Về quy tắc fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THỦY

VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2015

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!!


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THỦY

VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TỐN CAO CẤP
Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƢU

Thái Nguyên - 2015


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp này là cơng trình nghiên cứu
của cá nhân tơi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo
sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê
Dũng Mưu.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong
luận văn này là hồn tồn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị
nào, phần tài liệu tham khảo được xếp đúng thứ tự và đủ các thông tin theo đúng
yêu cầu.
Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Thủy


Mục lục
Trang
Lời cam đoan……………………………………………………………… i
Mục lục…………………………………………………………………… ii
Danh sách kí hiệu ………………………………………………………...

iv

Lời nói đầu………………………………………………………............... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………. 4
1.1. Tập lồi………………………………………………………...

4

1.2. Hàm lồi……………………………………………………….. 5
1.3. Các phép tốn bảo tồn tính lồi ………………………... …… 7
1.4. Bài tốn tối ưu……………………………………………….

7

1.5. Tính liên tục của hàm số ……………………………….……

9

1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian………………………….……..

10

1.7. Ma trận xác định dương, nửa xác định dương. …………..….

11

1.8. Bổ đề Farkas. ………………………………………………… 11
1.9. Nón pháp tuyến. ………………………………………..…….

11

1.10. Dưới vi phân………………………………………………… 12
Chương 2. Quy tắc Fermat trong bài toán cực trị………………………… 14
2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến khơng có
ràng buộc………………………………………………………….

18

2.2. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc…… 22


2.3. Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi khơng có ràng
buộc……………………………………………………………….

27

2.4. Mở rộng ngun lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng
buộc………………………………………………………...……… 32
Chương 3. Áp dụng giải một số bài tốn phổ thơng…………… ….…..… 39
3.1. Áp dụng cho bài toán cực trị hàm một biến…………………... 39
3.2. Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất của hàm số nhiều biến ……………………..…..…..………..

43

Kết luận …………………………………………………...…..………….. 55
Tài liệu tham khảo………………………………………...…..…............... 56


Danh sách ký hiệu
n

Không gian Euclid n chiều

f '  x , f "  x

Đạo hàm (bậc 1 và bậc 2) của hàm số f(x)

lim
f  x
n a

Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a

[a,b]

Đoạn thẳng nối hai điểm a và b

.,.

Tích vơ hướng trong  n

f

Gradient của hàm f

2 f

Ma trận Hessian

f

Dưới vi phân của hàm f

NC  x 

nón pháp tuyến ngồi của C tại x


1

Lời nói đầu.
Trong việc ứng dụng tốn học vào các bài toán thực tiễn, các bài toán cực
trị là một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất. Những
yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng
thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích
lớn nhất … là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản
xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế những bài tốn cực trị cần có một chỗ
đứng xứng đáng trong chương trình tốn ở phổ thơng. Các phương pháp giải bài
tốn cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản. Trên phương diện
phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài tốn cực trị, đó
là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số. Với phương
pháp bất đẳng thức, sơ đồ cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của
hàm số f(x) trên miền C, ta sẽ chứng minh
i)

f(x)  M với mọi x thuộc C

ii)

Tồn tại x0 thuộc C sao cho f(x0) = M.

Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên C và dựa vào các định lý
của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M. Fermat – một luật sư, nhà toán
học người Pháp đã sử dụng cơng cụ đạo hàm để giải bài tốn cực trị bằng cách

đưa bài toán cực trị từ cách giải đánh giá bằng bất đẳng thức cần nhiều tư duy,
mẹo mực về cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn chỉ nhờ giải các phương trình
(đối với hàm số một biến) và hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến).
Quy tắc Fermat là một công cụ mạnh, cho phép bài tốn cực trị có được
lời giải tự nhiên
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu quy tắc Fermat trong từng bước phát
triển của nó từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong


2

giảng dạy và nghiên cứu về tốn tối ưu, có được cái nhìn tổng thế từ tốn cao
cấp vào tốn sơ cấp.
Nội dung luận văn được viết trong 3 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng…
Chương 2. Quy tắc Fermat.
Quy tắc Fermat và các ví dụ ứng dụng trong các trường hợp hàm số một
biến, khả vi, khơng có ràng buộc, phát triển đến hàm một biến khả vi, có
điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng
buộc, tổng quát nhất là bài tốn hàm nhiều biến, khơng khả vi và có ràng
buộc. Sau mỗi bước phát triển ta đều có thể quay trở về bài tốn sơ cấp
trước đó bằng cách bổ sung thêm giả thiết. Từ đó thấy được các bước phát
triển của quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Tốn cao
cấp vào tốn sơ cấp.
Chương 3. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài tốn phổ thơng.
Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài tốn phổ thơng, từ những bài
tốn đơn giản đến những bài toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp
quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải trong
chương trình phổ thơng.

Do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn này cịn nhiều thiếu
sót, kính mong q thầy cơ và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu và
hoàn thiện luận văn hơn nữa.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH Lê
Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.


3

Bên cạnh đó, tác giả cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại
học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu đã tạo
điều kiện giúp tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015
Học viên

Phạm Thị Thủy


4

Chƣơng 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản về hàm lồi, tập lồi,
các khái niệm cực tiểu cực đại, bài toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp
hai. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3],
[4], [5].

1.1. Tập lồi
Định nghĩa 1.1.
Một tập C  n được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua 2
điểm bất kỳ của nó. Tức C là lồi khi và chỉ khi
x, y  C,  0,1   x  (1   ) y  C.

Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x1, x2 ,..., xk nếu
k

k

j 1

j 1

x    j x j ,  j  0j  1,..., k ,   j  1

Một điểm x  C được gọi là điểm cực biên của C nếu x không thể biểu diễn
được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt bất kì nào của C, tức
khơng tồn tại y, z  C, y  z sao cho x   y  1    z với 0    1.
Ví dụ 1.1.
Trong 1 các khoảng

 a, b  a  1    b |   0,1 ,


5

đoạn

a, b  a  1   b | 0,1
là các tập lồi, đoạn  a, b có hai điểm cực biên là x = a và x=b.
Trong  2 các đa giác lồi, hình trịn, hình elip là các tập lồi.
Trong  3 các khối đa diện, khối cầu là các tập lồi.
1.2. Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.
Cho C  n là một tập lồi và f : C   . Ta sẽ ký hiệu
domf : x  C f ( x)  

Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của f .
Định nghĩa 1.3.
Cho   C  n là một tập lồi và hàm f : n    . Ta nói f là hàm lồi
trên C, nếu
f   x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C ,    0,1

hàm f : n    được gọi là hàm lồi chặt trên C, nếu
f   x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C ,    0,1

hàm f : n    được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số   0 , nếu
x, y  C,    0,1 có
1
f   x  1    y    f  x   1    f  y    1    x  y
2

2

Bằng quy nạp ta chứng minh được nếu f nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì
với mọi số tự nhiên m và mọi x1,..., xm  C thỏa mãn

6

m

1  0,..., m  0,   j  1 ,
j 1

ta có
 m
 m
f  j x j   j f x j
 j 1
 j 1

 

(Bất đẳng thức Jensen).

Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu  f lồi trên C.
Các ví dụ về hàm lồi
1. Hàm a-phin f  x  : aT x   trong đó a  n ,   là một hàm vừa lồi vừa lõm
trên toàn khơng gian. Khi   0 , thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.
2. Hàm chỉ. Cho C   là 1 tập lồi.
Đặt
0 khi x  C
 khi x  C

 C  x  : 

Ta nói C là hàm chỉ của C. Do C lồi nên C là một hàm lồi.

3. Hàm mặt cầu. Cho S : x  n | x  1 là một mặt cầu và h : S   là một hàm
bất kỳ. Định nghĩa hàm f như sau:
0
khi x  1

f  x  : h  x  khi x  1

 khi x  1

Hàm này được gọi là hàm mặt cầu và là một hàm lồi trên n .
4. Hàm khoảng cách. Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định
x y
nghĩa bởi dC  x  : min
yC

5. Hàm chuẩn. Giả sử x   x1 ,..., x
f  x  : x 1 : max xi
i

n




7

1

Hoặc f  x  : x :  x12  ...  xn2  2
6. Hàm số một biến. Hàm số f :  a, b    khả vi cấp hai liên tục trên (a,b) và

có f " x   0x   a, b  thì lồi trên (a,b).
1.3. Các phép tốn bảo tồn tính lồi
Cho f và g là hai hàm xác định trên C và không nhận giá trị  . Với mọi
x  C ta định nghĩa các hàm:

 f  g  x  : f  x   g  x 
  f  x  :  f  x  ,  là số thực.
Mệnh đề dưới đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.1.
(i) Cho f và g là hai hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A và B, với A  B   .
Khi đó hàm   f     g  lồi trên A  B với mọi   0,   0 .
(ii) Giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm lồi cũng là một hàm lồi.
Tức là nếu fi : C   i   và dãy số

 f  x  hội tụ với mỗi
i

x  C thì hàm

f  x  : lim fi  x  cũng lồi trên C.
i 

(iii) Nếu f : C   lồi trên tập lồi C và hàm một biến  : I   không giảm
trên khoảng I, sao cho f C   I thì hàm hợp   f lồi trên C.
1.4. Bài toán tối ƣu
Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau:

hoặc

min  f  x  : x  C

(P)

max  f  x  : x  C

(P’)


8

trong đó C  X khác rỗng ( X là một khơng gian nào đó), thơng thường
X  n và f : C   .

Định nghĩa 1.4. Một điểm x*  C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C
(Nghiệm tối ưu địa phương của (P)) nếu tồn tại một lân cận U của x* sao cho

 

f x*  f  x  x  U  C

Điểm x*  C được gọi là cực đại địa phương (Nghiệm tối ưu địa phương của
(P’)) nếu

 

f x*  f  x  x  U  C

Nếu f  x*   f  x  x  C thì x* được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt
đối của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P)).
Nếu f  x*   f  x  x  C thì x* được gọi là cực đại tồn cục hay cực đại tuyệt đối

của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P’)).
Mệnh đề 1.2. Cho f : n     lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương
trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa tập hợp các điểm cực tiểu của
f là một tập lồi. Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại, sẽ duy nhất.

Chứng minh.
Cho C   n . Giả sử x* là điểm cực tiểu địa phương trên C của f . Khi đó
tồn tại lân cận U của x* sao cho

 

f  x   f x* x  U  C
x  C , 0    1

do C lồi và U

là lân cận của x*  C

nên ta có điểm

x : 1    x *  x  C  U khi  đủ nhỏ. Do f  x*   f  x  và f lồi, ta có

 

 

f x*  f  x   1    f x*   f  x 


9

suy ra f  x*   f  x  . Chứng tỏ x* là điểm cực tiểu toàn cục của f .
Giả sử x* , y*  C là các điểm cực tiểu của f trên C, vậy

 

 

f x*  f y*  f  x  x  C . Lấy z* :  x*  1    y* với 0    1 . Do C lồi nên
z*  C và do f lồi nên

 

 

 

f z*   f x*  1    f y*  f  x 

Suy ra z* cũng là điểm cực tiểu của f trên C. Chứng tỏ tập các điểm cực tiểu
của f trên C là lồi. Dễ thấy rằng tập hợp này chỉ gồm nhiều nhất một điểm khi
f lồi chặt.

Cực đại hàm lồi. Các tính chất cực đại của một hàm lồi khác hẳn các tính
chất về cực tiểu của nó. Cụ thể,cực đại địa phương của một hàm lồi khơng nhất
thiết là cực đại tuyệt đối. Ví dụ hàm f  x   x2 có điểm cực đại địa phương trên
[-1, 2] là x = -1, nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x = 2. Nếu xét hàm này trên
[-2,2] ta thấy các điểm cực đại tuyệt đối của nó trên đoạn này khơng lồi vì nó chỉ
gồm 2 điểm 2 và -2. Dưới đây nếu khơng nói gì thêm thì ta hiểu cực đại là cực
đại tuyệt đối.

1.5. Tính liên tục của hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập mở C  n . Hàm f được gọi là liên tục
tại điểm x0  C nếu với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho f  x   f  x0    với
mọi x  C thỏa mãn x  x0   . Nói cách khác, hàm số f là liên tục tại x0  C





nếu với mọi dãy xn   C hội tụ đến x0 , ta có f  xn   f  x0  .
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại điểm x0  C nếu với
mọi   0 , tồn tại   0 sao cho

f  x   f  x0   

 f  x  f  x    
0


10

với mọi x  C thỏa mãn x  xn   .
Nói cách khác, hàm số f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại x0  C nếu



với mọi dãy xn   C hội tụ đến x0 , và dãy f  x

lim
f x   f x

n
n

0



n

   hội tụ, ta có

 lim f  x   f  x   .
n

0

n

Rõ ràng nếu f là nửa liên tục dưới tại x0  C thì  f là nửa liên tục trên tại

x0  C . Hàm f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại x0  C thì liên
tục tại điểm đó.
Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên C
nếu nó liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của C.
1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian
Cho hàm f xác định trên tập mở C  n . Giả sử rằng tại x0 , các đạo
hàm riêng của hàm f theo mọi biến tồn tại. Khi đó vec tơ

 f  x0  f  x0 
f  x0  

,
,...,



x

x

x
1
2
n



T

được gọi là gradient của f tại x0  C và kí hiệu f  x0  .
Nếu các đạo hàm cấp hai theo mọi biến của f tại x0 đều tồn tại thì ma trận

  2 f  x0 
 2 f  x0  



x1xn 
 x1x1






 2

 2 f  x0  
  f  x0 




x

x
xn xn 
n
1

được gọi là ma trận Hessian của f tại x0 kí hiệu là 2 f  x0  .


11

Điểm x  C là điểm dừng của f trên C lồi nếu



n

f x , x  x  0, x  C trong đó a, b  aT b   a j b j .

j 1



Nói riêng, nếu f x  0 thì x là điểm dừng.
1.7. Ma trận xác định dƣơng, nửa xác định dƣơng.
Cho A là một ma trận đối xứng thực cấp n,
A được gọi là một ma trận nửa xác định dương, nếu xT Ax  0, x n , là một
ma trận xác định dương nếu xT Ax  0, x  n , x  0 .
A được gọi là một ma trận nửa xác định âm nếu xT Ax  0, x n , là một ma
trận xác định âm nếu xT Ax  0, x  n , x  0 .
1.8. Bổ đề Farkas.
Cho vectơ p n và ma trận A cấp m  n , muốn cho p, x  0 với mọi x
nghiệm đúng Ax  0 điều kiện cần và đủ là tồn tại vectơ u   m sao cho u  0
và p  AT u ( p biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính khơng âm các vec tơ
hàng của A).
1.9. Nón pháp tuyến.
Một tập C được gọi là nón nếu
  0,x  C  x  C

một nón được gọi là nón lồi nếu đồng thời nó là một tập lồi.
Cho tập C  n là một tập lồi và một điểm x  C . Ký hiệu

NC  x   w| w,y  x  0y  C .


12

Hiển nhiên 0  NC  x  . Dùng định nghĩa, kiểm tra được NC  x  là một nón lồi
đóng, nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. Tập  N C  x  được

gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x. Hiển nhiên

 NC  x   w| w,y  x  0,y  C.
Khi C là một tập mở (trường hợp riêng là C  n ) thì NC  x   0 .
1.10. Dƣới vi phân
Cho f :  n     . Ta nói x* n là dưới đạo hàm của f tại x nếu

x* ,z  x  f  x   f  z  ,z.
Tương tự đối với hàm lồi khả vi thông thường biểu thức này có nghĩa là phương
trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số, tuy nhiên khác với trường hợp khả
vi, tiếp tuyến ở đây có thể khơng tồn tại duy nhất.
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là f  x  . Nói chung
đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong  n . Khi f  x    thì ta nói f khả
dưới vi phân tại x. Theo định nghĩa, một điểm x* f  x  khi và chỉ khi nó thỏa
mãn một hệ vơ hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy f  x  là giao của các
nửa khơng gian đóng. Vậy f  x  ln là một tập lồi đóng (có thể rỗng).
Ví dụ 1.3.
1. f  x   x ,x  n . Tại điểm x = 0 hàm này khơng khả vi, nhưng nó khả
dưới vi phân và





f  0  x* | x* ,x  x ,x

2. f  C là hàm chỉ của một tập lồi C   . Khi đó với x0  C





C  x0   x* | x* ,x  x0  C  x  ,x


13

Với x  C , thì C  x    , nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy





C  x0   x* | x* ,x  x0  0,x  C  NC  x 0 
Vậy đưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại điểm x0  C
chính là nón pháp tuyến ngồi của C tại x0.


14

Chƣơng 2

QUY TẮC FERMAT TRONG
BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất năm
1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của
lý thuyết số hiện đại.
Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy
bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê tốn học

với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách.
Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực. Ơng được mệnh danh là "Ơng
Hồng của những người nghiệp dư". Trong những thư từ trao đổi với các nhà
tốn học, ơng ln viết những phát biểu cho định lí mới nhất của mình, nhưng
khơng gửi kèm chứng minh. Và ơng thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Việc
ơng khơng bao giờ tiết lộ chứng minh của mình cho mọi người biết khiến họ rất
bực mình. Rene Descartes đã gọi Fermat là "thằng cha khốc lác", cịn John
Wallis thì gọi ơng là "gã người Pháp chết tiệt". Khi Blaise Pascal ép ông cơng
bố chứng minh, nhà tốn học đã nói: "Bất cứ cơng trình nào của tơi cũng xứng
đáng được cơng bố, nhưng tơi khơng muốn tên tơi xuất hiện ở đó.". Ơng là một
người ưa bí mật, ơng sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình để miễn là khơng bị
quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của những người phê bình.
Phạm vi các định lí của Fermat trải rộng từ định lí cơ bản đến những định lí đơn
thuần chỉ có tính giải trí, và thơng thường định lí được phát biểu ở mức độ ngắn


15

nhất có thể hiểu nổi và khơng có một lời gợi ý hay một chứng minh nào. Sau khi
Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ
năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4
tập dày. Qua đó, người đời vơ cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng
góp dồi dào của ơng. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó
có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat. Trong hình học,
ơng phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường
cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện
cơnic. Trong giải tích, ơng nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ
hữu tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số
mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của
quang học.

Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào
sự phát triển bước đầu của tốn học. Đặc biệt, ơng được nhớ đến qua sự khám
phá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ của đường
cong. Ông cũng nghiên cứu về lý thuyết số và có nhiều đóng góp trong các lĩnh
vực hình học giải tích, xác suất và quang học.
Vào những năm 1630 khi khái niệm đạo hàm cịn chưa được định nghĩa
thì Fermat đã biết sử dụng nó để giải các bài tốn cực trị như một cơng cụ mới
mẻ đầy hiệu quả.
Ơng xét bài tốn sau: Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao
cho tích của 2 phần này là lớn nhất?
B-A

A

B

Hình 2.1.


16

Đáp án của bài tốn này thì người ta đã biết từ trước (tích lớn nhất khi ta chia
đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau) nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới.
Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn
thứ hai sẽ là: B-A và tích của 2 phần là: A( B  A)  AB  A2

.

Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình
có đưa ra một ngun lý: “Một bài tốn nào đó nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ

đạt được giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) trong trường hợp chỉ có một nghiệm”. Ta
sẽ dành một chút thời gian để minh họa nguyên lí này của Pappus bởi vì đây là
một ngun lí rất thú vị và có ích.
Xét bài tốn đơn giản sau: Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d cho
trước, hãy xác định điểm N trên d sao cho độ dài đoạn AN là nhỏ nhất?
A

d
M

N

Hình 2.2.

M'

.

Hãy giả sử chúng ta tìm được một điểm M nào đó nằm bên trái thỏa mãn
yêu cầu đề bài (tức là làm cho đoạn AM nhỏ nhất). Khi đó nói chung ln có
một điểm M’ nằm bên phải để cho AM = AM’ cho nên nếu M là nghiệm của bài
tốn này thì M’ cũng phải là nghiệm và bài tốn sẽ ln có 2 nghiệm. Ngun lý
Pappus phát biểu rằng, giá trị cực tiểu sẽ đạt được trong trường hợp chỉ có một
nghiệm, mà muốn vậy thì M  M ' . Điều này chỉ xảy ra khi M chính là chân
đường vng góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài tốn này.
Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng ngun lí của Pappus thì lại rất hữu ích


17

trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau. Bây giờ hãy trở lại với bài tốn
của Fermat.
Ơng giả sử rằng bài tốn trên cịn có thêm một đáp số thứ hai nữa (tức là
có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất), với đáp số thứ hai này chúng ta
sẽ gọi đoạn thứ nhất là A  E khi đó đoạn cịn lại là: B  A  E . Tích của chúng
lúc này bằng: AB  A2  2 AE  BE  E 2 .

.

Bởi vì giá trị lớn nhất phải là duy nhất cho nên hai đáp số trên đều phải cho ra
tích giống nhau, nghĩa là:

AB  A2  2 AE  BE  E 2  AB  A2  2 AE  E 2  BE
Rút gọn 2 vế cho E ta được: 2A  E  B

.

Mặt khác theo nguyên lý Pappus thì 2 nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị
lớn nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại. Thế là Fermat
cho E = 0, từ đó ơng thu được kết quả A 

B
, mà đây cũng chính là đáp số của
2

bài tốn trên. Cách làm của Fermat có cái gì đó vừa độc đáo vừa kì qi, ơng giả
sử rằng bài tốn có 2 nghiệm và chúng khác nhau một lượng E. Lúc đầu ông
xem E khác 0 và rút gọn E ở hai vế, sau đó ơng ta vận dụng ngun lí Pappus và
nói rằng muốn đạt được cực trị thì nói chung E khơng nên tồn tại và thế là cho E
= 0 cuối cùng lại thu được đáp số chính xác. Cách làm này thật quái lạ đối với

đa số các nhà tốn học thời kì đó, cịn với thì hiện tại khi mà chúng ta đã học về
đạo hàm thì ta sẽ hiểu được rốt cuộc thì Fermat đã làm cái gì để giải được bài
tốn đó.

.

Bài tốn mà Fermat giải là xác định A để hàm số f  A lớn nhất, và việc
Fermat xem f  A  E   f  A  f  A  E   f  A  0 sau đó rút gọn biểu
thức cho E rồi cho E = 0 nếu nói theo ngơn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc
trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó:


18

lim
E 0

f  A  E   f  A
 0  f '  A  0
E

Đây chính là nội dung định lí Fermat về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12.
Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quy tắc Fermat và các bước phát triển
của quy tắc này qua các bài toán tối ưu đối với hàm số khả vi một biến khơng có
ràng buộc, hàm số khả vi một biến có ràng buộc, hàm số khả vi nhiều biến
khơng có ràng buộc và có ràng buộc, hàm số không khả vi. Nội dung của
chương được tham khảo chủ yếu ở các tài liệu [1], [4], [6], [7].
2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến khơng có ràng buộc
Ở đây, khơng gian X trong bài toán (P) là X  

Xét bài toán:

min { f  x  ; x }

 P1 

max { f  x  ; x }

 P '

Hoặc
1

trong đó f :    khả vi
Để giải bài toán trên ta sử dụng định lý Fermat
Định lý 2.1. (Định lý Fermat).
Nếu f :    là một hàm số khả vi thì mỗi điểm cực đại (cực tiểu) địa
phương đều là điểm dừng, nghĩa là là nghiệm của phương trình f’(x) = 0.
Chứng minh.
Giả sử f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 và có đạo hàm tại x0. Khi đó f(x)
xác định trên một khoảng  x  ; x    với một   0 và trên khoảng này ta có:
f  x0  x   f  x0   0 với mọi x  


19

Do đó:
f '  x0   lim
x 0

f '  x0   lim
x 0

f  x0  x   f  x0 
x
f  x0  x   f  x0 
x

0

0

Suy ra f’(x0) = 0.
Định lý Fermat ở đây chỉ nêu điều kiện cần của cực trị. Mệnh đề đảo của
định lý khơng đúng, ví dụ hàm số f(x) = x3 tại x = 0. Để tìm được cực trị, ta dùng
định lý Fermat tìm ra các điểm “nghi vấn”, sau đó sử dụng các điều kiện đủ để
kiểm tra cực trị.
Định lý 2.2. (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị).
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K =  x0  ; x0   và có đạo hàm trên K
hoặc K\{x0}, với   0 .
a) Nếu f '  x   0 trên khoảng  x0  ; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0   
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f '  x   0 trên khoảng  x0  ; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0   
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
c) Nếu f '  x  không đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số khơng đạt cực trị tại
x0 .
Chứng minh.
a) Vì hàm số f(x) liên tục trên K và f '  x   0 trên khoảng  x0  ; x0  và f '  x   0
trên khoảng  x0 ; x0    nên ta có
f  x0  x   f  x0   0 với mọi x  