Các cấu trúc bộ lọc số

Chương 6. Các cấutrúcbộ lọcsố
Ts.Ngô vănSỹ
Đạihọc Bách Khoa ĐàNẵng.

Giớithiệu
 Trong các chương trước đãnghiêncứulýthuyếtvề
các hệ thống rờirạc trong các miềnthờigianvàtần
số.
 Chương này bắt đầusử dụng các cơ sở lý thuyết đó
để xử lý các tín hiệusố.
 Để xử lý các tín hiệucầnphải thiếtkế và thi hành
các hệ thống đượcgọilà các bộ lọc.
 Việcthiếtkế lọc được phân chia tuỳ theo các thông
số
 Loại bộ lọc: IIR hoặcFIR
 Dạng thi hành bộ lọc: structures
 Các cấutrúc khác nhau dẫn đếncácchiếnlược thiếtkế
Giớithiệu
 Các bộ lọcIIR được đặctrưng bởi đáp ứng
xung vô hạn. Có thể đượcmôhìnhhoábằng:
 Các hàm hệ thống hữutỷ.
 Các phương trình sai phân
 Các bộ lọc ARMA hoặc đệ qui
 Các bộ lọcFIR sẽ đượckhảo sát riêng về
phương pháp thiếtkế cũng như thi hành.
Giớithiệu
 Do các bộ lọclàcáchệ thống LTI , cầncó3 phầntử
cơ bảnsauđể biểudiễnchobộ lọc.
 Bộ cộngr
 Bộ nhân (Khuếch đại)
 Bộ trễ (dịch hoặcnhớ)

x1(n)
x2(n)
x1(n)+x2(n)
x(n) ax(n)
a
x(n) x(n-1)
1/z
Các cấutrúcbộ lọc IIR
 Hàm hệ thống củabộ lọc IIR đượcviết:
1;
1)(
)(
)(
0
1
1
1
10
0
0
=
+++
+++
===
−−
−−
=
−
=
−

∑
∑
a
zaza
zbzbb
za
zb
zA
zB
zH
N
N
M
M
N
n
n
n
M
n
n
n
L
L
Bậc củabộ lọc IIR là N nếu a
N
≠
0.
Phương trình sai phân biểudiễn cho bộ lọcIIR filter như sau:
∑∑

==
−−−=
M
m
N
m
mm
mnyamnxbny
01
)()()(
Ba dạng cấutrúccóthể sử dụng để thi
hành lọcIIR
 Dạng trựctiếp
 Trong dạng này, có hai phầncủabộ lọc, phần chuyểndịch đều (moving
average part) và phần đệ qui (recursive part) (hoặccácphần tử thức và mẫu
thức(numerator and denominator parts))
 Hai phiên bản: dạng trựctiếp I và dạng trựctiếpII
 Dạng ghép tầng
 Hàm hệ thống H(z) đượcthừasố hoá thành các khâu lọcbậc hai , đượcgọilà
biquads. H(z) khi ấy đượcbiểudiễnlà tích của các biquads.
 Mỗi biquad đượcthựchiện theo dạng trựctiếp, và toàn bộ hàm hệ thống
đượcthựchiệnnhư ghép tầng của các khâu biquad .
 Dạng song song
 H(z) đượcbiểudiễnbằng tổng các khâu lọc bậc hai hoặcbéhơn.
 Mỗi khâu lọc đượcthựchiện theo dạng trựctiếp
 Hàm hệ thống tổng quát đượcthựchiệnnhư một mạng song song của các khâu
lọc.
Cấutrúcdạng trựctiếpI
 Phương trình sai phân có thể được thi hành thông qua các bộ
trễ, bộ nhân và bộ công.

 Để minh hoạ, cho M=N=2, ta có phương trình và hệ thống sau:
)2()1()2()1()()(
21210
−
−
−
−
−
+
−
+
= nyanyanxbnxbnxbny
x( n) y( n)b0
b1
b2
-a1
-a2
1/ z
1/ z
1/ z
1/ z
H1 ( z ) H2 ( z )
Cấutrúcdạng trựctiếpII
x( n) y( n)
H1 ( z )
-a1
-a2
1/ z
1/ z
H2 ( z )

b0
b1
b2
1/ z
1/ z
x( n) y( n)
H( z )
-a1
-a2
1/ z
1/ z
b0
b1
b2
Direct Form II structure
Theo tiính
chấtgiao
hoán củatích
chập
Thi hành với Matlab
 TrongMatlabcấutrúcdạng trựctiếp đượcmô
tả bởi các vector hàng:
 b chứacáchệ số {bn} và a chứacáchệ số
{an}
 Cấutrúcđược thi hành bằng hàm filter trong
chương 2.
Dạng ghép tầng
 Ở dạng này hàm truyềnhệ thống H(z) được
viếtdướidạng tích of các khâu lọcbậc2với
các hệ số thực.

 Điềunàyđượcthựchiệnbằng cách phân tích
thành thừasố các tử thứcvàmẫuthứctheo
các nghiệm của chúng và tổ hợpcặp nghiệm
phức liên hợp hoặchainghiệmthực bấtkỳ
thành các đathứcbậc2.
Dạng ghép tầng
 Giả sử N là chẵn . Ta có
2
2,
1
1,
2
2,
1
1,
1
0
1
1
1
0
1
1
1
10
1
1
1
1
1

)(
00
1
−−
−−
=
−−
−−
−−
−−
++
++
Π=
+++
+++
=
+++
+++
=
zAzA
zBzB
b
zaza
zz
b
zaza
zbzbb
zH
kk
kk

K
k
N
N
N
b
b
b
b
N
N
N
N
N
L
L
L
L
Trong đó, K bằng N/2, và B
k,1,
B
k,2,
A
k,1,
A
k,2
là các số thực biểudiễn các
hệ số của các khâu lọcbậc2.
Khâu lọcbậc2
)()();()(

,,2,1,
1
1
)(
)(
)(
101
2
2,
1
1,
2
2,
1
1,
1
zYzYzXbzYwith
Kk
zAzA
zBzB
zY
zY
zH
K
kk
kk
k
k
k
==

=
++
++
==
+
−−
−−
+
L
Đượcgọilàhàmtruyềncủa khâu lọcbậc2 thứ f ( k-th biquad). Tín hiệuvào
của khâu lọcthứ k là tín hiệuracủa khâu lọcthứ k-1, và tín hiệuracủa khâu
lọcthứ k là tín hiệuvàocủa khâu lọcthứ k+1.Mỗi khâu lọcbậc2 cóthể được
thi hành theo cấutrúcdạng trựctiếp II.
Yk ( n) =XK+1 ( n)
Yk +1 ( n)
-Ak,1
-Ak,2
1/ z
1/ z
Bk , 1
Bk , 2
Toàn hệ thống đượcthựchiênbằng
cách ghép tầng các khâu lọcbậc2
x( n)
y( n)
-A1,1
-A1,2
1/ z
1/ z
B1, 1

B1, 2
-A2,1
-A2,2
1/ z
1/ z
B2, 1
B2, 2
b0
Cascade form structure for N=4
Thi hành bằngMatlab
 Cho các hệ số {b
n
} và {a
n
} củabộ lọcdạng trựctiếp
 Dùng hàm [b0,B,A] = dir2cas(b,a) để tính các hệ số b
0
, {B
k,i}
,
và {A
k,i
}.
 Dạng ghép tầng đượcthựchiệnbằng hàm casfiltr
 Hàm y = casfiltr(b0,B,A,x)
 Hàm cas2dir chuyển đổidạng ghép tầng thành dạng trựctiếp.
 Hàm [b,a] = cas2dir(b0,B,A)
 Examples: 6.1
Dạng song song
 Ở dạng này, hàm hệ thống H(z) đượcviếtdướidạng

tổng của các khâu lọcbậc2 bằng cách khai triển.
43421
43421
L
L
L
L
NMifonly
NM
k
k
k
K
k
kk
kk
NMifonly
NM
k
k
k
N
N
N
M
N
N
M
M
zC

zAzA
zBB
zC
zaza
zbzbb
zaza
zbzbb
zA
zB
zH
≥
−
=
−
=
−−
−
≥
−
=
−
−−
−−
−−
−−
∑∑
∑
+
++
+

=
+
+++
+++
=
+++
+++
==
01
2
2,
1
1,
1
1,0,
0
1
1
1
10
1
1
1
10
1
1
ˆˆˆ
1)(
)(
)(

K=N/2, and
B,A are real
numbers
Các khâu lọcbậc2
∑
<==
=
++
+
==
−−
−
+
NMzYzYzXzHzYwith
Kk
zAzA
zBB
zY
zY
zH
kkk
kk
kk
k
k
k
),()(),()()(
,,2,1,
1)(
)(

)(
2
2,
1
1,
1
1,0,
1
L
Là hàm truyềncủa khâu lọcthứ k.
Đầu vào là chung cho tấtcả các khâu lọc, kể cả phầnbộ lọc
FIR nếuM>=N
Đầuracủa các khâu lọc đượccộng lại thành đầuracủabộ lọc.
Mỗikhâulọccóthể được thi hành bằng dạng trựctiếpII.
Cấutrúcdạng song song
C0
B1, 0
-A1,1
-A1,2
B1, 1
B2, 0
-A2,1
-A2,2
B2, 1
x( n) y( n)
1/ z
1/ z
1/ z
1/ z
Parallel form structure for N=4 (M=N=4)

Thi hành bằng Matlab
 Hàm dir2par chuyển đổicáchệ số dạng trựctiếp{b
n
} và {a
n
}
thành các hệ số dạng song song {B
k,i
} và {A
k,i
}
 Các hàm đượcsử dụng:
 [C,B,A] = dir2par(b,a)
 I = cplxcomp(p1,p2)
 y = parfiltr(C,B,A,x)
 [b,a] = par2dir(C,B,A)
 Examples 6.2
Cấutrúcbộ lọcFIR
Mộtbộ lọc đáp ứng xung hữuhạnvới hàm hệ thống có dạng:
∑
−
=
−−
−
−
=+++=
1
0
1
1

1
10
)(
M
n
n
n
M
M
zbzbzbbzH L
Như vậy đáp ứng xung h(n) là
⎩
⎨
⎧
−≤≤
=
else
Mnbn
nh
0
10
)(
Và phương trình sai phân là
)1()1()()(
110
+
−
+
+
−

+
=
−
Mnxbnxbnxbny
M
L
Chính là tích chậptuyến tính của các dãy hữuhạn.
Bậc củabộ lọc là M-1, trong khi chiều dài củabộ lọclàM
Cấutrúcbộ lọcFIR
 Dạng trựctiếp:
 Phương trình sai phân đượcthựchiệnbởimột
dãy liên tiếpcácbộ trễ do không có đường phản
hồi.
 Xem hình 6.10
 Do mẫuthứcbằng đơnvị nên chỉ có mộtcấutrúc
dạng trựctiếp duy nhất.
 Thi hành bằng Matlab
 Hàm: y = filter(b,1,x)
Cấutrúcbộ lọcFIR
 Dạng ghép tầng:
 Xem hình 6.11
 Thi hành bằng Matlab
 Hàm : dir2cas, cas2dir
⎣⎦
2/);1(
1
)(
2
2,
1

1,
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
10
MKzBzBb
z
b
b
z
b
b
b
zbzbbzH
kk
K
k
M
M
M
M

=++Π=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
+++=
−−
=
−
−
−
−
−
−
L
L
Cấutrúcbộ lọcFIR
 Dạng pha tuyếntuyến tính
 Đốivới các bộ lọcchọntần, người ta mong muốncóđáp
ứng pha là hàm tuyếntínhtheo tầnsố. Nghĩalà
 Đốivớibộ lọcFIR nhân quả có đáp ứng xung trong
khoảng [0,M-1] , thì các điềukiệntuyến tính là
2
0,,)(
π

βππαβ
±=≤<−−=∠ orwweH
jw
10,2/);1()(
10,0);1()(
−≤≤±=−−−=
−
≤
≤
=
−
−
=
MnnMhnh
MnnMhnh
πβ
β
Symmetric impulse response
vs.
antisymmetric impulse response
Dạng pha tuyến tính
 Xét phương trình sai phân với đáp ứng xung
tuyến tính
 Hình 6.12: M=7(lẻ) and M=6(chẵn)
 Thựchiệnbằng Matlab
 Cấutrúcphatuyến tính và dạng trựctiếpchỉ khác nhau ở
các hệ số nhân. Do đóviệc thi hành trên Matlab cũng
tương tự dạng trựctiếp
L
L

++−+−++−+=
+
−
+
+
−
+
+
−
+
=
)]2()1([)]1()([
)1()2()1()()(
10
0110
MnxnxbMnxnxb
MnxbMnxbnxbnxbny
Dạng lấymẫutầnsố
 Trong dạng này chúng ta sử dụng sự kiệnlàhàmhệ thống
H(z) củabộ lọc FIR filter có thể được khôi phục từ các mẫu
củanótrênđường tròn đơnvị
)1,,0()(
)1,,0(
1
)(1
)(
1
0
1
−=

−=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
−
=
−
−
−
∑
MkresiduesthearekH
MkrootstheareW
zW
kH
M
z
zH
k
M
M
k

k
M
M
L
L
Chú ý rằng bộ lọcFIR đượcmôtả bởiphương trình trên có dạng
đệ qui tương tự bộ lọc IIR bởivìnóchứacả các điểmcựcvàđiểm
không.
Dạng lấymẫutầnsố
 Hàm hệ thống dẫn đếncấu trúc song song như Hình
6.15 vớiM=4.
 Vấn đề đặtravớicấu trúc hình 6.15 là phảithực
hiện các phép tính số học phức.
 Sử dụng tính chất đốixứng của DFT và các hệ số
(W
M
–k
) .
evenMforLoddMforL
z
MH
z
H
zHkH
M
z
zH
MM
L
k

k
M
1;
1
)2/(
1
)0(
)(|)(|2
1
)(
22
1
1
11
−==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
−
+
−
=
−
=
−−

−
∑