Bất đẳng thức đại số vas (algebraic inequalities vasile cirtoaje)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (202.54 KB, 28 trang )
Algebraic Inequalities
Vasile Cirtoaje
Chapter 1: Warm-Up Problem Set
1.1 Applications
1. Cho ,,,abcdR∈ thỏa :
2222
4abcd+++=. CMR :
3333
8abcd+++≤
2. Cho ,,0abc≥ . CMR :
3
333
32
2
bc
abcabca
+
++−≥−
3. Cho
,,0abc> thỏa 1abc =. CMR :
222
5
33
abcabc++++
≥
4. Cho
,,0abc≥ thỏa
333
3abc++=. CMR :
444444
3abbcca++≤
5. Cho ,,0abc≥ . CMR :
( )
222
212abcabcabbcca++++≥++
6. Cho ,,abcR∈ khác nhau đôi một . CMR :
222
2
abc
bccaab
++≥
−−−
7. Cho ,,0abc≥ . CMR :
(
)
(
)
(
)
222
0abcbcbcacacabab−++−++−+≥
8. Cho ,,,0abcd≥ . CMR :
0
2222
abbccdda
abcbcdcdadab
−−−−
+++≥
++++++++
9. Cho
,,0abc≥ thỏa
222
abcabc++=++. CMR :
222222
abbccaabbcca++≤++
10. Cho ,,0abc≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
1
abc
aabbbbccccaa
++≥
++++++
11. Cho
,,0abc≥ . CMR :
() () ()
333
333
333
1
abc
abcbcacab
++≥
++++++
12. Đặt :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,
Eabcaabacbbcbaccacb
=−−+−−+−−
CMR : a)
()()()()()
222
,,
abcEabcababbcbccaca
++≥−+−+−
b)
()()()()
222
111
2,,
Eabcabbcca
abc
++≥−+−+−
13. Cho ,,,,,
abcxyzR
∈
thỏa :
0
axbycz
+≥+≥+≥
và
abcxyz
++=++
.
CMR :
aybxacxz
+≥+
14. Cho
1
,,,3
3
abc
∈
. CMR :
7
5
abc
abbcca
++≥
+++
15. Cho
,,,,,0
abcxyz
≥
thỏa
abcxyz
++=++
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
3
axaxbybyczczabcxyz
+++++≥+
16. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
()
(
)
3
222
427
abcabbccaabc
++≥+++
17. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abc
++=
. CMR :
222
111
1
212121
abbcca
++≥
+++
18. Cho
,,,0
abcd
>
. CMR :
2222
11114
aabbbcccdddaacbd
+++≥
+++++
19. Cho
1
,,,2
2
abc
∈
. CMR :
333222
222
abbccaabbcca
++≥++
++++++
20. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abbcca
++=
. CMR :
222
111
1
222
abc
++≤
+++
21. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abbcca
++=
. CMR :
222
1113
1112
abc
++≥
+++
22. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
1
222
abc
abc
++≤
+++
23. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
a)
111
0
abc
bca
−−−
++≥
b)
111
0
abc
bccaab
−−−
++≥
+++
24. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
2222
aabbccdd
−+=−+
. CMR :
(
)
(
)
(
)
2
abcdabcd
++≥+
25. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
. CMR :
() () ()
12
111
1
111111
n
nanana
+++≥
+−+−+−
26. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
2222
1
abcd
+++=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
1111
abcdabcd
−−−−≥
27. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
222
3
abc
abbcca
++≤
+++
28. Cho
,,,0
abcd
≥
. CMR :
2222
1
abcd
abbccada
+++≥
++++
29. Cho
,,0
abc
>
thỏa
111
abc
abc
++=++
. Nếu
abc
≤≤
thì :
23
1
abc
≥
30. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
abcabc
bccaabbccaab
++≥++
++++++
31. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
21111111
abcabcabc
+++≥++++
32. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
222222
31111
aabbccabcabc
−+−+−+≥++
33. Cho
,,,0
abcd
≥
. CMR :
()()()()
2
2222
1
1111
2
abcd
aabbccdd
+
−+−+−+−+≥
34. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
()
3
222222
aabbbbccccaaabbcca
++++++≥++
35. Cho
,,,0
abcd
>
thỏa
1
abcd
=
.
CMR :
1111
1
1111
abbccabccddbcddaacdaabbd
+++≤
++++++++++++
36. Cho ,,,,,
abcxyzR
∈
. CMR :
(
)
(
)
(
)
()
2
222222
43
axbyczbcxcayabz
+++≥++
37. Nếu
abcde
≥≥≥≥
thì
()()
2
8
abcdeacbdce
++++≥++
Cho
0
e
≥
. Xác định dấu
""
=
xảy ra ?
38. Cho ,,,
abcdR
∈
. CMR :
(
)
()()
2
2222
612
abcdabcdabbccd
+++++++≥++
39. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
()
()
222
222
111111
11abcabc
abcabc
++++≥++++++
40. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
()
()
222
222
111111
522abcabc
abcabc
+++++−≥++++
41. Cho
,,,0
abcd
>
. CMR :
0
abbccdda
bccddaab
−−−−
+++≥
++++
42. Nếu
,,1
abc
>−
thì :
222
222
111
2
111
abc
bccaab
+++
++≥
++++++
43. Cho
,,,,,0
abcxyz
>
thỏa
(
)
(
)
(
)
(
)
222222
4
abcxyzabcxyz
++++=++++=
.
CMR :
1
36
abcxyz <
44. Cho
,,0
abc
>
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
222222
3
abbcca
abbcca
+++
++≥
+++
45. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
1113
abcbcacababbcca
++≥
+++++
46. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222222
1113
bbccccaaaabbabbcca
++≥
−+−+−+++
47. Cho
,,0
abc
>
thỏa
3
abc
++=
. CMR :
12
5
abc
abbcca
+≥
++
48. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
(
)
1297
abcabbcca
+≥++
49. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abbcca
++=
. CMR :
333
710
abcabc
+++≥
50. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
75
abbccaabc
++++≥++
51. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()()()()()()
333
222222222222
1
222222
abc
abc
abacbcbacaca
++≤
++
++++++
52. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abc
++≥
. CMR :
222
111
1
abcabcabc
++≤
++++++
53. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abbcca
++=
.
Nếu
1
r
≥
thì :
222222
1113
2
rabrbcrcar
++≤
+++++++
54. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
()()()
()()()
333
1115
1
111
111
abc
abc
+++≥
+++
+++
55. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
213
3
abcabbcca
+≥
++++
56. Cho ,,
abcR
∈
. CMR :
()
(
)
(
)
(
)
()()()
222
212111111
abcabcabc
+++++≥+++
57. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
(
)
(
)
(
)
222
2
abcbcacab
abcbcacab
+++
++≥
+++
58. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
() () ()
222
2
abcbcacab
abcbcacab
+++
++≥
+++
59. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
111
abc
bccaababcbcacab
++≥++
++++++
60. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
111222
333
abc
bccaababcbcacab
++≥++
++++++
61. Cho
,,0
abc
>
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
()
3
518
abc
abc
+++≥
62. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abc
++=
. CMR :
1113
6665
abbcca
++≤
−−−
63. Cho
12
,, ,,4
n
aaaRn
∈≥
thỏa
12
n
aaan
+++≥
và
2222
12
n
aaan
+++≥
.
CMR :
{
}
12
axa,, ,2
n
maa
≥
64. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
(
)
()
222
2
13
6
3
abbcca
abc
bccaab
abc
++
++≥−
+++
++
65. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
(
)
(
)
(
)
222
222222
abcbcacab
abc
bccaab
+++
++≥++
+++
66. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
(
)
(
)
(
)
2
abbcca
+++=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
222
1
abcbcacab
+++≤
Chapter 2: Starting From Some Special Fourth Degree Inequalities
2.1 Main results
1. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
(
)
2
222333
3
xyzxyyzzx
++≥++
2. Cho ,,,
xyzrR
∈
. CMR :
(
)
(
)
42223
31313
xrxyrrxyzxrxy
+−+−≥
∑∑∑∑
3. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
444333333
2
xyzxyyzzxxyyzzx
+++++≥++
4. Cho
,,0
xyz
≥
. CMR :
(
)
444222222333333
2
xyzxyyzzxxyyzzxxyyzzx
++−−−≥++−−−
5. Cho ,,,
xyzrR
∈
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
0
xryxrzxyxz
−−−−≥
∑
, ( với
xxyz
=++
∑
)
6. Cho
,,0
xyz
≥
. Đặt :
(
)
(
)
i
i
Sxxyxz
=−−
∑
. Với mọi
,:0
pqRpq
∈>
:
CMR :
0
pqpq
SSSS
+
≥
7. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
.
Nếu
ln3
1,355
ln9ln4
m=≈
−
và 0
rm
<≤
thì :
3
rrrrrr
xyyzzx
++≤
8. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
2
xyz
++=
. Nếu
23
r
≤≤
thì :
(
)
(
)
(
)
2
rrr
xyzyzxzxy
+++++≤
9. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
1
xyz
++=
.
Nếu 0
p
<
và
(
)
(
)
121
4
pp
q
−+
≤ thì :
19
13
yzqzxqxyqq
xpypzpp
++++
++≤
++++
10. Cho
,,0
xyz
>
. Nếu
13
r
≤≤
thì :
()
2
444222
1
3
rrrrrr
xyyzzxxyz
−−−
++≤++
11. Cho
,,0
xyz
>
a) Nếu
3
xyz
++=
và
1
0
2
r
<≤
thì :
111
3
rrrrrr
xyyzzx
+++
++≤
b) Nếu
12
xyzr
++=+
và
1
r
≥
thì :
()
1
111
1
r
rrrrrrr
xyyzzxrr
+
+++
++≤+
12. Cho
,,0
xyz
>
a) Nếu
3
xyz
++=
và
3
0
2
r
<≤
thì :
3
rrr
xyyzzx
++≤
b) Nếu
1
xyzr
++=+
và
2
r
≥
thì :
rrrr
xyyzzxr
++≤
13. Cho
,,0
xyz
>
thỏa
3
mnmnmn
xyz
+++
++=
, với
0
mn
>>
. CMR :
3
mmm
nnn
xyz
yzx
++≥
14. Cho
,,,0
abcd
≥
. Nếu
0
p
>
thì :
()
2
11111
abcd
ppppp
bccddaab
++++≥+
++++
15. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
111111111
3
444333
abcabbccaabbcca
+++++≥++
++++++
16. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
. CMR :
3
1332
xyz
xyyzzx
++≥
+++
17. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
. CMR :
222
3
3334
xyz
yzx
++≥
+++
18. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
1
888
abc
bca
++≥
+++
19. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác .
a)
(
)
(
)
(
)
333222
3
abbccaabbccaabc
++≥++++
b)
()
(
)
()
4
222
9
abbccaabcabc
++++≥++
20. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác .
Nếu
2
r
≥
thì :
(
)
(
)
(
)
111
3
rrrrrr
abbccaabcabbcca
−−−
++≥++++
21. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác .
Nếu
2
r
≥
thì :
(
)
(
)
(
)
0
rrr
ababbcbccaca
−+−+−≥
22. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác .
Nếu
01
r
<≤
thì :
(
)
(
)
(
)
222
0
rrrrrr
ababbcbccaca
−+−+−≥
23. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác và ,,
xyzR
∈
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
222222222222
yazbxczaxbycxyyzzxabbcca
++++≥++++
Chapter 2: Starting From Some Special Fourth Degree Inequalities
2.3 Another related inequalities
1. Cho
,,0
xyz
≥
. Với
02
r≤≤ .
CMR :
()
444222222333
1
xyzrxyyzzxrxyyzzx
+++++≥+++
2. Cho ,,
xyzR
∈
. Với
12
r
−≤≤
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
0
xxyxryyyzyrzzzxzrx
−−+−−+−−≥
3. Cho
,,0
xyz
≥
. Với
22
r
−≤≤
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222222
0
xxyxryyyzyrzzzxzrx
−−+−−+−−≥
4. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
()()()()()()
333
2220
xyxyyzyzzxzx
−++−++−+≥
5. Cho
12
,, ,
n
xxxR
∈
.
CMR :
()()()()()()
333
1212232311
23 30
nn
xxxxxxxxxxxx
−++−+++−+≥
6. Cho
,,0
xyz
≥
. CMR :
()()()()()()
333
3232320
xyxyyzyzzxzx
−++−++−+≥
7. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
. Với
3
1
1,7024
41
r≥≈
−
CMR :
()()()()()()
333
1212232311
0
nn
xxrxxxxrxxxxrxx
−++−+++−+≥
8. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
(
)
(
)
3
33
2220
xyxyyzyzzxzx
−++−++−+≥
9. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
()()()()()()
333
2220
xyxzyzyxzxzy
−++−++−+≥
10. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
(
)
(
)
3
33
2220
xyxzyzyxzxzy
−++−++−+≥
11. Cho
12
,, ,
n
xxxR
∈
. Với
31
0
2
r
−
≤≤
CMR :
(
)
(
)
(
)
444333333
121223112231
1
nnn
xxxrxxxxxxrxxxxxx
+++++++≥++++
12. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
.
CMR :
()()
444333333
121223112231
13
22
nnn
xxxxxxxxxxxxxxx
+++++++≥+++
13. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
()()()
333
0
xxyyyzzzx
+++++≥
14. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
111111111111
4
222333333
abcabbccaabbccaabbcca
++−−−≥++−−−
+++++++++
15. Cho
1
,,,2
2
xyz
∈
. CMR :
859
xyzyzx
yzxxyz
++≥+++
16. Cho
1
,,,,432
xyzpp
p
∈=+
. CMR :
()
(
)
()
4
222
9
xyyzzxxyzxyz
++++≥++
17. Cho
2
,,
3
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
. CMR :
222222
xyyzzxxyyzzx
++≥++
18. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
()()()
222
4443332
3
xyzxyyzzxxyzyzxzxy
++−−−≥−+−+−
19. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
(
)
444333333
22
xyzxyzxyzxyyzzxxyyzzx
++−++≥++−−−
20. Cho
,,0
xyz
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
444222222222
176
xyzxyyzzxxyzxyyzzx
+++++≥++++
21. Cho
,,0
xyz
≥
. CMR :
(
)
()
2
2
2
6
xyzxyzx
−≥−
∑∑
( với
xxyz
=++
∑
)
22. Cho
,,0
xyz
≥
. CMR :
(
)
(
)
444333222222
56
xyzxyyzzxxyyzzx
+++++≥++
23. Cho
,,0
xyz
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
0
xyzyzxzxy
xyyzzx
−−−
++≥
+++
24. Cho ,,
xyzR
∈
. CMR :
(
)
(
)
444333
340
xyzxyyzzx
+++++≥
25. Cho
,,0
xyz
>
thỏa
3
xyz
++=
. CMR :
333
3
1112
xyz
yzx
++≥
+++
26. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
4
abcd
+++=
. CMR :
(
)
2222
3416
abcdabcd
++++≥
27. Cho
,,,0
abcd
>
thỏa
4
abcd
+++=
. CMR :
2222
2
1111
abcd
bcda
+++≥
++++
28. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
1
abc
++=
. CMR :
23232315
1112
bccaab
abc
+++
++≤
+++
29. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác .
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
0
aabbcbbccaccaab
+−++−++−≥
30. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác không đều
CMR :
{}
333222222
333
min,,
3
abbccaabbcca
bcacababc
abcabc
++−−−
≥+−+−+−
++−
31. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác và
,,,1
xyzRxyz
∈++=
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
0
yzabcazxbcabxycabc
+−++−++−≤
32. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh của tam giác .
CMR :
(
)
()
(
)
()
(
)
()
222
222
2220
abcbcbcacacabab
−−+−−+−−≥
33. Cho
,,0
xyz
≥
. Với
01,558
rm
<≤≈
là nghiệm của phương trình
()()
1
13
mm
mm
+
+= .
CMR :
1
33
r
rrr
xyyzzxxyz
+
++++
≤
Chapter 3: Inequalities With Right Convex And Left Concave Functions
3.4 Applications
1. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
3332222
1212
1 21
nn
nxxxnnxxx
−++++≥−+++
2. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
CMR :
(
)
(
)
3332222
1212
1
nn
xxxnnxxx
++++≤++++
3. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
1
n
xxx
n
r
nn
+++
−
=≥
CMR :
2222
12
111
1111
n
n
xxxr
+++≥
++++
4. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
2
1
1
n
xxx
n
r
nnn
+++
−
=≤
−+
CMR :
2222
12
111
1111
n
n
xxxr
+++≤
++++
5. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
1
n
xxx
+++=
CMR :
()()
()
2
222
12
12
111
241
n
n
nnnxxx
xxx
+++≥−+−+++
6. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
()
12
2
1
1
n
xxx
n
r
n
nn
+++
−
=≤
+−
CMR :
12
111
1111
n
n
xxxr
+++≤
−−−−
7. Cho
12
0,, ,1
n
xxx
≤<
thỏa
()
12
2
1
1
n
xxx
n
r
n
nn
+++
−
=≥
+−
CMR :
12
111
1111
n
n
xxxr
+++≥
−−−−
8. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
21
1
n
xxx
n
r
nn
+++
−
=≤+
CMR :
12
12
1111
n
n
n
xxxr
xxxr
+++≥+
9. Cho
(
)
12
,, ,03
n
xxxn
>≥
thỏa
12
1
n
xxx
+++=
CMR :
12
12
1111
n
n
n
xxxn
xxxn
−−−≥−
10. Cho
,,0
xyz
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
484848
11115
xyz
yzzxxy
+++++≥
+++
11. Cho
,,0
xyz
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
0
ln3
10,585
ln2
rr≥=−≈
CMR :
222
3
rr
r
xyz
yzzxxy
++≥
+++
12. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
.
Nếu
0
ln2
01,71
ln3ln2
rr<≤=≈
−
thì :
(
)
(
)
(
)
6
rrr
xyzyzxzxy
+++++≤
13. Cho
12
0,, ,1
n
xxx
≤<
thỏa
12
1
3
n
xxx
r
n
+++
=≥
CMR :
12
12
1111
n
n
x
xx
nr
xxxr
+++≥
−−−−
14. Cho
,,0
abc
>
thỏa
3
abc
++=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
222
1111
aabbcc
−+−+−+≥
15. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
.
CMR :
222
1122
111
1
nn
nxxnxxnxx
+++≤
−+−+−+
16. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
111
121abc
abc
+++≥+++
17. Cho
,,,0
abcd
>
thỏa
1
abcd
=
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
121212120
aabbccdd
−−+−−+−−+−−≥
18. Cho
(
)
12
,, ,04
n
aaan
>≥
thỏa
12
1
n
aaa
=
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
1212
1 322
nn
naaannnaaa
−+++++≥++++
19*. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
CMR :
()()
111
12
12
111
21
nnn
n
n
aaannn
aaa
−−−
++++−≥−+++
20. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
. Với
mn
≥
:
CMR :
()
12
12
111
1
mmm
n
n
aaamnm
aaa
++++≥++++
21. Cho
(
)
12
,, ,03
n
aaan
>≥
thỏa
12
1
n
n
aaapn
=≥−
CMR :
()() ()()
2222
12
111
1111
n
n
aaap
+++≥
++++
22. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
2
12
1
n
n
aaapn
=≥−
CMR :
12
111
1111
n
n
aaap
+++≥
++++
23*. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
1
n
n
n
aaap
n
=≤−
−
CMR :
()() ()()
2222
12
111
1111
n
n
aaap
+++≤
++++
24. Cho
(
)
12
,, ,03
n
aaan
>≥
thỏa
()
12
2
21
1
n
n
n
aaap
n
−
=≤
−
CMR :
12
111
1111
n
n
aaap
+++≤
++++
25. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
n
aaap
=≥
CMR :
1111
1122
1111
1 1 1 1
nnnn
nn
aaaaaapp
−−−−
+++≥
++++++++++++
26. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
≥
.
CMR :
()
2
1212
2
1
1
lnln
2
n
nnij
ijn
aaaaaaaa
n
≤≤≤
+++−≥−
∑
27. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
CMR :
12
111
11 11
n
aaa
n
nnn
−+−++−≤−
28. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
.
CMR :
2
22
12
1
n
x
xx
nnn
−
−−
+++≥
29. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
3332222
1212
2 21
nn
xxxnnxxx
++++≤++++
30. Cho
,,0
xyz
>
thỏa
3
xyz
++=
. CMR :
()
222
111
8910
xyz
xyz
+++≥++
Chapter 4: On Popoviciu’s Inequality
4.2 Applications
1*. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
CMR :
()()
111
12
12
111
21
nnn
n
n
aaannn
aaa
−−−
++++−≥−+++
2. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
CMR :
()
111
1212
12
1111
2
2
nnn
nn
n
n
aaannaaa
aaa
−−−
−
++++−≥+++++++
3. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
n
aaan
+++=
CMR :
()()()()
1
1212
1
n
n
nn
nanananaaa
−
−−−≥−
4. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
và
1
,
1
ii
ji
bai
n
≠
=∀
−
∑
. CMR :
1212
1212
nn
nn
ba
bbaa
aaabbb
+++≥+++
5*. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
12
111
n
n
xxx
xxx
+++=+++
.
a)*
() () ()
2
111
1
111111
n
nxnxnx
+++≥
+−+−+−
b)
12
111
1
111
n
nxnxnx
+++≤
−+−+−+
6. Cho
(
)
12
,, ,03
n
aaan
>≥
thỏa
12
1
n
aaa
+++=
CMR :
12
12
1111
22 22
n
n
n
aaan
aaan
+−+−+−≥+−
7. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
12
111
n
n
xxxns
xxx
+++=+++=
CMR :
1212
111111
111111
nn
xnxnxnnsxnsxnsx
+++≥+++
+−+−+−−+−+−+
8. Cho
(
)
12
,, ,03
n
xxxn
>≥
thỏa
12
1
n
xxx
=
. Với
()
2
21
0
1
n
p
n
−
<≤
−
CMR :
12
111
1111
n
n
pxpxpxp
+++≤
++++
9. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
. CMR :
()
(
)
()
2
222222
121212
1
n
nnn
nxxxnxxxxxx
−++++≥+++
10. Cho
,,,0
abcd
>
thỏa
4
abbccdda
+++=
.
CMR :
()
2
1111
abcd
abcd
bcda
++++≥+++
Chapter 5: Inequalities Involving EV-Theorem
5.2 Applications
1. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
()()()()
5
444
1
12
xyzyzxzxyxyz
+++++≤++
2. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
1
xyyzzx
++=
. CMR :
(
)
32332
xyzxyz
+++−≥
3. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
1
abbcca
++=
. CMR :
1111
2
abbccaabc
++−≥
+++++
4. Cho
,,,0
xyzt
≥
thỏa
3
xyzt
+++=
. CMR :
222222222222
1
xyzyztztxtxy
+++≤
5. Cho
,,,0
xyzt
≥
thỏa
4
xyzt
+++=
.
CMR :
222222222222
8
xyzyztztxtxyxyzyztztxtxy
+++++++≤
6. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyyzzx
++=
. CMR :
121212
3
333
xyz+++
++≥
7. Cho
,,0
xyz
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()()()
()
222
1119
4
xyyzzx
xyyzzx
++≥
++
+++
8. Cho
,,0
xyz
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
5
0
2
r
≤≤
.
CMR :
(
)
()
22222
31
1
r
yyzzxyzrxyyzzx
+
≥
+++++++
∑
9. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
. Với
8
5
r
≥
.
CMR :
222222
1113
2
rxyryzrzxr
++≤
+++++++
10. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
222
3
xyz
++=
. Với
10
r
≥
.
CMR :
() () ()
222
1113
4
r
rxyryzrzx
++≤
−
−+−+−+
11. Cho
,,0
xyz
≥
. CMR :
222222222
3
3335
yzzxxy
xyzyzxzxy
++≤
++++++
12. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
2
xyz
++=
. CMR :
222
yz
1
x111
zxxy
yz
++≤
+++
13. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
.
Nếu
0
ln2
1,713
ln3ln2
rr
≈=≤≤
−
thì :
(
)
(
)
(
)
2
rrr
xyzyzxzxy
+++++≤
14. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyyzzx
++=
.
Nếu
12
r
<≤
thì :
(
)
(
)
(
)
6
rrr
xyzyzxzxy
+++++≥
15*. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
12
111
n
n
xxx
xxx
+++=+++
.
CMR :
() () ()
2
111
1
111111
n
nxnxnx
+++≥
+−+−+−
16. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
333
111
156abc
abc
+++≥++
17. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
. Với
1
mn
≥−
:
CMR :
()
12
12
111
1
mmm
n
n
aaamnm
aaa
++++−≥+++
18. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
. Với
1
,22,1
1
k
n
kZknr
n
−
+
∈≤≤+=−
−
:
CMR :
(
)
1212
1
kkk
nn
xxxnnrxxx
+++−≥−
19. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
111
n
n
xxx
+++=
. Với
1
1
1
1
1
n
n
ee
n
−
−
=+<
−
CMR :
(
)
12112
1
nnn
xxxnexxx
−
+++−≤−
20. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
. Với
1
1
,3,
1
k
n
kZkr
n
−
+
−
∈≤=
−
:
CMR :
(
)
222
1212
kkk
nn
xxxnrxxxn
+++−≥+++−
21. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
.
CMR :
()()
12121212
12
111
1
nnn
nnnn
n
xxxnnxxxxxxxxx
xxx
++++−≥++++++
22. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
111
12121212
1
nnnnnn
nnnn
nxxxnxxxxxxxxx
−−−
−++++≥++++++
23. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
111
12121222
1
nnnnnn
nnnn
nxxxxxxxxxxxx
+++
−+++≥++++++−
24. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
.
CMR :
()
1212
1212
1111
2
nn
nn
xxxnnxxx
xxxxxx
+++−+++−++≥
25. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
1
n
xxx
=
. CMR :
12
12
11
1
111
n
n
xxxn
n
xxx
−<
+++−
+++−
26. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
. CMR :
()
()
1
222
1
2212
n
nn
xxxxxxn
−
+++≤
27. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyyzzx
++=
.
Nếu
ln9ln4
0,738
ln3
p
−
≥≈ thì :
3
ppp
xyz
++≥
28. Cho
,,0
xyz
≥
thỏa
3
xyz
++=
.
Nếu
ln9ln8
0,29
ln3ln2
p
−
≥≈
−
thì :
ppp
xyzxyyzzx
++≥++
29. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxn
+++=
.
CMR :
23341121
111
1
1 1 1
nnn
nxxxnxxxxnxxx
−
+++≤
+−+−+−
30*. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
()()()
()()()
222
1112
1
111
111
abc
abc
+++≥
+++
+++
31. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
2
abc
++≥
và
1
abbcca
++≥
Nếu
01
r
<<
thì :
2
rrr
abc
++≥
32. Cho
,,0
abc
>
thỏa
()
3
32
abcabc
++= . Tìm GTLN và GTNN của :
()
444
4
abc
E
abc
++
=
++
.
33. Cho
(
)
12
,, ,03
n
xxxn
≥≥
thỏa
1
1
x
=
∑
. Với
{
}
3,4, ,
mn
∈ :
CMR :
12312
331
1
21
mm
xxxxx
mm
−
+≥
−−
∑∑
34. Cho
,,,0
xyzt
≥
thỏa
2222
1
xyzt
+++=
. CMR :
3333
1
xyztxyzyztztxtxy
+++++++≤
Chapter 6: Arithmetic / Geometric Compensation Method
6.3 Applications
1. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
4
abcd
+++=
. CMR :
a)
1111
1
5555
abcbcdcdadab
+++≤
−−−−
b)
111115
444411
abcbcdcdadab
+++≤
−−−−
2. Cho
(
)
12
,, ,03
n
xxxnZ
≥≤∈ thỏa
12
n
xxxn
+++=
. Với 1,
m
n
mnp
m
<<>
Thì
()
1
12
12
1
1
,, ,
m
m
n
iin
iii
Fxxx
pxxx
≤<⋅⋅⋅<≤
=
−
∑
đạt max tại
12 k
n
xxx
k
==⋅⋅⋅==
và
12
0
kkn
xxx
++
==⋅⋅⋅==
. Ở đây
{
}
.1, ,
kmmn
∈+ .
3. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
1
abcd
+++=
. CMR :
a)
(
)
(
)
3333
4151
abcdabcbcdcdadab
+++++++≥
b)
(
)
(
)
3333
11212
abcdabcbcdcdadab
+++++++≥
4. Cho
(
)
12
,, ,03
n
xxxn
≥≥
.CMR :
a)
(
)
3
11231212
3
xxxxxxxx
+≥+
∑∑∑
b)
()
3
11231212
13
22
n
xxxxxxxx
n
−
+≥+
−
∑∑∑
5. Cho
,,,0
abcd
≥
a) Nếu
2222
2
abcd
+++=
thì :
3333
2
abcdabcbcdcdadab
+++++++≥
b) Nếu
2222
3
abcd
+++=
thì :
(
)
(
)
3333
3211
abcdabcbcdcdadab
+++++++≥
6. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
2
abcd
+++=
. CMR :
2222
111116
131313137
abcd
+++≥
++++
7. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
n
xxxs
+++=
. CMR :
2
22222
1kn
12
111
ax
111
n
ks
nm
xxxks
≤≤
+++≥−
++++
8. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
0
n
xxxs
+++=>
.
CMR :
()()()
2
222
12
2
1kn
11 1ax1
k
n
s
xxxm
k
≤≤
+++≤+
9. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
1
abcd
+++=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
12121212
125
11118
abcd
abcd
++++
≥
−−−−
10. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
1
n
xxx
+++=
.Với
1
m
>−
.CMR :
1kn
1
1
min
11
k
n
i
i
i
mx
km
xk
≤≤
=
+
+
≥
−−
∏
11. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
2
3
n
xxx
+++=
. CMR :
()
()
1
1
4
11
ij
ijn
ij
xx
xx
≤<≤
≤
−−
∑
12. Cho
12
,, ,0
n
xxx
≥
thỏa
12
1
n
xxx
+++=
và
1
n
−
số trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()
()
()
1
21
11
ij
ijn
ij
xx
n
n
xx
≤<≤
≥
−
−−
∑
13. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
4
abcd
+++=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
13131313125131
abcdabcd
++++≤+
14. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
4
abcd
+++=
.
CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
22222222
13131313255
abcdabcd
++++≤+
15. Cho
12
,, ,0
n
xxx
>
thỏa
12
1
1
n
n
xxxp
n
=≤
−
CMR :
12
111
1111
n
n
xxxp
+++≤
++++
16*. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
1
n
n
n
aaap
n
=≤−
−
CMR :
()() ()()
2222
12
111
1111
n
n
aaap
+++≤
++++
Chapter 7: Symmetric Inequalities With Three Variables Involving Fractions
(
)
(
)
(
)
1
222222
abcpbcbcapcacabpab
E
brbcccrcaaarabb
++++++
=++
++++++
222
2
222222
aqbcbqcacqab
E
brbcccrcaaarabb
+++
=++
++++++
Ở đây : ,,0,2,,
abcrpqR
≥>−∈
.
7.1 Inequalities Involving
1
E
1. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
(
)
(
)
(
)
222222
2
abcbcacab
bbcccrcaaaabb
+++
++≥
++++++
2. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222222
3
2
abbccabccaabcaabbc
bccaab
−+−+−+
++≥
+++
3. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222222
222
0
abbccabccaabcaabbc
bbccccaaaabb
−+−+−+
++≥
−+−+−+
4. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()()()
()
222
1119
4
abbcca
bccaab
++≥
++
+++
5. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
2
r
>−
CMR :
(
)
(
)
22
131
2
abrbccar
brbccr
+−++
≥
+++
∑
6. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
22
4
4
abbcca
bc
++
≥
+
∑
7. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
2
r
>−
CMR :
()
2
22
2
4
abrbcca
r
brbcc
+++
≥+
++
∑
8 Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với 2,,
rprR
>−∈
Đặt :
22
abpbcca
E
brbcc
++
=
++
∑
a) CMR :
()
(
)
32
,,,1
2
p
Eabcpr
r
+
≥≤−
+
b) CMR :
() ()
2
,,2,12
2
p
Eabcrpr
r
≥+−≤≤+
+
c) CMR :
() ()
2
,,2,2
Eabcprpr≥−≥+
7.3 Inequalities Involving
2
E
1. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
2229
2
abcbcacab
bccaab
+++
++≥
+++
2. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
9
2
abcbcacab
bbccccaaaabb
+++
++≥
++++++
3. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
a) CMR :
()
222
2223
2
abcbcacab
abc
bccaab
+++
++≥++
+++
b) CMR :
()()()
222
222
2229
4
abcbcacab
bccaab
+++
++≥
+++
c) CMR :
() ()()
222
222
25252521
4
abcbcacab
bccaab
+++
++≥
+++
4. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
0
232232232
abcbcacab
bbccccaaaabb
−−−
++≥
−+−+−+
5. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
1
222222
abc
bbccccaaaabb
++≥
−+−+−+
6. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
222
3
abcbcacab
bbccccaaaabb
−−−
++≥
−+−+−+
7. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
2
r
>−
CMR :
(
)
(
)
2
22
221323
2
arbcr
brbccr
+++
≥
+++
∑
8. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
222222
161616
10
abcbcacab
bccaab
+++
++≥
+++
9. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
2
r
>−
CMR :
()
2
2
22
42
410
arbc
r
brbcc
++
≥+
++
∑
10. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với 2,,
rqrR
>−∈
Đặt :
2
22
aqbc
E
brbcc
+
=
++
∑
a) CMR :
()
(
)
32
21
,,,
22
q
r
Eabcq
r
+
+
≥≤
+
b) CMR :
() ()
2
21
,,2,42
22
qr
Eabcqr
r
+
≥+≤≤+
+
c) CMR :
()()
2
2
,,4122,42,1
Eabckrkqkrkk
≥+−=+≥
7.5 Inequalities Involving
1
E
and
2
E
1. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
()
21
2,0,1
2
r
rrααβ
+
>−≥−+=
CMR :
(
)
(
)
2
22
312
2
aabcbc
brbccr
αβαβ
+++++
≥
+++
∑
2. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
Với
()()()
2
21
2,0,1421
2
r
rrrrααβα
+
>−≥+−≤≤++−
CMR :
(
)
2
22
22
2
aabcbc
brbccr
αβ
β
α
+++
≥++
+++
∑
7.7 Other Related Inequalities
1. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
() () ()
()
222
222
222222
2
abcbcacab
abbcca
bccaab
+++
++≥++
+++
2. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
1
abbcca
++=
. CMR :
() () ()
222
222222
111
8
4443
abbcca
ababbcbccaca
+++
++≥
++++++
3. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
1
abbcca
++=
.Với :
0
r
≥
. CMR :
()
2
22
1
34
2
bcrbc
r
brbccr
−+
+
≥
+++
∑
4. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
() () ()
444
9
2
bcabccabcaabcab
bccaab
++++++
++≥
+++
5. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
222
222222
32
2
abcbcacab
bccaab
+++
++≥
+++
6. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()
()()
()
()()
()
()()
222
2
222222
abcbcacab
bcbccacaabab
+++
++≥
++++++
7. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
a) CMR :
()
333
333
2
aabcbabcbabc
abbcca
bccaab
+++
++≥++
+++
b) CMR :
() ()()
333
333
3333
2
aabcbabcbabc
bccaab
+++
++≥
+++
8. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
a) CMR :
()
222
2223
2
abcbcacab
abc
bccaab
+++
++≥++
+++
b) CMR :
()
333
2
2221
2
aabcbabccabc
abc
bccaab
+++
++≥++
+++
9. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
333aabcbbcaccab
abc
bccaab
+++
++≥++
+++
10. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
37
r ≥+
CMR :
()()
222
1119
1
rabcrbcarcabrabbcca
++≥
++++++
11. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
2
37
3
r≤≤+
CMR :
()
222
1112r
rabcrbcarcabrabbcca
+
++≥
+++++
12. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222222
1116
222
abcbcacababcabbcca
++≥
++++++++
13. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()
2
222
1111
225225225abcbcacab
abc
++≥
+++
++
14. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()
2
222
1118
222abcbcacab
abc
++≥
+++
++
15. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()
2
222
11112
abcbcacab
abc
++≥
+++
++
16. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
2
abc
++=
. CMR :
(
)
(
)
(
)
222
1
abcbcacab
+++≤
17. Cho
,,0
abc
≥
a) CMR :
222
222222222
0
222
abcbcacab
abcbcacab
−−−
++≥
++++++
b) CMR :
222
222222222
0
222
abcbcacab
abcbcacab
−−−
++≥
++++++
18. Cho
,,
abc
là độ dài 3 cạnh tam giác .CMR :
222
222222222
0
333
abcbcacab
abcbcacab
−−−
++≤
++++++
Chapter 8: Final Problem Set
8.1 Applications
1. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
3
111
abbcca
bca
+++
++≥
+++
2. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
=
. CMR :
3
3332
abc
bca
++≥
+++
3. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
1
abc
++=
. CMR :
535353
111
bccaab
abbcca
abc
−−−
++≥++
+++
4. Cho
,,,0
abcd
≥
thỏa
2222
4
abcd
+++=
. CMR :
()()()()
3333
4
abcbcdcdadab
+++≤
5. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
1
454545
abc
abbcca
++≤
+++
6. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
.
a) CMR :
()
()()()
()
21
12
2
222
12
1
11 1
n
n
n
n
aaan
n
aaa
−
−
+++−
≤
+++
b) CMR :
()()()
()
1
2
12
1
222
12
21
2
11 1
n
n
nn
n
n
aaa
n
aaa
−
−
−
+++
≤
+++
7. Cho
12
,, ,
n
aaaR
∈
và
12
,, ,
n
bbbR
∈
. CMR :
22
11111
2
nnnnn
iiiiii
iiiii
ababab
n
=====
+≥
∑∑∑∑∑
8. Cho
12
,, ,
n
aaaR
∈
thỏa
12
n
aaa
≤≤≤
. Với ,,
knZkn
+
∈<
CMR :
()()
2
121122
nkknk
aaanaaaaaa
++
+++≥+++
Trong trường hợp : a)
2
nk
=
b)
4
nk
=
9. Cho
,,,0
abcd
>
thỏa
1
abcd
=
.
CMR :
23232323
1111
1
1111
aaabbbcccddd
+++≥
++++++++++++
10. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
2
444222
911181
abcabcabc
+++≥++
11. Cho
,,,0
abcd
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()()
3333
2222
1111
1
2
1111
abcd
abcd
abcd
++++
+
≥
++++
12. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()
2
222222
1119
aabbbbccccaa
abc
++≥
++++++
++
13. Cho
,,0
abc
>
. Đặt
111
1,1,1
xaybzc
bca
=+−=+−=+−
. CMR :
3
xyyzzx
++≥
14. Cho
,,0
abc
>
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . Với
nZ
+
∈ :
CMR :
222222
222
0
nnnnnnnnn
abcbcacab
bbccccaaaabb
−−−−−−
++≥
−+−+−+
15. Cho
[
]
12
0,,, ,,
n
abaaaab
≤<∈ . CMR :
()
(
)
2
1212
1
n
nn
aaanaaanba
+++−≤−−
16. Cho
,,,,,0
abcxyz
>
thỏa
xyzabc
++=++
. CMR :
222
4
axbyczxyzabc
+++≥
17. Cho
,,,,,0
abcxyz
>
thỏa
xyzabc
++=++
. CMR :
(
)
(
)
(
)
333
12
xxayyazza
bccaab
+++
++≥
18. Cho
,,0
abc
>
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
9abc
bcaabc
++≥
++
19. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
. CMR :
1212
1114
2
nn
n
n
aaanaaa
++++≥+
++++
20. Cho
12
,, ,0
n
aaa
>
thỏa
12
1
n
aaa
=
. CMR :
1
12
12
111
1 1
n
n
n
aaann
aaa
−
+++−+≥+++−+
21. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
3
abbcca
++=
. Với
1
r
>
. CMR :
(
)
(
)
(
)
6
rrr
abcbcacab
+++++≥
22. Cho
,,0
abc
>
thỏa
1
abc
≥
.
a) CMR :
1
abc
bca
abc
≥
b) CMR :
1
ab
c
bc
abc
≥
23. Cho
,,,0
abcd
≥
. CMR :
(
)
()()
2
3333
415
abcdabcbcdcdadababcd
+++++++≥+++
24. Cho
,,0
abc
>
thỏa
()
111
4
abc
abc
+−+−=
. CMR :
()
444
444
111
2304
abc
abc
+−+−≥
25. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
222
1112
222
abcbcacababbcca
++>
+++++
26. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
(
)
(
)
(
)
222222
1
222
abcbcacab
abbcca
abcbcacababc
+++
++
++≥+
+++++
27. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
()()()
222
222
6
bccaab
abcbcacab
+++
++≥
+++
28. Cho
,,0
abc
≥
và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 .
CMR :
222
6
222
bccaab
abcbcacababc
+++
++≥
+++++
29. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
()
222
3332
aabcbbcaccababbcca
+++++≥++
30. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
222
222
0
abcbcacab
abcbcacab
−−−
++≥
+++
31. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
(
)
(
)
(
)
222222
4440
abcabcbcabcacabcab
−++−++−+≥
32. Cho
,,0
abc
>
. CMR :
() () ()
222
222
222
0
888
abcbcacab
abcbcacab
−−−
++≥
++++++
33. Cho
,,0
abc
≥
. CMR :
()
222
3
2
abcbcacababc
+++++≤++
34. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
(
)
211813
abcabbcca
+≥++
35. Cho
,,0
abc
≥
thỏa
222
3
abc
++=
. CMR :
111
1
525252
abbcca
++≤
−−−
