Toan 11 c1 b3 1 ham so luong giac tự luận de

C
H
Ư
Ơ
N

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3: HÀM SỐ SỐ LƯỢNG GIÁC

LÝ THUYẾT.
I
=
=
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
=
I

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Page 45

Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
b) Hàm số tuần hồn

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y sin x

  1;1 và
Hàm số y sin x xác định trên  , nhận giá trị trên đoạn
sin   x   sin x, x  
 Là hàm số lẻ vì:
.
 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 .
Hàm số y sin x nhận các giá trị đặc biệt:
 sin x 0  x k , k   .


sin x 1  x   k 2 , k  
2

.
sin x  1  x 




 k 2 , k  
2

Đồ thị hàm số y sin x :

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y cos x

  1;1 và
Hàm số y cos x xác định trên  , nhận giá trị trên đoạn
cos   x  cos x, x  
 Là hàm số chẳn vì:
.
 Là hàm số tuần hồn với chu kỳ 2 .
Hàm số y cos x nhận các giá trị đặc biệt:

cos x 0  x   k , k  
2

.
 cos x 1  x k 2 , k   .
 cos x  1  x   k 2 , k  
Đồ thị hàm số y cos x :
Page 46

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y tan x


sin x
 \   k , k  
2
 , nhận giá trị trên  và

cos x xác định trên
Hàm số


tan   x  tan x, x   \   k , k  
2
.
 Là hàm số chẳn vì:
y tan x 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ  .
Hàm số y tan x nhận các giá trị đặc biệt:
 tan x 0  x k , k   .


tan x 1  x   k , k  
4

.
tan x  1  x 




 k , k  
4

Đồ thị hàm số y tan x :

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y cot x

Hàm số

y cot x 

 Là hàm số lẻ vì:

cos x
sin x xác định trên  \  k , k   , nhận giá trị trên  và

cot   x   cot x, x   \  k ; k  

.

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ  .
Hàm số y cot x nhận các giá trị đặc biệt:

cot x 0  x   k , k  
2

.


cot x 1  x   k , k  
4

.

Page 47

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cot x  1  x 




 k , k  
4

Đồ thị hàm số y cot x :

II
=
=
=
I
1
=
=
=
I

HỆ THỐNG BÀI
TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

KIẾN THỨC CẦN TH

IẾT.
TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
Hàm số

y=sin x ; y=cos x có tập xác định là  .



 \   k , k  
y

tan
x
2
.
Hàm số
có tập xác định là

 \  k , k  
Hàm số y cot x có tập xác định là
.
PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm điều kiện để hàm số có nghĩa
+ Giải ra điều kiện
+ Suy ra tập xác định của hàm số
Chú ý: Cho hàm số
y  f  x 
+
+

lưu ý

y  f  x  2n Q  x 
y  f  x 

+

P  x
Q  x

y  f  x

thì

xác định bởi:

Q  x  0

.

y  f  x

có nghĩa khi

Q  x  0

.

P  x
2n

Q  x

lưu ý

Q  x  0

.

Page 48

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

+

y tan  u  x  


 u  x    k ; k  
2
xác định

.

+

y cot  u  x  

xác định

2
=
=
=
I

 u  x  k ; k  

.

BÀI TẬP.

Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số

y tan( x 
y cot 2 (



)
6

2
 3 x)
3

y

tan 2 x

 cot(3 x  )
sin x  1
6

y

tan 5 x
sin 4 x  cos 3 x

Câu 4:

Tìm tập xác định của hàm số

Câu 5:

Tìm tập xác định của hàm số y  3  2 cos x

Câu 6:

Tìm tập xác định của hàm số

Câu 7:

Tìm tập xác định của hàm số

y sin

y 3cot  2 x  3

y

sin x
sin x  cos 2 x
2

Câu 8:

Tìm tập xác định của hàm số

Câu 9:

Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y sin x  cos x


y cot   x 
2

e)

2
2x  1

b). y sin x  4

1  tan x
y
sin x
c)

f). y  3  2 cos x

1  sin x
y
cos x
g)

  tan 2 x

y cot  3 x   
6  sin x  1

i)



y tan  x  
4


d).

h)

y

sin x
sin x  cos 2 x
2



y  5  2 cot 2 x  sin x  cot   x 
2

j)

Câu 10: Tìm m để hàm số sau xác định trên .
a) y  2m  3cos x b)

y

2
sin 2 x  2sin x  m  1

Page 49

Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
y  5  m sin x   m  1 cos x
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
xác định
trên .

Page 50

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 2. XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1
=
=
=
I

KIẾN THỨC CẦN TH
IẾT.

Định nghĩa:
- Hàm số

Cho hàm số

y  f  x

xác định trên D

f được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D , ta có  x cũng thuộc D và

f   x  f  x .
- Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D , ta có  x cũng thuộc D và

f   x   f  x  .
Phương pháp giải
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
 Nếu Nếu D là tập đối xứng (tức là x  D   x  D ), ta thực hiện tiếp bước 2.
 Nếu Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là x  D mà  x  D ), ta kết luận hàm số không chẵn
cũng không lẻ.
Bước 2: Xác định
 Nếu Nếu
 Nếu Nếu

f   x

f   x  f  x

, khi đó:

kết luận hàm số là hàm chẵn.

f   x   f  x 

kết luận hàm số là hàm lẻ.

 Nếu Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Chú ý: Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có:
1. Hàm số y sin x là hàm số lẻ.
2. Hàm số y cos x là hàm số chẵn
3. Hàm số y tan x là hàm số lẻ.
4. Hàm số y cot x là hàm số lẻ.

Page 51

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* Lưu ý: Một số cơng thức liên quan đến việc xử lí dấu “  ’’
1. Công thức hai cung đối nhau:
sin   x   sin x; cos   x  cos x; tan   x   tan x; cot   x   cot x
2.
3.

 x x

  x

n

x n

n

 x  x n

khi n chẵn và  
khi n lẻ.

2 BÀI TẬP.
=
=
=
Câu 12: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
I
a) y 2 x sin x y 2 x sin x.
y

c)

cos 2 x
.
x

b) y cos x  sin 2 x.
7
d) y tan 2 x.sin 5 x.

Câu 13: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
9 

y sin  2 x 

2 

b)

a) y tan x  cot x

y
c)

sin 2020 n  x   2020
cos  x 

, n

f  x  3m sin 4 x  cos 2 x
Câu 14: Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
là hàm chẵn.
DẠNG 3: TÍNH TUẦN HỒN CỦA HÀM SỐ

1
=
=
=
I

KIẾN THỨC CẦN TH
IẾT.
y  f  x
Định nghĩa: Hàm số
có tập xác định là D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại
một số T 0 sao cho với mọi x  D ta có:
 x  T  D và x  T  D .

f  x T   f  x


.

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì hàm số tuần hồn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y sin x tuần hồn với chu kì T 2 ; hàm số
y cos x tuần hồn với chu kì T 2 ; hàm số y tan x tuần hồn với chu kì T  ; Hàm số
y cot x tuần hoàn với chu kì T  .
Chú ý:
Page 52

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hồn và tìm chu kì của nó.
 Sử dụng các kết quả sau:

 

- Hàm số y .sin(ax  b) ( .a 0) là một hàm số tuần hồn với chu kì
- Hàm số y .cos(ax  b) ( .a 0) là một hàm số tuần hồn với chu kì
- Hàm số y .tan(ax  b) ( .a 0) là một hàm số tuần hồn với chu kì

2
a

 

2
a

 


a

 


a

- Hàm số y .cot(ax  b) ( .a 0) là một hàm số tuần hồn với chu kì
y  f  x
- Nếu hàm số
chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là 1 , 2 ,..., n thì
hàm số f có chu kì  là bội chung nhỏ nhất của 1 , 2 ,..., n .

y  f  x
y  f  x  c
- Nếu hàm số
tuần hồn với chu kì T thì hàm số
(c là hằng số) cũng là
hàm số tuần hồn với chu kì T.

y  f  x
Một số dấu hiệu nhận biết hàm số
khơng phải là hàm tuần hồn
y  f  x

Hàm số
khơng phải là hàm tuần hồn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:
+ Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn.
+ Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x  a hoặc x  a .
f  x  k
+ Phương trình
có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn.
f  x  k
+ Phương trình
có vơ số nghiệm sắp thứ tự:
...  xn  xn 1  ...
mà

xn  xn 1  0

hay  .

2 BÀI TẬP.
=
=
=
CâuI 15: Xét tính tuần hồn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:

y cos 2 x  1 .

2 
2 
y sin  x  .cos  x 
5 
5 .

Câu 16: Xét tính tuần hồn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:
Câu 17: Xét tính tuần hồn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau:

y cos x  cos

Câu 18: Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hồn và tìm chu kì của nó:



3.x

y



1
sin x .

Page 53

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 19: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số f ( x) a sin cx  b cos dx là hàm
c
số tuần hoàn khi và chỉ khi d là số hữu tỉ.

Câu 20: Cho hàm số y  f ( x) và y  g ( x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là T1 , T2 . Chứng
T1

minh rằng nếu T2 là số hữu tỉ thì các hàm số f ( x) g ( x); f ( x).g ( x) là những hàm số tuần
hồn.
Câu 21: Tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:
2
a) y 1  sin 5 x. b) y cos x  1 .

2 
2 
y sin  x  .cos  x 
5 
 5  . d) y cos x  cos
b) c)
Câu 22: Tìm chu kỳ của hàm số:



f  x  sin 3x  3cos 2 x

3.x



.

Page 54

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1

KIẾN THỨC CẦN TH
IẾT.

=
PHƯƠNG
PHÁP GIẢI TOÁN
=
2
0 
  1 sin x 1 0  sin x 1 0 sin x 1
=




2
0

cos
x

1
0

cos
x


1
0

1

cos
x

1


I


1) 
2)
3)
4) 

Câu 23:

sin x 1
cos x 1

2 BÀI TẬP.
=
=
=
Tìm GTLN - GTNN của các hàm số sau:

I
a. y 2  3cos x .



y 3sin  x    2
6

b.
.

2
c. y  4 cos 2 x  1 .

d.

y 2  sin x  cos x   3
4

e.

4

.

y 3  2 sin x

.

  3 

x ; 
 8 8  .
f. y 3sin 2 x  12 với

x  
y 4 cos 2  
 7
x   0;  
2
12


g.
với
.
Câu 24: Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau:
2
a. y  2sin x  3sin x  1
2
b. y cos x  2sinx  2

c. y cos x  2 cos 2 x
2

d.

y  1  cos 2 x   2 cos 2 x  1

2
 0;  

e. y 2sin x  sin x  2 trên đoạn

  
  2 ; 4 
y

2
cos
x

cos
2
x

8
f.
trên đoạn
.
  
 ; 
g. y tan x  tan x  1 trên đoạn  4 4  .
2

h. y sin x  cos x  4sin x cos x  7 .
Page 55

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

i. Tìm min của hàm số:

y sin 2 x 

1
1
 sin x 
2
sin x
sin x với 0  x   .

Page 56

Sưu tầm và biên soạn