ĐỀ TÀI LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN ỨNG DỤNG CÁC PHẦN MỀM TOÁN HỌC TRONG VIỆC DẠY VÀ HỌC TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 1
ĐỀ TÀI MÔN LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN

ỨNG DỤNG CÁC PHẦN MỀM TOÁN HỌC TRONG
VIỆC DẠY VÀ HỌC TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC

Sinh viên thực hiện : Phạm Chí Hiếu
Nguyễn Thị Hồng Viên
Lớp : Tin4 – VT
Giáo viên hướng dẫn : Thầy Trịnh Huy Hoàng

I. GIỚI THIỆU
Hiện nay có rất nhiều phần mềm toán học hỗ trợ tính toán giúp chúng ta có
thể tính toán một cách nhanh chóng hơn. Ví dụ như Maple, Matlab hay
Mathematica. Việc ứng dụng các phần mềm tính toán này ở bậc đại học là rất cần
thiết và gần giống nhau. Do đó trong đề tài này chúng em sẽ sử dụng phần mềm
Mathematica để minh họa.
Mathematica là bộ chương trình tính toán dựa trên nguyên lý của đại số
máy tính. Tính ưu việt của nó so với các bộ chương trình máy tính khác là ở khả
năng tính toán trên các kí hiệu, qua đó máy tính có thể trợ giúp cho người kĩ sư,
cho các nhà khoa học các tính toán về số như những bộ chương trình khác mà còn
giúp họ giải quyết các quá trình lập luận của ứng dụng cũng như tư duy toán học.
đặc biệt với môn toán cao cấp được giảng dạy trong hệ thống đào tạo cao đẳng, đại
học, sau đại học hiện nay, Mathematica là công cụ rất hữu ích trợ giúp cho giảng
viên có thể truyền đạt một cách linh hoạt và tường minh, dễ hiểu tới học sinh, sinh
viên. Mathematica không chỉ là công cụ tính toán mạnh các số, biểu thức toán học,
hàm, các phép tính vi phân, tích phân, hàm ẩn, chuỗi số, mà còn có khả năng cung
cấp các phương tiện đồ họa 2 chiều, 3 chiều , giúp cho sinh viên có thể nắm bài
giảng một cách trực quan và nhanh nhạy nhất.

Phần mềm tính toán Mathematica, version đầu tiên được viết vào năm 1988 bởi
hãng Wolfram. Đây là một hệ thống phần mềm làm toán nhờ máy tính, nó bao
gồm tính toán ký hiệu, tính số xử lý đồ thị và lập trình. Bản thân Mathematica
được coi là một hệ thống đại số máy tính tiện ích cho nhiều được đối tượng sử
dụng khác nhau.
Mathematica có nhiều version do liên tục được cải tiến và hoàn thiện như:
1.2, 2.0, 2.2, 3.0, 4.0,5.0 và nay đã có 5.2. Trong đề tài này chúng em sẽ dung
phiên bản 5.2 để làm. Sau khi cài đặt Mathematica vào máy tính, có thể vào
(Access) chương trình Mathematica nhờ khởi động qua hệ điều hành. Nếu dùng
giao diện (Như Mcintosh, Windows, hoặc NEXT) thì khởi động Mathematica nhờ
con trỏ và nhấn váo nút open trong file Menu. Khi Mathematica đã được khởi
động, lập tức các phép tính toán có thể được thực hiên.


Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 2
II. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ CÁCH SỬ DỤNG PHẦN MỀM
MATHEMATICA
1. Các phép tính toán cơ bản
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia được thực hiện một cách thuận tiện và
nhanh gọn. Mathematica tự động rút gọn và biểu diễn biểu thức toán một cách linh
hoạt và chính xác.
Ví dụ:

Mathematica cho kết quả chính xác nhiểu chữ số sau dấu phẩy. Ví dụ muốn
lấy kết quả của số E với độ chính xác 50 chữ số sau dấu phẩy, ta có thể thực hiện
lệnh sau:

Hay biểu thức :

Việc sử dụng N[5^123] hay 5^123 //N là hoàn tòan giống nhau. Đều cho ra kết
quả ước lượng chính xác của 5^123 .
Muốn tính căn thức ta sử dụng lện Sqrt. Ví dụ :

Hay ước lượng kết quả chính xác

2. Các hàm phức tạp.
Với các phép tính toán như trị tuyệt đối, Ln, Exp, Sin, Cos, Tang, Cotang
hay các hàm Arc thì Mathematica tính toán rất khoa học.
Ví dụ : Muốn biểu diễn e
-5
:

Hay kết quả chính xác :
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 3

Tinh giá trị của Sin(30)

Hàm Log[x] để tính logarit tự nhiên, còn Log[a,b] để tính Log
a
b
Ví dụ :
Tính log
2
11

Mathematica giúp cho người học toán có thể tiếp cận một cách trực quan hơn các

hàm phức tạp bằng đồ thị. Ví dụ hàm e
x
vơi x trong đoạn [-3,3] :

Hay muốn vẽ đồ thị hàm Sin(x) với x
∈
[0,2
π
]

Và phức tạp hơn như hàm Ln(x) với x
∈
[0.001, 4]
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 4

3. Phép tính trên biểu thức và hàm
Mathematica hỗ trợ biểu diễn và tính toán biểu thức một cách khoa học qua
các hàm dựng sẵn trong Mathematica. Qua các hàm đó ta có thể làm việc trên biểu
thức một cách linh hoạt, ví dụ như phân tích một biểu thức phức tạp ra thừa số hay
khải triển một biểu thức.
Ví dụ :
Phân tích đa thức 12x
2
+ 27xy – 84y
2


Khai triển biểu thức (x + y)

3
(3x – y)
3


Viết tổng của
2
2
2
2
x
x
− dưới dạng một phân thức.

Tính giá trị biểu thức
2
2
2
2
x
x
− khi x = 3.


Tính giá trị hàm f(x) =
2
2
2
2
x

x
− với x = 3
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 5

4. Giải phương và tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình:
a) Bằng lệnh Solve ta có thể giải phương trình với kết quả chính xác tuyệt đối
Ví dụ:

b) Mathematica với tính năng tính nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ của phương
trình :
Ví dụ :
Giải hệ:





=+
=+
44
44
22
22
yx
yx


Đôi khi ta cần dùng nghiệm gần đúng của phương trình, ta có thể làm như sau :

Ví dụ :
Giải phương trình x
4
- 2x
2
+ x – 1 = 0

Đối với những phương trình không thực tế hoặc không giải được thì Mathematica
đưa ra nhiều hàm để xấp xỉ nghiệm của phương trình. Một trong số đó là hàm
FindRoot và NRoots.
Ví dụ : Xấp xỉ nghiệm của phương trình x
5
+ x
4
– 4x
3
+2x
2
– 3x – 7 = 0
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 6

Hàm FindRoot[lhs == rhs,{x, Firstguess}] cho phép chúng ta xấp xỉ nghiệm của
phương trình bắt đầu với x = Firstguess.
Ví dụ :
Xấp xỉ nghiệm của phương trình x
5
+ x
4

– 4x
3
+2x
2
– 3x – 7 = 0
Để xác định được giá trị Firstguess chúng ta vẽ đồ thị hàm đa thức vế trái
rồi xác định giao điểm với trục ox.

Ta thấy đồ thị có cắt ox ở vị trí x
≈
-1. Nên ta sẽ xấp xỉ nghiệm gần bằng -1.

5. Tính tổng của dãy số.
Ví dụ : Để tính
∑
=
n
k
k
1
3


Hay tính
∑
∞
=1
3
1
k

k

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 7

III. ỨNG DỤNG MATHEMATICA VÀO DẠY VÀ HỌC TOÁN
CAO CẤP

PHẦN 1 : MÔN GIẢI TÍCH
1. Phép tính giới hạn
a) Tính giới hạn
Một trong những phép tính cơ bản nhất của giải tích là tính giới hạn. Để tính giới
hạn dùng lệnh :
Limit[expression, x->a]
Ví dụ 1.1:
Tính giới hạn của :
a)
n
n
Lim
n
1
+
∞→

b)
2
2
3

5
211435
3720
xx
xx
Lim
x
++−
+−−
−
→

c)
x
Sinx
Lim
n 0→

d)
x
xx
Lim
n
−−+
→
11
0


Giải

a)

b)

c)

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 8
d)

b) Giới hạn một phía
Mathematica có thể tính giới hạn một phía.
Lệnh : Limit[f[x],x->a,Direction ->1] dùng để tính giới hạn
+
>− ax
xf )(lim
và lệnh
Limit[f[x],x->a,Direction-> -1] dùng để tính
−
>− ax
xf )(lim

Ví dụ 1.2:
Tính :
a)
x
x
1
lim

0
−
→

b)
x
x
1
lim
0
+
→

Giải
a)

b)

Tuy nhiên Mathematica cũng phải đầu hàng trước nhiều ví dụ. Chẳng hạn ta đã
biết 1lim
0
=
+
→
x
x
x
và 1lim
0
−=

−
→
x
x
x
nhưng Mathematica không thể tính dược cắcgiới hạn
này.
Chú ý :
Các kết quả của lênh Limit nhiều khi cũng cần phải đặt câu hỏi. Trong một
số trường hợp Mathematica cho ta câu trả lời ngạc nhiên hoặc thậm chí trả lời
không chuẩn xác. Ví dụ Mathematica có thể tính được 0=
−
+∞→
x
x
xeLim

Nhưng nó không thể tính được giới hạn của 0
5
=
−
+∞→
x
x
exLim
Hơn nữa Mathematica không thể tính được các giới hạn kiểu như 0
!
=
+∞→
x

e
Lim
x
x

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 9
Trong các trường hợp này lệnh Nlimit chứa trong gói Nlimit nằm trong ngăn
NumericalMath có thể được sử dụng để tính giới hạn. Trong mỗi trường hợp ta
phiên dịch kết quả để giải nghĩa rằng giá trị của mỗi giới hạn bằng 0.

2. Các phép tính đạo hàm
Cho hàm khả vi f(x). Mathematica có thể tính được đạo hàm của f(x) ít nhất
theo 2 cách nếu f(x) đã được định nghĩa theo kiểu của Mathematica
1. Lệnh f’[x] tính f’(x)
2. Lệnh D[f[x],x] tính f’(x)
3. Lệnh D[f[x],{x,n}] tính f
(n)
(x)
4. Lệnh D[biểu thức, biến] tính đạo hàm của biểu thức theo một biến nào
đó.
5. Lệnh D[ biểu thức, {biến,n}] tính đạo hàm cấp n của biểu thức theo
một biến nào đó.
Ví dụ 2.1:
Tính đạo hàm các hàm số sau đây :
a) 2 x
2

- 7 x -4

b) Sinx
c) (3 x + 4)
2
( x +5)
2

d)
x
x
xx
3
12
2
2
+
++

e) F(x) =x
3
. e
-2x

f) X arctg x
Giải
a)

b)

c)

d)
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 10

e)

Ví dụ 2.2:
Tính đạo hàm cấp cao
a) x
4
-2x
3
-36x
2
+162x+24
b) x
2
+ 2cosx
c) h(x)=(2x+1)(3x
2
-4x+2)
Giải:

3. Vẽ đồ thị hàm số.
Để vẽ đồ thị hàm một biến trong đoạn [a, b] ta dùng lệnh:
Plot[F[x], [x, a, b]]
Ví dụ 3.1:
Vẽ đồ thị hàm f(x) = 4x
3

+ 6x
2
+ 2, g(x) = 12x
2
+ 12x + 9,
h(x) = 24x + 12
Giải
Vẽ một đồ thị f(x)
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 11

Để vẽ đồ thị f(x) có nhiều màu khác nhau, ta dùng lệnh:
Plot[f[x],{x,a,b}, PlotStyle -> GrayLevel[w]] , trong đó w là 0 hoặc 1
PlotStyle -> GrayLevel[0] hiển thị màu đen, còn PlotStyle -> GrayLevel[1] hiển
thị màu trắng
Muốn vẽ nhiều màu hơn nữa có thể dùng lệnh:
Plot[f[x],{x,a,b}, PlotStyle ->RBGColor[r,g,b]], trong đó r,g,b có thể lấy
các giá trị 0 hoặc 1. Chẳng hạn RGBColor[1,0,0] cho màu đỏ, RGBColor[0,1,0]
cho màu xanh lá cây, còn RGBColor[0,0,1] cho màu xanh nước biển
Chú ý: Kết quả có được khi sử dụng lệnh Plot là một đối tượng của
Mathematica, do đó có thể đặt tên cho nó với mục đích sẽ dùng lại kết quả đó khi
cần
Một đồ thị ghép nối (dashed graph) được tạo nên nhờ sử dụng biến lựa
chọn PlotStyle -> Dashing[{n1,n2…}], trong đó n1, n2,… là những con số.

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 12

Vẽ 3 đồ thị trên cùng hệ tọa độ

Ta có thể dùng tham số Background để định màu nền cho đồ thị
Tựa như các biểu thức ta có thể đặt tên cho đồ thị các hàm. Điều này sẽ rất tiện lợi
nếu ta cần trích dẫn lại đồ thị của một hàm nào đó hoặc hiển thị nhiều đồ thị trên
cùng một hệ trục tọa độ
Lệnh hiển thị nhiều đồ thị này là Show. Để hiển thị hai đồ thị có tên graph1 và
graph2 ta phải dùng lệnh Show[graph1,graph2]

Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 13



Dùng Plot với lựa chọn DisplayFunction -> Identity vẽ ba hàm nói trên thì
các đồ thị sẽ không được hiển thị ra.

4. Vẽ đồ thị tham số trong không gian hai chiều
Hàm ParametricPlot[ ] cho ta vẽ đồ thị hàm số biểu diễn ở dạng phương
trình tham số trong không gian hai chiều:
ParametricPlot[ x[t],y[t],{t, tmin, tmax]] vẽ đường cong cho bởi phương
trình x = x[t]ư và y= y [t] từ t = tmin đến t = tmax.
Ví dụ 4.1 :
Vẽ đồ thị cho bởi x = sint, y = sin2t
Giải
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 14

Ví dụ 4.2 :
Vẽ đồ thị trong tọa độ cực với R(t) = 2(1+cost)
Giải
Ta sẽ vẽ đồ thị hai hàm R(t).Cost và R(t)Sint

Ví dụ 4.3) :
Dùng lệnh ParametricPlot để vẽ đường tròn x
2
– 4x + y
2
– 2y =4
Giải:
Ta thấy phương trình đường tròn có thể đưa về dạng (x-2)
2
+ ( y-1)
2
=3
2
Và có dạng tham số là
{
tx
ty
cos32
sin31
+=
+=
,
π
20
≥

≤
t . Sau đó dùng ParametricPlot với
biến lựa chọn AspectRatio ->1 để vẽ:
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 15


5. Vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều.
Vẽ đồ thị trong không gian ba chiều ta dung lệnh:
Plot3D[f[x,y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]
Lệnh này dùng để vẽ đồ thị của hàm số f(x,y) trong hình chữ nhật [xmin,xmax]
×

[ymin, ymax]
Ví dụ 5.1 :
Vẽ đồ thị hàm số z = f(x, y) = x
2
+y
2
– 2y.
Giải
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 16

Ví dụ 5.2 : Vẽ đồ thị hàm
)(
22
yx

e
+−
.
Giải

Tham số PlotPoint để thay đổi độ “mịn” của đồ thị.
Nếu ta cho tham số Mesh (Lưới) là False ta sẽ có đồ thị như sau :
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 17

Ví dụ 5.3:
Vẽ hàm số f(x,y) = x
2
– 4x + y
2
-2y + 5 trong hình chữ nhật [0,4]
×
[-1,3]
Giải:


Lợi thế của ViewPoint ở đây là hiển thị đồ thị từ điểm ta qui định. Còn
BoxRatios xác định kích thước của hình hộp mà trong đó đồ thị được hiển thị.
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 18

6. Vẽ đồ thị tham số trong không gian 3 chiều.
Lệnh ParameticPlot3D được sử dụng để vẽ đường và mặt cong theo tham số

trong không gian. Cú pháp:
ParameticPlot3D[x[t], y[t], z[t],{t, tmin, tmax}]
để vẽ đường cong cho theo tham số x= x(t) , y= y(t) ,z =z(t)
ParameticPlot3D[x[u,v],y[u,v], z[u,v],{u, umin, umax},{v, vmin, vmax}]
để vẽ mặt cong cho bởi phương trình x= x(u,v) ,y = y(u,v), z= z(u,v)
Ví dụ 6.1 :
Vẽ đồ thị hàm số cho bởi phương trình tham số x(t) = Cost,
y(t) = Sin3t, z(t) = Sint,
π
20
≤
≤
t
Giải


7. Bài toán tìm tiếp tuyến
Ví dụ 7.1:
Tìm giá trị x để tại đó tiếp tuyến của đồ thị
1
4
)(
2
−
+−
=
x
xx
xh

song song với trục hoành.
Giải
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 19



Ví dụ 7.2:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(x)=2x
3
+3x
2
-12x +7 tại x=1
Giải:


Vậy phương trình tiếp tuyến là: y-20=-12(x-(-1))
Ta vẽ đồ thị cuả f và tiếp tuyến nói trên nhờ lệnh:
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 20


Chú ý rằng: Thuộc tính tùy chọn DisplayFunction → Identity sử dụng để
tránh cho việc đồ thị cảu f và của tiếp tuyến xuất hiện ngay lập tức, còn lệnh Show
giúp hai đồ thị này xuất hiện trên màn hình trên cùng một hệ trục tọa độ

8. Điểm tới hạn, điểm uốn.
Vì đạo hàm của hàm số là những biểu thức nên có thể biểu diễn bằng

phương pháp đại số. Do vậy Mathematica có thể tìm các điểm tới hạn và điểm uốn
của f thông qua tìm điểm mà tại đó đạo hàm các cấp bằng 0.
Ví dụ 8.1:
Tìm điểm tới hạn và điểm uốn của f(x) nếu
a) f(x)=(1+ 5x – 3x
2
)(x
2
+ x -2)
b) f(x) =
2
)5(
2
+
+
x
x

Giải
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 21

Từ đây ta thấy ngay một nghiệm của f’(x)=0 là 3/2, còn hai nghiệm khác
của nó là nghiệm của phương trình bậc hai 1-2x-x
2
=0. Mặt khác, nghiệm của
f’’(x) =0 là x=1 và x=-2/3. Để nhận được nghiệm đúng của f’(x)=0 ta dùng lệnh
Solve. Ở đây ta thường đặt tên cho kết quả là Critnums.

Để nhận được các điểm tới hạn và điểm uốn ta phải tính giá trị f tại các
nghiệm của f’ và f’’


Đánh các lệnh trên ta sẽ nhận được kết quả các điểm tới hạn là:
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 22

Và các điểm uốn là:

Để giải phần b) ta viết các dòng lệnh sau:


Nghiệm của f’(x) =0 là x=1, nghiệm của f’’(x) =0 là x=4, tiếp đó ta tính f[1], f[4]


Và ta được điểm tới hạn là (1,1/12) và điểm uốn là (4,2/27)
9. Định lý Rolle và định lý giá trị trung bình
Giả sử f là hàm liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó định lý Rolle
khẳng định rằng nếu f(a) = f(b) = 0 thì tồn tại ít nhất một giá trị c trong (a,b) sao
Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 23
cho f’(c) = 0 và định lý giá trị trung bình khẳng định rằng tồn tại ít nhất một giá trị
c thuộc (a,b) sao cho
a
b
−

=
f(a)-f(b)
(c)f'
Ví dụ 9.1:
Chứng minh rằng f(x) thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle trên đoạn
[-3,2] nếu f(x) =x
3
-7x +6 và hãy tìm tất cả các giá trị c trong khoảng (-3,2) thỏa
mãn kết luận của định lí.
Giải
Do f là đa thức nên nó khả vi với mọi x, vậy nó thỏa mãn giả thiết của định
lí Rolle trong [-3,2]


Tiếp đó vẽ đồ thị f trong một khoảng chứa [-3,2]


Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 24

Nói chung việc kiểm tra định lí Rolle và định lí giá trị trung bình đối với
một hàm số là khó khăn, vì phương trình nhận được hoặc là rất khó giải hoặc là
không thể giải được. Trong trường hợp này, lệnh Findroot có thể được sử dụng để
xấp xỉ nghiệm và lệnh Nroots dùng để giải khi các phương trình có dạng đa thức

Ví dụ 9.2:
Hãy tìm giá trị c (một cách gần đúng) thỏa mãn định lí giá trị trung bình
đối với hàm f(x) = Cos3x/(x
2

+1) trong đoạn [0,
π
]
Giải




Ứng Dụng Mathematica Vào Dạy và Học Toán Cao Cấp

Trang 25

10. Đạo hàm của hàm ẩn
Nếu một phương trình chứa hai biến x và y thì Mathematica tính đạo hàm
của hàm ẩn của phương trình nhờ lệnh Dt[equation,x] trong đó biểu thức của
phương trình là hàm khả vi theo biến x.
Biểu thức Dt[y,x] được dùng khi tính đạo hàm của hàm ẩn y đối với x
(dy/dx)
Ví dụ 10.1:
Tính đạo hàm của hàm ẩn y đối với x, biết rằng x
2
y
3
+ 2y=0
Giải

Ví dụ 10.2 :
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của phương trình :
2x
2

- 2xy + y
2
+ x + 2y + 1 = 0 tại các điểm (-3/2, -1) và (-3/2, -4).