Ứng dụng tam giác đồng dạng để giải một số bài toán trung học cơ sở theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TOÁN
--- ---

ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO
CHƢƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018

Giảng viên hƣớng dẫn : ThS.Nguyễn Thị Sinh
Sinh viên thực hiện

: Phạm Thị Thúy Giang

Lớp

: 19ST2

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2023


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 4
CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT ................................................................... 5
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 6
2. Mục tiêu nghiên cứu...................................................................................... 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 6
4. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 7

5. Bố cục của đề tài ........................................................................................... 7
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 9
1.1. Một số kiến thức cơ bản về tam giác đồng dạng trong chƣơng trình tốn
Trung học cơ sở theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng 2018 .............................. 9
1.1.1. Định nghĩa tam giác đồng dạng .......................................................... 9
1.1.2. Tính chất.............................................................................................. 9
1.1.3. Định lý ................................................................................................. 9
1.1.4. Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác ............................................ 9
1.1.5. Tỉ số hai đƣờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng ...... 10
1.1.6. Một số kiến thức vận dụng liên quan ................................................ 11
1.1.7. Yêu cầu cần đạt của học sinh khi học về tam giác đồng dạng theo
CTGDPT 2018 ............................................................................................ 11
1.2. Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng phƣơng pháp “Tam giác đồng
dạng” để giải một số bài toán ở Trung học cơ sở ........................................... 12
* Thuận lợi .................................................................................................. 12
* Khó khăn ................................................................................................... 12
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TỐN ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TAM
GIÁC ĐỒNG DẠNG .......................................................................................... 13
2.1. DẠNG 1. Chứng minh tam giác đồng dạng............................................. 13
2.1.1. Loại 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng .................................... 13
2.1.2. Loại 2. Trƣờng dạng đồng dạng thứ nhất ......................................... 14
2.1.3. Loại 3. Trƣờng hợp đồng dạng thứ hai ............................................. 16
2.1.4. Loại 4. Trƣờng hợp đồng dạng thứ ba .............................................. 17
2.1.5. Loại 5. Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác vuông ................... 18

2


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

2.2. Dạng 2. Tìm tỉ số đồng dạng, tỉ số chu vi, chứng minh các hệ thức, đẳng
thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng ........................................................ 21
2.2.1. Loại 1. Tìm tỉ số đồng dạng, tỉ số chu vi của hai tam giác ............... 21
2.2.2. Loại 2. Chứng minh hệ thức, đẳng thức cạnh nhờ tam giác đồng dạng
..................................................................................................................... 23
2.3. Dạng 3. Sử dụng trƣờng hợp đồng dạng của tam giác để tính độ dài các
cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau ...................................................... 27
2.3.1. Loại 1. Tính độ dài các cạnh của tam giác ....................................... 27
2.3.2. Loại 2. Chứng minh các góc bằng nhau ........................................... 29
2.4. Dạng 4. Sử dụng tam giác đồng dạng, tỉ số đƣờng cao, tỉ số diện tích để
tính tốn ........................................................................................................... 33
2.5. Dạng 5. Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng ................................. 37
2.5.1. Đo gián tiếp chiều cao của vật .......................................................... 37
Giả sử AB là cây cần đo, CD là cọc, EF là khoảng cách từ mắt tới chân........... 38
2.5.2. Đo khoảng cách giữa hai địa điểm trong đó có một địa điểm không
thể tới đƣợc.................................................................................................. 39
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 45

3


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong khoa tốn trƣờng Đại học
Sƣ Phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tơi hồn
thành tốt khóa luận này.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô Nguyễn
Thị Sinh, ngƣời đã tận tình giúp đỡ và hƣớng dẫn tơi trong suốt q trình thực

hiện khóa luận.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu, sự động viên giúp
đỡ nhiệt tình của các thầy cơ, bạn bè trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2023
Sinh viên

Phạm Thị Thúy Giang

4


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT
Viết đầy đủ

Kí hiệu viết tắt
GT

Giả thuyết

KL

Kết luận

CMT

Chứng minh trên

CTGDPT

Chƣơng trình giáo dục phổ thơng

CMR

Chứng minh rằng

THCS

Trung học cơ sở

5


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tốn học là mơn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và
đƣợc ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tƣơng đối khó,
mang tính tƣ duy cao, địi hỏi ngƣời học phải chịu khó tìm tịi, khám phá và say
mê nghiên cứu. Kiến thức về tam giác đồng dạng trong chƣơng trình tốn ở bậc
Trung học là một nội dung quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp
cận đến các nội dung khác trong chƣơng trình tốn hình ở bậc Trung học cơ sở.
Chính vì vậy, học sinh cần nghiên cứu kĩ nội dung này để có kiến thức cũng nhƣ
kĩ năng tốt phục vụ cho việc học tập ở trƣờng cũng nhƣ làm tốt các bài thi.
Phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng” là phƣơng pháp ứng dụng tính chất đồng
dạng của tam giác, tỉ lệ các đoạn thẳng, trên cơ sở đó tìm ra hƣớng giải các dạng tốn
hình học. Tuy nhiên, việc vận dụng kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể ở
một số học sinh còn rất nhiều hạn chế. Để học sinh có thể tự chứng minh giải đƣợc

các bài tốn bằng việc sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng giáo viên cần giúp
học sinh định hƣớng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên thơng qua các ví dụ
minh họa cụ thể trong các tiết dạy liên quan.
Là sinh viên sƣ phạm Toán sắp ra trƣờng, với mong muốn nâng cao năng lực
bản thân về việc giảng dạy các kiến thức liên quan đến tam giác đồng dạng, tôi
chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng tam giác đồng dạng để giải một số bài toán
Trung học cơ sở theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng 2018”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đƣa ra một số dạng toán về tam giác đồng dạng và ứng dụng phƣơng pháp
“tam giác đồng dạng” để giải chúng nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức về
tam giác đồng dạng và giải tốt các dạng đó theo CTGDPT 2018.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đƣợc mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:

6


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

- Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu, hệ thống một số dạng tốn hình học
thƣờng áp dụng phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng”.
- Hệ thống hóa những kiến thức và kĩ năng cần thiết để học sinh nắm vững
các kiến thức về tam giác đồng dạng.
- Đề xuất một số ví dụ, bài tập về tam giác đồng dạng và đƣa ra một số
phƣơng pháp để nâng cao kĩ năng giải toán.
- Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng phƣơng pháp “tam giác đồng
dạng” để giải một số bài toán ở THCS.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu từ một số tài liệu, sách, báo hay truy cập
các Website để thu thập thông tin, nghiên cứu các đề tài có liên quan trực tiếp

đến đề tài nhằm làm rõ các khái niệm cũng nhƣ kiến thức cơ bản, ban đầu. Từ
đó, hình thành cơ sở lý luận cho đề tài.
- Nghiên cứu thực tế: Thông qua việc quan sát thực tế để có một số đánh
giá về thực trạng việc dạy học Toán ở trƣờng THCS. Tiến hành phỏng vấn, trao
đổi trực tiếp để điều tra tình hình dạy và học về chuyên đề tam giác đồng dạng ở
một số trƣờng Trung học.
5. Bố cục của đề tài
Đề tài gồm 2 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số kiến thức cơ bản về tam giác đồng dạng trong chƣơng trình
tốn Trung học cơ cở theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng 2018
1.2. Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng phƣơng pháp “Tam giác
đồng dạng” để giải một số bài toán ở Trung học cơ cở
Chƣơng 2. Một số dạng toán ứng dụng phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng”
2.1.Dạng 1. Chứng minh tam giác đồng dạng
2.2.Dạng 2. Tìm tỉ số đồng dạng, tỉ số chu vi, tính độ dài cạnh, chứng minh
đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng

7


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

2.3.Dạng 3. Sử dụng trƣờng hợp đồng dạng của tam giác để tính độ dài các
cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau
2.4. Dạng 4. Sử dụng tam giác đồng dạng, tỉ số đƣờng cao, tỉ số diện tích
để tính tốn
2.5. Dạng 5. Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng
Bài tập đề nghị
Kết luận

8


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số kiến thức cơ bản về tam giác đồng dạng trong chƣơng trình
tốn Trung học cơ sở theo chƣơng trình giáo dục phổ thơng 2018
1.1.1. Định nghĩa tam giác đồng dạng
gọi là đồng dạng với tam giác

Tam giác

̂

̂ ̂

̂

̂

Tỉ số các cạnh tƣơng ứng

nếu:

̂

gọi là tỉ số đồng dạng.

1.1.2. Tính chất
Tính chất 1: Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.
Tính chất 2: Nếu
Tính

chất

3:

thì
Nếu

và

thì

1.1.3. Định lý
Nếu một đƣờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

GT
KL
1.1.4. Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác
a) Trƣờng hợp thứ nhất (cạnh-cạnh-cạnh)
Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác đó đồng dạng.

9

SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

b) Trƣờng hợp thứ 2 (cạnh-góc-cạnh)
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc
tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam đó giác đồng dạng.
c) Trƣờng hợp thứ 3 (góc-góc)
Nếu hai góc của tam giác này lần lƣợt bằng hai góc của tam giác kia thì hai
tam giác đó đồng dạng với nhau.
d) Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
+ Tam giác vng này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vng
kia .
Hoặc
+ Tam giác vng này có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng
của tam giác vng kia .
- Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
Định lí 1
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỷ lệ với
cạnh huyền và cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác đó đồng
dạng.
1.1.5. Tỉ số hai đƣờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Định lí 2
Tỉ số hai đƣờng cao tƣơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số
đồng dạng.
Định lí 3
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phƣơng tỉ số đồng
dạng.

10

SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

1.1.6. Một số kiến thức vận dụng liên quan
1.1.6.1. Định lý Talet
Nếu một đƣờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh
cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tƣơng ứng tỉ lệ.
GT
KL

1.1.6.2. Định lý Talet đảo
Nếu một đƣờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai
cạnh này những đoạn thẳng tƣơng ứng tỉ lệ thì đƣờng thẳng đó song song với
cạnh còn lại của tam giác.
GT

KL
1.1.6.3. Hệ quả của định lý Talet
Nếu một đƣờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tƣơng ứng tỉ lệ với ba cạnh
còn lại của tam giác đã cho.
GT
KL
1.1.7. Yêu cầu cần đạt của học sinh khi học về tam giác đồng dạng theo
CTGDPT 2018
- Mô tả đƣợc định nghĩa của hai tam giác đồng dạng.

11

SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

- Giải thích đƣợc các trƣờng hợp đồng dạng của hai tam giác, của hai tam
giác vuông.
- Giải quyết đƣợc một số vấn đề thực tiễn gắn với việc vận dụng kiến thức
về hai tam giác đồng dạng (ví dụ: tính độ dài đƣờng cao hạ xuống cạnh huyền
trong tam giác vuông bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa đƣờng cao đó với
tích của hai hình chiếu của hai cạnh góc vng lên cạnh huyền; đo gián tiếp
chiều cao của vật; tính khoảng cách giữa hai vị trí trong đó có một vị trí khơng
thể tới đƣợc,...).
1.2. Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng phƣơng pháp “Tam giác
đồng dạng” để giải một số bài toán ở Trung học cơ sở
* Thuận lợi
+ Phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng” là cơng cụ chính giúp ta tính tốn
nhanh chóng các dạng tốn đặc trƣng về tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, các bài
tập chứng minh các cạnh, các góc bằng nhau...
+ Với một số dạng toán quen thuộc nhƣ chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc
bằng nhau, chứng minh song song... phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng” có thể cho ta
những cách giải quyết gọn gàng, ngắn hơn các phƣơng pháp truyền thống khác nhƣ sử
dụng tính chất tam giác, định lí, tính chất tam giác vuông...Học sinh sẽ vận dụng linh
hoạt, nhuần nhuyễn khi giải toán.
+ Phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng” giúp rèn luyện tốt khả năng tƣ duy logic
của học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu quả.
Từ đó học sinh đam mê học tốn.
* Khó khăn
+ Phƣơng pháp “Tam giác đồng dạng” còn lạ lẫm với một số học sinh. Các
em chƣa quen với việc sử dụng một phƣơng pháp mới để giải toán thay cho các
cách chứng minh truyền thống, đặc biệt là với các học sinh lớp 8.
+ Việc sử dụng các tỷ số cạnh dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính tốn, biến

đổi vịng quanh, khơng rút ra ngay đƣợc các tỷ số cần thiết, khơng có kỹ năng
chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hƣớng giải bài toán.
12


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG PHƢƠNG
PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
2.1. DẠNG 1. Chứng minh tam giác đồng dạng
2.1.1. Loại 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Phƣơng pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất hoặc định lí về hai tam
giác đồng dạng.
A. Các ví dụ và định hƣớng giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MN // AB và MP // AC
với N

Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

Định hướng giải

Vì MN // AB và MP // AC nên theo định lí ta có:
.
.
Từ đó

(theo tính chất).

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của AD
và BC. Chứng minh

Định hướng giải

13


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Xét

ta có AB // CD nên theo định lí Ta-lét ta có:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, lấy D trên cạnh BC sao cho DB = 2DC. Kẻ
DE // AB ( E

AC) và DF // AB ).Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

Định hướng giải:
Ta có:
+ DE // AB nên CDE
+ DF // AC nên

.
BCA.

Suy ra
2.1.2. Loại 2. Trƣờng dạng đồng dạng thứ nhất
Phƣơng pháp giải: Để chứng minh tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số các
cạnh tƣơng ứng của hai tam giác và chứng minh chúng bằng nhau.
A. Các ví dụ và định hƣớng giải:
Ví dụ 4: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có kích thƣớc nhƣ trong vẽ.

ΔABC và ΔA'B'C' có đồng dạng với nhau khơng? Vì sao?

Định hướng giải

Ta có:

14


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

⇒
Do đó ABC

.
(c.c.c).

Ví dụ 5: Tam giác ABC có ba đƣờng trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q,
R theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng
tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.
Định hướng giải

Trong
PQ
Suy ra
Trong
PR
Suy ra
Trong
QR

Suy ra

có PQ là đƣờng trung bình nên:
(tính chất đƣờng trung bình của tam giác).
. (1)
có PR là đƣờng trung bình nên:
(tính chất đƣờng trung bình của tam giác).
(2)
có QR là đƣờng trung bình nên:
(tính chất đƣờng trung bình của tam giác).
. (3)
15


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Vậy

.

(c.c.c).

2.1.3. Loại 3. Trƣờng hợp đồng dạng thứ hai
Phƣơng pháp giải:
+ Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh.
+ Lập tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau.
+ Kết luận hai tam giác đồng dạng.
A. Các ví dụ và định hƣớng giải:
Ví dụ 6: Cho ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AC, AB lần lƣợt

lấy các điểm M, N sao cho AM = 2 cm , AN = 3 cm. Chứng minh
Định hướng giải
Ta có

.

Xét

:

̂
=

.

⇒

.

Ví dụ 7: Trên một cạnh của góc xOy ( ̂ ≠ 180o), đặt các đoạn thẳng OA
= 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC =
8cm, OD = 10cm. Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng.
Định hướng giải
Ta có:
.
⇒
Xét

.
có :

̂ chung.

16


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

.
Suy ra

(c.g.c).

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 20cm. Trên cạnh AC,
đặt đoạn AD = 5cm (hình vẽ bên). Chứng minh rằng ̂

̂ .

Định hướng giải
Ta có:
.
.
Suy ra

.

Xét
̂ chung.
(cmt).
Vậy

(c.g.c).

Suy ra ̂

̂ (đpcm).

2.1.4. Loại 4. Trƣờng hợp đồng dạng thứ ba
Phƣơng pháp giải: Chứng minh hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau.
A. Các ví dụ và định hƣớng giải
Ví dụ 9: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ̂

̂. Chứng minh

Định hướng giải:
Xét

ta có:

̂

̂.

̂

̂ (sole trong).

Suy ra

(g.g).

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, D thuộc cạnh AC sao cho ̂
minh

17

̂ . Chứng


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Định hướng giải
Xét

ta có :

̂ chung.
̂

̂ (gt).

Suy ra

(g.g).

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vng tại A, đƣờng cao AH. Tia phân giác của
̂ cắt AH, AC lần lƣợt tại D, E. Chứng minh
Định hướng giải

Xét

có:

̂

̂.

̂

̂ ( góc có cặp cạnh tƣơng ứng vng góc).

⇒

g.g).

Xét

có:

̂

̂

̂

̂.

⇒
2.1.5. Loại 5. Các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác vuông
Phƣơng pháp giải:

- Áp dụng trƣờng hợp đồng dạng của tam giác thƣờng vào tam giác vuông.
- Sử dụng dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.

18


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

A. Các ví dụ và định hƣớng giải
Kẻ các đƣờng cao BD, CE

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC nhọn (AB
cắt nhau tại H. Chứng minh:
a)

.

b)
Định hướng giải
a) Xét

có:

̂ chung.
̂

̂ .

Suy ra

(g.g).

b) Ta có các đƣờng cao BD, CE cắt nhau tại H.
Suy ra H là trực tâm của
Từ đó ̂

⇒AH

̂ (cùng phụ ̂ .

Xét hai tam giác vng
̂

.

có:

̂ (cmt).

Suy ra

(g.g).

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Đƣờng
thẳng qua D vng góc với BC cắt AC tại E và cắt BA kéo dài tại F. Chứng
minh:
a)

.

b)

.

Định hướng giải

19


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

a) Xét hai tam giác vng

có:

̂
Suy ra

̂

(đối đỉnh)

(g.g).
⇒̂

̂ (hai góc tƣơng ứng)

b) Xét hai tam giác vng

có:

̂
Suy ra

̂

(cmt)

(g.g).

Ví dụ 14: Cho tam giác ABC vng tại A có
Đƣờng trung trực của BC cắt đƣờng thẳng AC tại D, cắt BC tại M.
a) Chứng minh

.

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Định hướng giải

a) Xét

có:

̂ chung.
̂

̂ (hai góc có cặp cạnh tƣơng ứng vng góc).

Do đó

(g.g).

b) Ta có

(cmt câu a).
⇒

Suy ra

.

B. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho ABC, AD là phân giác ̂ , AB < AC. Trên tia đối của DA lấy
điểm I sao cho ̂
a)ADB

̂ Chứng minh rằng:

ACI; ADB

CDI.
20


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Bài 2: Cho ABC; H, G, O lần lƣợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm 3
đƣờng trung trực của tam giác. Gọi E, D theo thứ tự là trung điểm của AB và
AC. Chứng minh:
a)OED

HCB.

b) GOD

GBH.

Bài 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung
điểm BC. Qua M kẻ đƣờng vng góc với BC cắt AC, AB lần lƣợt ở D, E.
a) CMR : ABC

MDC.

Bài 4: Cho ABC; O là trung điểm cạnh BC. Góc ̂ = 600; cạnh Ox cắt
AB ở M; Oy cắt AC ở N.
a)Chứng minh: OBM
b) Chứng minh : OBM

NCO.
NOM.

2.2. Dạng 2. Tìm tỉ số đồng dạng, tỉ số chu vi, chứng minh các hệ thức, đẳng
thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng
2.2.1. Loại 1. Tìm tỉ số đồng dạng, tỉ số chu vi của hai tam giác
Phƣơng pháp giải
- Vận dụng các trƣờng hợp đồng dạng của hai tam giác (nếu cần) để chứng
minh hai tam giác đồng dạng từ đó suy ra tỉ số đồng dạng của hai tam giác.
- Từ đó suy ra tỉ số của hai chu vi.
A. Các ví dụ và định hƣớng giải
là điểm trên cạnh AC sao cho ̂

Ví dụ 15: Cho

Tính tỉ số

.

Định hướng giải
Xét
̂

và

có:

̂ (gt).

̂ chung.
⇒

(g-g).

21

̂

Biết


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

⇒
⇒
⇒

.
.

⇒

.
là một điểm trên cạnh AB, E là 1 điểm trên cạnh

Ví dụ 16: Cho

AC sao cho DE // BC. Chu vi

chu vi

. Tính chu vi của hai tam

giác đó, biết tổng hai chu vi bằng 63cm.
Định hướng giải

Kí hiệu

là chu vi ABC,

Ta có DE // BC nên ADE

là chu vi ADE.
ABC theo tỷ số đồng dạng. k =

2
.
5

Ta có:
⇒
Do đó:

Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm).
Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm).
theo tỉ số đồng dạng

Ví dụ 17:

tam giác, biết hiệu chu vi của 2 tam giác đó là 20 cm.
Định hướng giải
Kí hiệu
Vì

là chu vi ABC,
theo tỉ số

là chu vi DEF.
nên ta có:

⇒

22

. Tính chu vi của mỗi


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Suy ra

và

.

Ví dụ 18: Tính chu vi

vuông ở A biết rằng đƣờng cao ứng với cạnh

huyền chia tam giác thành hai tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm.
Định hướng giải
Xét

và

có:

̂

̂

̂

̂ (cùng phụ ̂ ).

Do đó

.

⇒

.

⇒
vng tại A có:
⇒
⇒
⇒
⇒

.

2.2.2. Loại 2. Chứng minh hệ thức, đẳng thức cạnh nhờ tam giác đồng dạng
Phƣơng pháp giải
- Vận dụng các trƣờng hợp đồng dạng của hai tam giác để chứng minh hai
tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác.
- Suy ra các hệ thức, đẳng thức bằng nhau.
A. Các ví dụ và định hƣớng giải
Ví dụ 19: Cho hình thoi ABCD, điểm M thuộc cạnh BC. Tia DM cắt tia
AB tại N . Chứng minh ∆ADN

∆CMD, từ đó suy ra AN . CM =

23

.


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Định hướng giải

Ta có:
+ BM // AD nên ∆NBM

∆NAD.

+ BN // CD nên ∆NBM

∆DCM.

Suy ra ∆NAD

∆DCM (tính chất ) theo tỉ số

.
do ANCD là hình

thoi.
Ví dụ 20: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2
đƣờng chéo AC và BD.
a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC.

b) Đƣờng thẳng qua O vng góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.
Chứng minh rằng

.

Định hướng giải
Ta có AB // DC.
Nên ̂
̂

̂ (hai góc sole trong).

̂ (hai góc sole trong).

Xét

có:

̂

̂

̂

̂ (cmt).

Suy ra

(g.g).

⇒

24


SVTH: Phạm Thị Thúy Giang

Suy ra AO.OD=OB.OC.
b) Theo câu a ta có
Suy ra

.

(1)

Xét

có:

̂

̂

̂

̂

Do đó

(g.g).

Suy ra

(2)
(đpcm).

Từ (1) và (2) suy ra:

Ví dụ 21: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm. Tia
phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của
B và C trên đƣờng thẳng AD.
a) Tính tỉ số

.

b) Chứng minh rằng
Định hướng giải

a) Xé
̂

̂ (vì AN là tia phân giác của ̂ ).
̂

Suy ra

̂

(g.g).

25