Tải bản đầy đủ (.pdf) (24 trang)

Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (235.83 KB, 24 trang )

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị (hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) đã
được hình thành và phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua.
Có thể coi năm 1925 là cột mốc đánh dấu sự ra đời của Lý thuyết này
khi R. Nevanlinna công bố bài báo về phân bố giá trị của hàm phân hình
trên mặt phẳng phức.
Cột mốc quan trọng tiếp theo của Lý thuyết Nevanlinna là năm 1933
khi mà H. Cartan đã tổng quát kết quả của Nevanlinna cho đường cong
chỉnh hình trong khơng gian xạ ảnh phức có ảnh giao với một họ các siêu
phẳng ở vị trí tổng quát.
Trong gần một thế kỷ qua, Lý thuyết Nevanlinna liên tục thu hút được
sự quan tâm của đông đảo các nhà tốn học ở cả hai khía cạnh: phát triển
lý thuyết nội tại và tìm kiếm những mối liên hệ với các lĩnh vực khác của
Toán học.
Nội dung cốt lõi của Lý thuyết Nevanlinna tập trung ở hai định lý
chính, được gọi là các Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai.
Định lý cơ bản thứ nhất được suy ra từ công thức Jensen và nói chúng
chúng ta hiểu biết tương đối rõ về nó. Tuy nhiên, Định lý cơ bản thứ hai
thì khơng như vậy. Việc thiết lập Định lý cơ bản thứ hai là rất khó và
chúng ta mới chỉ thiết lập được nó trong một số ít trường hợp.
Có thể nói lịch sử phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua của Lý
thuyết Nevanlinna gắn bó mật thiết với việc thiết lập các dạng của Định

Tai Lieu Chat Luong

1


2


lý cơ bản thứ hai với các kết quả tiêu biểu của H. Cartan cho đường cong
chỉnh hình trong khơng gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở
vị trí tổng quát, E. Nochka cho đường cong chỉnh hình trong khơng gian
xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát, W.
Stoll và H. Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian
xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát, W. Stoll-M.
Ru và M. Ru cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức
với mục tiêu là các siêu phẳng di động...
Gần đây, nhờ việc kết hợp các tiến bộ của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine
trong các cơng trình của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii, với các kỹ thuật
của Hình học đại số và Đại số giao hoán, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-TanThai đã thiết lập các dạng định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu
mặt. Các kết quả của các tác giả trên là nguồn cảm hứng và là định hướng
cách tiếp cận cho nhiều tác giả đi sau trong việc nghiên cứu Định lý cơ
bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna cũng như định lý không gian con
Schmidt của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine. Trong bối cảnh đó chúng tơi
chọn hướng nghiên cứu thứ nhất của đề tài luận án là nghiên cứu Định lý
cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt.
Song song với việc phát triển nội tại Lý thuyết Nevanlinna, việc tìm
kiếm mối liên hệ của nó với các lĩnh vực khác của toán học cũng được nhiều
nhà toán học quan tâm. Năm 1926, R. Nevanlinna thiết lập một ứng dụng
của Lý thuyết phân bố giá trị trong bài tốn về xác định duy nhất hàm
phân hình trên mặt phẳng phức dưới một điều kiện về ảnh ngược của các
giá trị phân biệt. Cụ thể ông đã chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hình
khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (khơng tính bội) của
5 giá trị phân biệt thì chúng trùng nhau. Năm 1975, H. Fujimoto và sau
đó vào năm 1983, L. Smiley đã lần lượt mở rộng kết quả của Nevanlinna
theo các hướng khác nhau sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khơng
gian xạ ảnh phức có cùng ảnh ngược (với bội tính tới mức nào đó) của
các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Vấn đề này được H. Fujimoto, S. Ji, W.



3

Stoll tiếp tục quan tâm trong nhiều cơng trình sau đó. Gần đây, bằng việc
cải tiến đáng kể các phương pháp của các tác giả đi trước và với các kỹ
thuật tinh xảo, các tác giả Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang,
G. Dethloff, Z. Chen và Q. Yan đã thu được nhiều kết quả sâu sắc về chủ
đề này, theo hướng tinh giảm đáng kể các điều kiện đưa ra, đặc biệt là số
siêu phẳng cần thiết.
Tiếp nối các nghiên cứu này, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu thứ hai
của đề tài luận án là thiết lập các định lý về sự suy biến tuyến tính của
tích các ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n dưới điều kiện có cùng ảnh
ngược của một số ít các siêu phẳng.
2. Mục đích nghiên cứu
Năm 1997, P. Vojta và M. Ru đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho
trường hợp đường cong nguyên không suy biến tuyến tính trong khơng
gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu phẳng tùy ý (thay vì ở vị trí tổng
qt). Mục đích thứ nhất của chúng tơi là mở rộng kết quả trên sang
trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp xạ
ảnh phức với mục tiêu là các siêu mặt.
Năm 1985, H. Fujimoto nghiên cứu phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình t mt a tp Kăahler vo khụng gian x nh phức với mục tiêu là các
siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mục đích thứ hai của luận án là mở rộng kết
quả trên sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu là
các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
Mục đích thứ ba của luận án là thiết lập định lý về tính suy biến tuyến
tính của tích các ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh có cùng ảnh
ngược của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của Lý

thuyết Nevanlinna vào việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất ánh xạ
phân hình.


4

4. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi dùng các kỹ thuật của Giải tích phức, Hình học đại số, Xấp
xỉ Diophantine.
5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
- Thiết lập được một dạng mở rộng của Định lý cơ bản thứ hai tới
trường hợp các siêu mặt tùy ý. Kết quả này là một sự mở rộng kết quả
của Vojta, Ru từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.
- Thiết lập được định lý về quan hệ số khuyết, phản ánh sự phân bố
giá trị của ánh x phõn hỡnh t mt a tp Kăahler vo a tạp đại số xạ
ảnh với mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng qt. Nó là một sự mở
rộng kết quả của Fujimoto từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt.
- Thiết lập được định lý về tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ
phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào CP n có cùng ảnh ngược
của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Kết quả này tổng qt kết
quả của Ji tới trường hợp có ít siêu phẳng hơn.
6. Cấu trúc luận án
Ngoài các phần mở đầu, tổng quan, kết luận và kiến nghị, luận án bao
gồm 3 chương:
- Chương 1: Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa
tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý.
- Chương 2: Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ a tp Kă
ahler
y vo a tp x nh, vi mc tiêu là các siêu mặt.
- Chương 3: Tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ phân hình từ

Cm vào CP n .


TỔNG QUAN
Trước hết chúng ta điểm lại các sự kiện tiêu biểu của Lý thuyết
Nevanlinna trong việc thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp
đường cong trong không gian xạ ảnh giao các siêu phẳng:
- Năm 1925, Nevanlinna thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho hàm phân
hình khác hằng trên mặt phẳng phức, với mục tiêu là các điểm và các
không điểm được ngắt bội bởi 1 (nói cách khác khơng tính bội).
- Năm 1986, Steinmetz mở rộng kết của trên của Nevanlinna sang
trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm đang cần
xem xét sự phân bố giá trị). Tuy vậy, trong định lý cơ bản thứ hai của
Steinmetz, bội giao khơng được ngắt (nói cách khác, trong hàm đếm, ta
tính cả bội của các khơng điểm tương ứng). Năm 2006, Yamanoi đạt được
định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình
"nhỏ" và bội cũng được ngắt bởi 1 như trong kết quả của Nevanlinna.
- Năm 1933, Cartan mở rộng kết của của Nevanlinna sang trường hợp
đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính trong khơng gian xạ
ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Kết quả
của Cartan không chỉ đánh dấu sự mở đầu cho việc nghiên cứu Lý thuyết
phân bố giá trị cho trường hợp chiều cao mà phương pháp của Cartan (có
khởi nguồn từ Nevanlinna) cịn có ảnh hưởng trực tiếp tới cách tiếp cận
vấn đề của nhiều tác giả sau này. Chúng tôi sẽ mô tả rõ hơn kết quả quan
trọng này của Cartan phía sau.
- Năm 1953, Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh
xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm (nhiều biến) vào không
gian xạ ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
5



6

- Năm 1983, Nochka thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong
chỉnh hình khác hằng trong khơng gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu
phẳng ở vị trí tổng qt (nói cách khác là đường cong chỉnh hình trong
khơng gian xạ ảnh khơng suy biến tuyến tính và mục tiêu là các siêu phẳng
ở vị trí dưới tổng quát). Kết quả của Nochka giải quyết trọn vẹn giả thuyết
năm 1933 của Cartan.
- Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình t mt a tp Kăahler vo khụng gian x nh phức và mục tiêu là các
siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát và dưới tổng quát.
- Năm 1991, Ru-Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp
mục tiêu là các siêu phẳng di động nhỏ.
- Năm 1997, Vojta, Ru thiết lập các dạng mở rộng của định lý cơ bản
thứ hai cho trường hợp họ các siêu phẳng tùy ý.
- Năm 2004, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh
hình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là
các siêu mặt ở vị trí tổng quát.
- Năm 2009, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh
hình khơng suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh phức và mục tiêu
là các siêu mặt ở vị trí tổng quát.
- Năm 2010, Dethloff-Tan thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ
phân hình khơng suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục
tiêu là các siêu mặt di động.
- Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho
đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh
phức và mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.
Bây giờ chúng ta sẽ phân tích rõ khó khăn chính gặp phải khi nghiên
cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Ta bắt đầu với kết

quả và cách tiếp cận của Cartan.


7

Định lý 0.0.1 (Định lý cơ bản thứ hai của Cartan). Cho f là một ánh
xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ C vào CP n (có nghĩa ảnh của

f không nằm trong bất kỳ siêu phẳng nào). Giả sử Hj (1 ≤ j ≤ q) là các
siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó,
q
X

[n]
(q − n − 1)Tf (r) ≤
NHj (f ) (r) + o(Tf (r)).
j=1
[n]

ở đó Tf (r), N(f,Hj ) (r) lần lượt là các hàm đặc trưng, hàm đếm của f, các
khái niệm này sẽ được định nghĩa trong các chương sau.
Các bổ đề sau đóng vai trị quan trọng trong phép chứng minh định lý
trên.
Bổ đề 0.0.2 (Công thức Jensen). Đối với hàm phân hình ϕ bất kỳ khác
đồng nhất khơng, ta ln có
Z
1
log |ϕ|dθ + O(1), với mọi r > 0,
Nϕ (r) =
2π |z|=r

ở đó Nϕ (r) là hàm đếm các không điểm của ϕ.
Bổ đề 0.0.3 (Bổ đề đạo hàm Logarit). Cho f là ánh xạ không suy biến
tuyến tính từ C vào CP n với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), và cho

H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng trong CP n ởvị trí tổng
quát. Khi đó tốn tử

k
d
fi
6≡ 0 và
Wronskian W (f ) := W (f0 , . . . , fn ) = det
dz k
0≤k,i≤n
Z

|W (f )|

dθ = o(Tf (r)),
log+
|Hj0 (f ) · · · Hjn (f )|
|z|=r
với mọi 1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q.
Bổ đề sau cho phép ta ngắt bội của các giao điểm của đường cong với
các siêu phẳng tương ứng.


8

Bổ đề 0.0.4. Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào

CP n và H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng qt. Khi đó

ν H1 (f )···Hq (f ) ≤
W (f )

q
X

min{νHj (f ) , n},

j=1

ở đó νφ (z) là bội của khơng điểm z của φ.
Thật không may, các bổ đề 0.0.3 và 0.0.4 khơng mở rộng được sang
trường hợp mà ở đó các siêu phẳng Hj được thay thế bởi siêu phẳng di
động hay siêu mặt. Gần đây, Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii đạt được
các kết quả thú vị trong nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, nó đồng thời thúc
đẩy việc nghiên cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Hướng
nghiên cứu thứ nhất của luận án nằm trong chủ đề này.
Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là nó cho
ta các tiêu chuẩn xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình (hay phân hình) từ
Cm vào CP n . Năm 1926, Nevanlinna chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân
hình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (khơng tính bội)
của 5 giá trị phân biệt thì chúng bằng nhau. Năm 1975, Fujimoto mở rộng
kết quả trên của Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ phân hình, cụ thể
ông chứng minh rằng, nếu hai ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính
từ Cm vào CP n có cùng ảnh ngược (tính cả bội) của 3n + 2 siêu phẳng ở
vị trí tổng qt thì hai ánh xạ đó trùng nhau. Năm 1983, Smiley mở rộng
kết quả của Cartan như sau:
Định lý 0.0.5. Cho f, g là hai ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến

tính từ C vào CP n . Cho {Hj }qj=1 (q ≥ 3n + 2) là các siêu phẳng trong
CP n ở vị trí tổng quát. Giả sử
a)

f −1 (Hj ) = g −1 (Hj ) ,

b)

f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ q, và
Sq
−1
f = g trên
j=1 f (Hj ).

c)

Khi đó f ≡ g.

với mọi 1 ≤ j ≤ q, (như các tập hợp)


9

Với các cách tiếp cận khác nhau, năm 1989 Stoll và năm 1998 Fujimoto
tiếp tục nhận được kết quả trên. Gần đây, khởi đầu từ các tác giả Trần
Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, Gerd Dethloff, Đỗ Đức Thái và tiếp nối là một
số tác giả khác đã đạt được nhiều dạng của định lý xác định duy nhất đối
với trường hợp có ít siêu phẳng; các kết quả này mở rộng mạnh mẽ hầu
hết các định lý trước đó về xác định duy nhất ánh xạ phân hình. Chẳng
hạn, định lý nêu trên của Smiley còn đúng cho trường hợp có 2n + 3 siêu

phẳng. Hướng nghiên cứu thứ hai của luận án là thiết lập định lý xác định
duy nhất ánh xạ phân hình cho trường hợp có ít siêu phẳng.


Chương 1
Định lý cơ bản thứ hai cho đường
cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh,
với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý.
Năm 1997, Vojta mở rộng Định lý cơ bản thứ hai của Cartan sang
trường hợp mà ở đó đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh giao các
siêu phẳng tùy ý (thay vì giả thiết ở vị trí tổng quát như trong kết quả
của Cartan). Ngay sau đó, Ru cải tiến kết quả của Vojta bằng cách đưa
một ước lượng rõ ràng hơn về đại lượng vô cùng bé và đưa sự ngắt bội vào
hàm đếm các giao điểm. Gần đây, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thai và
một số tác giả khác đạt những kết quả thú vị về Định lý cơ bản thứ hai
cho trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát. Mục đích của chương này là
thiết lập một Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các siêu mặt tùy ý,
nói cách khác là mở rộng các kết quả của Vojta và của Ru sang trường
hợp siêu mặt.
Chương 1 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một số
khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai dành để trình bày cho việc phát
biểu và chứng minh định lý chính.
Chương 1 được viết dựa trên bài báo [3] (trong mục các công trình đã
cơng bố liên quan đến luận án).
10


11

1.1


Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm: Hàm đếm của một
divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ chỉnh hình, Hàm Hilbert HX của
đa tạp xạ ảnh X ⊂ CP N , trọng Hilbert thứ m của X . Từ đó trình bày
các bổ đề cho ta một sự đánh giá dưới cho trọng Hilbert và cho phép ta
ngắt bội các giao điểm trong các hàm đếm.
Bổ đề 1.1.1. Cho X ⊂ CP N là một đa tạp đại số có chiều n và bậc
+1
4. Cho m > 4 là một số nguyên và c = (c0 , . . . , cN ) ∈ RN
≥0 . Giả sử
{i0 , . . . , in } là một tập con của {0, . . . , N } sao cho {x = (x0 : · · · : xN ) ∈
CP N : xi0 = · · · = xin = 0} ∩ X = ∅. Khi đó

1
mHX (m)

SX (m, c) ≥

1
(2n + 1)4
(ci0 + · · · + cin ) −
· max ci .
0≤i≤N
(n + 1)
m

Bổ đề 1.1.2. Cho Y là một đa tạp xạ ảnh con của CP N và khơng có điểm
chung với P. Khi đó π|Y : Y → CP ` là một cấu xạ hữu hạn.

Hệ quả 1.1.3. Ánh xạ Φ : X → CP q−1 , cho bởi Φ(x) = (Q1 (x) : · · · :
Qq (x)) là một cấu xạ hữu hạn.
Bổ đề 1.1.4. Cho f là ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ
C vào CP N với biểu diễn thu gọn f = (f0 : · · · : fN ). Đặt W (f ) =
W (f0 , . . . , fN ) là Wronskian của f. Khi đó

ν f0 ···fN ≤
W (f )

1.2

N
X

min{νfi , N }.

i=0

Định lý cơ bản thứ hai cho họ các siêu mặt tùy
ý

Năm 1933, Cartan đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ
chỉnh hình từ C vào CP n giao với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Năm
1997, Vojta đã đưa ra dạng mở rộng sau đây của Định lý cơ bản thứ hai.


12

Định lý 1.2.1. Cho f là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số từ C
vào CP n và cho {Hj }qj=1 là các siêu phẳng bất kỳ trong CP n . Khi đó với

mỗi  > 0, ta có:
Z 2π
X


max
λHj (f (reiθ ))
≤ (n + 1 + )Tf (r),

K∈K

0
j∈K
ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, . . . , q} sao cho các siêu phẳng
Hj với j ∈ K là ở vị trí tổng quát.
Cũng trong năm 1997, Ru đã tổng quát hóa kết quả trên của Vojta
bằng việc đưa ngắt bội vào các hàm đếm và ước lượng rõ ràng hơn về phần
vô cùng bé.
Định lý 1.2.2. Cho f là ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số từ C
vào CP n và cho {Hj }qj=1 là các siêu phẳng tùy ý trong CP n . Cho ψ và φ
là các hàm tăng trong R+ với
Z ∞
Z ∞
dr
dr
< ∞ và
= ∞.
rψ(r)
φ(r)
e

e
Khi đó:
Z 2π
X


max
λHj (f (reiθ )) + NW (f ) (r)

K∈K

0
j∈K

≤ (n + 1)Tf (r) +

n(n + 1)
Tf (r)ψ(Tf (r))
log
+ O(1),
2
φ(r)

ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, . . . , q} sao cho các siêu phẳng
{Hj , j ∈ K} là ở vị trí tổng quát và W (f ) là Wronskian của f.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các kết quả trên của Vojta và
Ru, các siêu phẳng H1 , . . . , Hq là tùy ý.
Gần đây, định lý cơ bản thứ hai đã được thiết lập cho trường hợp các
siêu mặt bởi Ru, Dethloff -Tan, Dethloff -Tan-Thai, An-Phuong.
Năm 2009, Ru đã chứng minh rằng.

Định lý 1.2.3. Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều
n ≥ 1. Cho f là các ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số từ C vào V.


13

Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong CP N có bậc dj và ở vị trí tổng qt
trong V. Khi đó với mỗi  > 0
q

X
1

N (r, Dj ).
(q − n − 1 − )Tf (r) ≤
d
j
j=1

Vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là mở rộng các Định lý 1.2.1,
1.2.2 cho trường hợp siêu mặt. Nói cách khác là tổng quát hóa Định lý
1.2.3 tới trường hợp các siêu mặt tùy ý. Theo hướng đó, chúng tơi thiết
lập định lý sau:
Định lý 1.2.4. Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có chiều

n ≥ 1. Cho f là ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến đại số từ C vào V.
Cho D1 , . . . , Dq (V 6⊂ Dj ) là các siêu mặt tùy ý trong CP n có bậc dj .
Khi đó với mỗi  > 0, tồn tại một số nguyên dương M phụ thuộc vào

, dj , q, n, deg V sao cho

Z r
Z 2π
X 1
dt

iθ dθ
λDj (f (re )) +
max
max

K∈K
K∈K
d

t
j
1
0
j∈K

X
j∈K,|z|

1
[M ]
νDj (z) − νDj (z)
dj

≤ (n + 1 + )Tf (r),

ở đó K là tập tất cả các tập con K ⊂ {1, . . . , q} sao cho các siêu mặt

{Dj , j ∈ K} là ở vị trí tổng quát trong V.
Định lý trên là kết quả chính thứ nhất của luận án. Việc chứng minh
định lý trên được thực hiện theo hai bước. Đầu tiên, chúng tôi chứng minh
rằng: Nếu R =
6 ∅ và d1 = · · · = dq := d, thì với mỗi  > 0, tồn tại một số
nguyên dương M chỉ phụ thuộc vào , d, q, n, deg V, sao cho
Z r
Z 2π
X1
X 1

dt

[M ]
iθ dθ
max
λDj (f (re )) +
max
νDj (z) − νDj (z)

R∈R
d

d
0
1 t R∈R
j∈R
j∈R,|z|


≤ (n + 1 + )Tf (r).
và sau đó là bước chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát.

(1.1)


Chương 2
Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình t a tp Kă
ahler y vo a
tp x nh, vi mục tiêu là các siêu
mặt.
Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu về sự phân bố giá trị của ánh xạ phân
hình từ a tp Kăahler y vo khụng gian x nh phc mà ở đó ảnh của
ánh xạ phân hình cắt các siêu phẳng. Mục đích của chương 2 là nghiên
cứu vấn đề trên cho trường hợp ánh xạ vào đa tạp xạ ảnh và có ảnh giao
các siêu mặt.
Chương 2 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một
số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai nhằm trình bày các kết quả
chính của chương.
Chương 2 được viết dựa trên bài báo [2] (trong mục các cơng trình đã
cơng bố liên quan đến luận án).

14


15

2.1


Kiến thức chuẩn bị

Trong mục này chúng tôi tiếp tục đề cập tới các khái niệm cơ bản của
Lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp ánh xạ nhiều biến phức vào khơng
gian xạ ảnh phức. Cụ thể chúng tơi trình bày các khái niệm: Hàm đếm
với bội được ngắt của một divisor; Hàm đặc trưng của một ánh xạ phân
hình; Số khuyết Nevanlinna-Cartan với bội được ngắt của một hàm phân
hình ứng với một siêu mặt.

2.2

Sự phân bố giá trị của ỏnh x phõn hỡnh t a
tp Kă
ahler y vo a tạp xạ ảnh.

Cho f là một ánh xạ phân hình từ một đa tạp phức, liên thơng M có
chiều m− vào CP N . Cho p0 là một số nguyên dương hoặc bằng +∞ và

D là một siêu mặt trong CP N sao cho Imf 6⊂ D. Ký hiệu ν(f,D) (a) là bội
giao của D với ảnh của f tại f (a); Ωf là dạng kéo lùi bởi f của metric
Fubini - Study Ω trên CP N .
Kí hiệu A(D, p0 ) là tập tất cả các hằng số không âm η sao cho tồn tại
hàm h liên tục, không âm và bị chặn trên M với các không điểm có bậc
khơng bé hơn min{ν(f,D) , p0 } thỏa mãn:

(deg D)ηΩf + ddc log h2 ≥ [min{ν(f,D) , p0 }],
ở đây ta ký hiệu [ν] là (1, 1)-dòng liên kết với divisor ν. Số khuyết của f
đối với D với bội ngắt bởi p0 được định nghĩa bởi:
[p ]


δf 0 (D) := 1 − inf{η ≥ 0 : η ∈ A(D, p0 )}.
[p +1]

Rõ ràng là 0 ≤ δf 0

[p ]

[p ]

(D) ≤ δf 0 (D) ≤ 1 và δf 0 (D) = 1 nếu

Imf ∩ D = ∅. Hơn nữa, nếu ν(f,D) (z) ≥ p với mọi z ∈ f −1 (D) thì
p0
[p ]
δf 0 (D) ≥ 1 − .
p


16

Mệnh đề sau đưa ra sự so sánh về số khuyết theo nghĩa trên và số
khuyết theo nghĩa thông thường của Lý thuyết Nevanlinna.
Mệnh đề 2.2.1. Cho M = B(R0 ) là một hình cầu trong Cm và giả sử

limr→R0 Tf (r, r0 ) = +∞. Khi đó
[`]

[`]


0 ≤ δf (D) ≤ ∗ δf (D) ≤ 1.

(2.1)

Cho V ⊂ CP N là một đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn và có số chiều n ≥ 1.
Cho D1 , . . . , Dk (k ≥ 1) là các siêu mặt trong CP N có bậc dj . Ta nói
các siêu mặt D1 , . . . , Dk là ở vị trí tổng quát trong V nếu với bất kỳ các
số 1 ≤ i1 < · · · < is ≤ k, (1 ≤ s ≤ n + 1), luôn tồn tại các siêu mặt
0
D10 , . . . , Dn+1−s
trong CP N sao cho
0
V ∩ Di1 ∩ · · · ∩ Dis ∩ D10 ∩ · · · ∩ Dn+1−s
= ∅.

Định nghĩa sau đây về các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát được đưa
ra bởi Dethloff -Tan-Thai.
Định nghĩa 2.2.2. Cho n1 ≥ n và q ≥ 2n1 − n + 1. Các siêu mặt

D1 , . . . , Dq trong CP N với V 6⊆ Dj với mọi j = 1, ..., q được gọi là ở vị trí
n1 -dưới tổng quát trong V nếu 2 điều kiện sau thỏa mãn:
(i)
(ii)

với mọi 1 ≤ j0 < · · · < jn1 ≤ q, V ∩ Dj0 ∩ · · · ∩ Djn1 = ∅.
với mọi tập con J ⊂ {1, . . . , q} sao cho 1 ≤ #J ≤ n và

{Dj , j ∈ J} là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong V và V ∩ (∩j∈J Dj ) 6=
∅. Khi đó tồn tại một thành phần tối giản σJ của V ∩ (∩j∈J Dj ) với


dim σJ = dim V ∩ (∩j∈J Dj ) sao cho với mọi i ∈ {1, . . . , q} \ J , nếu


dim V ∩ (∩j∈J Dj ) = dim V ∩ Di ∩ (∩j∈J Dj ) thì Di chứa σJ .
Dethloff-Tan-Thai cũng đã chứng minh sự tồn tại của trọng Nochka và
hằng số Nochka đối với họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Ta phát
biểu lại các kết quả này như sau:
Mệnh đề 2.2.3. Cho D1 , . . . , Dq là các siêu phẳng ở vị trí N -dưới tổng
quát trong V , ở đó N ≥ n và q ≥ 2N − n + 1. Khi đó, tồn tại các hằng


17

số ω(1), . . . , ω(q) và Θ lần lượt được gọi là trọng và hằng số Nochka, thỏa
mãn các điều sau:
(i) 0 < ω(j) ≤ Θ ≤ 1 (1 ≤ j ≤ q),
P
(ii) qj=1 ω(j) = Θ(q − 2N + n − 1) + n + 1,
n+1
(iii) 2Nn+1
−n+1 ≤ Θ ≤ N +1 ,
P
(iv) nếu R ⊆ Q và 0 < #R ≤ N + 1, thì j∈R ω(j) ≤ c(R).
Mệnh đề 2.2.4. Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong CP N và ở vị trí N tổng quát dưới đối với V, ở đó N ≥ n và q ≥ 2N −n+1. Gọi ω(1), . . . , ω(q)
là các trọng, hằng Nochka ứng với họ các siêu mặt trên. Xét R là một tập
con tùy ý của Q := {1, . . . , q} với 0 < #R ≤ N + 1 và đặt c∗ := c(R).
Khi đó với mỗi bộ số thực không âm E1 , . . . , Eq , tồn tại j1 , . . . , jc∗ ∈ R
sao cho các siêu mặt Dj1 , . . . , Djc∗ ở vị trí tổng quát và



X
j∈R

ω(j)Ej ≤

c
X

Eji .

i=1

Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn có số chiều n ≥ 1 và cho
D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong CP N có bậc dj và ở vị trí n1 - dưới tổng
quát trong V, ở đó n1 ≥ n và q ≥ 2n1 − n + 1. Ký hiệu d là bội chung nhỏ
nhất của d1 , . . . , dq . Cho  là một hằng số tùy ý với 0 <  < 1. Đặt

1
m := [4dn (2n + 1)(2n1 − n + 1) deg V · ] + 1

ở đó [x] := max{k ∈ Z : k ≤ x} với mỗi số thực x.
Với các ký hiệu trên, ta phát biểu kết quả chính của chương:
Định√ lý 2.2.5. Cho M là mt a tp Kă
ahler y vi dng Kă
ahler
1 P
= 2
i,j hij dzi ∧ dzj . Đặt

Ric ω = ddc log(det(hij )).

f của M là đẳng cấu chỉnh hình tới một hình
Giả sử phủ phổ dụng M
cầu B(R0 ) (0 < R0 ≤ ∞). Cho f là một ánh xạ phân hình khơng suy biến
đại số từ M vào V. Giả sử với ρ ≥ 0 nào đó, tồn tại một hàm liên tục bị
chặn h ≥ 0 trên M sao cho

ρΩf + ddc log h2 ≥ Ric ω.

(2.2)


18

Khi đó với mọi  > 0 ta có:
q
X
[`]
δf (Dj ) ≤ 2n1 − n + 1 + q + ρT
j=1

với `, T nguyên dương thỏa mãn

N + md 
md
N + md 
và T ≤
.
md
d(m − (n + 1)(2n + 1)dn deg V )
(2n1 − n + 1)


`≤

Chúng tôi muốn lưu ý rằng, một cách độc lập, Ru-Sogome cũng đạt
được kết quả tương tự như trên nhưng chỉ cho các ánh xạ vào CP n (thay
vì vào V như trên) và các siêu mặt là ở vị trí tổng quát. Sau khi kết quả
trên của chúng tôi được công bố, Yan đạt được một kết quả khác tương tự
kết quả của chúng tơi, ở đó Yan bỏ điều kiện (ii) trong định nghĩa các siêu
mặt ở vị trí dưới tổng quát nhưng đánh giá về số khuyết trong kết quả
của Yan là yếu hơn đánh giá ở định lý trên. Chúng tôi cho rằng phương
pháp của chúng tôi không áp dụng được vào tình huống của Yan (tức là
khi khơng có điều kiện ii)) và phương pháp của Yan cũng không cho phép
đi tới một quan hệ số khuyết tốt như trong Định lý 2.2.5. Để đạt được
một quan hệ số khuyết với chặn trên nhỏ trong tình huống khơng có điều
kiện ii) rõ ràng cần bước đột phá mới trong cách tiếp cận. Theo chúng tôi,
đây là một câu hỏi khó và thú vị hiện nay trong Lý thuyết Nevanlinna.
Từ định lý chính, chúng tơi suy ra được hai hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.6. Tập D ∈ Dk với δf (D) > 0 cùng lắm là đếm được.
Hệ quả 2.2.7. Cho g : M −→ Cκ là một đa tạp con chính quy đầy,
có phủ phổ dụng đẳng cấu chỉnh hình tới B(R0 ) (0 < R0 ≤ ∞). Cho
G : M −→ CP N là ánh xạ Gauss của g. Cho V ⊂ CP N là một đa tạp xạ
ảnh phức nhẵn có số chiều n sao cho ImG ⊂ V và G : M −→ V không
suy biến đại số. Khi đó
q
X
[`]
δG (Dj ) ≤ 2n1 − n + 1 + q + T
j=1

với các số nguyên dương `, T nào đó thỏa mãn


N + md 
md
N + md 
và T ≤
.
md
d(m − (n + 1)(2n + 1)dn deg V )
(2n1 − n + 1)

`≤


Chương 3
Tính suy biến tuyến tính của tích
các ánh xạ phân hình từ Cm vào
CP n.
Mục đích của chương này là thiết lập định lý về tính suy biến tuyến
tính của tích các ánh xạ phân hình từ Cm vào CP n dưới điều kiện về ảnh
ngược (với bội được ngắt) của các siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
Chương 3 gồm ba mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một số
khái niệm và kết quả bổ trợ; ở mục thứ hai, chúng tơi trình bày một kết
quả về hàm phụ trợ Cartan như là bổ đề trực tiếp cho phần sau; mục thứ
ba nhằm trình bày các kết quả chính.
Chương 3 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các cơng trình đã
cơng bố liên quan đến luận án).

3.1

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ


Bên cạnh các khái niệm và các kết quả trong Lý thuyết Nevanlinna
đã được trình bày ở các chương trước, trong phần này chúng tơi tiếp tục
trình bày các kết quả có liên quan tới phần phát biểu và chứng minh các
kết quả chính của chương như: Cơng thức Jensen; Hàm xấp xỉ; Hàm đếm;
Định lý cơ bản thứ nhất; Định lý cơ bản thứ hai và Bổ đề đạo hàm logarit.
19


20

3.2

Hàm phụ trợ Cartan.

Hàm phụ trợ giúp chúng ta trong việc tính tốn và đánh giá bội giao
của các siêu phẳng với ảnh của ánh xạ. Nó được thiết lập bởi Cartan cho
trường hợp hàm và được mở rộng sang trường hợp ánh xạ bởi Fujimoto.
Cho F, G, H là các hàm phân hình khác khơng trên Cm . Với mỗi s,

1 ≤ s ≤ m, ta định nghĩa hàm phụ trợ Cartan của F, G, H bởi








1

1
1



×