Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (100.07 KB, 4 trang )
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
Các hằng đẳng thức lượng giác:
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan
cos
1
1 cot
sin
tan .cot 1
x x
x
x
x
x
x x
+ =
= +
= +
=
Công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin2 2sin .cos
x x x x x
x x x
= − = − = −
=
Công thức hạ bậc hai:
2
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
sin
2
x
x
x
x
+
=
−
=
Công thức cộng:
(
)
( )
sin sin .cos sin .cos
cos cos .cos sin .sin
a b a b b a
a b a b a b
± = ±
± = ∓
(Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau)
Chú ý:
- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a
a a a a a
=
= − = − = −
- Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:
3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −
= −
Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
= − − +
= + + −
Chú ý:
(
)
( )
sin sin
cos cos
x x
x x
− = −
− =
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
[ĐVH]
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .cos
2 2
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −
Công thức biến tính theo
2
2
2
2
2
sin
sin 2
1
tan tan
2 cos
1
1
cos
1
=
+
= ⇒ ⇒ = =
−
−
=
+
t
x
x x t
t
t x
x
t
t
x
t
Một số các công thức cần nhớ nhanh
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos )
+ = + −
x x x x x x
;
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos )
− = − +
x x x x x x
4 4 2 2 2
1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
+ = − = − = +
x x x x x x
6 6 2 2 2
3 5 3
sin cos 1 3sin .cos 1 sin 2 cos4
4 8 8
+ = − = − = +
x x x x x x
π π
sin cos 2sin 2 cos
4 4
+ = + = −
x x x x ;
π π
sin cos 2sin 2 cos
4 4
− = − = − +
x x x x
cos( )
1 tan .tan
cos .cos
−
+ =
a b
a b
a b
;
2
tan cot
sin 2
+ =x x
x
II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
1
sin cos
I xdx x C
= = − +
∫
( )
( )
8
2
1
tan
cos
dx
I ax C
ax a
= = +
∫
( ) ( )
2
1
sin cos
I ax dx ax C
a
= = − +
∫
9
2
cot
sin
dx
I x C
x
= = − +
∫
3
cos sin
I xdx x C
= = +
∫
( )
( )
10
2
1
cot
sin
dx
I ax C
ax a
= = − +
∫
( ) ( )
4
1
cos sin
I ax dx ax C
a
= = +
∫
11
sin
tan ln cos
cos
xdx
I xdx x C
x
= = = − +
∫ ∫
2
5
1 os2 sin 2
sin
2 2 4
c x x x
I xdx dx C
−
= = = − +
∫ ∫
12
cos
cot ln sin
sin
xdx
I xdx x C
x
= = = +
∫ ∫
2
6
1 cos2 sin 2
cos
2 2 4
x x x
I xdx dx C
+
= = = + +
∫ ∫
2
13
2
1
tan 1 tan
cos
I xdx dx x x C
x
= = − = − +
∫ ∫
7
2
tan
cos
dx
I x C
x
= = +
∫
2
14
2
1
cot 1 cot
sin
I xdx dx x x C
x
= = − = − − +
∫ ∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
1
sin 2
I xdx
=
∫
b)
2
2
cos 4
I xdx
=
∫
c)
2 4
3
cos .sin=
∫
I x xdx
Hướng dẫn giải:
a)
( )
2
1
1 cos4 1 1 1 1
sin 2 1 cos4 sin4 sin 4 .
2 2 2 4 2 8
x x
I xdx dx x dx x x C x C
−
= = = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
b)
( )
2
2
1 cos8 1 1 1 1
cos 4 1 cos8 sin8 sin8 .
2 2 2 8 2 16
x x
I xdx dx x dx x x C x C
+
= = = + = + + = + +
∫ ∫ ∫
c)
S
ử
d
ụ
ng liên ti
ế
p các công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c hai cho sin
2
x và cos
2
x ta
đượ
c:
( )
2
2
2
2 4 2 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos 2 1 cos2
cos .sin cos . sin . . .
2 2 2 2 2 4 2
x x x x x x x
x x x x
+ − + − − − −
= = = = =
( )
2 2 2
1 1 1
sin 2 . 1 cos2 sin 2 sin 2 .cos2
8 8 8
x x x x x
= − = −
Khi đó
( )
2 4 2 2 2
3
1 1 1 1 cos4 1
cos .sin sin 2 sin 2 .cos2 sin 2 sin2
8 8 8 2 16
−
= = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x
I x xdx xdx x xdx dx xd x
3
3
6
1 1 1 sin 2 1 1 1
sin 4 . sin 4 sin 2 .
16 64 16 3 16 64 48
x
x x C I x x x C
= − − + → = − − +
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
7
sin3 .cos
I x xdx
=
∫
b)
8
cos2 .cos3
I x xdx
=
∫
c)
9
sin3 sin
dx
I
x x
=
+
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c bi
ế
n
đổ
i tích thành t
ổ
ng ta
đượ
c
( )
1
sin3 .cos sin4 sin 2
2
x x x x
= +
T
ừ
đ
ó
( ) ( )
7
1 1 1 1 1 1 1
sin4 sin 2 sin4 sin 2 os4 cos2 os4 cos2 .
2 2 2 4 2 8 4
I x x dx x x dx c x x C c x x C
= + = + = − − + = − − +
∫ ∫
b)
( )
8
1 1 1 1 1
cos2 .cos3 cos5 cos sin5 sin sin5 sin .
2 2 5 10 2
I x xdx x x dx x x C x x C
= = + = + + = + +
∫ ∫
c)
( )
9
2 2 2
2 2
1 sin 1 (cos )
sin3 sin 2sin2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4
1 cos .cos
dx dx dx xdx d x
I
x x x x x x x x
x x
= = = = = −
+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
( )
(
)
( )
2 2
9
2 2
2 2 2 2
1
1 1 1
cos
4 4 4 1
1 . 1 .
t t
dt dt dt
x t I dt
t t
t t t t
− +
= → = − = − = − +
−
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Mà
( ) ( )
( )( )
1
2
9
2
2
1
1 1 1 1
ln .
1 1
1 1 1 1
4 2 1
ln
1 2 1 1 2 1 1 2 1
dt
C
t t
t
I C
t t
dt dt dt t
t t
dt C
t t t t t t
= − +
+
→ = − − + +
− + +
+
−
= = + = +
− − + + − −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Thay t = cosx vào ta
đượ
c
9
1 1 1 1 cos
ln .
4 cos 2 1 cos
x
I C
x x
+
= − − + +
−
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin .sin 2 .cos5=
∫
I x x xdx
b)
2
sin3 .cos4
tan 2 cot 2
=
+
∫
x x
I dx
x x
c)
3
3
sin
3sin4 sin6 3sin 2
=
− −
∫
x
I dx
x x x
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
3
1
cos .cos3=
∫
I x xdx
b)
2
2
cos .cos2=
∫
I x xdx
c)
4 4 6 6
3
(sin cos )(sin cos )
= + +
∫
I x x x x dx
Ví dụ 5:
[ĐVH].
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin cos2=
∫
I x xdx
b)
2
sin3 cos=
∫
I x xdx
c)
2 2
3
(2sin sin .cos cos )
= − −
∫
I x x x x dx
