Khóa luận tốt nghiệp nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
-------------------

NGUYỄN THỊ THU THẢO

ẠI

Đ
Ọ

H
C

TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG

SƯ

TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ

ẠM

PH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H

Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết

N
2

HÀ NỘI - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
-------------------

NGUYỄN THỊ THU THẢO

ẠI

Đ

TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG
TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ

Ọ

H
C

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƯ

Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết

ẠM

PH

Người hường dẫn khoa học

N

H
2

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2018


ẠI
Đ

C
Ọ
H

SƯ

ẠM
PH

N
H

2

LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn đến
các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết cùng các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy chúng em trong suốt quá
trình học tập, rèn luyện tại trường.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt q trình thực hiện khóa
luận.

ẠI

Đ

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời
gian nên khóa luận vẫn cịn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự nhận xét và góp

Ọ

H

ý của các thầy cơ và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn.

C

Em xin chân thành cảm ơn!

SƯ

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

ẠM

PH
Nguyễn Thị Thu Thảo.

N

H
2


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS
Lưu Thị Kim Thanh, em đã hồn thành khóa luận tốt nghiêp đúng thời hạn. Đề tài khóa
luận có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Em xin cam đoan đây là những
kết quả nghiên cứu của mình, khơng trùng với các kết quả của tác giả khác.
Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018

ẠI

Đ

Sinh viên

Ọ

H
C

Nguyễn Thị Thu Thảo.

SƯ
ẠM

PH
N

H
2


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................ 2
4. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................................... 2

ẠI

Đ

5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận .................................................................................................... 2

Ọ

H

CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU 3
Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất ........................................... 3

1.2

Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân .................................... 3

C

1.1

SƯ

1.2.1. Khái niệm chung về phiếm hàm ...................................................................... 3

PH

1.2.2 Phép tính biến phân .......................................................................................... 4

ẠM

1.2.3 Phương trình Euler........................................................................................... 5
1.2.4 Một số bài tốn vật lý và phép tính biến phân ................................................ 6

H

1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu ............................................ 10

N

Kết luận chương 1 ....................................................................................................... 13

2

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ
ĐIỂN .............................................................................................................................. 14
2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển ............................................... 14
2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích ............................................. 17
2.2.1 Nội dung nguyên lý ......................................................................................... 17
2.2.2 Chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát của cơ học
................................................................................................................................. 19
Kết luận chương 2 ....................................................................................................... 23


CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ HIỆN
ĐẠI................................................................................................................................. 24
3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và sự khơn ngoan của ánh sáng.............................. 24
3.1.1 Giải thích ba định luật cơ bản của quang học và đường truyền của tia sáng
trong môi trường chiết suất thay đổi. ...................................................................... 24
3.1.2 Ứng dụng phép tính biến phân tìm đường truyền của tia sáng. .................... 26
3.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ. ................................................. 28
3.2.1 Hàm tác dụng của trường điện từ ................................................................. 28
3.2.2 Phương trình chuyển động của một hạt ......................................................... 30

Đ

ẠI

3.2.3 Các phương trình trường điện từ .................................................................. 32

H

3.3 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường ............................................ 33

Ọ

3.3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu. .......................................................................... 33

C

3.3.2 Các định luật bảo toàn .................................................................................. 36

SƯ

Kết luận chương 3 ....................................................................................................... 43

PH

KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 45

ẠM
N

H
2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý là một nghành khoa học tự nhiên rất thú vị. Nó bao trùm nhiều lĩnh vực
như: Quang học, điện, cơ học, vật lý hạt nhân, vật lý lý thuyết… Trong đó, Vật lý lý
thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý. Thuyết vật lý
là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật
lý nhất định. Bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học các nhà
vật lý lý thuyết đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật
lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả

Đ

ẠI

năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn.
Trong thực tế, ta thấy giả sử một vật chuyển động từ điểm A đến điểm B,

H

Ọ

trong hàng triệu con đường vật luôn chọn con đường sao cho thời gian mà nó sử

C

dụng là ngắn nhất. Vì sao vậy? Dấu hiệu nào đề vật tìm ra con đường đó?

SƯ

Nguyên lý tác dụng tối thiểu sẽ giúp chúng ta tìm ra câu trả lời cho những câu

PH

hỏi trên. Về mặt lịch sử, nó được gọi là "tối thiểu" bởi vì nghiệm của nó địi hỏi
phải tìm quỹ đạo có sự thay đổi ít nhất từ các quỹ đạo gần. Đây là nguyên lý tổng

ẠM

quát nhất của vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một

N
H

tiên đề. Từ nguyên lý người ta có thể rút ra các phương trình chuyển động của hệ đó
bằng phát biểu rằng quỹ đạo của hệ phải thỏa mãn trung bình hiệu giữa động năng

2

và thế năng là nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong một khoảng thời gian hay hàng loạt các
biểu thức, định nghĩa, khái niệm đặc trưng trong cơ học cũng như các nguyên lý,
các định luật bảo tồn trong vật lý học hiện đại. Chính vì những lý do trên, tơi đã
chọn ngun lý tác dụng tối thiểu làm đề tài khóa luận của mình, với nội dung
“Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý ”. Tơi muốn mở rộng vốn kiến thức cịn
hạn chế của mình đồng thời giới thiệu đến các bạn sinh viên trong tồn khoa.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học và trong vật lý học
hiện đại.

1

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Tìm hiểu các khái niệm về phiếm hàm, bài tốn đơn giản của phép tính
biến phân.
- Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển và cơ học
giải tích.
- Tìm hiểu về ngun lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Nguyên lý tác dụng tối thiểu.

Đ

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp Vật lý lý thuyết.

ẠI

Ọ

H

- Phương pháp tính tích phân.

C

6. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu

SƯ

Chương 2: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học

ẠM

PH

Chương 3: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại

N
H
2
2


CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC
CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU
1.1 Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất
Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho tồn
giới Tốn học ngày đó bằng bài tốn được tóm tắt một cách dễ hiểu như sau:
"Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn
thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?" [5]
Trực giác của chúng ta có thể cho rằng đó là một đường thẳng nhưng thực ra

Đ

khơng phải như vậy, mặc dù đường thẳng là đường có độ dài ngắn nhất. Trong một

ẠI

cuốn sách của mình đã được xuất bản 1638, Nhà khoa học Galile cũng đã đề

H

Ọ

cập đến bài toán này và chứng minh được rằng quỹ đạo là cung trịn thì nhanh hơn

C

quỹ đạo thẳng. Tuy vậy sự lựa chọn đường đi là cung tròn của ơng khơng phải là lời

SƯ

giải đúng.

Bài tốn đã được giải bằng phương pháp vi phân và đáp án chính là đường

PH

Cycloid. Bài tốn và lời giải cũng chính là minh họa cho một trong những nguyên

ẠM

lý đẹp nhất của Vật lý học: Nguyên lý tác dụng tối thiểu, nó được phát biểu môt
cách đơn giản như sau “ tự nhiên luôn thực hiện mọi việc một cách hết sức tiết kiệm

N
H

và dè sẻn!” [5]

2

1.2 Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân
1.2.1. Khái niệm chung về phiếm hàm

Giả sử cho một phiếm hàm, tức là cho quy luật ứng với mỗi hàm (hoặc đường
cong) thuộc một tập nào đó đặt tương ứng với một con số xác định. Do vậy cũng
có thể xem phiếm hàm là hàm, trong đó vai trị của biến độc lập là hàm hoặc là
đường cong.
Để hiểu rõ hơn về phiếm hàm ta xét ví dụ sau:
Giả sử y(x) là hàm bất kì liên tục khả vi trên đoạn  a, b . Ta xác định phiếm hàm

J  y  trên tập các hàm này bởi đẳng thức:

3


b

J  y    y2  x  dx ,
a

hoặc tổng quát hơn
b

J  y    F  x, y  x  , y  x  dx .
a

Trong ví dụ trên ta bắt gặp các phiếm hàm có dạng như sau:
b

J  y  =  F  x, y, y  dx.
a

1.2.2 Phép tính biến phân
Các bài tốn liên quan đến phiếm hàm đã có từ rất lâu, chẳng hạn như các bài

Đ

tốn của Euler. Tuy nhiên, cho đến ngày nay chưa có đủ các phương pháp tổng qt

ẠI

để tính tốn đối với phiếm hàm tương tự như giải tích cổ điển ( tính tốn đối với các

H

Ọ

hàm). Một lĩnh vực tương đối phát triển là phương pháp tìm giá trị cực đại và giá trị

C

cực tiểu của phiếm hàm. Lĩnh vực này có tên là phép tính biến phân, vì vậy khái

SƯ

niệm biến phân của phiếm hàm đóng vai trị quan trọng. Về cơ bản, ta có thể hiểu

PH

phép tính biến phân là một phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểu của phiếm
hàm. [1]

ẠM

Để có thể hiểu được cặn kẽ bản chất các bài toán và phương pháp của phép

N
H

tính biến phân ta cần làm rõ mối quan hệ của chúng với các bài tốn của giải tích cổ
điển, cụ thể là với việc nghiên cứu các hàm n biến. Xét phiếm hàm:
b

2

J  y  =  F  x, y, y  dx, y  a   A, y  b   B ,
a

với mỗi đường cong y  y  x  cho tương ứng với một con số nào đấy. Khi đó ta
chia đoạn  a, b bằng các điểm a  xo , x1 , x2 ,..., xn1  b thành  n  1 phần bằng nhau
và thay đường cong bởi đường gấp khúc với các đỉnh:

 x0 , A ,  x1 , y  x1   ,...,  xn1, B  ,
còn phiếm hàm J  y  ta sẽ thay bằng tổng
n
y  yi 


J  y1 ,..., yn    F  xi , yi , i 1
 h,
h 
i 0


4

h  xi 1  xi .


Mỗi đường gấp khúc ở trên được xác định một cách đơn trị bởi các tung độ

y1 , y2 ,..., yn . Vì vậy bài tốn biến phân có thể xem gần đúng như bài tốn tìm cực trị
của hàm J  y1 , y2 ,..., yn  n biến. Euler hay sử dụng cách này. Tìm cực trị của hàm n
biến, sau đó nhờ chuyển giới hạn khi n   nhận được nghiệm chính xác.
1.2.3 Phương trình Euler
Giả thiết rằng F(x, y, z) là hàm có đạo hàm riêng liên tục theo mọi đối số của
nó đến cấp hai.
Bài toán biến phân đơn giản được thiết lập như sau: trong tất cả các hàm y(x)
có đạo hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B hãy tìm hàm để

Đ

cho phiếm hàm:

ẠI

b

a

C

Ọ

H

đạt cực trị yếu.

J  y    F  x, y, y dx ,

Nói cách khác, bài tốn đơn giản của phép tính biến phân trở thành bài tốn tìm

SƯ

cực trị yếu của phiếm hàm J trên tập các đường cong trơn nối hai điểm cho trước.

PH

Cho hàm y(x) một số gia nào đấy h(x). Để hàm y(x) + h(x) vẫn thỏa mãn điều

ẠM

kiện biên tức là y(a) + h(a) = A và y(b) + h(b) = B, nên ta phải có:
h(a) = h(b) = 0.

N
H

Tính gia số của phiếm hàm
b

b

a

a

2

J   F  x, y  h, y  h dx   F  x, y, y dx
b

   Fy  x, y, y  h  Fy  x, y, y  hdx  ...
a

các dấu chấm biểu thị các số hạng bậc cao hơn một đối với h và h’,
đạo hàm riêng của F tương ứng đối với y và y’.
Biểu thức:
b

  F  x, y, y h  F  x, y, y hdx ,
y

y

a

chính là vi phân của phiếm hàm J.

5

,

là kí hiệu


Theo định lý điều kiện cần của cực trị là đẳng thức
b

 J    Fy h  Fy h dx  0 .
a

Từ bổ đề: Nếu
b

 a  x  h  x   b  x  h  x  dx  0 ,
a

với mọi hàm h  x   D1 sao cho h  a   h  b   0 thì b  x  vi phân được và

a  x   b  x   0 , ta suy ra:
Fy 

Đ

d
Fy  0 .

dx

ẠI

Hệ thức này chính là phương trình Euler.

H

1.2.4 Một số bài tốn vật lý và phép tính biến phân

C

Ọ

Có rất nhiều bài tốn cơ học và vật lý đóng vai trị quan trọng trong sự phát
triển của phép tính biến phân, sau đây ta xét một vài ví dụ về bài tốn vật lý được

SƯ

giải quyết một cách đơn giản thơng qua phép tính biến phân:

PH

1. Trong số tất cả các đường thẳng nối giữa hai điểm cho trước A và B tìm

ẠM

đường có độ dài ngắn nhất, tức là tìm đường y = y(x) để cho phiếm hàm:
J y =

b

1  y2 dx

a

N
H



đạt cực tiểu. Đường phải tìm là đường thẳng nối A và B.

2

Chứng minh:
Ta mơ tả bài tốn bằng hình vẽ dưới đây:

Hình 1: Một đường cong đơn giản.

6


Theo hình vẽ ta có:

ds 2  dx 2  dy 2  1  y2  dx 2 , với y 

dy
.
dx

Để tìm đường nối hai điểm A và B, ta lấy tích phân ds từ cận a đến b, khi đó ta
có biểu thức thể hiện chiều dài đường cần tìm là:
b

b

a

a

J  y    ds   1  y2 dx.
b

Đặt F   1  y2 dx .
a

Áp dụng phương trình Euler có dạng:

Đ

F d F

 0.
y dx y

ẠI

F
y

, nên:

y
1  y 2

C

Ọ

F
 0,
y

H

Ta có:

y

 y 

 C  const ,

C

A

(trong đó A là một hằng số khác)

N

H

1 C2

ẠM

1  y 2

PH



SƯ

d
y
0
dx 1  y2

 y  Ax+B .

2

Vậy đường có độ dài ngắn nhất nối hai điểm A và B là đường thẳng.
2. Giả sử cho A và B là hai điểm cố định. Thời gian để một chất điểm dưới tác
dụng của trọng lực trượt dọc theo một đường nào đấy nối hai điểm khi đó sẽ phụ
thuộc vào cách chọn điểm đó, tức là một phiếm hàm. Tìm đường cong để chất điểm
trượt từ A đến B với thời gian là ngắn nhất (bỏ qua ma sát và lực cản). Đây là bài
toán đoản thời do I. Bernoulli, J. Bernoulli, Newtơn và L’Hoopital giải quyết.
Đường đoản thời là Cycloid.

7


Chứng minh:

Hình 2: Một hạt trượt xuống một đường cong ma sát từ điểm O đến B.
Chọn gốc tọa độ trùng với điểm A, A  0,0   O , hệ Oxy như hình vẽ.

Đ

ẠI

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta được:
2

C

Ọ

H

1  ds 
m    mgy  0
2  dt 

SƯ



ds
 2 gy  v .
dt

hàm theo đường cong y:

ẠM

PH

Chúng ta xây dựng tích phân phù hợp và xét tổng thời gian thực hiện T như một

b

T  y 

 dt

mà v 

 dt 

ds
khi đó:
v

2

ds
dt

N
H

x 0

T  y 

b

ds
.
x 0 v



Sử dụng cơng thức v  2 gy , ta được:
b

T  y  
0

1  y 2
dx .
2 gy

Áp dụng phương trình Euler- Lagrange với:

F

8

1  y 2
y


vì F khơng chứa x nên phương trình Euler- Lagrange có dạng:

F  y

F
 c,
y

hay là:
1  y2 y 

dy
1  c2 y

dx
c2 y

y 



1
c

c2 y
 dx 
dy .
1  c2 y

(1)

Đ

c2 y 

1
1  cos 
2

ẠI

Đặt:

H

1
1  cos  .
2

Ọ

 1  c2 y 

(2)

(3)

C

1
sin  d
2c 2

1


sin cos d .
2
c
2
2

ẠM

 dy 

(4)

PH

dy 

SƯ

Đạo hàm 2 vế phương trình (3) ta được:

N
H

Thay (2), (3) và (4) vào (1) ta có:



2

c2 y
1  cos 1


dx 
dy 
sin cos d
2
2
1 c y
1  cos c
2
2
1

sin 2 d
2
c
2

 dx 

1
1  cos  d .
2c 2

(5)

Lấy tích phân hai vế của (5) ta được:
1
2c 2


 1  cos d   dx
1
1  cos   x  c
2c 2

(6)

9


đường cong đi qua A(0,0). Khi x=0, y cũng phải bằng 0. Nhưng y 

1
1  cos 
2c 2

vì thế khi y = 0 thì  cũng phải bằng 0. Do đó, x    0 phải thỏa mãn phương

trình trên và c  0 .
Kết quả là, đường cong mà ta cần tìm dược xác định bởi phương trình tham số:
x

1
  sin  
2c 2

y

1
1  cos 
2c 2

Đây chính là phương trình một đường Cycloid. Vậy đường đoản thời là đường

Đ

Cycloid. [6]

ẠI
C

Ọ

H
SƯ
ẠM

PH

Hình 3: Đường Cycloid đi từ (0,0).

N
H

1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu

2

Ta xét một số ứng dụng các kết quả đã nghiên cứu được của phép tính biến
phân vào các bài toán cơ học của vật lý. Giả sử cho hệ n chất điểm với các khối
lượng lần lượt

,

, …,

và có tọa độ tương ứng

,

,

( i = 1, 2, …,n). Giả

thiết rằng khơng có ràng buộc nào đặt lên hệ.
Động năng của hệ bằng:

T   mi
i 1 2

n

 xi  y i  z i 
2

2

2

(1.1)

Giả thiết hệ có thế, nghĩa là tồn tại hàm lực

U  t , xi , yi , zi  ,

(1.2)

sao cho các thành phần lực tác dụng lên chất điểm thứ i bằng:
10


Xi  

U
U
U
, Yi  
, Zi  
.
xi

yi
zi

Gọi V = -U là thế năng của hệ, đại lượng
L=T+U=T–V

(1.3)

gọi là hàm Lagrange của hệ cơ học đang xét. Rõ ràng L là hàm của tọa độ và vận
tốc của chất điểm lập nên hệ và thời gian. Giả sử tại thời điểm t0 hệ ở vị trí xác định
nào đấy. Sự tiến hóa của hệ đang xét theo thời gian mô tả bằng một đường cong nào
đấy trong không gian 3n chiều được xác định bằng các phương trình:

xi  xi  t  ,

yi  yi  t  ,

zi  zi  t  , ( i = 1,2,….,n).

Trong số tất cả các đường đi qua điểm ban đầu, thì đường mơ tả chuyển động

Đ

ẠI

thực của hệ đang xét dưới tác dụng của lực phải thỏa mãn điều kiện sau đây, được

H

gọi là nguyên lý tác dụng tối thiểu.

C

Ọ

Chuyển động của hệ trong khoảng thời gian (t0, t1) được mô tả bằng các hàm
xi(t), yi(t), zi(t), (i = 1, 2, …, n), các hàm này làm cực tiểu phiếm hàm
t1

 T  V  .

t0

(1.4)

PH

 L dt
t0

SƯ

t1

ẠM

Biểu thức (1.4) được gọi là tác dụng theo Hamilton.
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra, nguyên lý này tương đương với các phương trình

N

H

chuyển động thơng thường của hệ n điểm. Nếu phiếm hàm (1.4) đạt cực tiểu thì các
phương trình Euler phải được thỏa mãn:

L d L

 0,
yi dt yi

2

L d L

 0,
xi dt xi

( i =1,2,…,n).

(1.5)

L d L

 0,
zi dt zi

Hàm lực U chỉ phụ thuộc vào xi, yi, zi (và không phụ thuộc vào ̇ , ̇ , ̇ ), cịn
T là tổng của bình phương vận tốc với hệ số
dưới dạng:

11

, ta có thể viết hệ phương trình (1.5)


U d
 mi xi  0,
xi dt
U d
 mi yi  0,
yi dt
U d
 mi zi  0.
zi dt
Vì

U U U
là các thành phần của lực tác dụng lên chất điểm thứ i, cuối cùng
,
,
xi yi zi

ta được:

mi xi  X i ,

mi yi  Yi ,

mi zi  Zi ,

Đ

đây là các phương trình chuyển động thơng thường của hệ n chất điểm. Nguyên lý

ẠI

tác dụng tối thiểu cũng vẫn đúng trong trường hợp khi đặt lên một hệ một vài ràng

Ọ

H

buộc (liên kết). Trong trường hợp này các đường khả dĩ trên đó xác định phiếm hàm
(1.4) phải thỏa mãn thêm các ràng buộc, tức là sử dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu

C

SƯ

vào hệ có liên kết dẫn đến bài tốn biến phân cực trị có điều kiện.

ẠM

PH
N
H
2
12

Kết luận chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu về cơ sở toán học của nguyên lý tác
dụng tối thiểu với các nội dung cơ bản gồm: Khái niệm chung về phiếm hàm là cơ
sở giúp chúng ta hiểu rõ hơn về phép tính biến phân, phương trình Euler, một số bài
toán vật lý và cuối cùng là vận dụng phép tính biến phân để tìm hiểu về nguyên lý
tác dụng tối thiểu.

Đ
ẠI
C

Ọ

H
SƯ
ẠM

PH
N
H
2
13


CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU
TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN
2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển
Trong thực tế một vật có thể di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác theo hàng
triệu con đường khác nhau. Tuy nhiên, hình như chúng ta chỉ thấy vật lựa chọn cho
mình một con đường duy nhất giữa điểm khởi đầu và điểm kết thúc. Theo Feynman,

con đường đó chính là con đường quan trọng đối với sự chuyển động của các vật vĩ
mô trong vơ số con đường. Và đây cũng chính là quỹ đạo chuyển động xuất hiện từ

Đ

các định luật cổ điển của Newton.

ẠI

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về mối quan hệ giữa nguyên lý tác
Xét đại lượng:

t2

C

Ọ

H

dụng tối thiểu và các định luật Newton.

t1

SƯ

S   L  x, x, t  dt ,

(2.1)

PH

S được gọi là hàm tác dụng. Đó là một đại lượng có đơn vị là (Năng lượng)(Thời

ẠM

gian). S phụ thuộc vào L, L lại phụ thuộc vào x  t  thông qua phương trình

N
H

L  T  V . Cho trước hàm bất kỳ x  t  , chúng ta có thể tính trước đại lượng S. Bây
giờ chúng ta sẽ chỉ xét trường hợp chỉ có một tọa độ, x.

2

Các tích phân giống như trong phương trình (2.1) được gọi là các phiếm hàm,
và S đơi khi được kí hiệu bởi S  x  t  . Nó phụ thuộc vào tồn bộ hàm x  t  , và
khơng chỉ phụ thuộc vào một số đầu vào như là một hàm f  x  thơng thường. S có
thể xem như là một hàm của một số vô hạn các biến, gọi là các giá trị của x  t  đối
với t biến thiên từ t1 đến t2.
Bây giờ đặt câu hỏi như sau: Xét một hàm x  t  , với t1  t  t2 , có điểm đầu và
điểm cuối là cố định (nghĩa là x  t1   x1 và x  t2   x2 trong đó x1 và x2 được cho

14


trước), và có giá trị bất kì tại các điểm khác. Hỏi với giá trị nào của hàm x  t  thì S
sẽ có một điểm dừng? [4]
Ví dụ như ta xét một quả bóng rơi từ trạng thái nằm yên và xét hàm y(t) với 0

 t  1. Giả sử rằng bằng cách nào đó chúng ta biết rằng y  0   0 và y 1  

g
.
2

Có một số khả năng đối với y(t) được chỉ ra trong Hình 4 và trong mỗi khả năng đối
với y(t) này có thể được thay vào trong phương trình (2.1) và phương trình

L  T  V để tính tốn ra S. Với khả năng nào chúng ta có thể nhận được điểm
dừng của S? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời.

Đ
ẠI
C

Ọ

H
SƯ
PH
Hình 4

ẠM

Nội dung định lý: Nếu hàm x0  t  làm cho biến phân S đạt giá trị dừng, thì

N
H

d  L  L
.


dt  x0  x0

(2.2)

2

Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng thực tế là nếu một hàm x0  t  nào đó làm cho
phiếm hàm S đạt giá trị dừng, thì bất kì hàm nào rất gần với x0  t  (với cùng các
điểm đầu và điểm cuối) về cơ bản sẽ cho giá trị của phiếm hàm S là giống nhau, với
sai khác tới bậc nhất của bất cứ độ lệch nào của x0  t  . Sự tương đối đối với các
điểm thông thường nếu là f(b) là một giá trị dừng của f, thì f  b    có giá trị sai
khác đối với f(b) chỉ là một đại lượng vô cùng bé bậc hai của  . Điều này là đúng
bởi vì f   b   0 ,vì vậy khơng có số hạng bậc nhất trong khai triển của chuỗi Taylor
trong lân cận xung quanh b.

15


Giả sử hàm x0  t  làm cho phiếm hàm S đạt giá trị dừng, và xét hàm

xa  t   x0  t   a  t  ,

(2.3)

trong đó a là một số,   t  thỏa mãn   t1     t2   0 , và có giá trị tùy ý tại các
điểm khác. Khi tính tốn hàm tác dụng S  xa  t  trong (2.1), biến t sẽ được lấy tích

phân lên, vì vậy S chỉ là một số. Nó phụ thuộc vào a cùng với t1 và t2. Yêu cầu của
chúng ta là đạo hàm bậc nhất của S theo biến a bằng 0 khi đó S sẽ phụ thuộc vào a
như thế nào?
Sử dụng quy tắc đạo hàm hợp, ta có:

Đ

ẠI



L
S  xa  t   
Ldt   dt

a
a t
t a
t2

t2

1

1

 L xa L xa 
 

dt .

xa a 
t  xa a
t2

1

C

Ọ

H

(2.4)

Nói cách khác a ảnh hưởng đến S thơng qua ảnh hưởng của nó đến x và cũng

SƯ

thơng qua ảnh hưởng của nó vào x . Từ phương trình (2.3), ta có :

ẠM

PH

xa
xa
  và
  , thay vào (2.4) ta được:
a
a

t
 L

L 
S  xa  t     

 dt .
a
xa 
t  xa
2

(2.5)

N
H

1

Sử dụng

2

 d L 
L
L

dt




 x
  dt x   dt ,
xa
a
a 

Phương trình (2.5) trở thành:
t
 L d L 

L t2
S  xa  t     

 .
 dt 
t1
a

x
dt

x

x
t 
a
a 
a
2

1

16

(2.6)


Nhưng   t1     t2   0 , do đó số hạng cuối cùng sẽ bị triệt tiêu. Bây giờ chúng ta
sẽ sử dụng thực tế là


S  xa  t   phải bằng 0 đối với bất cứ   t  nào, bởi vì chúng
a 

S  xa  t   0 thì:
a 

ta đang giả thiết rằng x0  t  là điểm dừng. Để thỏa mãn

d  L  L
.


dt  x0  x0

(2.7)

L
L

 mx0 và
 kx0 ,
x0
x0

Ta đặt

khi đó phương trình (2.7) trở thành:

Đ
ẠI

mx0  kx0

F  ma .

H

hay

C

Ọ

Đây chính là biểu thứ của định luật II Newton.
2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích

SƯ

2.2.1 Nội dung nguyên lý

PH

Ta khảo sát một cơ hệ hơlơnơm có N chất điểm với s bậc tự do. Vị trí khả dĩ

qk  t ,  ,

ẠM

của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó được xác định bởi s tọa độ suy rộng

 k  1,2,..., s 

trong đó t là biến số và  là thông số thực. Khi thay 

N
H

bằng    thì hàm qk  t ,  sẽ thay đổi và chuyển từ hàm qk  t ,  thành hàm

2

qk  t ,    . Đại lượng:

 qk  qk  t ,     qk  t ,  

qk



gọi là biến phân của hàm qk.
Giả sử ứng với giá trị

= 0 các hàm qk  t ,0  = qk  t 

 k  1, 2, ...,s  diễn tả

chuyển động thực của cơ hệ trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Khi đó chuyển động
khả dĩ phù hợp với liên kết đặt lên cơ hệ rất gần với chuyển động thực của nó trong
khoảng thời gian từ t1 đến t2 diễn tả bằng các hàm qk  t ,   k  1,2,..., s  với  là
số thực có trị khá nhỏ. Tại thời điểm t1 và t2 các hàm qk trùng nhau cho nên ta có:

17


 qk  t1   0,  qk  t2   0

(2.8)

Bây giờ ta trình bày nguyên lý tác dụng tối thiểu mô tả chuyển động của cơ hệ
hôlônôm trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Trong mỗi cơ hệ hôlônôm được đặc
trưng bởi một hàm L nào đó có dạng:

L  L  q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., qs , t   L  qk , qk , t 
gọi là hàm Lagrange. Hàm này xác định mọi đặc tính vật lý của cơ hệ hôlônôm.
Lượng vô hướng Ldt gọi là tác dụng nguyên tố theo Hamiltơn . Tích phân:
t2

S   L  qk , qk , t 

(2.9)

t1

Đ

gọi là tác dụng theo Hamiltơn trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Đặt qk  qk  t , 

ẠI

và qk  qk  t ,  vào (2.9) ta có, tác dụng S là hàm của biến duy nhất là :

H

t2

Ọ

S     L  qk  t ,  , q  t ,  , t dt .

(2.10)

C
t1

SƯ

Biến phân của tác dụng S sẽ là:

S

 L

     dt    Ldt .


t  
t
t2

t2

1

ẠM

PH

S 

(2.11)

1

Trên cơ sở khảo sát biến phân này, ta có nội dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu

N
H

có nội dung như sau: Chuyển động thực của cơ hệ từ thời điểm t1 đến thời điểm t2
chỉ xảy ra sao cho tác dụng S có giá trị cực trị (chính xác hơn là có giá trị dừng),

2

 S 
tức là khi 
  0 . [3]
   0
Điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu:

 S  0  0 .
Ta có:

t2

t2

t1

t1

 S    Ldt    Ldt ,

s 

L qk
L qk
d 
d 
mà  L   
qk 

k 1  qk 


18

(2.12)