Cosmology VŨ TRỤ ĐỒNG NHẤT ĐẲNG HƯỚNGTHUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

Bài giữa kỳ môn Lý Thuyết Trường Hấp Dẫn
Sinh viên : Nguyễn Lê Hoàng
1 Vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng
Trong khuôn khổ của vũ trụ học, sẽ rất khó nếu chúng ta chứng tỏ một lý thuyết mà chỉ
tập trung vào các dữ kiện quan sát. Chúng ta phải có tiếp cận trực tiếp cả suốt đời hoặc có
khi phải tiếp cận và thu thập thông suốt lịch sử của nhân loại nhưng chỉ với một vùng không
thời gian nhỏ của vũ trụ. Trong khi các kính thiên văn chỉ quan sát được những thiên thể
ở xa và thông tin, dữ liệu mà ta ghi lại là thông tin nằm trong vùng quá khứ của nón ánh
sáng. Và do đó các số liệu đầu vào của vũ trụ học phải đến từ những xét đoán mang đậm
tính triết học - và do đó chúng ta không mong chờ kiểm chứng một cách chắc chắn bằng
thực nghiệm cho được. Trong chương này, bằng việc đưa ra một mô hình vũ trụ học nó đã
thành công trong việc mô tả tính chất của vũ trụ chúng ta hiện giờ.
Từ thời có Copernicus, chúng không thể gán 1 điểm hay 1 vùng không gian nào đó có
tính chất đặc biết, ví dụ như trung tâm vũ trụ hay ngoài rìa của vũ trụ. Do đó nếu ta chọn
bất kỳ vùng không gian nào trong vũ trụ thì các vùng xung quanh vùng không gian này đều
có tính chất như nhau. Tính chất này gọi là tính đẳng hướng (isotropy) của vũ trụ - điều
này đồng nghĩa với việc khi ta quan sát ở một thang đo đủ lớn thì chúng ta sẽ thấy rõ khi
ta đi chuyển theo bất kỳ hướng nào thì cũng đều như nhau (vật lý hay các đo đạc đều như
nhau). Và các xét đoán mang tính triết học về sự đồng chất và đẳng hướng hoàn toàn đã
được xác nhận bởi quan sát thực nghiệm.
Các quan sát thực nghiệm của các thiên hà trong vũ trụ chúng ta cho ta thấy các quần
thiên hà trên một thang đo lớn và các quan sát gần đây thì đã cho thấy rằng có những vùng
trống giữa các thiên hà, nhưng trong một thang đo lớn nhất thì các thiên hà này vẫn phân
bố đều và đẳng hướng. Việc xác định số lượng nguồn radio và sự đẳng hướng của bực xạ tia
X và tia γ đã khẳng định sự đúng đắn của của giả thiết đẳng hướng và đồng nhất. Ngoài
ra, một kiểm chứng thực nghiệm khẳng định khá mạnh về sự đồng nhất và đẳng hướng của
vũ trụ chính là thí nghiêm do bức xạ phông nền vũ trụ ở nhiệt độ 3K
Vậy từ giả thiết đồng nhất và đẳng hướng chúng ta đi tìm biểu diễn toán học của các giá
thiết này. Nói đơn giản, tính đồng nhất của vụ trũ có thể hiểu rằng tại bất kỳ thời điểm cho
trước nào đó, mỗi điểm trong không gian sẽ giống như bất kỳ điểm khác cũng trong không
gian đó. Một hình thức luận chính xác có thể viết như sau : một không thời gian được xem

là đồng nhất nếu tồn tại một họ không thời gian một tham số Σ
t
xếp chồng lên không thời
gian, ví dụ cho mỗi biến t và với mọi điểm p, q ∈ Σ
t
, thì tồn tại một phép đẳng cự của metric
không thời gian, g
ab
, mà biến p thành q.
Còn từ giả thiết đẳng hướng, cần phải chỉ ra rằng, một cách tổng quát, tại mỗi điểm,
quan sát viên đều thấy vũ trụ là đẳng hướng. Ví dụ, nếu vật chất thông thường lấp đầu
toàn bộ vũ trụ, mọi quan sát viên chuyển động tương đối với vật chất phải thấy sự phân bố
vật chất không đồng đều của vũ trụ. Vậy ta có thể suy ra lập luận toán học cho giả thiết
đẳng hướng như sau : một không thời gian được nói là đẳng hướng tại mọi điểm nếu tồn
1
tại một đồng dư trên các đường cong timelike, với đoạn tiếp xúc cho bởi u
a
, lấp đầy không
thời gian và thỏa tính chất sau. Cho bất kỳ điểm p và bất kỳ 2 thành phần đơn vị vector
tiếp xúc s
a
1
, s
a
2
∈ V
p
, thì tồn tại một phép đẳng cự của g
ab
mà làm cho p và u

a
tại p cố định
nhưng xoay u
a
1
thành u
a
2
.
Metric không thời gian, g
ab
, bao gồm một metric Riemann, h
ab
(t) trên mỗi siêu mặt Σ
t
bị
giới hạn bởi metric không thời gian g
ab
tại mỗi p ∈ Σ
t
cho tới các vector tiếp xúc với Σ
t
.
Hình học bên trong các siêu mặt Σ
t
bị giới hạn bởi 2 yêu cầu sau là :
• Vì tính đồng nhất của mỗi siêu mặt này, phải có một đẳng cự của h
ab
mà biến p ∈ Σ
t

thành một điểm bất kỳ q ∈ Σ
t
• Vì tính đẳng hướng, sẽ không xây dựng được bất kỳ "preferred vector" nào trên Σ
t
Chúng ta sẽ chỉ ra yêu cầu thứ hai được suy ra từ tính đẳng hướng. Xét một tensor Riemann
(3)
R
d
abc
được xây dựng từ h
ab
từ Σ
t
, nếu ta nâng chỉ số thứ 3 với h
ab
, chúng ta có thể xem
(3)
R
cd
ab
tại điểm p như là một ánh xạ tuyến tính , L, của không gian vector tại p vào chính
nó L : W → W. Từ phương trình (3.2.20) thì thì L đối xứng (??). Do đó W có một hệ cơ sở
trực giao của các vector riêng của L, và để không vi phạn tính đẳng hướng, tất cả các vector
riêng của L phải bằng nhau , điều này có nghĩa là L là phép nhân với một toán tử đơn vị
L = K.I (1)
do đó, phép biển đổi cho bởi
(3)
R
cd
ab

cho bởi
(3)
R
cd
ab
= Kδ
c
[a
δ
d
b]
(2)
nếu ta hạ các chỉ số mũ thì ta có
(3)
R
abcd
= Kh
c[a
h
b]d
(3)
Từ yêu cầu của sự đồng nhất thì K phải là một hằng số, và từ điều kiện của tính đẳng
hướng tại mỗi điểm thì K phải là hằng số, để chứng minh, ta thế (3) vào định thức Bianchi.
0 = D
(3)
[e
R
ab]cd
= (D
[e

K)h
|c|a
h
b]d
(4)
trong đó D
e
là đạo hàm trên mặt phẳng Σ
t
tương ứng với tensor metric 3 chiều h
ab
. Trên
một đa tạp có số chiều hơn hay bằng 3, vế bên phải của phương trình sẽ bằng không khi và
chỉ khi D
e
K = 0.
Một không gian mà phương trình 3 được thỏa mãn thì được gọi là một không gian của độ
cong hằng số. Nó có thể chứng minh rằng bất kỳ 2 không gian của độ cong hằng số của cùng
số chiều và dấu của metric thì các giá trị bằng nhau của K phải đồng đẳng. Do đó, việc xác
định các độ cong hình học của các không gian Σ
f
sẽ hoàn tất nếu chúng ta có thể xác định
hết toàn bộ các giá trị của K. Điều này có thể dễ dàng thực hiện. Các giá trị dương của K
có thể được mô bởi các hình cầu 3 chiều, được xác định bằng các mặt phẳng trong không
thời gian phẳng Euclid R
4
mà hệ trục Cartesian thỏa
x
2
+ y

2
+ z
2
+ w
2
= R
2
(5)
Trong hệ tọa độ cầu, metric của khối cầu đơn vị cho bởi
ds
2
= dψ
2
+ sin
2
ψ(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
) (6)
2
Giá trị K = 0 thì cho bởi hệ tọa độ 3 chiều của không gian phẳng. Trong hệ Cartesian,
metric này cho bởi
ds
2
= dx
2
+ dy

2
+ dz
2
(7)
Cuối cùng, các giá trị âm của K thì được cho bởi các huperboloids 3 chiều được định nghĩa
như là mặt trong một không thời gian Lorentz 4 chiều mà đệ tọa độ thỏa mãn
t
2
− x
2
− y
2
− x
2
= R
2
(8)
Trong hệ tọa độ hyperbolic, metric của hyperbolic đơn vị cho bởi
ds
2
= dψ
2
+ sinh
2
ψ(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2

) (9)
Nếu vũ trụ của chúng ta được mô tả bởi hình học của các không thời gian trên (được mô
tả thông qua các giá trị của K) sẽ là đóng (không có biên) nếu K dương và sẽ là mở nếu K
bằng không hoặc có giá trị âm.
Nếu một quan sát viên đẳng hướng và trực giao với mặt phẳng đồng nhất, chúng ta có thể
mô tả metric không thời gian 4 chiều g
ab
như sau
g
ab
= −u
a
u
b
+ h
ab
(t) (10)
mà với mỗi t, h
ab
(t) là metric của (a) khối cầu, (b) không gian Euclidean phẳng và (c) một
hyperboloid, và định vị tại Σ
t
. Cuối cùng, nếu ta đánh dấu mỗi siêu mặt bởi thời gian riêng,
τ, cho bởi một đồng hồ của người quan sát đẳng hướng. Do đó, τ và hệ tọa độ không gian
đánh dấu mỗi sự kiện xảy ra trong vũ trụ. Metric không thời gian cho bởi
ds
2
= −dτ
2
+ a

2
(τ)





dψ
2
+ sin
2
ψ(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
)
dx
2
+ dy
2
+ dz
2
dψ
2
+ sinh
2
ψ(dθ
2

+ sin
2
θdφ
2
)
(11)
Khoảng (11) cho ta tensor metric của mô hình vũ trụ Robertson - Walker.
2 Động lực học của vũ trụ đồng nhất, đẳng hướng
Công việc của chúng ta bây giờ là bằng cách sử dụng metric không thời gian cho bởi
(11), thế vào phương trình Einstein
G
ab
≡ R
ab
−
1
2
g
ab
R = 8πT
để có thể nhận được cách tính chất và vật lý của vũ trụ. Việc đầu tiên chúng ta phải làm
là mô tả thành phần vật chất bên trong vũ trụ thông quan tensor năng xung lượng T
ab
mà
nằm ở vế bên phải của phương trình Einstein. Phần lớn năng lượng từ khối lượng của vũ
trụ được xem là đến từ vật chất thông thường. Ở một thang đo cỡ vũ trụ mà chúng ta đang
làm việc thì mỗi thiên hà có thể lý tưởng hóa như là các hạt bụi. Các vận tốc trung bình
của các thiên hà này là nhỏ, và do đó áp suất của các "hạt bụi" này gây ra có thể bỏ qua. Vì
tính đồng nhất và đẳng hướng, ta có thể xem các thiên hà này là một chất điểm và đường
thế giới của các thiên hà này là giống với đường thế giới của một quan sát viên đẳng hướng.

3
Do đó, ở một gần đúng nào đó, tensor năng xung lượng của vật chất trong vũ trụ có thể cho
bởi
T
ab
= ρu
a
u
b
(12)
trong đó ρ là mật độ khối lượng trung bình của vũ trụ. Tuy vậy, các dạng khác của năng
lượng - khối lượng vẫn tồn tại trong vũ trụ. Như đã nói ở trên, một phân bố nhiệt khoảng
3K lấp đầy vũ trụ. Bức xạ này có thể được mô tả bởi một dòng năng xung lượng, nhưng
áp suất của nó là khác không, cho bức xạ nhiệt không có khối lượng, chúng ta có P = ρ/3.
Sự đóng góp của bức xạ này vào thành phần năng xung lượng vào vũ trụ hiện nay có thể
bỏ qua. Nhưng lượng bức xạ này đóng góp nhiều vào vũ trụ trong thời kỳ đầu nên trong
phương trình Einstein, chúng ta sẽ dùng tensor năng xung lượng có dạng 1 dòng lý tưởng
như sau
T
ab
= ρu
a
u
b
+ P(g
ab
+ u
a
u
b

) (13)
Công việc tiếp theo của chúng ta là đi tính toán tensor G
ab
từ metric cho bởi (11) và cân
bằng với 8πT
ab
. Như vậy chúng ta sẽ có 10 phương trình tương ứng với 10 thành phần của
một tensor năng xung lượng hai chỉ số đối xứng, nhưng ở đây sau các tính toán thì ta chỉ
giữ lại 2 phương trình. Giả sử như tensor G
ab
u
b
không thể có thành phần không gian, nếu
không tính đẳng hướng sẽ bị vi phạm, do đó thành phần thời gian - không gian không thể
tồn tại.
G
rr
= 8πT
rr
= 8πρ, (14)
G
∗∗
= 8πT
∗∗
= 8πP (15)
trong đó G
ττ
= G
ab
u

a
u
b
vàG
∗∗
= G
ab
s
a
s
b
, trong đó s
a
là bất kỳ vector đơn vị nào tiếp tuyến
với mặt phẳng đồng nhất.
Ta sẽ làm việc với trường hợp k = 0 trước và dạng của khoảng cho bởi
ds
2
= −dτ
2
+ a
2
(τ)(dx
2
+ dy
2
+ dz
2
) (16)
Các thành phần của ký hiệu Chirstoffel cho bởi

Γ
τ
xx
= Γ
τ
yy
= Γ
τ
zz
= a ˙a (17)
Γ
x
τx
= Γ
x
xτ
= Γ
y
τy
= Γ
y
yτ
= Γ
z
τz
= Γ
z
zτ
=
˙a

a
(18)
trong đó ˙a = da/dτ. Do đó, bằng phương trình (3.4.5) thành phần độc lập của tensor Ricci
cho bởi
R
ττ
= −3
¨a
a
(19)
R
∗∗
=
R
xx
a
2
=
¨a
a
+ 2
˙a
2
a
2
(20)
do đó
R = −R
ττ
+ 3R

∗∗
= 6

¨a
a
+
˙a
2
a
2

(21)
4
ta rút ra được các phương trình Einstein
G
rr
= R
rr
+
1
2
R =
3˙a
2
a
2
= 8πρ (22)
G
∗∗
= R

∗∗
−
1
2
R = −2
¨a
a
−
˙a
2
a
2
= 8πP (23)
sử dụng phương trình thứ nhất chúng ta viết lại phương trình thứ hai
3
¨a
a
= −4π(ρ + 3P ) (24)
Tiền hành tính toán lại với k = ±1 ta nhận được các phương trình mô tả động học của một
vũ trụ đồng tính và đẳng hướng
3
˙a
2
a
2
= 8πρ −
3k
a
2
(25)

3
¨a
a
= −4π(ρ + 3P ) (26)
Kết quả đầu tiên là kết luận về vũ trụ không thể tĩnh được và chỉ có thể nhận được từ ρ > 0
và P ≥ 0. Kết luận này được rút ra từ phương trình (26) mà chỉ cho chúng ta rằng ¨a < 0.
Do đó vũ trụ của chúng ta phải luôn giãn nở hoặc luôn luôn co lại. Lưu ý rằng trong sự giãn
nở hoặc co lại thì khoảng cách giữa các quan sát viên đẳng hướng thay đổi theo thời gian,
nhưng không tồn tại trung tâm của sự giãn nở hoặc co lại. Do đó, nếu khoảng cách giữa 2
quan sát viên đẳng hướng giữa thời gian r là R thì sự thay đổi của R cho bởi
v ≡
dR
dτ
=
R
a
da
dτ
= HR (27)
trong đó H = ˙a/a là hằng số Hubble. Lưu ý rằng phương trình (27) thì được biết là định
luật Hubble. Lưu ý rằng v có thể lớn hơn vận tốc anh sáng nếu R đủ lớn. Điều này không
vi phạm các nguyên lý cơ bản của lý thuyết tương đối và đặc biệt rằng là "không có gì có
thể chuyển động với vận tốc nhanh hơn vận tốc ánh sáng." vì nguyên lý tương đối dựa trên
phép đo đạc vận tốc địa phương tại cùng một sự kiện không thời gian, chứ không phải việc
xác định vật tốc giữa 2 vật cách xa nhau.
Sự giãn nở của vũ trụ của vũ trụ liên quan tới các phương trình (27) được xác định bằng
các quan sát dịch chuyển đỏ từ các thiên hà ở xa. Khi đưa ra kết quả này, kết quả mô tả
vũ trụ là động, Einstein không hài lòng với kết quả này nên đưa vào phương trình của mình
một hằng số vũ trụ với mục đích là nghiệm thu được cuối cùng là mô tả vũ trụ tĩnh
G

ab
+ Λg
ab
= 8πT
ab
(28)
trong đó Λ là hằng số vũ trụ, từ phương trình ta đã đưa ra thêm một vế để điều chỉnh
phương trình Einstein sao cho thu được nghiệm vũ trụ tĩnh. Nếu Λ = 0, chúng ta không
nhận được lý thuyết Einstein trong trường yếu, nhưng nếu Λ đủ nhỏ thì ở gần đúng bé thì
ta vẫn thu được lý thuyết Einstein. Nhưng sau khi Hubble tìm ra được bằng chứng khẳng
định vũ trụ là động và các phương trình trên mô tả đúng thì Einstein phải bỏ đi hằng số vũ
trụ để lý thuyết vẫn có thể rút ra được các kết quả mong đợi từ thực nghiệm.
Giả sử rằng vũ trụ của chúng ta đang giãn nở, ˙a > 0, chúng ta biết được rằng từ phường
trình (26) rằng ¨a < 0 do đó vũ trụ phải giãn nở nhanh hơn tại một thời điểm trong quá khứ.
5
Nếu vũ trụ luôn giãn nở với vận tốc hiện tại thì tại tất cả mọi vật chất sẽ tập trung lại một
điểm trong quá khứ. Nếu vũ trụ luôn giãn nở với vận tốc bây giờ thì tại thời điểm t = H
−1
thì chúng ta luôn có rằng a = 0, và như vậy tại thời điểm lâu hơn H
−1
thì toàn bộ vũ trụ
được đặt tại 1 điểm và điểm không thời gian này là vô cùng. Trạng thái này được gọi là Big
Bang.
Trước khi thảo luận các dự đoán của lý thuyết tổng quát về sự phát triển của vũ trụ, chung
ta đi tới các phương trình mô tả mật độ vật chất của vũ trụ. Ta nhân phương trình (25) với
a
2
, đạo hàm theo τ và khử ¨a bằng phương trình (26) ta nhận được
˙ρ + 3(ρ + P )
˙a

a
= 0 (29)
do đó, với bụi P = 0
ρa
3
= constant (30)
và với bức xạ
ρa
4
= constant (31)
Trong trường hợp này thì mật độ năng lượng giảm nhanh hơn khi a tăng bởi vì hệ số tăng
thể tích a
3
, do đó bức xạ trong mỗi đơn vị thể tích thực hiện công lên vùng khung quanh
nó khi vũ trụ giãn nở. Nếu so sánh 2 phương trình (30) và (31) thì thành phần bức xạ của
vũ trụ hiện giờ có thể bỏ qua được, nhưng ở quá khứ thì thành phần năng lượng bức xạ lại
đóng góp nhiều hơn so với thành phần cho bởi vật chất.
Các đại lượng của vụ trụ có thể được xem xét, nếu k = 0 và k = −1 thì từ phương trình
(25) chứng tỏ rằng ˙a luôn khác không. Do đó, nếu vũ trụ hiện giờ giãn nở thì nó sẽ giãn nở
mãi mãi. Thực vậy, nếu P ≥ 0, ρ phải giảm khi mà a tăng ít nhất cũng phải nhanh cỡ a
−3
,
giá trị của bụi. Do đó ρa
2
→ 0 khi a → ∞. Từ đầy, nếu k = 0, vận tốc giãn nở ˙a sẽ dần tiến
tới không khi τ → ∞, trong khi k = −1 chúng ta có ˙a → 1 khi τ → ∞.
Tuy vậy, nếu k = +1, vũ trụ không thể giãn nở mãi được. Thành phần đầu tiên của vế tay
phải của phương trình (25) giảm với a nhanh hơn thành phần thứ 2 giảm, và do đó, thành
phần bên vế trái phải dương và sẽ có một giá trị cực đại, a
c

. Do đó sau một thời gian hữu
hạn sau big bang thì vụ trụ sẽ giãn nở tới một bán kính a
c
và từ đó sẽ co lại.
Ta sẽ đi tới việc giải các phương trình (25) và (26) cho các trường hợp bụi và bức xạ, các
đơn giản nhất là khử ρ từ phương trình (30). Như vậy cho bụi ta có
˙a
2
−
C
a
+ k = 0 (32)
trong đó C = 8πρa
3
/3 là một hằng số. Đối với bức xạ
˙a
2
−
C

a
2
+ k = 0 (33)
trong đó C

= 8πρa
4
/3 là một hằng số. Ta tiến hành giải các phương trình này với k = −1, 0, 1
và ta sẽ thu được 6 nghiệm từ các phương trình này. Tuy nhiên nghiệm với một vũ trụ bụi
và đóng được tìm ra bởi Friedmann và được gọi là vụ trụ Friedmann.

6
3 Nghiệm vũ trụ Friedmann
Từ phương trình
˙a
2
−
C
a
+ k = 0 (34)
và sử dụng thêm biến η để đưa vào quá trình tính toán
dτ
dη
= a (35)
ta viết lại (34)

da
dη

2
1
a
2
−
C
a
+ k = 0 (36)
với k = 1 giải phương trình trên ta nhận được
a =
C tan


1
2
(η)

2
1 + tan

1
2
(η)

2
(37)
= C sin

1
2
(η)

2
=
C
2
(1 − cos η) (38)
và τ cho bởi
τ =

a dη =
C
2

(η − sin η) (39)
tương tự như vậy ta làm với k = −1 ta nhận được
a =
C
2
(cosh η − 1) (40)
τ =
C
2
(sinh η − η) (41)
và khi k = 0, ta không cần tới biến η này
a =

3
2

2/3

√
Cτ

2/3
(42)
ta tiến hành vẽ hình
7
Hình 1: k = −1 và k = 1
Hình 2: k =0
8