Đề và đáp án thi HSG 9, q.Tây Hồ, vòng I

Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức:









+
+












=
x
x
x
x
xxx
x

M
2
2
:
2
3
2
4

a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M nếu
526
=
x

c) Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn
( )
nxMx
+=+
.1
Câu 2 (3 điểm)
a) Cho x và y là các số dơng thỏa mãn
( )( )
201111
22
=+++
yxxy
Tính giá trị của biểu thức :
22
11 xyyxA

+++=
b) Cho xy=1 và x>y. Chứng minh rằng
22
22


+
yx
yx
Câu 3 (5 điểm)
a) Cho x, y, z là các số nguyên sao cho (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z. Chứng minh rằng khi
đó
27zyx
++
b) Cho biểu thức
1815143
+++=
aaaaM
- Tìm điều kiện của a để M xác định.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của M.

Câu 4 (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi I là điểm bất kì trên cạnh AB (I khác A và B).
Tia DI cắt tia CB tại E. Đờng thẳng CI cắt AE tại M. Trên tia đối tia AB lấy điểm N sao
cho AN=BE.
a) Chứng minh rằng CN vuông góc với DE.
b) Chứng minh rằng DE vuông góc với BM.
Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và chu vi tam giác là 2p.
Chứng minh rằng:
9

+

+

cp
p
bp
p
ap
p
------ Hết--------
- Giám thị không giải thích đề thi
PHềNG GIO DC O TO
QUN TY H
Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNG I, CP QUN
Nm hc 2010-2011
PHềNG GIO DC O TO
QUN TY H
Kè THI HC SINH GII LP 9, VềNGI,CPQUN
Nm hc 2010-2011
Môn thi : Toán
Ngày thi: 9/10/2010
Thời gian làm bài: 150 phút
Tây Hồ ngày 21 tháng 10 năm 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
I.Hướng dẫn chung:
- Làm tròn toàn bài đến 0,5 điểm
- Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương
II. Thang điểm và đáp án:

Câu Đáp án Thang
điểm
a)








−
−
+








−
+
−
−
=
x
x
x

x
xxx
x
M
2
2
:
2
3
)2(
4


4
)2(
.
)2(
44
−
−
−
−
=
xx
xx
x

xM
−=
1

ĐK:
4;0
≠>
xx
2đ
1
(5 đ)
b)
2
)15(526
−=−=
x

⇒

15
−=
x

⇒

52
−=
M
1đ
c)
( ) ( )( )
0111.1
<−++⇔+>−+⇔+>+
nxxnxxxnxMx

nx
−<






+⇔
4
5
2
1
2
. Vì x>0 nên
4
1
2
1
2
>






+
x
Do đó

nx
−<






+<⇔
4
5
2
1
4
1
2

1
4
1
4
5
<⇒>−⇒
nn
2đ
2
(3 đ)
a)
( )( )
222

)11(2011 yxxy
+++=
=
( )( )
22222222
1112 yxyxyxxyyx
+++++++
( )( )
1)1(112)1(
222222
+++++++=
xyyxxyyx
=
( )
111
2
22
++++
xyyx
⇒

( )
201011
2
22
=+++
xyyx
;
0
>

A
Vậy
2010
=
A
2đ
b)
0
>−⇒>
yxyx

( ) ( )
( )
22
2
.2
2
)(
22
22
22
=
−
−≥
−
+−=
−
+−
=
−

+−
=
−
+
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
xyyx
yx
yx
1đ
3
(5 đ)
a)Ta có một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0; 1 hoặc 2
• Nếu x, y, z chia cho 3 có 3 số dư khác nhau thì x-y, y-z, z-x đều không chia hết
cho 3. Do đó (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z không xảy ra
• Nếu x, y, z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư. Giả sử là x và y chia cho 3
cùng dư thì x-y chia hết cho 3; còn x+y+z không chia hết cho 3.
• Vậy x-y, y-z, z-x chia cho 3 cùng dư
27))()(( xzzyyxzyx
−−−=++⇒
2đ
b)
1815143
−−++−−+=
aaaaM

=
161814141
+−−−++−−−
aaaa
22
)14()21(
−−+−−=
aaM
M xác định khi
01
≥−
a
hay
1
≥
a
M=
≥−−+−−
|14||21| aa
|1421|
−−+−−
aa
=2. Ta có
2
≥
M
Dấu = khi
0)14)(21(
≥−−−−
aa

⇔

412
≤−≤
a

⇔

175
≤≤
a
1đ
2đ
a)Gọi K,L là giao điểm của AE và NC,DN. Gọi H
là giao điểm của DE và NC.
4
(5 đ)
H
I
K
A
B
C
D
E
N
L
M
⇒∆=∆

)..( cgcANDBAE
góc BAE=góc AND
Mà góc BAE+góc LAD=
0
90
Suy ra ADL+ góc LAD=
0
90
Hay
NDAL
⊥
Tương tự
DECNCDEBCN
⊥⇒∆=∆
b) K là trực tâm của tam giác EDN
NEDK
⊥⇒
I là trực tâm của tam giác CEN
NECI ⊥⇒
Suy ra DK//CI
Trong
EK
EM
ED
EI
EDK
=∆
:
. Trong
EC

EB
ED
EI
EDC
=∆
:
Suy ra BM//CK .Vậy DE
⊥
BM
2đ
3đ
5
(2 đ)
Xét bài toán phụ với x>0; y>0 ;z>0
9)
111
)((
≥++++
zyx
zyx
Áp dụng với x= p-a > 0 ; y= p-b > 0 ;z= p-c > 0 ,
Ta có
( ) ( ) ( )
[ ]
9
111
.
≥









−
+
−
+
−
−+−+−
cpbpap
cpbpap
Thay (p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p suy ra
9
≥
−
+
−
+
−
cp
p
bp
p
ap
p
1đ
1đ