Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 3 (tt) pptx

3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t
đ
ộ
ng
3.3.1. Định nghĩa điểm bất động
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Hệ VL bất biến đối với phép biến đổi đối xứng  các đặc trưng quan trọng
• Tại điểm tới hạn: trạng thái hệ có bất biến đối với R
s
?
•
Định nghĩa điểm bất động (fixed point) μ
*
* *
R
s
 

 
(1)
μ* thỏa (1) với một giá trị nào đó của s

với mọi s, ngay cả s  VCL
•

Phương trình (1) có nghiệm hay không?
 Chưa có gì bảo đảm đối với những giá trị λ
s
= s
a
bất kỳ.
• Ở đây, ta chỉ trình bày hình thức luận của phương pháp RG dưới dạng tổng quát,
chưa đi vào chi tiết về số nghiệm và những tính chất nghiệm của (1).
•
Giả sử (1) có ít nhất một nghiệm và ta sẽ chỉ xét một điểm bất động μ* trong số đó
với giá trị a xác định.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t
đ
ộ
ng
3.3.2. Mặt tới hạn
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Định nghĩa mặt tới hạn: mặt tới hạn (critical surface) của điểm bất động μ* là một
không gian con trong không gian tham số bao gồm các điểm μ thỏa
*
lim R

s
s
 


 
(2)
•
μ không thuộc mặt tới hạn: R
s
μ = μ’
μ thuộc mặt tới hạn:

s chưa phải là vô cùng lớn
nhưng đủ lớn (s >> 1): R
s
μ nằm
gần điểm bất động μ
*
(hình 3.1)

s  ∞: R
s
μ = μ*
KG tham số


'



R
s


*




R
s


Mặt tới
hạn
Hình 3.1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t
đ
ộ
ng
3.3.3. Tuyến tính hóa R
s

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Đối với μ gần điểm bất động μ
*
:
*
  
 
  
(3)
δμ: “khoảng cách” từ μ đến μ
*
và nhỏ.
•
Thay (3) vào phương trình R
s
μ = μ’ cho những điểm μ gần μ
*
* *
*
*
R ( )
R R
R
R
s
s s
s
s


   
 
 
 


  
 
 

 

   

 
 
 
(4)
•
δμ nhỏ nên có thể viết
2
R (( ) )
L
s
O
  

 
  
(5)

 R
s
L
là toán tử tuyến tính. Từ (4) sang (5) ta đã tuyến tính hóa R
s
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t
đ
ộ
ng
3.3.3. Tuyến tính hóa R
s
(tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Định nghĩa một không gian tham số mới có số thành phần bất kỳ
1 2
( , , , , )
 
    


(6)

•
Khi đó, toán tử R
s
L
được mô tả bởi ma trận R
s
L
với các phần tử ma trận được tính
như sau
•
Phương trình (5) có thể viết dưới dạng ma trận
(8)
 ở dạng này, R
s
L
là một phép biến đổi tuyến tính.
 
*
R
L
s



 



 




 
 

 
 
(7)
2
R (( ) )
L
s
O
  

 
  
*

 


 

 


 





 
 

 

 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t
đ
ộ
ng
3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử R
s
L
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Nhắc lại: trong VL nguyên tử, vector riệng của toán tử mô tả phép quay một góc α
tùy ý quanh trục n [U
n
(α) = exp(i/ħ αnL)] là các hàm cầu Y

lm
(θ,φ) – hệ vector cơ sở.
•
Gọi: ρ
j
(s) là trị riêng,
e
j
là vector riêng của R
s
L
,
•
Vì
(11)
R ( )
L
s j j j
s


e e
(9)
j đánh số các trị riêng và vector riêng
R R R
s s j ss j
 

e e


( ) ( ) ( )
j j j
s s ss
  
 

(10)
 ρ
j
phụ thuộc s dưới dạng
y
j
không phụ thuộc vào s
(12)
( )
j
y
j
s s


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t

đ
ộ
ng
3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử R
s
L
(tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Dùng tập hợp vector riêng {e
j
} của R
s
L
làm hệ vector cơ sở, viết δμ dưới dạng tổ
hợp tuyến tính
•
Thay δμ vào phương trình (5)
(14)
(15)
j j
j
t



e

(13)
2

R (( ) )
L
s
O
  

 
  

2
R (( ) )
( )
j
j
L
s j j
j
j j j
j
y
j j
j
t
t O
t s
t s
 





 



e
e
e
 


•
Đặt
j
y
j j
t t s



j j
j
t



e

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

3.3.
Đi
ể
m
b
ấ
t
đ
ộ
ng
3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử R
s
L
(tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Nhận xét:

(15) rất giống (13)

Theo (14): y
j
> 0  t’
j
tăng khi s tăng
y
j
< 0  t’
j
giảm

y
j
= 0  t’
j
= t
j
(δμ’ = δμ)
j j
j
t



e

•
Nếu có một hoặc vài y
j
bằng không thì sẽ có một tập hợp liên tục các điểm bất động;
ta chỉ xét một tập hợp các giá trị t
j
ứng với y
j
= 0 (một trong số các điểm bất động).
j
y
j j
t t s



j j
j
t



e

 Phép biến đổi R
s
L
chuyển các “hình chiếu” t
j
của δμ thành các “hình
chiếu” (14)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m

RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Các khái niệm của hiện tượng tới hạn được phản ánh qua nhóm TCH ra sao?
•
RG như một công cụ toán học liên quan như thế nào đến vật lý của các hiện tượng
tới hạn?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h

ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Xét hệ sắt từ nhiệt độ T trong từ trường h xác định.
•
Cấu hình spin được mô tả bởi hàm phân bố
[ ]/
( , )

T
P T h e




H
(1)
H[σ] là Hamiltonian cụm (không nhất thiết phải có dạng Ginzburg Landau).
•
Mỗi hàm phân bố một điểm của không gian tham số được mô tả bởi μ = μ(T,h)
•
Tại điểm tới hạn hệ sắt từ: T = T
c
, h=0
 P được mô tả bởi μ(T
c
,0)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a

nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Giả thiết quan trọng:

μ(T
c
,0) nằm trên mặt tới hạn của điểm bất động μ
*
*
lim R ( , 0)
s C

s
T
 

 
h
 
(2)

Nếu T ≠ T
C
hoặc h ≠ 0 thì
*
lim R ( , )
s
s
T
 


h
 
(3)
 Giả thiết mô tả mối liên hệ giữa nhóm RG và các hiện tượng tới hạn được gợi
ý bởi giả thuyết scaling.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố

i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Nhấn mạnh:


μ*: đối tượng toán học thuần túy (một điểm nào đó của không gian tham số
tưởng tượng bất biến đối với các phép co – dãn R
s
)

μ(T = T
C
, h = 0): đối tượng vật lý cho ta hàm phân bố P[σ] của cấu hình spin tại
điểm tới hạn.
•
Sự phân kỳ của độ dài tương quan
 tại T = T
C,
việc co dãn hệ không ảnh hưởng đến ξ;
 ξ bất biến đối với các phép biến đổi R
s
;
Mặt khác theo GT scaling tại điểm tới hạn ξ là độ dài duy nhất đáng kể và biến
thiên kỳ dị của các đại lượng VL khác tại đây là do ξ
 trạng thái của hệ tại điểm tới hạn bất biến đối với R
s
C
T T



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M

ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Để mô tả trạng thái hệ tại điểm tới hạn, cần biết hàm phân bố

[ ]/
T
P e



H
hay cần biết H[σ].
•
P hoặc H được mô tả bởi điểm μ(T,h) trong không gian tham số.
•
Từ (2)
*
lim R ( , 0)
s C
s
T
 

 
h
 
 P hoặc H bất biến đối với R
s
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố

i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Giả sử quan sát mẫu sắt từ bằng kính hiển vi độ phân giải b.
 có thể thấy tất cả chi tiết về cấu hình spin ở những kích thước r ≥ b.

•
Tác dụng của R
s
: giảm hệ số khuếch đại của kính hiển vi s lần.
•
Giả thiết (2): nếu ta giảm độ khuếch đại k của kính hiển vi một cách đáng kể (từ k
1
xuống k
2
với k
2
/k
1
<<1) thì việc tiếp tục giảm k không thay đổi những gì quan sát được
trước đó.
Giả thiết (2) có cơ sở vật lý quan trọng là giả thuyết scaling.
Giả thuyết scaling đã phản ánh tốt tính phổ quát của các hiện tượng tới hạn
 RG có làm được điều tương tự?
*
lim R ( , 0)
s C
s
T
 

 
h
 
Giải thích định tính hệ thức (2):
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Xét hệ sắt từ khi
không
không
c
c
ó
ó
t
t
ừ
ừ
trư
trư
ờ
ờ
ng
ng
ngo
ngo
à
à
i
i
 khai triển của Hamiltonian chỉ chứa các lũy thừa bậc chẵn của σ
x
.
 thay cho không gian tham số μ = (u
1

, u
2
, u
3
, …; c, v
1
, v
2
, …; w
1
, w
2
, …), chỉ xét
một không gian con gồm các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn.
Lưu ý: điểm R
s
μ sẽ không chạy ra ngoài không gian con đã chọn.
•
Xét những điểm μ(T) có T gần T
C

μ(T) là hàm trơn (smooth) và μ(T
C
) nằm trên mặt tới hạn;
 khi (T - T
C
) đủ nhỏ, μ(T) phải nằm gần mặt tới hạn;

khi s tăng, điểm R
s

μ(T) sẽ chạy về phía điểm bất động μ
*
.

với s đủ lớn, R
s
μ(T) có thể nằm rất gần μ*; nhưng do μ(T) không thuộc mặt tới
hạn nên s ∞, R
s
μ(T) chạy ra xa điểm bất động μ*.
3.4.1. Trường hợp h = 0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c

á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Việc R
s
μ(T) chạy khỏi μ ra sao phụ thuộc vào y
j
> 0
trong biểu thức
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
j
j j
j
y
j j
t
t t s

 










e

(3)
*
R
s
   
 
  
   
(4)
( )
C
T


*


R ( )
s
T



( )
T


Hình 3.2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ

s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Chưa biết gì về y
j
do chưa đi vào mô hình cụ thể,
Giả sử chỉ y
1
> 0; còn y
2
, y
3
, y
4
,… < 0 (y
2
lớn nhất): GT quan trọng (5)
•
Khi đó, trong biểu thức (3)
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
(3)
các số hạng chứa s
yj

với y
j
≠ y
1
giảm về không khi s ∞.
•
Khoảng cách δμ’ giữa μ’ và μ
*
1 2
1 1
( ) ( ),
y y
t T s O s s


  
e


(6)
1 2
* *
1 1
R ( ) R ( ) ( ) ( )
y yL
s s
T T t T s O s

   


  e

   
 

(7)
j
y
jj
stt 
'
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c

á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Do t
1
(T) là hàm trơn (smooth function) của T và t
1
(T
C
) = 0.
 khai triển t
1
(T) thành chuỗi
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
2
1
( ) ( ) ( ) ; 0
C C
t T A T T B T T A

     
(8)
(9)
giả sử A > 0
•
Thay (8) vào (7) với T gần T
C
1 2
*
1
R ( ) ( ) ( )
y y
s C
T A T T s O s
 
  e
 

•
Đặt
1
1/ y
( )
C
A T T






 
(10)
•
Viết lại (9):
2
* 1/
1
( ) ( / ) ( )
y
T s O s

  

 e
 

(11)
±: tương ứng hiệu (T - T
C
) dương hay âm.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi

ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Công thức (11)
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
2
* 1/
1
( ) ( / ) ( )
y

T s O s

  

 e
 

(11)
mô tả dáng điệu tới hạn của hệ: cho ta biết điểm R
s
μ(T) với T gần T
C
chạy về phía
μ
*
thế nào và chạy khỏi μ* ra sao khi s tăng.
•
Tại T = T
C
: ξ = ∞
(11) 
*
( ) R ( )
C s C
T T
  

 
  
đúng như giả thiết (2)

*
lim R ( , 0)
s C
s
T
 

 
h
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á

c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Trong biểu thức (10)
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
(10)
 ξ là độ dài tương quan?
 ν là chỉ số tới hạn của ξ?
1
1/ y
( )
C
A T T





 
đúng!

Việc đưa ξ vào (9) hay việc giả sử rằng trong các thông số y
j
chỉ có y
1
> 0 còn các
y
j
khác đều âm thực ra được gợi ý bởi giả thuyết scaling (ở gần T
C
chỉ có ξ là
thang đo độ dài đáng kể duy nhất).
Lưu ý:
- Hình thức luận Nhóm TCH vừa được trình bầy ở trên rất tổng quát
- Từ hình thức luận RG tổng quát (không cần chọn dạng cụ thể của H) có thể thu
được các định luật scaling  tính phổ quát của các chỉ số tới hạn được suy ra từ hình
thức luận nhóm RG một cách tự nhiên.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó

m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Dùng (11) khảo sát sự phụ thuộc của hàm tương quan G(k) vào nhiệt độ
T và vector sóng k:
•
Mối liên hệ giữa các hàm tương quan tính theo phân bố P (mô tả bởi điểm μ(T)) và
theo phân bố P’ (mô tả bởi điểm μ’(T) = R
s
μ(T)) (3.2.3)
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
•
Để R
s
R

s’
= R
ss’
thì λ
s
λ
s’
= λ
ss’
 λ
s
= s
a
•
Thay λ
s
2
= s
2a
vào (12) và thay μ’(T) bởi (11)
2
( , ( )) ( , )
d
s
G T s G s
  

k k
 
(12)

2
1/
2 *
1
( , ( )) , ( )
y
a d
s
G T s G s O s

 


 
 
    
 
 
 
 
k k e
 
(13)
(khi T gần T
C
)
2
* 1/
1
( ) ( / ) ( )

y
T s O s

  

 e
 

(11)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c

ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Những kết quả thú vị từ (13):

(13) đúng với mọi s  đúng với s = ξ:
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
(14)
(13)


2
2 *
1
( , ( )) , ( )
ya d
G T G O
    

  k k e
 

 T – T
C
đủ nhỏ  bỏ qua O(ξ
y2
)



*
1
, ( )
G g
  
 
k e k

Thay vào (14)
2
( , ( )) ( )
a d
G T g
  


k k

(14’)
 cùng dạng với hệ thức quen thuộc của LT scaling (chương 2)
( ) ( ), 2
y

G g y
  
  
k k
(14”)
 ξ chính là độ dài tương quan và ν là chỉ số tới hạn của ξ.
2
1/
2 *
1
( , ( )) , ( )
y
a d
s
G T s G s O s

 


 
 
    
 
 
 
 
k k e
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn


Xét T = T
C
(ξ  ∞) và k ≠ 0 (k nhỏ)
Đặt s = 1/k
Thay vào (13)
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
(13)
(16)
So sánh với LT scaling
(17)
2
1/
2 *
1
( , ( )) , ( )
y
a d
s
G T s G s O s

 


 
 
    
 
 
 

 
k k e
 


2
(2 ) *
( , ( )) 1, ( )
y
a d
C
G T k G O k
 

 
 k

 
(15)
Bỏ qua số hạng O(k
-y2
)
(2 )
( , ( ))
a d
C
G T k

 
k



2
( )G k

 
k 
 2 – η = 2a + d hay a = (2 - η - d) /2 (18)
 s
2a+d
= s
2- η
(19)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v

à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Xét T - T
C
đủ nhỏ và k = 0. Từ (14)
3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)
(13)
(14)
So sánh với LT scaling
(21)
2
1/
2 *
1
( , ( )) , ( )
y

a d
s
G T s G s O s

 


 
 
    
 
 
 
 
k k e
 
ở gần T
C
: ξ ~ |T-T
C
|
-ν




2
2 *
1
(0, ( )) 0, ( )

y
G T G O

   

  e
 
(2 )
(0, ( ))
C
G T T T
 

 



(0)
C
G T T



 
(2 )
  
 
(22)
 định luật scaling 1



2
2 *
1
( , ( )) , ( )
ya d
G T G O
    

  k k e
 
(20)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i
liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à

c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Mở rộng lập luận 3.4.1. cho trường hợp có từ trường ngoài  lập công thức tương tự
(11) cho trường hợp h ≠ 0.
•
Số hạng mô tả tương tác giữa các spin cụm và từ trường ngoài
3.4.2. Trường hợp h ≠ 0
(23)
•
Xem h như một thành phần mới của vector μ trong không gian tham số.
•
Muốn biết quy luật biến đổi μ thành μ’ = R
s
μ, phải lập quy luật biến đổi h
thành h’ = R
s
h. Có thể chứng minh:
d

b



x
x
h

0)2(
2/)2('





dywheresh
shh
h
y
d
h



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.4.
M
ố
i

liên
h
ệ
gi
ữ
a
nh
ó
m
RG
v
à
c
á
c
ch
ỉ
s
ố
t
ớ
i
h
ạ
n
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Do chỉ số Fisher η < 1 nên y
h
> 0

 s tăng thì h’ tăng.
•
Khai triển δμ theo các vector cơ sở của R
s
L
:
3.4.2. Trường hợp h ≠ 0 (tt)
,
j
y
j j j j
j
t t t s

  
 

e

(27)
•
Biểu thức (27) được thiết lập cho trường hợp h = 0 và có thể mở rộng sang trường
hợp h ≠ 0 bằng cách bổ sung vào (6) số hạng
y
h
t s
h
h
e
1 2

1 1
( ) ( ) ( )
y y y
t T s t T s O s


 
h
h h
e e


(28)
trong đó, y
1
,y
h
> 0, các y
j
còn lại âm.

2
* 1/
s 1
( , )
R ( , ) ( / ) ( )
y y
T
T s hs O s



  

  
h
h
h
h e e




(29)
 mô tả dáng điệu tới hạn của μ(T,h) khi đến gần điểm tới hạn
1 2
1 1
( ) ( ),
y y
t T s O s s


  
e


(6)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.