E1 0d4 t3 bđt tiet 1x
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.42 MB, 12 trang )
LỚP
10
IV
1
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM MAX - MIN
Nhắc lại BĐT Cơ-si cho số khơng âm
BĐT Cơ-si
, ta có:
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
2
BĐT Cô-si ngược dấu cho số không âm
BĐT Cô-si ngược dấu
, ta có:
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
LỚP
10
3
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
ĐỊNH NGHĨA VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số xác định trên tập
Giá trị lớn nhất
là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên tập
nếu
Giá trị nhỏ nhất
là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên tập
nếu
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên .
Bài giải
, Ta có: .
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta được:
Dấu xảy ra khi
Vậy GTNN của hàm số đã cho là khi .
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 2
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên .
Bài giải
, ta có: .
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ngược dấu, ta được:
Dấu xảy ra khi
Vậy GTLN của hàm số đã cho là khi .
( 𝑥 +1 ) ¿
LỚP
Đại số
10
4
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Nhận xét
Bài giải
Nếu áp dụng BĐT Cơ-si ngay, ta có:
2
2
+𝑥 ≥ 2 𝑥. =2 √ 2
𝑥
𝑥
√
Ở đây dấu khơng xảy ra vì
ta có:
Khi đó:
.
Dấu xảy ra khi
𝑥= 2 ⇔ 𝑥 2= 2⇒ 𝑥=± √ 2∉ ¿
𝑥
Do đó ta cần chọn điểm rơi cho bài toán tại
.
Vậy GTNN của hàm số đã cho là khi .
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên .
Bài giải
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho 5 số dương, ta được
3
3
3
3
ta có: .
𝑥 𝑥
1 1 1
𝑥 1 1 1
5
5 𝑥
+ + 2+ 2 + 2 ≥5
. . 2 . 2 . 2= 5
2 2 𝑥 𝑥 𝑥
2 2 𝑥 𝑥 𝑥 √4
Dấu xảy ra khi
√
Vậy GTNN của hàm số đã cho là khi .
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 5
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên .
Bài giải
Ta có: .
, ta có .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được
4
4
𝑦 =𝑥 −1+
≥ 2 ( 𝑥 −1 ) .
=4
𝑥 −1
𝑥−1
Dấu xảy ra khi
Vậy GTNN của hàm số đã cho là khi
√
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 6
Cho ba số thực khơng âm thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài giải
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm ta được:
𝑎 +2
3
3
3
𝑎 +1+1 ≥ 3 √
( 1)
𝑎 .1 .1=3 √ 𝑎 ⇒ √ 𝑎 ≤
3
Tương tự ta có:
𝑏+2
3
3
𝑏+1+1 ≥ 3 √
(2)
𝑏 ⇒ √𝑏 ≤
3
𝑐 +2
3
3
𝑐+ 1+1 ≥ 3 √
(3 )
𝑐 ⇒√𝑐 ≤
3
𝑎+𝑏+ 𝑐+6 3+6
3
3
3
L ấ y ( 1 )+ ( 2 ) + ( 3 ) v ế theo v ế ta đượ c : 𝑃 =√
𝑎+ √ 𝑏+ √ 𝑐 ≤
=
=3
3
3
Dấu xảy ra khi
Vậy GTLN của biểu thức là khi .
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 7
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài giải
Ta chọn điểm rơi bài tốn tại .
Nhận xét:
dụng BĐT Cơ-si cho 3 số không âm ta được:
Áp
3
𝑎
¿ ¿
T ươ ng t ự ta có:
3
𝑏
¿ ¿
3
𝑐
¿ ¿
LỚP
10
4
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 7
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài giải
𝑃 + 6 −2 𝑎 − 2 𝑏− 2 𝑐 ≥ 3 (𝑎 +𝑏+ 𝑐)
L ấ y ( 1 )+ ( 2 ) + ( 3 ) v ế theo v ế ta đượ c :
8
4
⇔ 𝑃+ 3 − 1 ( 𝑎+ 𝑏+𝑐 )≥ 3 (𝑎 +𝑏+𝑐 ) ⇔ 𝑃 ≥ ( 𝑎 +𝑏+ 𝑐 ) − 3 =1 − 3 = 1
4 4
4
4
4 4
𝑎=𝑏=𝑐= 1
Dấ u “=” xả y ra khi v à ch ỉ khi
3
V ậ y GTNN c ủ a bi ể u th ứ c 𝑃 l à 1 khi 𝑎=𝑏=𝑐= 1 .
4
3
LỚP
10
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
4
Ví dụ 8
Nhà
ơng A có một mảnh đất trống, ơng muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật
trên mảnh đất trống đó để trồng rau bằng lưới. Biết rằng một mặt của mảnh đất nhỏ
đó đã là tường nhà khơng cần rào, ơng A chỉ cần rào 3 mặt cịn lại của mảnh đất nhỏ
đó. Em hãy tính diện tích lớn nhất của mảnh đất nhỏ mà ơng A có thể rào được từ lưới
đó?
Bài giải
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là
(như hình vẽ);
y
x
Vì t ấ m l ưới c ủa ông A d ài 60𝑚 n ên d ựa vào h ì nh v ẽ ta có: 2 𝑥+𝑦=60⇒𝑦=60−2𝑥.
Di ện t í ch m ả nh đấ t nh ỏ h ì nh ch ữ nh ậ t l à 𝑆=𝑥 𝑦 =𝑥 ( 60 − 2 𝑥 )=2. 𝑥 (30 − 𝑥).
x
LỚP
10
4
Đại số
BÀI 1
Chương IV
BẤT ĐẲNG THỨC
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 8
Nhà
ơng A có một mảnh đất trống, ơng muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật
trên mảnh đất trống đó để trồng rau bằng lưới. Biết rằng một mặt của mảnh đất nhỏ
đó đã là tường nhà khơng cần rào, ơng A chỉ cần rào mặt cịn lại của mảnh đất nhỏ đó.
Em hãy tính diện tích lớn nhất của mảnh đất nhỏ mà ơng A có thể rào được từ lưới
đó?
Bài giải
Áp dụng BĐT Cơ-si cho hai số và . Ta có: .
D ấ u = x ả y ra khi 𝑥=30 − 𝑥 ⇔ 𝑥=15 ⇒ 𝑦=30
2
V ậ y di ện t í ch h ì nh ch ữ nh ậ t l ớ n nh ấ t l à 450𝑚 , đạ t đượ c khi 𝑥=15; 𝑦=30.
