Các khái niệm mở đầu về đạo hàm

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
PHẦN I: ĐẠO HÀM

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


Mục lục
Chủ đề 1. Điịnh nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - Dạng I
Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - Dạng II
Vấn đề 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - Dạng III
Vấn đề 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm
tại một điểm
Vấn đề 5: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Chủ đề 2. Các quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề 1: Tính đạo hàm bằng việc sử dụng các quy tắc
và đạo hàm các hàm số sơ cấp

Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số y=f(x)
Vấn đề 3: Tính đạo hàm của hàm số y=loga(x)b(x)
Vấn đề 4: Tính đạo hàm của hàm số y=[u(x)]v(x)
Chủ đề 3. Đạo hàm cấp cao
Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề 1: Tính đạo hàm cấp k của hàm số
Vấn đề 2: Tìm công thức đạo hàm cấp n

2


Phần I - đạo hàm
chủ đề 1

định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

A. Tóm tắt lí thuyết
1. Số gia ®èi sè vµ sè gia hµm sè

Cho hµm sè y f(x) xác định trên khoảng (a, b). Giả sử x0 và x(x x0) là
hai phần tử của (a, b).
Khi đó:
x x x0, đọc là đenta x, đợc gọi là số gia của đối số tại điểm x0.
yf(x)f(x0)f(x0 + x)f(x0), đợc gọi là số gia tơng ứng
của hàm số tại điểm x0.
2. Đạo hàm tại một điểm

Định nghÜa 1: Ta cã:
f

'(x0) lim

x  0

lim

x x 0

f (x 0  x)  f (x 0 )
y
 lim

x  0
x
x

f ( x)  f ( x 0 )
.
x  x0

3. Đạo hàm một phía

Ta có:
a. Đạo hàm bên trái của hàm số yf(x) tại điểm x0, kí hiệu là f '( x 0 ),
đợc định nghĩa :
f (x) f (x 0 )
y
f '( x 0 ) lim
 lim
.

x x0
x 0 x
x x 0
b. Đạo hàm bên phải của hàm số yf(x) tại điểm x0, kí hiệu là f '( x
0
), đợc định nghĩa :
f ( x)  f (x 0 )
y
f '( x 
) lim
 lim
.
0
x  x0
x  0  x
x x
0
Định lí 1 : Hàm số yf(x) có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của
nó, nếu và chØ nÕu f '( x 0 ) vµ f '( x
0 ) tồn tại và bằng nhau.
Khi đó ta cã :
f '(x0)f '( x 0 )f '( x 0 ).
4. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa 2 : Hàm số y f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) ,
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. Kí hiệu là f '(x) hay y'.
Ta gọi f '(x) là đạo hàm của f(x) trong khoảng (a, b).
Định nghĩa 3 : Hàm số y f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên đoạn a, b, nếu
nó có đạo hàm trên khoảng (a, b), và có đạo hàm bên phải tại a, bên trái tại b.

3


Chó ý : VỊ sau nµy khi ta nãi hµm số y f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ
trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc
tập xác định của hàm số đà cho.
5. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của
hàm số

Định lí 2 : Hàm số y f(x), xác định trên khoảng (a, b), là liên tục tại
điểm xO (a, b) nÕu vµ chØ nÕu :
lim y 0.
x  0

Chøng minh
ThËt vËy, ta cã :
lim f ( x)  f(xO)  lim [f(x)  f(xO)] 0  lim y 
x x
x x
x 0
0

0

0.
Nhận xét: Nh vậy, tới đây chúng ta ghi nhận thêm đợc một cách khác để
chứng minh hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0.
Định lí 3 : Nếu hàm số y f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì nó liên tục tại
x0.
Chứng minh.

Theo giả thiết, ta có :
lim
x 0

y
f'(x0).
x

Do đó
lim y  lim ( y .x)  lim y . lim x f
x  0 x
x  0 x x  0
'(x0).00.
Vậy, hàm số yf(x) liên tục tại điểm x0.
x 0

Chú ý:
1. Kết quả của định lí 3 đợc sử dụng nhiều trong bài toán " Tìm điều kiện của
tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm xx0 ".
2. Mệnh đề đảo của định lí 3 không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại
điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Để minh hoạ ta xét hàm số :
yf(x)x
tại điểm x0 0, ta cã:
lim f (x )  lim x0.
f(0)0 vµ x
0
x 0

Vậy, hàm số đà cho liên tục tại điểm x0 0.
Mặt khác, ta có:

y
1


1

f(0

khi x 0
khi x 0

+

x)f(0)x

.

Do đó:
lim

x 0

4

y
1 và
x

lim

x 0

y
1
x



y
| x |


x
x


y
không tồn tại
x 0 x

lim

hàm số yx không có đạo hàm tại x00.
3. Nh vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.
6. ý nghĩa hình học của đạo hàm
6.1. ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 4 : Nếu hàm số yf(x)
có đạo hàm tại x0 và đồ thị (C) của
hàm số có tiếp tuyến tại điểm

M0 (x0, f(x0)) thì hệ số góc của tiếp
tuyến với (C) tại M0 bằng f '(x0).
6.2. Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M0

y
(C)
Định lí 5 : Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M 0(x0, y0) của đờng cong
f(x0 + x)
yf(x) là:
M
yy0 f'(x0)(x x0).
f(x0)

y
M0

T

B. phơng pháp giải toán x
Vấn đề 1: cách tính đạo hàm bằng Ođịnh nghĩa
xDạng
x0
+ x Ix
Cho hàm số:

0

yf(x).
Để tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa tại điểm x0, ta xác định :
f (x) f (x 0 )

f '(xO) lim
.
x x0
x  x0
VÝ dô 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x01 :
f(x)2x2 1.
Giải
Ta có :
f ( x)  f (1)
(2 x 2  1)  (2  1) 
f
'(1) lim

lim
x 1
x 1
x 1
x 1
2
2x  2
lim
x 1 x  1
2( x  1) .
= lim
x 1
Chó ý: Nh vậy, việc tìm đạo hàm bằng định nghĩa liên quan mật thiết với bài
toán tính giới hạn của hàm số. Do đo, các em học sinh cần ôn lại các ph ớng
pháp tính giới hạn cùng với các dạng giới hạn cơ bản.
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x0:
f(x)x  1.

Gi¶i
Ta cã :

5


f

'(0) lim

x 0

lim

x 0

( e x  1)  (e 0  1) 
x 0
x

f (x)  f (1)

x 0

lim

e x 1 = 1.
x

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x0

f(x)x2sinx.


:
2

Giải
Ta cã :


2
f (x)  f ( )
x 2  sin x 
1
2  lim
4
f '(  ) lim



2

x
x
x
x
2
2
2
2

1  sin x

lim
lim ( x  )
2 + x  x   .
 x  
2
 2   
  2
L1

L2



(1)
Với L1, ta đợc L1.



Với L2, bằng phép đổi biến t
L2

lim


x, ta đợc :
2

t)
1 cos t
 lim

2
t
t 0
 t

1  sin(
lim
t 0

2 t. sin 2

(2)

t
2

2 0. (3)
t
4
2
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc :
f '( ).
2
Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải trên để tính đạo hàm chúng ta cần xác định
0
giá trị của một giới hạn dạng

và ở đây chúng ta đà tách nó thành hai giới
0
P ( x)
hạn con (bao gồm
và dạng lợng giác) để đa nó về dạng đơn giản hơn.
Q( x )
t 0

Vấn đề 2: cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Dạng II
Cho hàm số:
f ( x ) khi x  x

f(x) 
.
f ( x ) khi x x
Để tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa tại điểm x0, ta xác định :

6

1

0

2

0


f (x)  f (x 0 )
f (x)  f2 (x 0 )

 lim 1
.
x  x0
x  x0
x x0
x x0
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x00:
f '(xO) lim

1 cos x
x
0


khi x 0

f(x)


khi x 0

Giải
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x00. Ta cã:
2 sin 2

x
2

1  cos x
f ( x)  f ( 0)

 lim
 xlim
 0  x 2
x 0
x 0
x 0
x2
4 
2

f '(0) lim

1
.
2
VÝ dơ 2: Cho hµm sè :



1 


1 x
x


f(x) 
1

khi x  0

khi

2


.

x 0

a. Chøng minh r»ng f(x) liên tục tại x0.
b. Tính đạo hàm, nếu có, của f(x) tại điểm x0.
Giải
a. Ta có :
lim f(x) lim 1 

x 0

x 0

1 x
x

 xlim
0

1  (1  x )
x(1  1  x )

 xlim
0

1

 1
1 1 x
2
f(0).
VËy, hàm số f(x) liên tục tại x0.
b. Ta có :
f ( x)  f ( 0)

x 0
x 0

f

lim
x 0

'(0) lim

1
lim
x 0

1 x 1

x
2 
x

2  x  2 1 x
2x2
1

 1 .
x  0 2( 2  x  2 1 x )
8
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :
lim



x
f(x)

0


2

cos

1
x

khi x 0
khi x 0

tại điểm x00.

Giải
Hàm số f(x) xác định trong mét l©n cËn cđa x00.
Ta cã :
7


f '(0) lim
x 0

f ( x)  f ( 0)
1
 lim x. cos .
x
x 0
x 0

Ta cã:
- Víi mäi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có :
x.cos 1   x  x x.cos 1  x.
x
x
- Mặt khác lim (x) lim x0.
x 0

x 0

Suy ra :
lim x. cos
x 0

1
0  f '(0) 0.
x

NhËn xÐt: Nh vậy, trong lời giải trên để tính giới hạn chúng ta đà sử dụng
nguyên lí bị chặn để thực hiện.

Vấn đề 3: cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Dạng III
Cho hàm số :
f ( x ) khi x  x

f(x) 
.
f ( x ) khi x  x
§Ĩ tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa tại điểm x 0, ta thực hiện theo
các bớc:
Bớc 1:
(Đạo hàm bên trái) Tính :
f (x) f (x 0 )
f '( x 0 ) lim
.
x  x0
x  x 0
Bíc 2:
(Đạo hàm bên phải) Tính :
f (x) f (x 0 )
f '( x
) lim
.
0

x

x
x x
0
0
1

0

2

0

Bớc 3:
Đánh giá f'( x 0 )f'( x 
0 ), tõ ®ã ®a ra lời kết luận.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số:
x
f(x)
1 | x |
tại điểm x00.
Giải
Viết lại hàm số dới dạng:



x

1 x

f(x)
x


1

x

khi x 0

.

khi x 0

Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x00. Ta có :
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x00.
f

x
f ( x )  f ( 0)
1
 lim 1  x  lim
x

0
x

0


x

0
1 x
x 0
x

'(0) lim

1.
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x00.

8


f '(0

x
f ( x )  f ( 0)
 lim 1  x  lim 1
x 0
x 0 1  x
x 0
x 0
x

) lim

+

1.
NhËn xÐt r»ng:
f '(0)f '(0 + )1.
VËy, hàm số yf(x) có đạo hàm tại điểm x00 và f '(0)1.
Chó ý. Chóng ta cã thĨ tÝnh mét c¸ch trùc tiÕp nh sau :

x

f

f ( x)  f ( 0)
 xlim
 0 1 | x |
x 0
x 0

'(0) lim

 xlim
0

x

1.
VÝ dơ 2: Cho hµm sè:

1
1 | x |

2

y x  2 | x  3 |

3x  1

a. Chøng minh rằng hàm số liên tục tại x3.
b. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x3.
Giải
Viết lại hàm số díi d¹ng :
 x2  2x  6

3x  1


f(x) 
x



a

2

 2x  6
3x  1

khi

 3 x 

khi

x   3

1
3

.

Ta cã:

2
lim f (x)  lim x  2 | x  3 |  9 f(3)
x  3
x 3
10
3x 1
Do đó, hàm số liên tục tại x3.
b Ta có:
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x03.

f (x) f ( 3)
13 .
x

3
100
x 3
Đạo hàm bên phải của hàm số tại ®iÓm x03.

f '(3) lim





f (x )  f ( 3)
 53 .
x 3
100
x  3

+
NhËn xÐt r»ng f '(3 ) f '(3 ).
Vậy, hàm số không có đạo hàm tại x3.

f '(3 + ) lim



Vấn đề 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo
hàm tại một điểm
Cho hàm số :
f ( x ) khi

f(x)
f ( x ) khi
1

2

x  x0
x x 0

.
9


Để tìm điều kiện của tham số sao cho hàm số có đạo hàm tại điểm x 0, ta
thực hiện theo các bớc sau :
Bớc 1:
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.
(1)
Bớc 2:
(Đạo hàm bên trái) Tính :
f '( x 0 ) lim

x  x 0

f (x) f (x 0 )
.
x x0

Bớc 3:

(Đạo hàm bên ph¶i) TÝnh :

Bíc 4:

f (x)  f (x 0 )
.

x x0
x x
0
Hàm số có đạo hàm tại điểm x0 khi:
f '( x 
) lim
0

f'( x 0 )f'( x
0 ).
(2)
Bớc 5:
Giải (1) và (2) rồi đa ra lời kÕt ln.
VÝ dơ 1: Cho hµm sè:
x
khi x 1

f(x) 
.

khi x 1
ax b
Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x1.
Giải
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x1, trớc hết f(x) phải liên tục tại
x1, do đó :
lim f(x) lim f(x)f(1) a + b1 b1a.
2

x 1

x 1

(1)
Đạo hàm bên trái của hàm số yf(x) tại điểm x1.
2
f ( x) f (1)
f '(1) lim
 lim x  1 2.
x 1
x 1
x 1
x 1
Đạo hàm bên phải của hàm số yf(x) tại điểm x1.
f (x ) f (1)
f '(1 + ) lim
 lim ax  b  1  lim

x 1
x 1
x

1
x 1
x 1
ax  1  a 1
x 1
a.
Hàm số yf(x) có đạo hàm tại điểm x1
 f '(1)f '(1 + )  a2.

(2)
Thay (2) vµo (1), ta đợc b1.
Vậy, hàm số có đạo hàm tại ®iĨm x1, nÕu vµ chØ nÕu a2, b1.
VÝ dơ 2: Cho hµm sè :
p cos x  q sin x
khi x  0

f(x) 
khi x  0 .
px  q 1
Tìm p, q để f(x) có đạo hàm tại điểm x0.
Giải
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 f(x) phải liên tục tại điểm
x0, do đó :

10


lim f(x) lim f(x)f(0)  pq + 1  qp1.


x 0

x 0

(1)
Khi đó hàm số f(x) có dạng :
p cos x  ( p  1) sin x
khi x  0

f(x)
khi x 0
px p
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x00.
f ( x )  f ( 0)
p cos x  ( p  1) sin x  p
f '(0 ) lim
 lim
x

0

x 0
x
x 0
( p  1) sin x  p(1  cos x)
 lim
 lim
x 0
x 0
x


x

2 px sin 2 
 ( p 1) sin x
2
2

x
x


4.


2

p1.
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x00.
f ( x )  f ( 0)
px  p  p
f '(0 + )  lim
 lim
 lim
x

0

x 0
x

0
x
x 0
pp.
Hµm sè yf(x) có đạo hàm tại điểm x0, nếu và chỉ nếu :
f '(0)f '(0 + )  p p1 v« nghiƯm.

VËy, với mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm
x0.
Ví dụ 3: Cho hàm số:
( x  a ) e
khi x  0

f(x) 
.

 bx 1
khi x 0
ax
Xác định a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x0.
Giải
Để hàm số có đạo hàm tại x0, trớc hết nó phải liên tục tại x0, do
®ã :


 bx

2

lim f(x) lim f(x)f(0)  a1.


x 0



x 0

(1)
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x00.
bx
f ( x )  f ( 0)
1
f '(0) lim
 lim (x  1)e
x

0

x

0
x 0
x

e  bx  1 
.b 1b.
lim e bx
x 0
bx






Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x00.

2
f ( x )  f ( 0)
f '(0 + )  lim
 lim x  bx  1  1  lim (x
x 0
x 0
x
x 0
x 0
+ b)b.
Hµm sè yf(x) cã đạo hàm tại điểm x0, nếu và chỉ nếu :

11


f '(0)f '(0 + )  1bb  b 1 .
2
Vậy hàm số yf(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi a1, b 1 .
2

Vấn đề 5: tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Để tính đạo hàm của hàm số:
y f(x)
trên khoảng (a, b), bằng định nghĩa, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bíc 1:
TÝnh yf(x + x)f(x).
Lập tỉ số
Bớc 2:

y

.
x

y
.
x 0 x

Tìm lim

Chú ý:
1. Cần lu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi nh cố định còn x thì
tiến tới 0.
2. Nếu khoảng (a, b) bằng đoạn [a, b], ta thực hiện theo các bớc sau :
Bớc 1:
Tính đạo hàm của hàm số y f(x) trong khoảng (a, b)
Bớc 2:
Tính đạo hàm bên phải của hàm số yf(x) tại điểm a.
Bớc 3:
Tính đạo hàm bên trái của hàm số yf(x) tại điểm b.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :
f(x) x .
Giải
Hàm số y x xác định trong một lân cận của điểm x > 0. Ta lần lợt có
:
y f(x + x)f(x) x x  x
y

x



1
x  x  x

x  x 
x

x 

x  x  x
x( x  x  x )

.

Do ®ã :
y
 lim
x 0
x  0 x
lim

VËy hµm sè cã f '(x)

1
x  x  x
1
2 x



1

2 x

.

VÝ dô 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :
ylog8x.
Giải
Cho x mét sè gia x, ta cã :

12

.




y f(x + x)f(x) log8 x  x
x

log 8
y


x

x
ln(1 
)
x  x
1

x

.
.
x
x
x ln 8
x
x

Do ®ã :
lim
x  0

y
1
1

 y'
.
x
x ln 8
x ln 8

Chú ý: Trong lời giải trên, vì chúng ta không có dạng giới hạn cho hàm số
ln b
logab nên cần thực hiện phép đổi cơ số logab =
.
ln a
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :

y2006x.
Giải
Cho x một số gia x, ta có :
y f(x + x)f(x) 2006x + x2006x
x  x
y
 2006 x 2006x. 2006 x  1

 2006
x
x
x
x ln 2006
 1
2006x.ln2006. e
x. ln 2006
Do ®ã :
lim
x  0

y
2006x.ln2006  y'2006x.ln2006.
x

Chó ý: Trong lời giải trên, vì chúng ta không có dạng giới hạn cho hàm số a b
nên cần thực hiện phép đổi cơ số ab = e ln a b .
VÝ dơ 4: Cho hµm sè :


x

f(x) 

0


2

sin

1
x

khi x  0

.

khi x 0

a. Tính đạo hàm của f tại mỗi xR.
b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x00.
Giải
a. Ta xét hai trờng hợp :
Với x  0, ta cã :
f '(x)2xsin 1 cos 1 .
x
x
 Víi x0, ta cã :
f ( x)  f ( 0)
f '(0) lim
 xlim

x.sin 1 .

0
x 0
x 0
x
Ta cã:
- Với mọi x 0 thuộc lân cận của điểm 0 lu«n cã :
xsin 1   x  x xsin 1  x.
x
x

13


lim
- Mặt khác xlim
0 (x) x 0 x0.
Suy ra :
lim x. sin
x 0

1
0  f'(0) 0.
x

VËy :
f '(x)

1

1

 cos
2 x sin
x
x

0


khi x  0

.

khi x  0

b. Chøng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x00.
Đặt g(x)2x.sin 1 cos 1 .
x
x
Chän hai d·y sè {xn} vµ {yn} víi :


xn



yn

1

 xn 0 khi n  vµ ta ®ỵc :
2 n
1
1
n 
g(xn)2xn.sin
cos
    1.
xn
xn
1
 yn 0 khi n và ta đợc :
2 n
1
1
n
f(yn)2yn.sin
cos
1.
yn
yn

Vậy, xlim
g(x) không tồn tại.
0
f '(x) không có giới hạn khi x0 f ' không liên tục tại x00.
Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x0:
a. f(x)x24x + 3 với
b. f(x) 3x 4 với

x01.
x01.
Bài tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x0 :
1
2x  3
víi x02.
b. f(x)
víi x03.
x 1
x 1
Bµi tËp 3: Cho hàm số ysinx.
a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x00.
b. Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x00.
Bài tập 4: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x 00:
a. f(x)
b. f(x)

a. f(x)

 sin 2 x


x
0


khi x  0

.

khi x  0

 1  cos 2 x

x

0


.
Bµi tËp 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :
x

f(x)
0

2

sin(1 / x )

tại x00.
Bài tập 6: Cho hàm f xác định bởi :
14

khi x 0
khi x 0

khi x 0
khi x 0

f(x)


x 4  2


x
1 / 4


khi x  0

.

khi x 0

a. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x0.
b. Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x0.
Bài tập 7: Cho hàm số f xác định bởi :
f(x)

 tgx

 x
1


khi x  0

.

khi x  0

a. Chøng minh rằng f liên tục tại x0.
b. Tìm đạo hàm, nếu có, của f tại x0.
Bài tập 8: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số :


x

e

yf(x)

x

2

khi x 0
x 1

khi x 0

tại điểm x00.
Bài tập 9: Cho hµm sè yx1. Chøng minh r»ng hµm sè liên tục tại
x1 nhng không có đạo hàm tại điểm này.
Bài tập 10: Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại điểm x1

2

x

f(x)

x

khi x 1
2

ax b

khi x 1

.

Bài tập 11: Tìm a để hàm số sau có đạo hàm tại x00.
x



( x  1) e

f(x) 

 ax  1
 x
2

khi x 0
khi x 0

.

Bài tập 12: Tìm a để hàm số sau có đạo hàm tại x00.
e
khi x 0

f(x) 
.

 ax  1
khi x  0
x
Bµi tËp 13: Cho hàm số :
yx2 + 4x + 3.
a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x01.
b. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x03.
Bài tập 14: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đây :
x

2

a. f(x)

1
2

.

x 1

b. f(x) x 2  1 .
c. f(x)xsinx.
Bµi tập 15: Tính đạo hàm của hàm số y n x trong đó n là số nguyên dơng và x > 0.

15


chủ đề 2

các quy tắc tính đạo hàm
đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

A. Tóm tắt lí thuyết
bảng quy tắc tính đạo hàm
Giả sử các hàm số u, v, w có đạo hàm, khi đó :
(u + vw)'u' + v'w'

(au)'a.u' (a lµ h»ng sè)
'
 u   u' v uv'

v2
v

(uv)' u'v + uv'

bảng đạo hàm các hàm số

sơ cấp cơ bản và các hệ quả
(1) (x)'. x1

(u)'.u'.u1
'

'

 1   1
 
x2
x

( x )'

u'
 1
   2
u
 u

1

( u )'

2 x

(C)'0 (C lµ h»ng sè)

(ku)'k.u'

(2) (sinx)'cosx

(sinu)'u'.cosu

(cosx)'sinx
(tgx)'

1

(1+cotg2x

2

sin x
(3) (lnx)'

1
x

(logax)'

(tgu)'

u'
cos 2 u

(cotgu)'

) cotg2u)

(lnu)'

1
x ln a

(4) (ex)' ex
(ax)' ax.lna

16

(cosu)'u'.sinu

1
1 + tg2x
cos2 x

(cotgx)'

u'
2 u

u'.(1 + tg2u)

u'
sin 2 u

u'
u

(logau)'

u'
u ln a

(eu)' u'.eu
(au)' u'.au.lna

u'(1

+


B. phơng pháp giải toán
Vấn đề 1: tính đạo hàm bằng việc sử dụng các quy tắc
và đạo hàm các hàm số sơ cấp
Sử dụng các kết quả:
a. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản.
b. Các quy tắc tính đạo hàm.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số:
a. y = x6 + 8 sin x cos x .
b. y x 
Gi¶i
a. Ta cã:
y'(x6 + 8 sin x  cos x )'(x6)’ + ( 8 sin x cos x )'

x2  x  1

.

6x61 + (sinx + cosx)’. 8 sin x cos x .ln8

6x61 + (cosx  sinx). 8 sin x  cos x .ln8.
b. Ta cã:
y'(

x2  x  1

x

2 x

x2  x  1

2 x

1



1

)'
(1 +

2

x  x 1

2x  1
2 x2  x  1

2 x2  x  1  2x  1



4 x

(x +

x2  x  1

)'

)

.

x2  x  1 . x2  x  1

VÝ dô 2: TÝnh đạo hàm của hàm số:
yln

x 2 x 2 1
x2  x 2 1

.

Gi¶i
Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Ta có ngay:
1

2
2
y'(ln x  x 2  1 )' x 2  x 2  1 ( x  x 2  1 )'
2
2

x  x 2 1

x2  x 2  1

x  x 2 1

2
 x  x 2  1 .

x2  x 2  1

(2 x 

2 )(x 2  x 2  1)  (2 x  2 )( x 2  x 2  1)
(x 2  x 2  1)2



2 2 (x 2  1)
2

2

2
 2 2 (x  1) .

(x  x 2  1)(x x 2 1)

x4 1

Cách 2: Viết lại hàm số dới dạng:
yln (x2 x 2 + 1)  ln (x2  x 2 + 1).

17


Khi ®ã :
y’

(x 2  x 2  1)'
x2  x 2  1
2x 



2

x2  x 2  1

2

x  x 2 1



2
 2 2 (x  1) .

2x  2



2

( x 2  x 2  1)'



x4  1

x  x 2 1

NhËn xÐt: Nh vËy, trong c¸ch giải 2 độ phức tạp của các phép toán đợc giảm
đi rất nhiều. Điều này khẳng định rằng việc đơn giản hoá hàm số hoặc chuyển
đổi hàm số về dạng dễ lấy đạo hàm là cần thiết.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số:
a. y

3

x

x

x

x

b.

.

y

1
x 1

x



Giải
a. Biến đổi hàm số về dạng:
y 3

x

x

x

x

Do đó:

1

.

1

.

1

.

1

x 3 x 6 x 12 x 24



5

x8

.

3
5

. 8.
8 x
b. Biến đổi hàm số vỊ d¹ng:

y'

y

x 1 
( x 1 

x

x )( x  1 

x)

 x  1  x  x  1 
x 1 x

x 
Do ®ã:

y'

1
2 x 1



1
2 x



VÝ dơ 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
x
tg( )(1  sin x )
a. y
.
4 2
sin x
b. y

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1
 cos x víi x  (0, ).
2 2

Giải
a Biến đổi hàm số về dạng:
x
x

x 2
x
y tg( 4  2 )(1  sin x)  tg( 4  2 )(cos 2  sin 2 )
sin x
sin x
 x

x

x
 x
2
2
tg
(

)
cos
(

)
2
sin(

)
cos(
 )

4 2
4 2 

4 2
4 2 
sin x
sin x

sin(  x) cotgx.
2
sin x
Do ®ã:
18


y'(cotgx)'
b

1
sin 2 x

.

Biến đổi hàm số về dạng:
y 1 1 1  1 1  1 cos x  1  1 1  1 cos2 x
2

2

 1  1
2

2

2

2

2

2

1 1
x 
 cos
2 2
2

2

1 1

2 2

2

cos2

2

2

2

x 
4

1 1
x
 cos
2 2
4

 cos2 x cos x .
8
8
Do ®ã:
y'( cos x )' 1 sin x .
8
8
8
Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số y = |f(x)|
Để tính đạo hàm của hàm sè yf(x) trªn miỊn E sao cho f(x)  0 ta
lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Thùc hiƯn theo các bớc sau:
Bớc 1:
Viết lại hàm số dới dạng:
y f 2 ( x) .
Bớc 2:
Ta đợc:
f ' ( x ).f ( x )
f ' ( x ).f ( x )
y’


.
2
| f (x) |
f (x)
C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bớc sau:
Bớc 1:
Viết lại hàm số dới dạng:
f (x)
với f ( x ) 0

y 
.
víi f ( x )  0
f ( x )
Bớc 2:
Ta đợc:
f ' (x)
với f ( x )  0

y’ 
.
víi f ( x )  0
 f ' ( x )
VÝ dô 1: TÝnh đạo hàm của hàm số sau tại các điểm x  1:
y|x  1|.
Gi¶i
Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Viết lại hàm số dới dạng:
y (x 1) 2 .

Ta đợc:
2( x 1)'.( x  1)
x 1
1
víi x  1

y’

= 
.
víi x  1
 1
2 ( x  1) 2
| x  1|
Cách 2: Viết lại hàm số dới dạng:
x 1
với x 1

y
.
với x 1
1 x
Ta đợc:
1
với x  1

y’ 
.
víi x  1
 1

19


Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm x + k, kZ:
2
1
y
.
| cos x |
Giải
Viết lại hàm số dới dạng:
1
1
y

,
| cos x |
cos2 x
Khi ®ã:





cos 2 x 
1

y' 




tgx

'

2
 ( cos x )' 

cos2 x

 2 sin x cos x
2 cos2 x . cos2 x

tgx
.
| cos x |
cos x
VÝ dơ 3: Cho víi x 0, a > 0. Tính đạo hàm của hàm số:



2



g(x) ln

x2 a
x

1

,

Giải
Ta xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Với x > 0, ta đợc:
2
g(x)ln 1 x a ,

x

Khi ®ã:
 1


g'(x) 

x  a 

x

2

x

'

2

x a



x2

2

1  x2  a
x

1 x a
x

x2  a  a
x(1 

.

x2  a )

Trêng hỵp 2: Víi x < 0, ta ®ỵc:


g(x)ln  



Khi ®ã:

20

1

.x  (1  x 2  a )


x2  a 

x


,

