Giai tich 2 tich phan mat loai

BÀI 4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I & II


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Nhận xét: Tích phân mặt loại 1 có các tính chất như tích phân
đường loại 1.


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Chú ý: Nếu hình chiếu của S xuống mp Oxy chỉ là một đường
cong (trường hợp này xảy ra khi S là một mặt trụ song song với
Oz) thì phải chiếu S xuống các mp khác, không chiếu xuống mp
Oxy.


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Ta có:
D

S

O xy

: x

2

y

2

9.

Vậy
(x
S

2

y

2

2

z )ds

2(x
D

2

2

y ).

2 dxdy

...


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Ta có:
S :

z

D

S

R
O xy

:

2

x
x

2

2

y
y

2

2

R

2

Vậy

(x
S

2

2

y )ds

(x
D

2

R

2

y ).
R

2

x

2

2

y

2

dxdy

...


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Ta có:
S :

z

1

x

y
0

D

S

O xy

x

1

:
0

y

1

x

Vậy
(x

S

y

z )ds

(x
D

y

z ). 3 d x d y

...


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I


1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Mặt định hướng
• Xem mặt cong S là tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn phương
trình :

F(x,y,z) = 0
(1).
• Mặt S gọi là mặt trơn nếu vector gradient F ( x , y , z ) ( F x' , F y' , F z' )
liên tục và khác trên S (hay nói cách khác hàm F(x,y,z) có các đạo

hàm riêng F x' , F y' , F z' liên tục và khơng đồng thời bằng 0 trên S).
• Chú ý rằng mặt cong S thường cho bởi phương trình
z

f ( x , y ), ( x , y )

G

( 2 ).

Khi đó ta có thể coi phương trình trên là trường hơp riêng của dạng
'
'
có
F ( x, y, z)
( f x , f y , 1) .
F ( x, y, z)
f ( x, y) z
0
Và khi đó mặt S là mặt trơn khi và chỉ khi các đạo hàm riêng
liên tục trên G.

'

'

fx , fy


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Mặt định hướng
Định nghĩa:


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Mặt định hướng


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2

2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1. Định nghĩa
2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1

Chú ý:


n

(co s

, cos

, cos )

pháp vector đơn vị của mặt S.


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)
Giả sử cần tính tích phân
R dxdy
S

R cos ds

(3),

S

trong đó, S là mặt cong có phương trình z = z(x,y) (trơn hoặc trơn
từng khúc) với pháp vector định
 hướng n lên trên (tức là phía trên
của mặt cong và pháp vector n tạo với hướng dương của trục Oz
một góc nhọn).
Vế phải (3) là giới hạn của tổng tích phân mặt loại 1
n

R ( x i , y i , z ( x i , y i ) ) .c o s . S i

Mặt khác, ta có

(4)

i 1

cos . S i

Di

(5 ),

với D i
S i O x y .
Chú ý: Do n tạo với Oz góc nhọn nên c o s

0

và

Di

lấy dấu +.


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)
Thế (5) vào (4) ta được tổng tích phân kép, qua giới hạn ta được
R ( x , y , z ( x , y )) d x d y

trong đó

R ( x , y , z ( x , y )) d x d y

S

,

D

D

S

O xy

.

Nếu đổi hướng của mặt S (tức đổi phía của S) thì
lấy dấu - , tức là
R ( x, y, z )dxdy

R ( x , y , z ( x , y )) d x d y

S

D

Tương tự, ta có
P dydz
S

P ( x ( y , z ), y , z ) d y d z ,
D

yz

Q dxdz
S

cos

Q ( x , y ( x , z ), z ) d x d z.
D xz

0

.

và

Di


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)
Chú ý: Nếu hình chiếu của S xuống một mặt phẳng nào đó (ví
dụ mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong (trường hợp này
xảy ra khi S là một phần mặt trụ có các đường sinh song song
với trục Oz) thì tích phân tương ứng với các biến vi phân của
mặt phẳng đó bằng 0 (tức

R dxdy
S

0

).


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.3 Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)
Ví dụ: Tính

I

S - phía ngồi của mặt giới hạn bởi

yzdxdy ,
S

x

2

y

2

2

R ,x

0, y

0, 0

z

h.
S2

Ta có:

S4

I

trong đó

,
S

S1

S2

S3

S4

S3

S5

S5

hai mặt đáy; S 3 , S 4 hai mặt bên
nằm trong Oxz, Oyz tương ứng; S 5 mặt trụ
cong.
Vì
(xem chú ý 2.3) và y z d x d y
0
S1 , S 2

S3

S4

yzdxdy
S2

(vì z = 0) nên

S1

S5

R

2

I

0

h

ydxdy
x
x

r

2

y
0,y

R
0

2

h

s in
0

2

d

r dr
0

hR
3

3

.


2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)

2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)