Tài liệu Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1 pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.25 KB, 7 trang )
G.NTH
1
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22
=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+
+ tg . cotg = 1 (
2
k
) + 1 + cotg
2
=
)k(
sin
1
2
1.2. Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos
sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) =
)k
2
;(
tgtg1
tgtg
+
+ cotg( ) =
gcotgcot
1gcot.gcot
)k;(
1.3. Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos
2
- sin
2
= 2cos
2
- 1 = 1 - 2sin
2
+ tg2 =
)
2
k
4
(
tg1
tg2
2
+
+ cotg2 =
)
2
k
(
gcot2
1gcot
2
+ sin3 = 3sin - 4sin
3
+ cos3 = 4cos
3
- 3cos
+ tg3 =
3
k
6
(
tg31
tgtg3
3
3
+
)
1.4. Công thức hạ bậc
+ cos
2
=
2
2cos1 +
+ sin
2
=
2
2cos1
+ tg
2
=
+
2cos1
2cos1
)k
2
( +
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos
2
+
+ cos - cos = - 2sin
22
sin
+
+ sin + sin = 2sin
22
cos
+
+ sin - sin = = - 2cos
2
sin
2
+
G.NTH
2
+ tg tg =
cos.cos
)sin(
)k
2
;( +
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.sin =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(
2
1
++
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tan
2
t
1+tan
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x 4cos
3
t - 3cost 4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1 2cos
2
t - 1 2cos
2
t - 1 = cos2t
2
x1
x2
t
t
2
tan1
tan2
t
t
2
tan1
tan2
= tan2t
2
x1
x2
+
t
t
2
tan1
tan2
+
t
t
2
tan1
tan2
+
= sin2t
xy1
yx
+
tantan1
tantan
+
tantan1
tantan
+
= tan(+)
x
2
- 1
1
cos
1
2
1
cos
1
2
= tan
2
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1
: Sử dụng hệ thức sin
2
+ cos
2
= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì đặt
=
=
cosy
sinx
với [0, 2]
b) Nếu thấy x
2
+ y
2
= r
2
(r > 0) thì đặt
=
=
cos
sin
ry
rx
với [0, 2]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng:
2
a(c+d) + b(c-d)
2
G.NTH
3
Giải:
Đặt
=
=
ub
ua
cos
sin
và
=
=
vcosd
vsinc
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)
2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S ++=
+=
(đpcm)
VD2
: Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng:
2
25
b
1
b
a
1
a
2
2
2
2
2
2
++
+
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos
b
1
b
a
1
a
++
+=
++
+
= cos
4
+ sin
4
+
4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44
44
+
+
++=+
+
=
( )
4
sin.cos
1
1sincos
44
44
+
++
=
( )
[ ]
4
sin.cos
1
1sincos2sincos
44
2222
+
++
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin
16
12sin
2
1
1
4
2
=+=++
+
+
(đpcm)
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a
2
+b
2
=1
VD3
: Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba
22
++++
Giải:
Biến đổi điều kiện: a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)
2
+ (b-2)
2
= 1
Đặt
+=
+=
+=
=
=
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b
sin1a
22
A
2)
6
2sin(22cos
2
1
2sin
2
3
22cos2sin3
===
(đpcm)
VD4
: Cho a, b thoả mãn :
712b5a ++
= 13
G.NTH
4
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Giải
:
Biến đổi bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt
=+
=
cosR1b
sinR1a
với R 0
222
R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
=++
=
+=
Ta có:
137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++
R
13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5
R113cosR12sinR5
+=+==+
Từ đó (a-1)
2
+ (b+1)
2
= R
2
1 a
2
+ b
2
+ 2(b - a) - 1 (đpcm)
II. Dạng 2
: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin|
1. Phơng pháp:
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi
=
=
b) Nếu thấy |x| m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi
=
=
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)
p
+ (1-x)
p
2
p
|x| 1 ; P 1.
Giải
:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)
p
+ (1 - x)
p
= (1+cos)
p
+ (1-cos)
p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =
+
+
=
+
(đpcm)
VD2
: Chứng minh rằng:
2
23
13
2
23
22
+
+
xxx
Giải:
Từ đk 1 - x
2
0 |x| 1 nên
Đặt x = cos với 0
2
1 x
= sin. Khi đó ta có:
P=
2sin)2cos1(3sincos2cos321232
222
++=+=+ xxx
G.NTH
5
=
3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2 +
π
+α=+
α+α
2323 +≤≤−⇒ A
(®pcm)
VD3
: Chøng minh r»ng:
[ ]
)(a)a()a(a 122221111
2332
−+≤−−+−+
Gi¶i:
Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn
§Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒
α=−
α
=+
α
=− sina1;
2
cos2a1;
2
sin2a1
2
(1)⇔
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33
αα
+≤
α
−
ααα
+
⇔
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
αα
+≤
α
+
αα
+
α
α
−
α
α
+
α
⇔
1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
≤α=
α
−
α
=
α
−
α
α
+
α
®óng ⇒ (®pcm)
VD4
: Chøng minh r»ng: S =
(
)
(
)
21314
2332
≤−−+−− aaa)a(
Gi¶i:
Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn:
§Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒
2
a1−
= sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S=
)cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
α−α+α−α=α−α+α−α
=
2
4
3sin23cos3sin ≤
π
+α=α+α
⇒ (®pcm)
VD5
: Chøng minh r»ng A =
(
)
211311
2222
≤−−−+−+− )b)(a(ababba
Gi¶i:
Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a
2
≥ 0 ; 1 - b
2
≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.
§Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈
ππ
−
2
;
2
Khi ®ã A =
)cos(3sincoscossin β+α−βα+βα
=
=
2
3
)(sin2)cos(
2
3
)sin(
2
1
2)cos(3)sin( ≤
π
−β+α=β+α−β+α=β+α−β+α
(®pcm)
VD6
: Chøng minh r»ng: A = |4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
G.NTH
6
Giải:
Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có:
A =
13342624522424
323
==++++ coscoscos)cos()cos()cos(
(đpcm)
VD7
: Chứng minh rằng: A =
2
2 3 3 2 [0,2]a a a a +
Giải:
Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có:
A =
=+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112
22
=
2
3
sin2cos
2
3
sin
2
1
2cos3sin
+=
=
(đpcm)
III. Dạng 3
: Sử dụng công thức: 1+tg
2
=
1
cos
1
tg
cos
1
2
2
2
=
)k( +
2
1) Phơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2
thì đặt x =
cos
1
với
2
3
,
2
;0
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
22
mx
thì đặt x =
cos
m
với
2
3
,
2
;0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
+
Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
cos
1
với
2
3
,
2
;0
== tgtg1a
22
. Khi đó:
A =
2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a
2
+=+=+=
+
(đpcm)
VD2
: Chứng minh rằng: - 4 A =
2
2
a
1a125
9
1a
Giải:
G.NTH
7
Do |a| ≥ 1 nªn:
§Æt a =
αcos
1
víi α∈
π
π∪
π
2
3
,
2
;0
⇒
α=α=− tgtg1a
22
. Khi ®ã:
A =
2
2
a
1a125 −−
= (5-12tgα)cos
2
α = 5cos
2
α-12sinαcosα=
α−
α+
2sin6
2
)2cos1(5
=
+α+=
α−α+
13
5
arccos2cos
2
13
2
5
2sin
13
12
2cos
13
5
2
13
2
5
⇒ - 4 =
91.
2
13
2
5
13
5
arccos2cos
2
13
2
5
A)1(
2
13
2
5
=+≤
+α+=≤−+
(®pcm)
VD3
: Chøng minh r»ng: A =
ab
1b1a
22
−+−
≤ 1
; 1a b∀ ≥
Gi¶i:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn .
§Æt a =
αcos
1
; b =
βcos
1
víi α∈
π
π∪
π
2
3
,
2
;0
. Khi ®ã ta cã:
A =
1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α
(®pcm)
VD4
: Chøng minh r»ng: a +
22
1a
a
2
≥
−
1a∀ >
Gi¶i:
Do |a| > 1 nªn:
§Æt a =
αcos
1
víi α∈
α
=
α
α
=
−
⇒
π
sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
;0
22
. Khi ®ã:
a+
22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2
≥
α
=
αα
≥
α
+
α
=
−
(®pcm)
VD5
: Chøng minh r»ng
26xy31y41xy
22
≤+−+−
; 1x y∀ ≥
Gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc ⇔
)(
yy
y
xx
x
126
3
14
1
1
2
2
≤
+
−
+
−
Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x =
αcos
1
; y=
βcos
1
víi α, β∈
π
2
,0
.
