS r r dr r dr




Đại lợng:


1
2
dS
r v

dt




(43)
Gọi là vận tốc diện tích. Trong toạ độ cực ta có:
2
1
, ,
2
r r r
r rn v rn r n r n n









Các thí dụ: (SGK)




Bài 3
: Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc
của chất điểm trong những hệ quy chiếu khác nhau.

Định lý cộng vận tốc và gia tốc.
I). Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của chất điểm trong nhứng hệ quy chiếu
khác nhau.
O
r





r dr



( )
r t


M
v


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
15
Xét chất điểm M đối với HQC K đứng
yên và HQC K' chuyển động bất kỳ đối

với K. Gọi
+
r

bk véc tơ của M đối với K
+
'
r

bk véc tơ của M đối với K'
+
'
o
r


bk véc tơ của O'(K') đối với K.
Xuất phát từ tiên đề về không gian và
thời gian trong CHCĐ ta có:

'
o
r r r
t t

(1)
Với:
o o o o
r xi yj zk
r x i y j z k
r x i y j z k





















(2)
Ký hiệu:

+
v

&
w

của M trong hệ QC gắn với K
+
v


&
w


của M trong hệ QC gắn với K'
+
o
v


&
o
w


của O'
K'
trong hệ QC gắn với K.
- Vận tốc và gia tốc của M đối với hệ quy chiếu K, đối hệ quy chiếu K

/
và
của gốc O
/
đối với hệ quy chiếu K (khi
, &
i j k



không thay đỏi hớng theo thời
gian)là:
x
r


y
y
/

z
/

z
i



o
/

o
x
/

j


i


r



k



k


j



M
o
r

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
16
0
o o oo o
o
o o o o
dr
v xi yj zk
dt
dv
w xi yj zk
dt
d r
v x i y j z k
dt
d v
w x i y j z k
dt
dr
v x i y j z k
dt
dv
w x i y j z k
dt

(3)
II). Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ
quy chiếu khác.
- Trớc hết ta quy ớc:
+ K đứng yên
co
i nst
j const
k const

+ K
/
CĐ bất kỳ
i const
j const
k const

2.1: Để tìm
&
v a

của chất điểm khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ
quy chiếu khác, trớc hết ta đi tìm các biểu thức cụ thể của
, &
di dj dk
dt dt dt



:
+ Từ:
. 1
. 1
. 1
i i
j j
k k

2 . 0
2 . 0
2 . 0
di
i
dt
dj
j
dt
dk
k
dt

di
i
dt
dj
j
dt
dk
k
dt

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
17
Do đó hình chiếu của:
, &
di dj dk

dt dt dt



xuống
, &
O x O y O z

có thể viết dới dạng:
12 13
23 21
31 32
di
a j a k
dt
dj
a k a i
dt
dk
a i a j
dt

(*)

Các hệ số
mn
a
không độc lập mà phụ thuộc vào nhau. Thật vậy từ:
. 0
. 0
. 0
i j
j k
k i

dj di
i j
dt dt
dk dj
j k
dt dt
di dk
k i
dt dt

(**)
Thay (*) vào (**) ta đợc:

12 21
23 32
31 13
z
x
y
a a
a a
a a











và đặt
x y z
i j k

Ta đợc:
; ;
di dj dk
i j k
dt dt dt













(4)
ở đây


là vận tốc góc góc của hệ quy chiếu K
/
quay xung quanh một trục
nào đó đi qua O

/

2.2: Vận tốc và gia tốc của chất điểm khi chuyển từ hệ quy chiếu này
sang hệ quy chiếu khác.
2.2.1. Định lí cộng vận tốc


Từ:
r x i y j z k
v x i y j z k


















Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.

Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
18




d r d
x i y j z k v r
dt dt









(5)






dv d
x i y j z k w v
dt dt

(6)



2
2
2
d r dv dr
r
dt dt dt
r r v w

(7)
Lấy đạo hàm theo thời gian của (1) và kết hợp với (3) và (5) ta đợc ĐL cộng
vận tốc (hay công thức cộng vận tốc)



o kt
v v r v v v






(8)

+


0kt
v v r






là VTKT của chất điểm
+
v


là vận tốc tơng đối
+ Khi
0
v






0kt
v v r

( M đứng yên với K
/
tại vị trí r
/
)
Vậy: Vận tốc kéo theo là vận tốc của chất điểm gắn chặt với hệ quy chiếu K
/
và
tại thời điểm đang xét điểm này trùng với chất điểm M
2.2.2. Định lý cộng gia tốc
Lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian PT (1) và chú ý tới (3) & (7) ta đợc công
thức xác định gia tốc của chất điểm khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy
chiếu khác.




2
o kt c
w w r r v w w w w

(9)
Với:

kt o
w w r r











;


2
c
w v

(10)
+ Khi M đứng yên n đối với K
/
tại vị trí r
/
thì:
0
0
v
w












kt
w w



+

:
kt
w

gia tốc kéo theo của chất điểm
+
c
w

: gia tốc Côriôlit (Coriolis). Gia tốc này xuất hiện do K
/
quay đối với
K và do chất điểm M chuyển động tơng đối với vận tốc
v


không song song với


.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
19
Chú ý: Công thức (1) và các công thức cộng vận tốc và cộng gia tốc đợc suy
ra từ công thức (1) chỉ đúng khi vật chuyển độngvới vận tốc:
v c

2.3: Một vài trờng hợp đơn giản

Khi M đứng yên đối với K
/
.





0
0
( )
kt
kt
v v v r
w w w r r

Đây chính là vận tốc và gia tốc của chất điểm M đợc gắn chặt với K
/
. Bây
giờ ta sẽ xét các trờng hợp:
2.3.1: Khi K
/
chuyển động tịnh tiến đối với K.

0






0
0
v v
w w

(11)
Mọi chất điểm M bất kỳ đứng yên đối với K
/
đều có vận tốc và gia tốc nh nhau.
2.3.2: Khi K chuyển động quanh điểm cố định O
/
.
Khi đó:
0
0
0
0
v
w

v r
w r r















(12)
2.3.3: Khi K
/
chuyển động thẳng đều đối với K với vận tốc
V const

.
Khi đó
0
0
0 0 ( 0)
v V const
t


















0
r r r Vt r
t t

(13)
Nếu t = 0 ta có
O O


và K
/
CĐ dọc trục Ox với
V const



thì:

x Vt x
y y
z z
t t

(14)
Vận tốc và gia tốc của chất điểm M trong hệ quy chiếu K và K
/
liên hệ với
nhau bằng hệ thức:

v V v
w w

(15)
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
20
Khi
0 0
w w





khi
v const



thì
v const




. Điều này có nghĩa: Một chất
điểm cô lập chuyển động thẳng đều đối với K thì cũng chuyển động thẳng đều
đối với K

/
.
Vậy: Mọi hệ quy chiếu K
/
chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán
tính K đều là những hệ quy chiếu quán tính.
Từ (13) và (15) ta thấy mặc dù toạ độ và vận tốc của chất điểm trong các hệ
quy chiếu quán tính khác nhau là khác nhau, nhng vị trí tơng đối, vận tốc
tơng đối của hai chất điểm M
1
và M
2
, gia tốc của chất điểm và khoảng không
gian là những đại lợng nh nhau trong mọi hệ quy chiếuquán tính.Đó là những
đại lợng bất biến trong CHCĐ.
12 2 1 2 1 12
12 2 1 2 1 12
;
r r r r r r
v v v v v v
w w t t

(16)
Đó là những đại lợng bất biến trong cơ học cổ điển

III). Một vài thí dụ: (SGK).



Bài 4: Nguyên lý tơng đối galilê
Ba định luật niutơn
I. Định luật I Niutơn
:
Khi nghiên cứu chuyển động của chất điểm, đầu tiên ngời ta nghiên cứu
chuyển động của chất điểm cô lập. Chuyển động của chất điểm cô lập trong
những hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau.
1. Hệ quy chiếu quán tính
. Hệ quy chiếu mà trong đó chất điểm cô lập
hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều từ một vị trí ban đầu bất kỳ với một
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
21
hớng bất kỳ của véctơ vận tốc. Hệ quy chiếu nh thế gọi là hệ quy chiếu quán
tính.

2. Định luật I Newton (haytiên đề thứ nhất)
Trong hệ quy chiếu quán tính
chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
3. Tính chất của không gian và thời gian trong hệ quy chiếu quán tính

- Không gian là đồng nhất và đẳng hớng, nghĩa là mọi điểm và mọi hớng
của không gian đều tơng đơng nhau về mặt vật lý.
- Thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi thời
điểm đều ttơng đơng với nhau về mặt vật lý. Các hệ quy chiếu K và K'
chuyển động thẳng đều tơng đối với nhau đều là những hệ quy chiếu quán tính.
Mối liên hệ giữa các toạ độ và thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính K và
K' đợc xác định bởi các công thức gọi là các phép biến đổi Galilê.
4. Nguyên lý tơng đối - Nguyên lý tơng đối Galilê:
4.1: Nguyên lý tơng đối: Mặc dù toạ độ và vận tốc của chất điểm cô lập
trong những HQCQT là khác nhau nhng gia tốc của nó trong hệ K và K' là
bằng không:
2 2
2 2
0
d r d r
w w
dt dt





(1)
Nên ngời ta cho rằng mọi hệ quy chiếu quán tính là tơng đơng với nhau đối
với định luật chuyển động thẳng đều của chất điểm cô lập.

Nguyên lí tơng đối: (thực nghiệm, thấy rằng): tất cả các định luật của tự
nhiên đều giống nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính. Nói cách khác:
Những phơng trình mô tả những định luật của tự nhiên đợc biểu diễn qua toạ
độ và thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau có dạng giống hệt nhau.
4.2: Nguyên lí tơng đối Galilê
: Dựa theo nguyên lý tơng đối kết hợp với
tiên đề về khoảng thời gian t = t
/
Galilê cho rằng:
Tất cả các định luật cơ học đều giống nhau trong mọi hệ quy chiếu quán
tính Hay về mặt toán học: Các phơng trình mô tả các định luật của cơ học cổ
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
22
điển sẽ không thay đổi dạng đối với phép biến đổi của toạ độ và thời gian khi
chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác theo các
công thức biến đổi Galilê.
Nói khác đi, tất cả các định luật Cơ học cổ điển đều bất biến đối với các
phép biến đổi Galilê
II .Khối lợng và lực. Định luật II Niutơn
:
4.1. Quán tính:
- Đặc tính bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của
chất điểm cô lập gọi là quán tính của nó.
- Khi tơng tác với các vật thể khác, chất điểm có quán tính càng lớn thì thu
đợc gia tốc càng bé và ngợc lạ.
4.2. Khối lợng

: Xét một hệ cô lập gồm hai chất điểm tơng tác với nhau,
thực nghiệm chứng tỏ rằng khi vận tốc của chúng
v c


thì gia tốc mà chúng
thu đợc sau tơng tác liên hệ với nhau:
12 21
w w



. (2)
Trong đó:
-
0
const


không đơn vị.
-
( 1, 2)
ik
ik
dv
w i
dt

là gia tốc của Mi thu đợc do M
k
tác dụng lên nó.
+
1


:
12 21
w w


mức QT của M
1
< mức QT của M
2
.
+
1


:
12 21
w w


ngợc lại
+
1

:
12 21
w w


mức QT của M
1
= mức QT của M
2
.
Nếu ta đa vào các đại lợng m
1
và m
2
xác định số đo mức quán tính của M
1
và
M
2
thì trị liên hệ với mức quán tính của hai chất đó bằng hệ thức:
1
2
m
m

2
12 21 1 12 2 21
1
m
w w hay m w m w
m


(3)
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
23
Đại lợng m
i
gọi là khối lợng của chất điểm M
i
, nó xác định số đo mức quán
tính của chất điểm M
i
( Khối lợng quán tính)
4.3. Xung lợng của chất điểm- Lực:
4.3.1: Xung lợng: Đại lợng
vmp



gọi là véctơ xung lợng của chất

điểm. TrongHQCQTxung lợng của chất điểm tự do là một đại lợng bảo toàn.
4.3.2: Lực: Khi chất điểm tơng tác với các vật thể khác thì xung lợng
của nó không ngừng biến đổi theo thơì gian.
Độ biến thiên xung lợng của chất điểm trong một đơn vị thời gian là đại
lợng véctơ đặc trng cho tác dụng của vật ngoài lên chất điểm gọi là lực.

dp dv
F m mw
dt dt




.
Lực tác dụng lên chất điểm bằng tích giữa khối lợng m và gia tốc
w

của nó.
Khối lợng ngoài việc đặc trng cho mức quán tính của chất điểm còn đặc
trng với mức hấp dẫn của chất điểm. Thật vậy: Lực do trái đất tác dụng lên
hai chất điểm M
1
và M
2
ở cùng một vị trí trên trái đất:

1 1 1
2 2 2
1 2
P m w

P m w
w w g

















Nếu m
1
> m
2
thì P
1
> P
2
và ngợc lại.
Đại lợng vật lý đặc trng cho mức hấp dẫn của chất điểm gọi là khối lợng
hấp dẫn của nó. Thực nghiệm với độ chính xác rất cao đã khảng định rằng:

Khối lợng quán tính bằng khối lợng hấp dẫn của nó.
4.3.3: Định nghĩa khối lợng
Khối lợng của chất điểm là đại lợng vật lý
đặc trng cho mức hấp dẫn và mức quán tính của nó.
4.4: Định luật II Newton Vì m và
w

của chất điểm là các đại lợng bất biến
đối với các phép biến đổi Galilê. Do đó lực (
F mw



) tác dụng lên chất điểm xét
trong HQCQT cũng là đại lợng bất biến đối các phép biến đối Galilê. Từ đó
suy ra lực là hàm của các đại lợng vật lí khác mà những đại lợng này bất biến
đối phép biến đổi Galilê. Các đại lợng vật lí này có thể là: vị trí tơng đối giữa
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
24
các chất điểm, vận tốc tơng đối giữa các chất điểm ,thời gian, điện tích, khối
lợng của chất điểm, Nếu kí hiệu một tập hợp các đại lợng bất biến đối với
phép biến đổi Galilê vừa kể trên bằng chữ x, lực tác dụng lên chất điểm bằng
chữ
F

, thì: lực là hàm của x, nghĩa là:

( )
F F x


. Kết hợp với những điều vừa
trình bày ở trên ta có:
m
xF
whayxFwm
)(
)(





(4)
(4) là PT cơ bản của động lực học chất điểm và chính là định luật Niutơn thứ
hai:
Định luật: Dới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động với gia tốc cùng
hớng với hớng của lực và có độ lớn tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ
nghịch với khối lợng của nó.
Trong CHCĐ thừa nhận nguyên lý về tính độc lập tác dụng của các lực:
Các gia tốc
i
w

của chất điểm do các lực
i
F

gây nên là không phụ thuộc lẫn
nhau và gia tốc toàn phần
w

của nó bằng tổng hình học của các gia tốc thành
phần
i
w

. Nghĩa là:
1
1
n
i
n
i
i
i
F
F
w w
m m

(5)
Vây.: Gia tốc toàn phần của chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính có
chiều cùng với chiều của lực tổng hợp tác dụng lên nó, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn
của lực và tỉ lệ nghịch với khối lợng của nó
4.5: Định luật 3 Newtơn
ở trên ta chỉ nghiên cứu chuyển động của chất điểm dới tác dụng của các vật
thể bên ngoài, nhng thực ra khi các vật bên ngoài tác dụng lên chất điểm thì
chất điểm cũng tác dụng lên các vật thể bên ngoài. Khi tơng tác lẫn nhau
những chất điểm có khối lợng khác nhau sẽ thu đợc những gia tốc khác nhau.
Theo nguyên lý về tính độc lập tác dụng của các lực thì tơng tác giữa hai chất
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
25
điểm M
i
và M
k
không phụ thuộc vào sự có mặt của các chất điểm còn lại nên dù
hai chất điểm M
i
và M
k
có làm thành một hệ kín hay không bao giờ cũng có:

kiikkikiki
FFhaywmwm

Định luật : Nh vậy, lực do chất điểm M
k
tác dụng lên chất điểm M
i
và lực
do chất điểm M
i
tác dụng lên chất điểm M
k
bao giờ cũng bằng nhau về độ lớn,
ngợc nhau về chiều và có cùng giá là đờng thẳng nối hai chất điểm M
i
và M
k
.
Đó là nội dung định luật III Niutơn về sự bằng nhau của tác dụng và phản tác
dụng. Lực và gia tốc trong CHCĐ là những đại lợng bất biến đối với phép biến
đổi Galilê cho nên khi chuyển từ K sang K' thì các ĐL Newton đều BB đối
với phép biến đổi này.


Bài 5: hai bài toán cơ bản
của động lực học chất điểm
I. Bài toán thuận

.
1. Nội dung bài toán
: Cho
( )
m
r r t





Tìm

?
F



2. Phơng pháp giải:
Theo định luật II Newton lực tổng hợp
F

tác dụng lên chất điểm đợc tìm
theo công thức:

wm
dt
rd
mFF
n

i
i





1
2
2

(1)



1
1
1
n
x ix
i
n
y iy
i
n
z iz
i
F F mx
F F my
F F mz

(2)
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.