Giáo trình giải tích 1 phần 1 ts vũ gia tề

HỌC VIEN CONG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG
TS. VŨ GIA TÊ (Chủ biên)

GIÁO TRÌNH

Giải (ích 1

NHÀ XUẤT BAN THONG TIN VA TRUYEN THONG





MUC LUC
Lời HÓI đÏẪN. . . . . . . .

55552: 2222222112111 T12. 2.12122211112212.
xe 3

CHƯƠNG I: GIOTHAN CUA DAY SÓ...............................----- HH
1.1. SỐ thực......................--:2222211112021
E1
ve 12
1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập só thực........................-...- 12
1122, Tập số thie MO TONE siccsccnmernensenmmaaenevans 17
1.1.3. Cae khoang $6 thue .occccccsssssssssseesssecsssessssessseesssvessssees 17

1.1.4. Giá trị tuyệt đối của số thực.........................---...ccccc.cccrx 18
1.1.5. Khoảng cách thông thường trong fR............................. 18

1.2. Số phức
1.2.1. Định nghĩa và các dạng số phức
1.2.2. Các phép toán trên tap C
1-23: Áp dụng số phức vào lượng giác ................................... 29

1.3. Dãy số thực
1.3.1. Các khái niệm cơ bản về dãy số thực............................ 32

1.3.2. Tính chất của dãy số hội tụ..................................,
33
1.3.3. Tính đơn diệu của dãy số........................-ccccccccesrrrree 40
V3.4. DEY COD sescesias sonnenecceeseannrsvneeauneurs teedeepnnesonseosenngneseesenante 46
1;3:5..Nguyên lý CAIGHWssssosoevsosatadileiilitisagpsatetawega 48
Tóm tắt NGi AUN

................................ccccccccccccc2222vctrtrtttrrrrrrrrrrrrrkei 49

BGT TẠP GHWƠING Ï cescssexnatiaingtiLseeednnoaserskSXEE12050.EEn80-35100AE0530005480. 54


CHUONG 2: HÀM SÓ MỘT BIỂN SỐ...............................cccccse2 59

2.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số................... sec

59

2.1.1. Các định riphfa cơ bản... .:-ccsecseeeieiidBd 59

2.1.2. Cac ham s6 thong dUNQ......cccccccceesssssssseeessesssssssseeeeees 64
2.1.3. Hàm số sơ cấp....................

020022222121211111111111

xe 75

2.2. Giới hạn của hàm số
2.2.1. Khái niệm về giới hạn

2.2.2. Tính chất của hàm có giới hạn.
2.2.3. Các giới hạn đáng nhớ.............

.86

2.3. Đại lượng vô cùng bé (VCB) và đại lượng
VO: CONS 1G (VEL) sesecnaoseaatooadGISGHGIHGNGD8L8GISSNNRN 89
2.3.1. Đại lượng, VD

succssseioaaessnrinioittogdsiipicgkEbi68/3ã1588301 89

2.3.2. Đại lượng VÌ

.......................
2t t2 v2
ecxey 91

2.4. Sự liền tực của HằTñ Bổ sanobebaiuedadgdodisuidliasiiagase 93
2/Á„1. Các Khát:nIcHT 6@iĐẤNxeeessensiiiniseiiinaiagtsrg40160985766 93

2.4.2. Các phép toán đại số của hàm số liên tục...................... 95
2.4.3. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn................. 97

2.4.4. Tính liên tục đều........................ neo

99

Tưif:TII HGRHHfHfELiniittisetHt@Q6DUtAGGGIAGiultlavaisesysdatsa 101
Bài tập chương 2...

CHƯƠNG 3: PHÉP 1
3.1. Đạo hàm của hàm số....
3.1.1. Đạo hàm tại một điểm.

3.1.2. Các phép tính đại só của các hàm s

tal MOE Ì PHsniraissathgdosigsưittlatSl0S4G8830008
086 125

3.1.3. Đạo hàm trên một khoảng (ánh xạ đạo hàm)............... 127

3.1.4. Đạo hàm của các hàm số thông dụng........................... 129


3.2. Vi phân của hàm sỐ.........................-2
22 222222212
136
3.2.1. Định nghĩa vi phân tại một điểm...............................-: 136
3.2.2. Vi phẩn:trên một KhOẢNG ¡se sasnaosdnanadiaaaaisaaaa 138
3.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao........................--- 5sccccsccccrrrccrer 139

3.3.1. Đạo hàm cấp cao........................-222222

222 122ccctrrrrrrrrrrvee 139
3.3.2. Vi phân cấp cao
3.3.3. Lớp của một hàm sô..

3.4. Các định lý về giá trị trung bình

3.4.1. Định lý Phéc ma (Fermat).....

.149

3.4.2. Định lý Rôn (Rolle)

3.4.3. Định lý số gia hữu hạn...........................-/22-ccccvcccccrrrres 152
3.4.4. Định lý số gia hữu hạn suy rộng
(định lý Cô sỉ (Cauchy))...................de. 154

3.5. Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình....................... 158
3.5.1. Cơng thức Taylo (Taylor).

cơng thức Maclơranh (Mclaurin)..........................-‹.‹+ 158

3.5.2. Qui tắc Lôpitan (L`Hospital)..........................c.--:ccccccec 162

3.6. Sự biến thiên của hàm số.............................----+re 167
3.6.1. Tính đơn điệu của hàm khả vi......................
5-5552 167

3.6.2. Điều kiện hàm số đạt cực trị...................----ccccccccccrrsccee 169
3.7. Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.................... 171
3.7.1. Hàm liên tục trên đoạn kín [a.b]..........................-.-----: 172

3.7.2. Hàm liên tục trên khoảng mơ, khoảng vô hạn ............ 172

3.8. Hàm lồi
3.8.1. Khái niệm về hàm lỗi, hàm lõm và điểm uốn............. 173
3.8.2. Điều kiện hàm lồi............................--:22222cctcrrtrrrrrrrrrvee 176


3.9. Tiệm cận của đường cong...............................-:----cccccccccccey 179

3.9.1. Khái niệm chung vẻ tiệm cận........................-..-.----cee 179
3.9.2. Phân loại và cách tìm tiệm cận........................-c--cssxsecs 180

3.10. Bài toán khảo sát hàm số
3.10.1. Đường cong trong tọa độ Đề các
3.10.2. Đường cong cho bởi phương trình tham sơ............... 186
3.10.3. Đường:cong trong tọa độ cực..............cssesasasesaeees 191
Tm tit Gi AUIDG coscesssssssssssssssesssesssssssessssesssucssssssssesusessnsessiteees 198
BELTED CHUNG S a va x00 2 nconeesneoi Ini eee TENE as Hea ReneneweoR snes

205

CHUONG 4: TICH PHAN XAC ĐỊNH..........................2c
215
4.1. Khái niệm về tích phân xác định.................................---- 215
4.1.1. Dinh nghia tich phan xác định casessscasiaesassiens 215

4.1.2. Điều kiện tổn tại...................... eo

218

4.1.3. Lớp các hàm khả tích ................................ccccereirerrree 221

4.1.4. Các tính chất của tích phân xác định.....................--.... 222
4.1.5. Cong thie Newton = ILEIDTHUsusssszsossieatiaidsaeie 226
4.2. Hai phương pháp cơ bản tính tich phan xac dinh .......... 333

4.2.1. Phép đổi biến....................... cccccesticeerrrrr.. 233
4.2.2. Phép tích phân từng phản..........................
co
234

4.3. Phương pháp tính tích phân bắt định.............................. 240
4.3.1. Tỉnh chất cơ bản. Bảng các nguyên hàm
(Hưng dŨNHỠ messeeesasesssecesitsenistgdonsazl25026143530066413A051566 240
4.3.2. Hai phương pháp cơ bản tính tích phan bat định ......... 242
4.3.3. Cách tính tích phân bát định của các hàm hữu tỉ........ 245
4.3.4. Tinh nguyên hàm các phân thức hữu tỉ đối
với một số hàm thông dụng............................... -----.-+ 248


4.4. Một số ứng dụng của tích phân xác định..
4.4.1. Tính diện tích hình phăng
4.4.2. Tính độ dài đường cong phang
4.4.3. Tính thê tích vật thê
34.4. Lĩnh diện tích: tiệt

ẤT NON xasnssetanisEAAnag0á..66 265

4.5. Tích phân suy rộng.................................. che

267

4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vơ hạn............................. 267
4.5.2. Tích phân suy rộng với hàm dưới dấu
tích BHẩn:cõ;cuo BIỂN ccmassscsinsennersoverenseneesoensneysen
eden 271
TƠI II HGILĂITNElo khu le tt DANG NH4 GHRIGIGĐSRGIRSRSHBSuDk 285

Đài lập, CHHƠIG lÍ caniitisargiatiditttannntisnti401130106013110811303831160086818 298

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT CHUỎI...........................---5ccscccreerre 308
l9
............... 308
5.1.1: Các khái riiệm CHƯHP siaissssssicssesisbs0510664463300303586638466 308

5.1.2. Chuỗi số dương.................
cóc: 21 2x22 ccrtrrrrrkrrrres 313
5.1.3. Chuỗi dan dấu
5.1.4. Chuỗi có số hạng mang

5.2. Chuỗi hàm
5.2.1. Các khái niệm chung về chuỗi hàm ........................... 326

5.2.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hảm.......................eceeeeeree 328
5.3. Chuỗi lũy thừa
5.3.1. Các khái niệm chung vẻ chuỗi lũy thừa
5.3.2. Khai triên một số hàm thành chuỗi lũy thừa............... 346
5:4; Chuỗi EGFÏETsøsiiesocdnsiiisiriegiiibdgsslidvnssixasssasasie
5.4.1. Các khái niệm chung

5.4.2. Điều kiện đủ để hàm số khai triển
H119

8701 T7 ơƠƠ

362


5.4.3. Khai triên thành chudi Fourier
GUA MOt halt SO DAC

scrscsscvss ver vsassaavessansewsservsieasssee 367

5.5. Tich phan Fourier........................... cào

375

5.5.1. Tich phan Fourier nhu là giới hạn
GOS. SHUG) ROUTE sugggindlavaBiodiasgig/.08900208-051010088 375

5.5.2. Điều kiện đủ của cơng thức tích phan Fourier...

5.5. 3. Cac dạng đặc biệt của cơng thức tích phân Fourier.... 376

TON TẾ Hồi đINĐ cua nhĩ thuat gigtgitliSGSiSDASSTGdiSGiBigdi8itiigilaslaia 377
“Dũ. TẬI DÍTHHONE l nang he n0 lgi000,1a0A5620xi0655130000135X4440
008833036016 387

[/01771-8./71/8108-/7.87, RE...

393

Hướng dẫn trú CÚI..................ààooc ccccctvthhttEttrrrttttrrrrrrrirrrrrrrev 419
Ti LGU A

ANGO .occceccecc cesses vests eeveseseeneseeeseeeeneneneeneeeerentanes 423


Chương 1

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trong nhiều vấn đề lý thuyết cũng như thực tế. người ta phải xét

những đại lượng mà trong q trình biến thiên đại lượng đó lay những

gia tri roi rac rat gan đến một hằng số a nào đấy. Trong quá trình nảy,

ta nhận được dãy số dần đến a hay có giới hạn là a. Thực tế, hầu hết

các dãy số có giới hạn là một số a nào đó khơng bao giờ đạt được giá
trị a, điều này trong quá trình tìm giới hạn không cần quan tâm đến.

Chẳng hạn, ta xét dãy số {z„} trong đó ø„ = esi . Q trình n tăng lên
mãi thì uạ tăng dần về số rất gần I. Noi rang day số có giới hạn là I
khi n tăng lên vô cùng. Ta xét thêm bài tốn "lợi nhuận đầu tư” như

sau: Giả sử có 10.000 USD đầu tư để thu lãi 8% năm. Sau 1 năm thì
vốn trở thành 10.000.(1,08) = 10800 USD. Nếu lãi suất 8% được tính

thành 6 tháng với lãi suất 4% thì sau l năm vốn trở thành
10.000.(1,04?)= 10816//SĐ. Nếu vẫn lãi suất 8% nhưng lãi được nhập

vốn hàng ngày thì tổng số vến sau l năm sẽ nhiều hơn, cụ thể là
8 }
10.000{ 1+
100.365

365

=10832,78USD. RO rang tiền tăng nhanh hơn

nếu thời gian lãi nhập vén ngắn đi. Tổng quát số vốn A đầu tư với lãi
suất

An

r%

ae

năm

in

và

lãi

nhập

vốn

n

lần

trong

năm,

sẽ

trở

thành

) USD. Đây là một dây số đáng quan tâm.

Giới hạn là một khái niệm khó trong tốn học. Khái niệm giới hạn

được cho bởi từ “gần”, để mơ tả định tính. Cịn định nghĩa chính xác


12

Gido trình Giai tích 1

của nó cho bởi cụm từ "bé hơn #* hoặc "lớn hơn M” để mô tả định
lượng sẽ được giới thiệu trong chương này. Khi đã hiểu được khái

niệm giới hạn thì sẻ dễ dàng hiểu được các khái niệm

đạo hàm. tích

phân. Bởi vì các phép tốn đó đều xuất phát từ phép tính giới hạn.

Trước khi đi dến khái niệm về giới hạn cần hiểu được vai trị thực
sự của số vơ tỉ. Nhờ tính chất đầy của tập số thực mà người ta có thê
biêu điễn tập số thực trên trục 0
oi là trục thực và nói răng tất cả
các số thực lấp đầy trục số. với khác đi có sự tương ứng 1-1 giữa các
số thực và các điểm trên trục số. Chương này cũng đề cập đến trường
số phức, đó là trường só thực mơ rộng. Vai trị và ý nghĩa của số phức
về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng sau này trong kỹ thuật. đặc biệt
trong kỹ thuật điện tư là rất lớn.

1.1. SĨ THỰC
1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập số thực
A. Sự cần thiết mỏ rộng tập số hữu ti Q

Do nhu cầu đòi hỏi của cuộc sống. tập các số tự nhiên M= {0. I.
2....}, cơ sở của phép đếm đầ được mớ rộng sang tập các số ngun
¡. Sau đó. do trong Z khơng có các phần tử mà
Z* (0,41, £2
tích với 2 hoặc 3
báng l. nên người ta đã xây dựng tập các số hữu tỉ,

đó là tập gồm các só có thể được biểu điễn bởi tỉ số của hai số nguyên.

tức là số thập phân nữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn. Nếu chỉ dừng lại

trên tập
thì trong tốn học gặp phải nhiều điều hạn chế. đặc biệt là
gặp khó khăn trone việc giải thích các hiện tượng của cuộc sống.
Chẳng hạn, việc tính dường chéo cua hình vng có kích thước đơn
vị. Đường chéo đé là 2
Á

néuv2

m

=—

n

không thể mô tả bởi số hữu tỉ. Thật vậy
NT. .

€ Qtrong dé USCLN

v2

(m.n) = 1 thi m?=

2n?

3

>m=

x

2p va

4p? = 2n?=>n = 2q.

Didu nay v6 li vi lic này m. n có ước chung là 2.

Chứng to ⁄2zQ.

Những số xuất hiện và được dùng thường xun

trong giải tích như e. x cũng khơng phải là số hữu tỉ.


Chwong

1: Gidi han cua dây số

13

B. Số vô tỉ
Một số biểu điền dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hồn,
hay khơng thể biêu diễn dưới dạng tỉ số của hai só ngun được gọi là

SỐ vơ tí.

€ Số thực

Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực. Kí hiệu

tập số thực 1a R.
Vậy tập số vơ tỉ là R\©.

Người ta có thể xây dựng tập só thực
hay nói cách khác nhờ vào một hệ tiên đề.
đây mà coi rằng tập hợp số thực R là quá
sự thoả mãn tiên đề đó. Chúng ta coi đó là

R nhờ vào một hệ suy diễn
Chúng ta khơng trình bày ở
quen thuộc và chỉ kiểm tra
các tính chất của tập hợp số

thực R.

Tính chất 1.1: Tập R !ị một trường giao hốn với hai phép cộng
va nhan: (R,

+ ,.).

1. Vasbe

Roatbhe

2. Va.b.ce

3. Va.be

R.

Rabe

R

(at+b)+c=a+(hb+c).

R.a+b=b+a,

(ab)e = a(bc)

ab =ba

4.R có phần tử trung hoà đối với phép cộng 1a 0 và đối với phép
nhân là I.

Vae

R,at0=0+a=a.al=la=a

5. Phép nhân có tinh phân phối đói với phép cộng,
Va.b.ce

R. a(h+c)=ab+ac,

(b+c)a=hat+ca

6. Tén tại phần tử đối của phép cộng
Vae

R, 3(-a). a+(-a)=0

Tén tại phần tử nghịch đảo của phép nhân

Vae

R’, (R'= R0).

3¿', đa =1,

Tinh chat 1.2: Tap R được xép thứ tự toàn phân. Ngoài ra tập

các số thực dương có tính đóng kín, nghĩa là:


14

Gido trinh Giai tich 1
1. Va,be

R, a
Va,b,ce
“Vabe

hoac a=h

R,a<b>a+cshbte,
R,ce

3. Va,be

hoadc a>b.

R,, a<b>
ac
R’, a+be

R., abe

fR', ở đây R/ được kí hiệu là tập

các số thực dương.

Tính chất 1.3: Tập R !à mọi tập đây.
Một tập E được gọi đầy nếu thỏa mãn điều kiện sau đây:
Moi tập con X không rỗng của E bị chặn trên trong E đều có một
cận trên đúng thuộc E và mọi tập con không rỗng X của E bị chặn

dưới trong E đều có một cận dưới đúng thuộc E. Vậy có thể phát biểu

tính chất 1.3 như sau:

Mọi tập con X không rỗng cua R bi chan trén trong R đều có một

cận trên đúng thuộc

R va mọi tập con không rỗng X của R bi chan

duoi trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R.

Cho Xc R và ae R. Người ta gọi a là một cận trên của X trong
R

nếu x
Tương
x>a,

XxX.

tự gọi

a

là một

cận

dưới

của

X

trong

R

nếu

VxeX.

Gọi tập X là bị chặn trên trong íR, (bị chặn dưới) khi và chỉ khi
tồn tại ít nhất một cận trên (cận dưới) của X trong R.

Người ta gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong IR (nêu
có) là cận trên đúng của X trong R, kí hiệu số đó là MÌ hay SupX
(đọc là Suprémum của X)..

Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong IR (nếu có) là cận
dưới đúng của X trong

íR, kí hiệu số đó là m` hay InfX (đọc là

Infimum của X).

Nếu MÌeX thì nói rằng MÌ là phần tử lớn nhất của X, kí hiệu
MÌ= SupX = MaxX.


Chương 1: Giới hạn của dân xó

Nếu m eX

15

thì nói rằng mỶ là phần tử nho nhất của X, kí hiệu

mỉ = InfX = MinX.

Gọi X là bị chặn trong R khi và chỉ khi X dong thời bị chặn trên
và bị chặn dưới trong R.

Chú ÿ:
a. Tap

R\Q

khơng đóng kín đối với phép cộng và phép nhân.

chăng hạn:

+V2€

RIQ

V2+(-v2)¢ RiQ

nhung

b. Vxe RIQVve

V2.V2¢ RQ

QS>xt+rveR'Q
xye R\Q
J x

M’ = SupX nghia la: voi mọi số

>0 bé tùy ý. bao giờ cũng tìm

được tương ứng số ø e .Ý đẻ có bãi đăng thức 4/ —øz<ø.

(Ve>0)GaeN>M
m’=

-e
InfX nghia la (Ve >0) (3ø e Ä © mÌ+£>ø)

Nếu M là một cận trên của tập X thì SupX < M

Nếu m là một cận dưới của tập X thì InfX > m.
Vi du 1.1: Chimg minh (J2 + V3 + V6)< R\Q
Giải: Giả sit q = V2 +V34+ V6€ Q=(V2+ V3) =(q-V6)"

hay

gq? +1=2(q +1)V6. dé dang ching minh V6 Â đ (tng t nh chng

minh

V2 Â Q). Theo chú Ý trên suy ra q + 1= 0 va gq? + 1 = 0. Diéu

nay 14 mau thuan. Vay q¢ Q.
Ví dụ 1.2: Tìm các cận dưới đúng và cận trên dúng trong R nêu

chúng tôn tại của tập sau:


16

Gido trinh Gidi tich 1

Thng

ne Wf

n

ne N]. N={l.2...}

Giai:
Vpe

N’ taco:
1
1
Uy, = sar
+=

2°

"_

My

2p

1

Mang=

2

O
Sean

1

2p+l

1

căm

3

vu

3

==

4
]

2p+l

Mau

1

Sa SS

1

2m8

1

2

¬
cà
|
3
Từ đồ suy ra Vine N'e6 ->= 0, Su, Su, = 7
InfX = MinX = 3

I

3

SupX = MaxX = 3”

Vi dụ 1.3: Cho A, B là hai tập không rỗng cua R và bị chặn trên.
a. Ching minh Sup(4 U B)= Max(Sup(A),Sup(B)).
b. Gọi A+B = {xe R, 3(a.b) e 4x 8. x=ø+b}. chứng mình:
Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B).

Giải:
a. Kí hiệu @ =Supd. 6 =SupB.

cận trên của

42 chính

y = Max(@.f).

là X={x, x>œvàx > /}

Vậy tập hợp các

hay X={x. x>r]}

suy ra y = Sup(Au B).
Vae 4. a
"VbeB, b
=Va+be

4+.

=M' =Sup(4+ 8)

(Ve>0)

(Bae A>

a> Supd-=)

(abe B= b> SupB—*)

a+b

Chương

1: Giới hạn cua dây sô

(3ư+be 4+—

=3M`

17

u+bh >Sup.l+SupB—e£)

=Sup4l+Sup =Sup(.4+ 8)

1.1.2. Tập số thực mở rộng
Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là -z
+o.

R=

Tập

sơ

thực

mơ

rộng

dược

kí

hiệu

là

R,

và

tức

là

R{—s.+œ}. các phép toán cộng (+) và nhân (.). quan hệ thứ tự

được định nghĩa như sau:

1. VxelR

x+(+ϩ)= (+)+x

=+ø. x+(—=) =(—)+x

=T—%

2. (+©)+(+©)= +ø, (Tœ) +(T—œ) =—%

3. Vxe Ri. Ri={xe R. x>0}
X(+00) = (+00). = +00, x(-00) =(-2)x = -00

Vxe R’. Ri={xe R. x <0}
4, x(+00) = (+00)x = —00, x(-00) = (-00)x = +00

ta

(+00)(+00) = (—00)(—00) = +00, (+00)(—00) = (—00)(+00) = —co
VxeÑ.-œ—œ
-œ<-%,
—œ

<0,

+%<+œ
+oœ<+œ

1.1.3. Các khoảng số thực
Cho a,be fR và a
[a.»]={xe
R. ¿< x <5} được gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn
]
[a.b)={xe RoasxỊ

(a.b]={xe R.a
¬

.

được gọi là khoảng nửa đóng hoặc nửa mở

[a.+0)={xe R.asx}
(-=.a]={xe R. x
(a,b)

={xe R.a
SỐ

duge gọi là các khoảng mở

(a.+e)={xe R, a(-=.a)={xe R:x

Các số thực a. b gọi là các đầu mút của khoảng.


Giáo trình Giai tich 1

18

1.1.4. Giá trị tuyệt đối của số thực

A. Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, duoc kí hiệu |x|. là số
thực khơng âm xác định như sau:

lxÌ=

#

khi x>0

—x_

khix<0

B. Tính chất
1, Vxe R, |x|=Max{x.~x}

2.|x|=0=x=0
3. Vx,ye R, |xy| = |xl||

Vne N.Vx,.x;.xị
4. Vxe R’,

5. VxyefR,

|=Tish Vxe R.|x'| = |x"
tal

Ix

x

|x+y|<|x|+|y|, Vir EN’ Vx, 205.0%, € Ris

<3.

t

6. Vx,pe R.Max(x.})= S(x+ p +|tS2Ï): MinGx.y)= 5x + y'~|x= 3|)

T.Vx,yelR,

|xI-I»{<|x-!:

1.1.5, Khoang cách thông thường trong R
A. Định nghĩa: Khoảng cách trong fR được xác định nhờ ánh xạ:

d:

RxROR

(x2)

|x)

Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm x và y trên
trục sơ thực R.

B. Tính chất
1.d(x.y)=0©x=y


Chuong 1: Giới hạn của dãy số

19

2.Vx.ve lR. d(x.y)=d(w.x)
3. Vx.y.ze fR. đ(x.z)
4. Vx.y.ze fR. la(x.s)—4(x.z)|<#(s
1.2. SÓ PHỨC
Chúng ta đã biết rằng trong trường số thực

khơng thể phân tích

thành thừa số tam thức bậc hai øx” +ðv+e khi A =ø` ~ 4a < 0. Tuy

nhiên sẽ rất tiện lợi nếu có thê thừa số hoá tam thức này thành dạng
a(x-aXx - 8) trong đó œ.đe R. Nhằm mục đích này, thêm vào
R mot phan tử mới. được kí hiệu là ¡ (được gọi là đơn vị ảo) kết hợp

với các cặp số thực (x.y) e IR” để tạo ra các số phức.
1.2.1.Định nghĩa và các dạng số phức
A. Định nghĩa

Cho (x.y)< R”. một số biểu diễn dưới dạng z = x + iy, trong đó
i? =-1

duge gọi là một số phức. Tập các số phức được kí hiệu là ©.

x được gọi là phần thực của z, kí hiệu Rez = x, y là phần ảo của
z, ki hiệu là Imz = y

Gọi mơđun

của z. được kí hiệu là

|| xác định bởi số thực

khơng âm:
||=vx`+z”

=r>0

Gọi Acgumen của z, được kí hiệu là Argz xác định bởi số thực:
Argz=

Như

vậy

0:|o«

Acgumen

khơng xác định.

"|

của z sai khác

và sinØ = 2

nhau

, VỚI

z#(0

⁄2z, ke Zvà

Arg0


20

Gido trinh Giai tich 1

Vậy số phức z có thê viết đưới các dạng:
1.z=x

+ iy goi la dang chính tắc hay dạng đại số của số phức z.
(1.1)

2. z= r(cos@+isin@) gọi là dạng lượng giác của só phức z.
(1.2)
B. Biêu diễn hình học của các sơ phức
y

Hinh 1.1
Xét mặt phăng Oxy với hệ tọa độ trực chuẩn.
Ánh xạ ø: © -> Oxy, nghĩa là đặt mỗi số phức z = x + iy ứng
với điểm M có tọa độ (x,y) trên mặt phăng Oxy. Vậy

ø là song ánh.

Người ta gọi mặt phăng Oxy là mặt phẳng phức.Vze C, @(z) gọi là
ảnh của z trên Oxy.

VMeOxy,ø''(M) gọi là tọa vị của M. đó là số

phức ze ©. Ngồi ra OM

cũng được gọi là véctơ biêu diễn số phức z.

Như vậy jom| =|2| va (Ox,0M) = Argz.

Trên mặt phẳng phức Oxy ta nhận thấy:
Trục Ox biểu diễn các số thực z = xe fR. trục này gọi là trục thực.
Trục Oy biểu diễn các số phức dạng z = iy, ye R (được gọi là các số

ảo thuần tuý), được gọi là trục ảo.


Chương 1: Giới hạn của dãy xó

21

1.2.2. Các phép tốn trên tập C
A. Phép so sánh bằng nhau

V(Xi.w,.x;.
yy) eÑ”, xi +i, =a, +i en

x

(13)

(eas

_
T
Heh
1¡(cosØ, + isin
6,) = » (cosØ, + isin
0, ) © i =8,+2kz

(1.3)

ặ

B. Phép lấy liên hợp
Cho z=x +iy eC. liên hợp của z. được kí hiệu là z và cho bởi:

z=x-ÿ

(1.4)

Vay z=r(cos@+isin@) => z= r(cosØ =isin Ø)

(1.4)

C. Phép lấy số phúc đối
Cho z=x+iy € Ö. số phức đói của z. được kí hiệu là (-z) (đọc

là trừ z) được xác định bằng cơng thức:
z}=-x~

(1.5)

Vậy ta có:

z= "(eosØ + isin Ø)—= (=z) =r(cos(Ø+
z)+ isin(Ø + Z))

(1.5)

D. Phép cộng, phép trừ
Cho

z, =x, +i). 2) =x) +év,. tông của z¡ và z,. được kí hiệu là

z¿+z¿ và được xác định như sau: z,
Cho

z, “(X,+X,) tiÖ +)

(1.6)

2, =x, +i, 2) =x,+i,. higu cia z, va z,. duge ki higu là

zZ¡—z; và được xác định nhu sau: z, - z,=(x,-x,)+i(,-))

(1.7)

E. Phép nhân, phép chia
Cho

z, =x, +i), 2, =x, +i), tich của z¡ và z,, được kí hiệu là

z,.Z, va durge xac dinh nhu sau:

2,2,
= (xx) — Yy¥)) +X)

— HH)

1 .8)

Vay néu z, =7,(cos0, +isin@,). 2, =", (cosO, +isin@,)
thi 2,2, = "7, (cos(@, + ,) +isin(@, +4,))

(1.8)


22

Giáo trình Giải tích ]

Cho

z, =x, +4), 2) =x, +i,,thuong cua 2, va =,. với z, #0 được
==z,. từ đó ta suy ra:

Vậy nếu z¡ =z(cosØ,+isin,). z¿ =r (cosØ, +ïsin Ø,)

thi = = rr, (cos(O, -0,) +isin(G, -0,))

(1.9)

Từ các phép tốn trên. nhận được các tính chất dưới đây của phép

lấy liên hợp:

1. Vzef.z=z

2. W(z,.2))eC?. 2,42, =2,42)

3. V2.2)
eC Zz = 27,

Z=-~z©zeliR.iR
6. Vze

= tiy.ye R}

C; zz=lz

F. Phép luỹ thừa, cơng thức Moavrờ (Moivre)

Cho số phức z =z(cosØ+¡sinØ). Vk eZ
Lũy thừa bậc k của sỐ phức

tính theo cơng thức:

đã cho được

kí hiệu

là z† và được


Chương 1: Giới hạn cua dây xó

23

Từ các cơng thức (1.8)'. (1.9)' và bằng qui nạp. ta có thể chứng
mình được:

z* =r‘ (coskO +isinkO)

(1.11)

Công thức (1.11) được gọi là công thức Moivre.

G. Phép khai căn bậc n của z eC`
Cho

„øeN.z=r(eosØ+isinØ). Gọi e

€”

là căn bậc n của z.

được kí hiệu 4/=.. xác định như sau: ¿” = z

Nếu gọi ø=|c| và ® = Argc thì từ định nghĩa trên suy ra
"=

par

hay la p=r"

n®=0+2kr

Vậy số z#0

+

2

va O= #132
n

(k =0.1,2,3.....<—
l)

có đúng n căn bậc n của nó. đó là các số phức có

dạng:
S =r"

4

O+2kn

cos

n

|. 0+2kz

+isin

n

=0.1.2....2-1

(1.12)

Chúý:

a. Trong chương 4. sau khi đã có cơng thức khai triển của các

hàm số sơ cấp, ta sè nhận dược dạng luỳ thừa của só phức z:
z=re

0

Khi đó công thức (1.11) sẽ là: zÝ =r'c""; ke Z

và công thức (1.12)sẽ là: Ñz=r"e

“ ,&=0.1...„—=l.meMN

(111)

(¡.12)

b. Căn bậc n của đơn vị

Ta xét số phức z =1, như vậy lz =1, Argz = 0. Suy ra can bac n
của 1 sẽ là n số phức dạng:


24

Gido trinh Gidi tich 1
3z

œ,=€e

" : k=(0.1.2....n—]

Vì e!*" = | nên các số phức ø, có những tính chất sau:

1. Vk e{0,1,2,....n—lÌ: @, =0,,
2. Vk e{0.1.2.....n—l}: @, = 0}
at

n-I

_—

k=0

k=0

I~øy

3. Vne N\{0.1}: Yo, = of =

an

ID

4. Các số phức Q, biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của

một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác và một

trong các đỉnh là điểm có tọa vị bằng 1. Đa giác này nhận Ox làm trục

đối xứng. chăng hạn với n = 2. n = 3. n = 4. biểu diễn hình học các số
ø, được cho trên hình 1.2.
y

Hinh 1.2

Ví dụ 1.4: Hãy tìm tất cả các ánh xạ f:

—› © sao cho:

Vze ©.ƒ(z)+zƒ/(-z)=l+z
Giải:
Nếu

tồn tại

fthì f(-z) — 2ffz) = 1 - z. Sau khi nhân cả hai về với —z,

cộng về với về, ta nhận được:

(+z

)/Œ z) =1+z”, chứng
to f(z)= 1 nếu z # ‡¡.

Đặt f()=œ+iBe

©,œ.Be R thì ƒ/(j)=l-i+iư—8