Một số khái niệm mở rộng về Đại số tổ hợp

MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ RỘNG VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Bắt đầu từ năm 2009-2010 trường THPT Nguyễn Hữu Huân chính thức tuyển sinh các lớp chuyên
trong đó có lớp chuyên toán. Việc giảng dạy các lớp chuyên đòi hỏi người giáo viên phải tìm hiểu đi
sâu các vấn đề của toán học, trên cơ sở chương trình chuyên đã được áp dụng cho các trường chuyên
của thành phố Hồ Chí Minh. Mặc dù không được phân công trực tiếp dạy lớp chuyên nhưng trong tình
hình thiếu giáo viên ở một hai năm đầu, tôi được phân công hỗ trợ một chuyên đề cho lớp 11 Chuyên
Toán, chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP.
Hạn chế của trường là mặc dù được mở lớp chuyên nhưng tài liệu chuyên của trường rất ít, hầu hết
giáo viên không được trang bị thêm kiến thức và kĩ năng giảng dạy chuyên, đa số tự tìm tòi đọc sách,
tra cứu qua mạng. Các nguồn tài liệu chuyên tuy nhiều nhưng không có hệ thống, và mức độ không
dành cho học sinh phổ thông nên việc tìm tài liệu đáp ứng cho một chuyên đề là không đơn giản.
Nhằm mục đích tự trang bị thêm cho mình và giúp tổ bộ môn một số tiết chuyên đề về đại số tổ
hợp cho lớp 11, tôi đã chọn lọc trong một số tài liệu, những khái niệm mở rộng, các ví dụ, bài tập cũng
như ứng dụng sao cho các khái niệm cơ bản của sách giáo khoa là trường hợp đặc biệt của các khái
niệm tổng quát hơn, xử lý được nhiều dạng bài hơn, đánh giá vấn đề bằng góc nhìn khác hơn, để viết
nên chuyên đề này.
Mặc dù hết sức cố gắng nhưng vì còn hạn chế về nhiều mặt nên chắc chắn bài viết này còn nhiều
sơ sót và chủ quan, tôi rất mong sự đóng góp từ phía các đồng nghiệp nhằm bổ sung, chỉnh sửa để bài
viết hoàn thiện hơn.
B. NỘI DUNG:
I) Các khái niệm nhắc lại
II) Mở rộng các phép toán trên tập hợp
III) Số phần tử của một tập hợp hữu hạn
IV) Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
V) Chỉnh hợp lặp
VI) Hoán vị lặp
VII) Tổ hợp lặp
VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức
1

MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
NỘI DUNG: CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I) Các khái niệm nhắc lại
1) Các phép toán tập hợp :
{ }
BxAxxBA ∈∨∈=∪ /
{ }
BxAxxBA ∈∧∈=∩ /
{ }
BxAxxBA ∉∧∈= /\
AXACAXA
X
\==⇒⊂
2) Ánh xạ :
đơn ánh toàn ánh song ánh
♦song ánh còn gọi là ánh xạ 1–1 (hay tương ứng 1–1)
♦nếu có một song ánh từ tập A đến tập B thì A, B có cùng số phần tử
(còn gọi là có cùng lực lượng)
3) Phép chứng minh quy nạp :
Cho mệnh đề P(n) với
*Nn∈
.
Nếu



+>
đúng cung 1)P(k mà đúng P(k)su gia 1,k vói
đúng )1(P

thì P(n) đúng,
*Nn∈∀
Lưu ý: đôi khi mệnh đề P(n) chỉ đúng từ n = p trở đi (với p hằng số)
4) Kí hiệu :
ni ,1=
để chỉ các số tự nhiên i chạy từ 1 đến n
T(A) để chỉ tập hợp gồm tất cả các tập con của A
II)Mở rộng phép toán trên tập hợp
1) Hợp của n tập hợp
{ }

n
i
ii
AxnixA
1
:,1/
=
∈=∃=
2) Giao của n tập hợp :
{ }

n
i
ii
AxnixA
1
:,1/
=
∈=∀=

3) Tính chất phép hợp và giao
( )
( )
)()(
)()(
CABACBA
CABACBA
∪∩∪=∩∪
∩∪∩=∪∩
4) Tích Đềcác (Descartes):
2
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
♦ Tích Đề các của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu và gồm các phần tử
( ){ }
BbAabaBA
∈∧∈=×
/,
♦ Tích Đề các của n tập hợp
n
AAA , ,,
21
là
( )
{ }
niAaaaaAAA
iinn
,1,/, ,,
2121
=∀∈=×××
♦Đặc biệt tích Đề các của n tập hợp A là

( )
{ }
niAaaaaAAAA
in
n
n
,1,/, ,,
21
lan
=∀∈=×××=
  
Ví dụ: cho
{ } { }
baBA ;;3;2;1 ==
.
( ) ( ) ( ){ }
bababaBA ,3();,3;,2();,2;,1();,1=×
Hãy nêu các tập tích
32
;; BAAB×
và nhận xét về sự bằng nhau và khác nhau của 2 phần tử bất kỳ
của tập hợp.
Ví dụ: Có sự tương ứng 1–1 từ tập
( ){ }
RyxyxR ∈= ,/;
2
đến tập hợp các điểm trong mặt phẳng
tọa độ Oxy nên ta cũng gọi tập hợp này là
2
R

.
Nhận xét: Tích Đềcác là phép toán có thứ tự. Các phần tử (a;b) của
BA×
được gọi là các cặp
sắp thứ tự, các phần tử
( )
n
aaa , ,,
21
của
n
AAA ×××
21
được gọi là các bộ n–sắp thứ tự.
III) Số phần tử của một tập hợp hũu hạn
Xét tập hợp A có hữu hạn phần tử. Kí hiệu
A
là số phần tử của A.
1) Số phần tử của hợp n tập hợp hữu hạn :
• Cho n tập
niA
i
,1, =
không giao nhau. Số phần tử của hợp n tập đó bằng tổng số phần tử
của mỗi tập
niAA
n
i
i
n

i
i
,1,
1
1
==
∑
=
=

trong đó
{ }
njiAA
ji
; ;2;1,, ∈∀=∩
φ
(thử chứng minh công thức trên)
• Với
XA ⊂
:
AXACA
X
−==
• Cho 2 tập hợp bất kỳ A, B. Số phần tử của
BA ∪
bằng tổng các số phần tử của A và B trừ
số phần tử của
BA ∩
BABABA
∩−+=∪

• Cho 3 tập hợp bất kỳ A, B, C.
CBAACCBBACBACBA
∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
(thử chứng minh công thức trên và tự mở rộng cho n tập bất kỳ)
Vi dụ: trong tập các số tự nhiên từ 1 đến 280 có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong
các số 2, 3, 7? Bao nhiêu số không chia hết cho cả ba?
3
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
Giải: số các số chia hết cho 2 là
140
2
280
=






số các số chia hết cho 3 là
93
3
280
=







số các số chia hết cho 5 là
56
5
280
=






số các số chia hết cho 2 và 3 là
46
6
280
=






số các số chia hết cho 2 và 5 là
28
10
280
=







số các số chia hết cho 3 và 5 là
18
15
280
=






số các số chia hết cho cả ba số là là
9
30
280
=






Suy ra cố các số chia hết cho ít nhất một trong ba số là
20691828465693140
=+−−−++
số
Suy ra số các số không chia hết cho cả ba số là 280 – 206 = 74

2) Số phần tử của tập tích Đềcác :
 Tích
BA×
với
nA =
,
kB =
:
Với mỗi
ni ,1=
,
i
a
được ghép với k phần tử trong B
Vậy với n phần tử trong A có
kn
×
cách ghép thành các phần tử trong
BA×
. Ta có:
BABA .
=×
 Tích
n
AAA ×××
21
với
ii
kA =
, bằng phép quy nạp ta có thể chứng minh

nn
kkkAAA
2121
=×××
(thử chứng minh công thức trên)
 Đặc biệt
n
n
AA
=
3) Bài toán tìm số ánh xạ từ 1 tập hữu hạn đến 1 tập hữu hạn
Cho A có k phần tử, B có m phần tử. Từ A đến B có thể thiết lập được bao nhiêu ánh xạ?
Với mỗi ánh xạ f từ A tới B, ta cho ứng với bộ ảnh của k phần tử
( )
k
aaa , ,,
21
là
4
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
( )
)(), ,(),(
21 k
afafaf
là một bộ k–sắp thứ tự trong B hay là một phần tử của tích Đềcác
k
B
. Tương ứng này là 1–1 nên số ánh xạ f từ A vào B bằng
k
k

k
mBB ==
4) Bài toán về số tập con của một tập hợp hữu hạn :
Chứng minh rằng số tất cả các tập con của một tập hợp gồm n phần tử là
n
2
Giải: dùng quy nạp, gọi T(A) là tập chứa tất cả các tập con của A
với n = 1, A chỉ có 2 tập con là rỗng và chính nó,
2T(A) =
giả sử tập hợp A gốm k phần tử
k
aaa , ,,
21
có
k
2
tập con. Nếu ghép vào A một phần tử
1+k
a

nữa ta được tập A’ có k + 1 phần tử. T(A’) được chia thành 2 phần, một phần gồm tất cả tập
con có chứa
1+k
a
và phần kia gồm các tập con không chứa
1+k
a
. Kí hiệu A* là một tập con
nào đó của A’ chứa
1+k

a
,
)(\)'(* ATATA ∈
. Khi đó với mỗi tập con A* của A’, ta đặt tương
ứng với tập phần bù của nó trong A’, tức là A’\A*, tập này không chứa
1+k
a
nên là con của
A. Tương ứng này là 1–1 nên số tập con A* của A’ bằng với số tập con của A là
k
2
. Ngoài ra
{ }
*)()'( AATAT +=
nên
1
22.2)(2)'(
+
===
kk
ATAT
Vậy nếu A có n phần tử thì
n
AT 2)( =
Cách giải khác: cho A có n phần tử, xét tập
{ }
1,0=Y
. Với mỗi tập con B của A ta lập một
ánh xạ
YAf →:

sao cho nếu
Bx
∈
thì f(x) = 1, nếu
Bx
∉
thì f(x) = 0. Tương ứng từ T(A)
đến tập các ánh xạ như trên là 1–1 nên
)(AT
bằng số các ánh xạ từ A tới Y và bằng
k
2
5) Chứng minh quy tắc cộng và quy tắc nhân của phép đếm
Quy tắc cộng : Một bài toán chọn sao cho ít nhất một trong các khả năng
k
AAA , ,,
21
xảy ra
có thể chia thành k trường hợp
k
AAA , ,,
21
, mỗi trường hợp
kiA
i
,1, =
có
i
a
cách chọn, giả

sử không có cách chọn của
i
A
nào có phần chung với cách chọn của
j
A
. Kết quả là có
∑
=
k
i
i
a
1

cách chọn
Để giải quyết bài toán chọn đó ta xét k tập hợp
k
AAA , ,,
21
trong đó
kjiAA
ji
,1,, =∀=∩
φ
,
mỗi cách chọn
i
a
là một phần tử của

i
A
, yêu cầu của bài toán là tìm số phần tử của

k
i
i
A
1=
, do
5
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
đó số cách chọn là
∑
=
=
=
k
i
i
k
i
i
AA
1
1

Hệ quả: Số cách chọn của bài toán
A
trong X, (tức nếu thỏa A thì không chọn) là

AXA −=

Có thể mở rộng quy tắc cộng cho k trường hợp tùy ý ( có giao)
6
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
Quy tắc nhân: Bài toán chọn đồng thời
k
AAA , ,,
21
, mỗi công đoạn
kiA
i
,1, =
có
i
a
cách chọn
có kết quả là
k
aaa
21
cách chọn
Ta xét mỗi bộ cách chọn
( )
k
AAA , ,,
21
như là một phần tử của tích đề các
k
AAA ×××

21
, số
cách chọn theo yêu cầu bài toán là số phần tử của tập tích Đềcác tức là
k
aaa
21
IV) Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp :
1) Hoán vị :
VD1: Tìm số song ánh có thể lập được từ tập A có n phần tử lên chính nó.
VD2: có bao nhiêu cách xếp thứ tự tập hợp
{ }
n2; ;2;1
sao cho các số chẵn đều ở vị trí chẵn.
2) Chỉnh hợp :
•Tìm số đơn ánh có thể lập từ tập A có k phần tử đến tập B có n phần tử, với
nk
≤≤
1
•Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu
đường gấp khúc hở, bao nhiêu đường gấp khúc khép kín gồm k cạnh được tao thành
3) Tổ hợp :
Trong tập hợp A gồm n phần tử
{ }
n
aaa , ,
21
chứng minh rằng số tập con chứa phần tử
i
a

bằng số tập con không chứa
i
a
Ta gọi X là tập tất cả tập con chứa
i
a
, Y là tập tất cả tập con không chứa
i
a
và lập ánh xạ f đi
từ X vào Y sao cho ứng với mỗi tập con B chứa
i
a
, f(B) là tập phần bù của B trong A, f là
đơn ánh. Ngược lại mỗi tập B’ trong Y đều là ảnh của A\B’ nên f là toàn ánh. Suy ra f song
ánh nên
YX =
Bằng ngôn ngữ tập hợp, hãy chứng minh tính chất
kn
n
k
n
CC
−
=
và
k
n
k
n

k
n
CCC =+
−
−
− 1
1
1
V) Chỉnh hợp lặp :
1) Định nghĩa
Cho tập hợp
{ }
n
aaaX , ,,
21
=
, từ X ta lấy ra 1 phần tử, sau đó bỏ phần tử đó trở lai X, tiếp
tục lấy phần tử thứ hai,… cứ như thế đến khi lấy được phần tử thứ k, ta được một bộ k–sắp
thứ tự gọi là một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử (vì phần tử lấy ra lần sau có thể lặp
lại phần tử đã lấy ra trước đó)
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:
kk
n
nA =
chứng minh: cách 1
7
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
ta chia làm k giai đoạn: mỗi giai đoạn có n cách chọn phần tử để lấy nên có
k
n

cách lập chỉnh
hợp lặp chập k của n phần tử
cách 2: mỗi chỉnh hợp lăp chập k của n phần tử có thể xem là một phần tử của tích Đề các
k
X
, do đó số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử bằng số phần tử của tích bằng
k
n
2) Bài tập:
1/ Có bao nhiêu cách chọn để cất 10 món đồ vào 4 hộp, biết rằng mỗi hộp có thể đựng cả 10
món?
2/ Có bao nhiêu số điện thoại bàn được tạo biết các số đó phải bắt đầu bằng 38, 39, 24 hoặc 25
và mỗi số điện thoại bàn có 8 chữ số?
3/ Trong máy tính mỗi kí tự được xem bằng một byte mã hóa bằng một chuỗi nhị phân có 8
chữ số. Với cách mã hóa như vậy có thể biểu diễn được bao nhiêu kí tự?
4/ Một người vào nhà sách mua một số sách. Trong nhà sách có n tựa sách, mỗi tựa sách có p
bản. Hỏi người đó có bao nhiêu quyết định chọn mua sách mà không ra về tay không?
5/ Trên cùng một loại vải có 5 màu khác nhau, nhà thiết kế cho phép 3 xướng ngôn viên đài
truyền hình chọn một trong số 7 kiểu áo khác nhau và chọn màu để may cho họ khi cùng dẫn
một chương trình. Hỏi họ có bao nhiêu sự lựa chọn? HD: có 35 màu và kiểu để 3 người chọn,
nên có
3
35
sự lựa chọn.
6/ Có bao nhiêu kết quả khác nhau từ việc tung một đồng xu n lần?
7/ Có bao nhiêu kết quả khác nhau từ việc gieo một xúc xắc n lần?
9/ Một hình chữ nhật có thể chia thành n.p ô vuông (n cột, p dòng). Có bao nhiêu cách đặt n
vật vào các ô vuông đó, mỗi ô chỉ chứa được 1 vật, sao cho không có 2 vật nào thuộc cùng
một cột (có thể cùng dòng) biết:
a) n vật đó giống hệt nhau.

b) các vật đó khác nhau đôi một.
HD: a) chọn p dòng cho mỗi cột là chỉnh hợp có lặp chập p của n phần tử. b) chọn cột cho n
vật khác nhau có n! cách, trong mỗi cột lại chọn trong p dòng, nên có …
VI) Hoán vị lặp :
1) Định nghĩa :
Hoán vị có lặp cấp n kiểu
m
kkk , ,,
21
là một chỉnh hợp có lặp chập n của m phần tử trong đó
quan tâm đến số lần lặp lại của phần tử thứ i là
i
k
. Như vậy
nkkk
m
=+++
21
Số hoán vị lặp cấp n kiểu
m
kkk , ,,
21
của m phần tử
!! !
!
), ,,(
21
21
m
mn

kkk
n
kkkC
=
8
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
Chứng minh: Nếu thay
i
k
các phần tử thứ i bằng các phần tử khác nhau thì ta được một hoán
vị không lặp với n phần tử
!!! !), ,,(
2121
nkkkkkkC
mmn
=
2) Số phân hoạch của một tập hợp hữu hạn :
Cho tập hợp X có n phần tử, có thể phân chia tập X thành m tập con rời rạc
miX
i
,1, =
có số
phần tử theo thứ tự là
i
k
. Số cách phân chia đó (gọi là số phân hoạch của X theo kiểu
i
k
) là
!! !

!
), ,,(
21
21
m
mn
kkk
n
kkkC =
3) Ví dụ:
• có bao nhiêu cách gieo một xúc xắc 21 lần với 1 lần xuất hiện số 1, 2 lần xuất hiện số 2,…, 6
lần xuất hiện số 6?
• có bao nhiêu cách gieo một đồng xu n lần trong đó có đúng k lần xuất hiện mặt sấp?
4) Nhận xét :
k
nn
C
knk
n
knkC
=
−
=−
)!(!
!
),(
5) Bài tập
1/ Có bao nhiêu cách đặt 2 đèn xanh và 4 đèn đỏ thành 1 hàng.
2/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số biết chữ số 2 có mặt ba lần,
chữ số 1 có mặt hai lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.

3/ Có bao nhiêu cách chia 10 người thành ba nhóm sao cho số người trong mỗi nhóm theo thứ
tự là 2, 3, 5.
4/ Có bao nhiêu số được hoán vị từ số 19001289
5/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n phần tử thành hai nhóm lần lượt chứa m và n
phần tử?
Ví dụ: chia
{ }
dcba ,,,
thành hai nhóm mỗi nhóm 2 phần tử
6/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 2m phần tử thành hai nhóm, mỗi nhóm m phần tử?
7/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm m+n+p phần tử thành ba nhóm lần lượt chứa m, n
và p phần tử?
8/ Có bao nhiêu cách chia một tập hợp gồm 3m phần tử thành ba nhóm, mỗi nhóm m phần tử?
9/ Có 9 chữ số 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 6 chữ số rút ra từ các số
đó?
VII) Tổ hợp lặp :
1) Định nghĩa :
Cho n phần tử . Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử trong đó các
phần tử có thể trùng lặp lại lấy từ n phần tử đã cho
9
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
Lưu ý: gọi là nhóm, không gọi là tập hợp vì trong tập hợp mỗi phần tử chỉ được viết đúng một lần
2) Ví dụ :
a) Tổ hợp lặp chập 3 của 2 phần tử
{ }
ba;
là aaa, aab, abb, bbb
b) Tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử
{ }
cba ;;

là aa, ab, ac, bc, bb, cc
3) Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là
1
11
−
−+−+
==
n
kn
k
kn
k
n
CCC
Chứng minh:
Cách 1:Cho tập hợp X có n phần tử, mỗi tổ hợp lặp chập k của được xem như một đơn thức có
dạng
n
k
n
kk
aaa
21
21
trong đó
n
aaa ; ;;
21
là n phần tử của X,
n

kkk ; ;;
21
là các số tự nhiên thỏa
kkkkk
ni
=+++≥ và0
21
. Đặt
ii
lk =+1
, ta có
nkllll
ni
+=+++> và0
21
(1). Số các đơn
thức như vậy được tạo thành chính là số nghiệm nguyên dương của phương trình (1)
Trong PT (1) ta chỉ cần xác định n–1 nghiệm
121

−
+++
n
lll
. Ta dùng một cây thước thẳng 2 đầu
mút AB dài n + k cm. Ứng với mỗi nghiệm
i
l
ta lấy điểm
i

M
sao cho
11
lAM =
,
221
lMM =
,…,
112 −−−
=
nnn
lMM
(khi đó đương nhiên
nn
lBM =
−1
). Số nghiệm nguyên dương của PT(1) cũng là số cách chọn n–1
điểm vạch cm trên thước (có n+k–1 vạch như thế) nên sẽ có
1
1
−
−+
n
kn
C
cách chọn
Cách 2: Ta lập một tương ứng mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử với một dãy nhị phân được
sắp xếp như sau:
1
k

chữ số 1, số 0,
2
k
chữ số 1, số 0,…,
n
k
chữ số 1. Tương ứng này là 1–1
Trong dãy nhị phân đó có k chữ số 1 và n –1 chữ số 0, tức là một hoán vị lặp cấp n+k–1, kiểu k,
n–1 nên có
1
1
−
−+
n
kn
C
dãy nhị phân như thế.
4) Bài tập :
1/ Có bao nhiêu cách chọn 4 ly nước uống trong 5 loại nước uống?
2/ Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lấy từ các số 1, 2, 3 và các chữ số trong mỗi số được xếp theo
thứ tự không giảm?
3/ Có bao nhiêu cách chọn 2 tờ giấy bạc trong các loại giấy 20.000, 50.000, 100.000, 500.000 ?
4/ Tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình
nxxx
m
=++
21
.
5/ Có bao nhiêu đơn thức bậc 7 theo 3 biến a, b, c ?
VIII) Áp dụng vào khai triển đa thức :

1) Nhị thức Newton
Xem
( ) ( ) ( ) ( )
  
lân

n
n
babababa +++=+
10
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
Mỗi số hạng là tích của các phần tử của chỉnh hợp chập n của 2 phần tử a và b. Các số hạng đồng
dạng dạng
ik
ba
là số các hoán vị cấp n , kiểu (k, i) với k + i = n. Số hạng tổng quát của khai triển
là
ik
n
baikC ),(
và ta có công thức
( ) ( )
∑∑
=
−
=+
≤≤
==+
n
k

knkk
n
nik
nik
ik
n
n
baCbaikCba
0,0
,
Nhận xét : trong khai triển mỗi số hạng là một đơn thức có dạng
ik
ba
, nên số các số hạng là số tổ
hợp lặp chập n của 2 phần tử a và b, tức là
1
12
12
+=
−
−+
nC
n
số hạng
2) Đa thức :
Bằng cách lý luận tương tự, ta chứng minh được công thức khai triển đa thức bậc n của đa thức
gồm m hạng tử như sau:
( ) ( )
∑
=+++

≤≤
=+++
nkkk
nk
k
m
kk
mn
n
m
m
i
m
aaakkkCaaa

0
212121
21
21
, ,,
Số số hạng là số tổ hợp lặp chập n của m phần tử,
suy ra có
1
1
−
−+
m
mn
C
số hạng.

3) Ví dụ :
Khai triển
( )
∑
=++
≤≤
=++
3
3,,0
3
!!!
!3
kji
kji
kji
cba
kji
cba
, có
10
13
133
=
−
−+
C
số hạng lần lượt là
( )
+++=++
300030003

3
!3!0!0
!3
!0!3!0
!3
!0!0!3
!3
cbacbacbacba
+++++
021120102012
!0!2!1
!3
!1!2!0
!3
!1!0!2
!3
!0!1!2
!3
cbacbacbacba
111210201
!1!1!1
!3
!2!1!0
!3
!2!0!1
!3
cbacbacba +++
abcbcaccbabcabacba 6333333
222222333
+++++++++=

C. LỜI KẾT
Đại số tổ hợp có nhiều ứng dụng, cả những lĩnh vực liên quan đến khoa học tự
nhiên lẫn khoa học xã hội. Giúp học sinh lớp chuyên toán tìm hiểu sâu hơn khái
niệm này theo tôi là rất có lợi, một mặt nó giúp phát triển tư duy, một mặt thêm
công cụ để các em có thể tự phát triển và nghiên cứu.
Mặc dù bài viết của tôi còn có nhiều bất cập vì tình hình học tập nặng nề như hiện
nay, các em không có đủ thời gian và công sức để theo đuổi các vấn đề chuyên môn
mà mình yêu thích, nhưng tôi tin chắc rằng trong tương lai chương trình giáo dục
11
MỞ RỘNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP LÝ THỊ THÚY LAN
phải tiến tới vì người học hơn, khi đó việc thả sức theo đuổi đam mê một đề tài mà
học sinh yêu thích là có thể, và chắc chắn rằng đại số tổ hợp sẽ là một bộ môn mà
không ít các học sinh yêu toán hướng đến. Nhiệm vụ của người Thầy không gì khác
hơn là ươm mầm và vun đắp cho những học sinh đã có đầy đủ nền tảng và năng lực
trong đội ngũ học sinh yêu toán của trường.
12