52 hsg 9 tay ninh

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Học sinh giỏi 99

Tỉnh Tây Ninh

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho 2 a  6 b  14 c a  b  c  59. Tính giá trị của
biểu thức S a  b  c.
4 x2 

b) Giải phương trình
Câu 2.

1
1
 2 x   6 0.
2
x
x

(4,0 điểm)

x 2   m  3 x  m  4 0 m
a) Cho phương trình
( là tham số). Tìm tất cả các giá trị ngun

của m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

 P  : y x 2 và đường thẳng  d  : y x  m  2 ( m là tham số). Tìm m để  P 
b) Cho parabol
 d  tại hai điểm phân biệt A  x1; y1  và B  x2 ; y2  sao cho y12  y22  x1 x2 91.
cắt
Câu 3. (4,0 điểm)
3
2
a) Cho n là số nguyên dương. Tìm dư của phép chia n  3n  14n  2023 cho 6.

b) Cho a, b, c là ba số thực dương sao cho a  b  c 6. Chứng minh bất đẳng thức
a
b
c
3
 2
 2
 .
2
b 4 c 4 a 4 4
Câu 4. (4,0 điểm)




a) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có B 45 , C 30 và đường trung tuyến BM . Tính AMB.
b) Cho tam giác ABC vng tại A ( AB  AC ) có đường trung tuyến BD. Gọi E là điểm trên
ED
.

cạnh BC sao cho BE 2 EC. Tính BD
Câu 5. (4,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM . Gọi N là điểm trên đoạn thẳng AM ( N
khác A và M ), đường thẳng BN cắt AC tại E và đường thẳng CN cắt AB tại D. Chứng
minh DE song song BC.

 O  . Xét điểm M thay đổi trên
b) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a nội tiếp đường trịn
 O  tại E và đường thẳng EC cắt
đoạn thẳng OA ( M khác O và A ), đường thẳng DM cắt
BD tại N . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác EMN .
---Hết---

CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 1 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho 2 a  6 b  14 c a  b  c  59. Tính giá trị của
biểu thức S a  b  c.
Lời giải

Biến đổi đẳng thức đã cho thành  a  2 a  1  b  6 b  9  c  14 c  49 0
Do
(1)



a  2 a 1 



Do



2

 

a1 
2

 

a1 ,



a1

2

,



b 6 b 9 

2

 

b 3 
2

 

b 3 ,

 a  1 0

  b  3 0 

 c  7 0
(2)

c 7

c 7





2

0

b 3



2

,



c  14 c  49 

c 7



(1)

2

(2)

2

không âm nên

a 1

b 9
c 49


Vậy: S a  b  c 41
4 x2 

b) Giải phương trình

1
1
 2 x   6 0.
2
x
x

Lời giải
2x 

Đặt

 t 1
1

t , t 0

2
x
 t  2
(*), phương trình đã cho trở thành t  t  2 0

Kết hợp (*) nên nhận t 1
Với t 1 ta có

2x 

1
1
1
2 x   1
x
x
hoặc

 x 1

1
 x  1
2 x  1  2 x 2  x  1 0 ( x 0)

2 (thoã mãn điều kiện x 0 )
x
Với
 x  1

1

 x 1
2 x   1  2 x 2  x  1 0 ( x 0)

2 (thoã mãn điều kiện x 0 )
x
Với
1
1
x 1, x  1, x  , x 
2
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Câu 2.

(4,0 điểm)

x 2   m  3 x  m  4 0 m
a) Cho phương trình
( là tham số). Tìm tất cả các giá trị ngun
của m để phương trình đã cho có nghiệm ngun.
Lời giải
CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 2 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023
2
Ta có:  m  2m  7

2

2
m  1  k 2 8
Do giả thiết nên  k với k   . Suy ra 

  m  1  k   m  1  k  8
1.8 2.4   8  .   1   4  .   2 
Do m  1  k  m  1  k và
nên ta xét các trường hợp sau:



m  1  k 1
7

m
m

1

k

8
2 (loại)

Trường hợp 1: 
. Tìm được



m  1  k 2

Trường hợp 2: m  1  k 4 . Tìm được m 2 (nhận)



m  1  k  8
11

m 
2 (loại)
Trường hợp 3: m  1  k  1 . Tìm được



m  1  k  4

Trường hợp 4: m  1  k  2 . Tìm được m  4 (nhận)

Thử lại:



 x 2
x 2  5 x  6 0  

 x 3 .
Với m 2 , phương trình đã cho trở thành
Vậy m 2 thoả yêu cầu bài toán.



 x 0
x 2  x 0  
.
x

1
m

4

Với
, phương trình đã cho trở thành
Vậy m  4 thoả yêu cầu bài toán.

 P  : y x 2 và đường thẳng  d  : y x  m  2 ( m là tham số). Tìm m để  P 
b) Cho parabol
 d  tại hai điểm phân biệt A  x1; y1  và B  x2 ; y2  sao cho y12  y22  x1 x2 91.
cắt
Lời giải
Hoành độ giao điểm của ( P) và (d ) là nghiệm của phương trình
x 2  x  m  2  x 2  x  m  2 0 (1)

 P

d
cắt

tại hai điểm phân biệt

   4m  9  0  m 

9
4 (*)

2
2
4
4
Ta có: y1  y2  x1 x2 91  x1  x2  x1 x2 91

 ( x12  x22 ) 2  2 x12 x22  x1 x2 91
2

  ( x1  x2 )2  2 x1 x2   2 x12 x22  x1 x2 91
(1)
Ta có hệ thức Viet: x1  x2 1 và x1 x2 m  2 nên (1) trở thành

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 3 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

 m  4

 m 19
2
2m  11m  76 0

2
Kết hợp (*) thì m  4 là giá trị cần tìm.
Câu 3. (4,0 điểm)
3
2
a) Cho n là số nguyên dương. Tìm dư của phép chia n  3n  14n  2023 cho 6.

Lời giải
3
2
3
2
Ta có n  3n 14n  2023 n  3n  3n  1  11n  2022

3

 n  1  11n  2022
3

 n  1   n  1  12n  2023

n  n  1  n  2   12n  2023
Do

n  n  1  n  2 

Mặt khác

là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3.

 2;3 1 nên n  n 1  n  2 

chia hết cho 6.

Và 12n chia hết cho 6 nên

n3  3n 2  14n  2023 n  n  1  n  2   12n  6.372  1
3
2
Vậy dư của phép chia n  3n  14n  2023 cho 6 là 1.

b) Cho a, b, c là ba số thực dương sao cho a  b  c 6. Chứng minh bất đẳng thức
a
b
c
3
 2
 2
 .

2
b 4 c 4 a 4 4
Lời giải

a
1
ab 2  1 
ab 2  1 
ab 
 a 2
  a
  a

2
b 4 4
b 4 4
4b  4 
4 

Ta có:

b
1
bc 
c
1
ca 
 b
 c



2
4  , a 4 4
4 
Tương tự c  4 4 
2

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được
a
b
c
1
ab  bc  ca 
 2
 2
  a b c 

b 4 c 4 a 4 4
4

2

a  b  c
Do 

2

3  ab  bc  ca 

. Dấu  xảy ra khi a b c

a
b
c
1
(a  b  c ) 2  3



a

b

c


 
b2  4 c2  4 a 2  4 4 
12
 4
Nên
Dấu  xảy ra khi a b c 2 .
Câu 4. (4,0 điểm)
CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 4 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023




a) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có B 45 , C 30 và đường trung tuyến BM . Tính AMB.
Lời giải

Kẻ đường cao AH của ABC


• Do MAH cân tại M và MAH 60 nên đều
Suy ra HA HM

(1)


45 nên vng cân.
HAB có AHB 90 và HBA
Do đó HB HA
(2)
Từ (1) và (2) suy ra HB HM hay HBM cân tại H
Do HM MC nên MHC cân tại M



Suy ra MHC MCH 30



 2 MBH
30  MBH
15



Suy ra AMB MBH  MCH 45
b) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB  AC ) có đường trung tuyến BD. Gọi E là điểm trên
ED
.
cạnh BC sao cho BE 2 EC. Tính BD
Lời giải

Gọi M là trung điểm của BE , N là giao điểm của ED và BA
Ta có ED là đường trung bình của MAC (vì E , D lần lượt là trung điểm của MC và AC )
Suy ra ED //MA và

ED 

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

MA
2

(1)

 Trang 5 

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

BNE có AM là đường trung bình nên
Từ (1) và (2) suy ra

ED 

MA 

EN
2

(2)

EN
4

Suy ra ND 3ED

(3)

DBN có DA vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên DBN cân tại D .
Suy ra BD  ND

(4)

Từ (3) và (4) suy ra BD 3ED


ED 1

BD 3

Câu 5. (4,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM . Gọi N là điểm trên đoạn thẳng AM ( N
khác A và M ), đường thẳng BN cắt AC tại E và đường thẳng CN cắt AB tại D. Chứng
minh DE song song BC.
Lời giải

Gọi K là điểm đối xứng của N qua M .
Tứ giác BNCK là hình bình hành (vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường).
Suy ra BN //CK và CN //BK
AD AN

ABK có DN //BK nên AB AK
AE AN

ACK có EN //CK nên AC AK
AD AE

Suy ra: AB AC
AD AE


ABC có AB AC nên DE //BC .

 O  . Xét điểm M thay đổi trên
b) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a nội tiếp đường tròn
 O  tại E và đường thẳng EC cắt
đoạn thẳng OA ( M khác O và A ), đường thẳng DM cắt
BD tại N . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác EMN .
CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 6 


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Lời giải

Kẻ EH  CD tại H , OI  CD tại I , dt : diện tích
a 2
 O  bằng 2
Tìm được bán kính đường trịn

1 
1 
 DC MDB



M
 BDC
 sđ BE
 sđ B
C
2
2
1 
1 

 sđ BE
 sđ CD
DNC
2
2




MDC # CND (vì MDC
DNC
và MCD CDN 45 ).
MC DC

 MC.ND CD 2 a 2
Suy ra CD ND
Ta có:
1
1

dtDMNC  MC.ND  a 2 .
2
2
1
1
1
2 1 2
dt EDC  DC.EH  DC .EI  DC .  EO  OI  
a
2
2
2
4



dt EMN dt EDC  dtDMNC 

dt EMN 

2 1 2 1 2
21 2
a  a 
a
4
2
4

21 2
a


4
khi DM là tia phân giác ADB

Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác EMN bằng

21 2
a .
4

---Hết---

CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

 Trang 7 