Phần 9 ok

1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT.

u  3un 2  2
xác định bởi u1 1 và n 1
với mọi n 1 .
u 
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số n .

Bài 1. Cho dãy số

 un 

2
2
2
2
b) Tính tổng S u1  u2  u3  ...  u2011 .

Hướng dẫn giải
*
a) Dễ thấy un  0, n  N .

Từ

un 1  3un2  2  un21 3un2  2

.

2
v 3vn  2  vn 1  1 3  vn  1
Đặt vn un thì có: n 1

.

x 
Đặt xn vn  1 thì ta có: xn 1 3 xn . Từ đây suy ra n là cấp số nhân với x1 2 , công bội là 3.
n 1
n 1
n 1
Nên: xn 2.3  vn 2.3  1  un  2.3  1 .
0
1
2
2010
b) S 2.3  2.3  2.3  ...  2.3  2011 .

2  30  31  32  ...  32010   2011


2  32011  1
3 1

 2011

.

32011  2012 .

 un 

n
được xác định bởi u1 1 và un 1 un  2 với mọi n 1 .

n
a) Chứng minh rằng: un 2  1 .

Bài 2. Cho dãy số

b) Tính tổng S u1  u2  u3  ...  un theo n .
Hướng dẫn giải
1
2
a) Khi n 1 : u2 u1  2 1  2 2  1 đúng.
k
Giả sử uk 2  1 đúng với k 1, k  N .
k 1
Ta chứng minh: uk 1 2  1 .
k
k
k
k 1
Thật vậy: uk 1 uk  2 2  1  2 2  1 .

b)
S 2.

S  21  1   22  1  ...   2n  1 21  2 2  ...  2 n  n

.

2n  1
 n 2n 1  n  2
2 1

.

u1  2


un  2  1
un 1 
1  ( 2  1)un
Bài 3. Cho dãy số(un) xác định như sau: 

(n 1, n  )
.


a) Chứng minh:

tan


 21
8
.

b) Tính: u2015 .
Hướng dẫn giải.


2 tan






8
1 tan tan    
4
 8 8  1  tan 2   tan 2   2 tan   1 0
8
8
8
a) Ta có:
.


 tan 8  2  1


 tan   2  1  tan   2  1
tan

8
8
8 dương).
(Vì



tan(a  )  tan

8 tan(a  ) u 

8
8 tan(a  2.  )
u2 
3



8
8
1  tan a.tan
1  tan tan( a  )
u

2

tan
a
1
8
8
8
b) Đặt
, ta có:
,
.
tan a  tan


un tan(a  (n  1) ), n 1, n  
8

Ta chứng minh:
(*).
Với n 1 : u1 tan a đúng.


uk tan( a  ( k  1) )
8 .
Giả sử (*) đúng với n k , k 1 , hay ta có:



tan(a  (k  1) )  tan
u  21
8
8 tan(a  k .  )
uk 1  k

8
1  ( 2  1)uk 1  tan(a  (k  1)  ).tan 
8
8
Ta có:
.

un tan(a  (n  1) ), n 1, n  
8
Vậy (*) đúng với n k  1 . Vậy
.
Cho n 2015 , ta có:
tan(a 


3
3
u2015 tan( a  2014. ) tan( a 
 251 ) tan(a  )
8
4
4 .


21

)
( 2  1) 2 tan 2
4
2 1
8.

Bài 4. Cho dãy số thực

 un 

u1 1

u2  1
u 2u  u
*
n 1
n (n  N )

với  n 2
.

*
a) Chứng minh un 3  2n với mọi n  N .

b) Tính tổng S u1  u2  ...  u2012 .


Hướng dẫn giải.
a) Dùng phương pháp qui nạp.
u1 1 3  2.1 , u2 3  2.2  1 .

 k 3 .
Giả sử uk 3  2k
Ta có: uk 1 2uk  uk  1 2(3  2k )  (3  2(k  1)) .
1  2k 3  2(k  1) .
*
Vậy un 3  2n với mọi n  N .

b) S (3  2.1)  (3  2.2)  ...  (3  2.2012) .
3.2012  2(1  2  ...  2012) 6036  2013.2012  4044120 .

Bài 5. Cho dãy số

 vn 

v1 8

(n  N * )

v2 34
v 8v  1996v
n 1
n
với  n 2
.

Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011 .
Hướng dẫn giải.

Xét dãy số
Ta có

 un 

u1 8

(n  N * )
u2 34
u 8u  15u
n 1
n
với  n2
.

vn un  mod 2011

*
với mọi n  N .

2
Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15 0 .

Phương trình trên có nghiệm t 5, t 3 .

 un 

5 A  3B 8

có dạng un  A.5  B.3 . Vì u1 5, u2 13 nên  25 A  9 B 34 .Ta có: A B 1 .
n

n

n
n
Ta có: un 5  3 .

5
Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:
32010 1 mod 2011

.

52013 125  mod 2011 32013 27  mod 2011
Suy ra
,
.
Vậy khi chia u2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .
Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .

2010

1 mod 2011

.


u1 1

 un  : 

n
*
3  2un 1  un  2, (n   ) .

Bài 6. Cho dãy số
a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh dãy số
Ta có:

un 1 

 un 

là dãy số giảm.

un 1

*
2 3n ; Chứng minh: un 1  un n   bằng phương pháp quy nạp.

u1 1


5  u2  u1
u2  6
 Ta có:
.
 Giả sử: uk 1  uk ; k   và k  1 . Chứng minh: uk 2  uk 1 .
Ta có:

uk  2 

uk 1
u
u
1
1
1

 k 1  k  k 1  k  k uk 1
*
2
3
2 3
2 3
. Vậy un 1  un n   .

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

3
3n (2un 1  un ) 2  3n 1.un 1  3n.un  3
2
Ta có:
.
n
Đặt vn 3 un  6 , ta được:

3
3
vn 1  6  (vn  6)  3  vn 1  vn
2
2 .

v1 9

(vn ) : 
3

3
*
q
vn 1  2 vn , ( n   )
2.
Ta được:
là cấp số nhân có cơng bội
 3
vn v1.  
 2
Suy ra:

Vậy

un 

n 1

 3
9.  
 2

n 1

.

vn  6
 1 1
6.  n  n 
n

3
2 3 .

Bài 7. Tìm số hạng tổng quát của dãy

 xn 

biết rằng:.

 x0 1; x1 5; x2 125

2
2
 xn 2 xn xn  1 3  xn 1  xn  1  10 xn 1  xn  ( n  N * ).
Hướng dẫn giải.
Từ đề bài ta có: xn  0 với mọi n  N .


xn 2 3xn 1 10 xn


x
x
xn  1 với mọi n  N * .
n

1
n
Ta có:

Đặt

yn 

xn
xn  1 ta được yn 2  3 yn 1  10 yn 0 với mọi n  N * .

Vì phương trình đặc trưng của dãy

 yn  có hai nghiệm phân biệt

n N* .

x1

 y1  x 5

0

 y  x2 25
 2 x1
Với
ta có
n

n

 B 1

n

 A 0 . Suy ra yn 5 với mọi n  N * .

n 1

Ta có xn 5 .xn  1 5 .5 ....5.x0 5
Kết hợp với x0 1 , ta suy ra xn 5

n ( n  1) ...1

n2 n
2

5

n2 n
2

*
với mọi n  N .

với mọi n  N .

7

u

1

2
 un  : 

7u  4
un 1  n
, n  *
2un  5

Bài 8. Cho dãy số
.
a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

7
19
u1  ; u2   u1  u 2
2
8
Ta có:

.

Giả sử: uk  uk 1 với k >1. Cần chứng minh: uk 1  uk 2 .
uk 1 
Ta có:

Mà



uk  uk 1

7uk  4 7 27
1
7 27
1
 
.
 uk  2  
.
2uk  5 2 2 2uk  5
2 2 2uk 1  5 .


1
1

2uk  5 2uK 1  5 .

7 27

1
7 27
1

.
 
.
 uk 1  uk 2
2 2 2uk  5 2 2 2uk 1  5
(điều phải chứng minh).

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

n

n
 2;5 nên yn  A   2   B.5 với mọi


7
0  un  , n  *
2
Ta có
.

xn 

un  2

1
x1 
un  1 , ta có:
3

Xét dãy số

xn 1 

.

un 1  2 1  un  2  1
1
 
  xn
 xn  n
un 1  1 3  un  1  3  ( xn )
3
là cấp số nhân
.

un  2 1
2.3n 1
 n   3n  1 un 2.3n  1  un  n
.
un  1 3
3 1 .
1

u1  2016

 un  : 
u  2015un  1 , n  *
 n 1
2016
Bài 9. Cho dãy số
.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n   .

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n   .

u1 

1
1
2016

Ta có:

.

Giả sử:
Ta có:

uk  1, (k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  1

uk  1  2015uk  1  2016 

.

2015uk  1
 1  uk 1  1
*
2016
. Vậy un  1, n   .

b)Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

2015
xn un  1 ta có x1  2016

Đặt

.

xn 1 un 1  1 

2015un  1
2015
2015
 1
xn

 un  1 
2016
2016
2016

.
n

  xn 

 2015 
 xn  

 2016  .
là cấp số nhân


n

 2015 
*
un 1  
 , n   .
2016


Vậy
.

Bài 10. Cho dãy số

 un 

xác định bởi:

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

u1 2

u2 3
u nu  n  2 u  2n  4, n 3

 n 2
n 1
 n

.

 un  .

b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015 .
Hướng dẫn giải.

a) Đặt vn un  n ta có:
Khi đó

v1 1

v2 1
v n(v  n  1)  (n  2)(v  n  2)  3n  4 nv  n  2 v , n 3


 n 2
n 1
n 2
n 1
 n

vn  vn  1 (n  1)vn  1  (n  2)vn  2

.

.

Lại có:.
vn  v2 (vn  vn  1 )  (vn  1  vn  2 )  ...  (v4  v3 )  (v3  v2 ) .
 (n  1)vn  1  (n  2)vn  2    (n  2)vn  2  (n  3)vn  3   ...  (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 )

.

(n  1)vn  1  v1 .
Do đó vn (n  1)vn  1 . Hay vn (n  1)(n  2)vn  2 ... (n  1)(n  2)...1.v1 (n  1)! .
Vậy un (n  1)! n .
b) Ta có u2016 2015! 2016 chia cho 2015 dư 1.
 x1  3

 xn  :  x  xn 1 , n 2
 n
1  1  xn2 1

Bài 11. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số

.
Hướng dẫn giải.

Ta có:

1
1
1

 1 2
xn xn  1
xn  1

yn  yn  1  1  yn2 1

. Đặt

yn 

1
xn , khi đó ta được dãy

 yn 

.


1  cos
1




3 cot 
y1 
cot  y2 cot  1  cot 2 

3
3
3
2.3
3
sin
3
Vì
.

xác định như sau:

y1 

1
3 và


Bằng quy nạp ta chứng minh được:

Bài 12. Cho dãy số
a) Chứng minh rằng

 xn 

yn cot

xác định bởi:

lim xn 

n  


n 1

2 .3

 xn tan

x1 4, xn 1 


n 1

2 .3

, n 1

.

xn4  9
, n  *
3

xn  xn  6
.

;.
n

b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt

yn 
k 1

1
x  3 . Tính lim yn .
3
k

Hướng dẫn giải.

 xn  3  xn3  3
xn4  9
xn 1  3  3

 *
xn  xn  6  xn3  3   xn  3

a) Xét

.

Bằng quy nạp chứng minh được xn  3, n 1 .

xn 1  xn 

 Xét

 x  3
 n

 xn 1  xn

Do đó

3
n

Do đó:

2

x  xn  6

 xn 

 Giả sử

xn4  9
xn2  6 xn  9

x

n

xn3  xn  6
xn3  xn  6 .
 0, n  *

là dãy tăng và 4  x1  x2  x3  ... .

 xn 
a

bị chặn trên  lim xn a .

a4  9
 a 3  4
x 
a3  a  6
(vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  .
1

b) Từ (*), suy ra: xn 1  3
n

Suy ra:

.

yn 
k 1



1
1
1
1
1
 3
 3


xn  3 xn  3
xn  3 xn  3 xn 1  3 .

n
 1
1
1 
1



 1 

3
xk  3 k 1  xk  3 xk 1  3 
xn 1  3
.


1 
lim yn lim  1 

 1
xn 1  3 

Vậy
.
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.
u1 2

u 
u un2  un  1,  n   *.
Bài 13. Dãy số n xác định như sau:  n 1
.
Chứng minh rằng.
1

1
22

2015

1
1
 1  22016
k 1 uk
2
.

2016

 

Hướng dẫn giải.
2

2
–2un  1  un –1
Ta có: un 1 – un  un
. (1).

Do u1 2  u2 – u1 1  u2  u1 .

u 
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra n là dãy đơn điệu tăng thực sự, và un nhận giá trị nguyên dương
lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi n 1, 2,.... .
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:.
un 1 –1 un2 – un un  un –1 (2).
1



Từ đó dẫn đến: un 1  1

1
1
1
1
1
1






,
un (un  1) un  1 un
un un  1 un 1  1

1  n  1  1  1  1 . (4)




uk 1  1
k 1 uk
k 1  uk  1 uk 1  1 

(3)
Bây giờ từ (3), ta có:.

n

.

Từ (4) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.
1

1

2

2n  1

1

1
un 1  1

1

1

2

n 1

 22  un 1  1  22

2n

n

(5)
.

(ở đây n 2016 ). Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n . Khi đó nó sẽ đúng với n 2016 .
Do un nguyên dương với mọi n , (5) tương đương.
n 1

n

22  1 un 1  1  22 . (6).

u –1 uk 1  uk 1 –1
Xét khi n k  1 . Theo (2), ta có: k 2
.
Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:.
k

k

k

k

uk 2  1  22 (22  1)  22 .22 2 2
k 1

k 1

k 1

k 1

uk 2  1 (22  1).(22  1  1)  22 .2 2

k 1

k

2 2 .

Như thế với n k  1 , ta thu được:.
k

2 2  uk 2  1  2 2
k

k 1

k 1

 22  1 uk 2  1  22 .

(8) .

Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n 2,3,... .
Vì vậy (5) đúng n 2016 . Ta có điều phải chứng minh!.

Bài 14. Cho dãy ( an ) n 1 :

a1 1; an 1 

an2  5an  10
n 1
5  an
.

a) Chứng minh dãy ( an ) hội tụ và tính lim an .

a1  a2  ...  an 5  5

n 1
n
2
b) Chứng minh
.
Hướng dẫn giải.
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có:

Đặt

A

5

5
2

và xét hàm

f '( x ) 
Suy ra

10

 5  x

2

f ( x) 

1 an  3 n
2 .

x 2  5 x  10
10

 x ( x 5)
5 x
5 x
.

 3
 1  0x   1; 
 2

1 
 ;1
, như vậy f ( x) nghịch biến trên đoạn  2  .

 a1  a3  a5  ...  a2 k  1  ...  A lim a2 k  1 b  A
 

a2  a4  a6  ...  a2 k  ...  A

 lim a2 k c  A .
Dẫn đến


c 2  5c  10
b


5 5
5 c
 b c 

2
2
c  b  5b  10

5 b
Kết hợp công thức xác định dãy ta được: 
.

Vậy

lim an 

5

5
2

.

 5 5 
t   1;


2 

b) Nhận xét:
thì t  f (t )  5 
Dẫn đến a2 k  1  a2 k  5 

5.

5 k 1 .

 a1  a2  ...  a2 k  1  a2 k  2k

5

5
2

(1).

Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2k .
Trường hợp n 2k  1 , chú ý

a2 k 1 

5

a1  a2  ...  a2 k  1  a2 k  a2 k 1  (2k  1)

5
2

, kết hợp với (1) thu được:.

5

5
2

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 an  (0;1)


1
 an 1 (1  an )  4
an 

Bài 15. Cho dãy số
thỏa mãn:
với mọi n  Z+.
1 1
an  
.
2 2n .
A. CMR
B. Chứng tỏ dãy

 an  có giới hạn và tìm giới hạn đó.

u1  5


un2  4
u

 n 1
2un
Bài 16. Cho dãy (un ) xác định bởi 
với n 1
A. Chứng minh un  2 với mọi n nguyên dương.
B. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un ) .
Hướng dẫn giải.

Bài 17. Cho dãy số

u1  1

u2  2

nun 2   3n  1 un 1  2  n  1 un 3, n  *

như sau
.

 un 

n
*

a) Chứng minh un 2  3n, n   .
n 1

S n  uk

b) Đặt

k 1

. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S n chia hết cho n.

Hướng dẫn giải.
1
a) Với n 1 , u1 2  3.1  1 .
2
n 2 , u1 2  3.2  2

Giả sử

.

uk 2k  3k ; uk 1 2k 1  3  k  1

Chứng minh

.

uk 2 2k 2  3  k  2  , k  *

.

Ta có.
kuk 2   3k  1 uk 1  2  k  1 uk 3

.

 kuk 2   3k  1  2k 1  3  k  1   2  k  1  2k  3k  3
.
 uk 2 2k 2  3  k  2 

Vậy

.

uk 2 2k 2  3  k  2  , k  * .

.

n 1

S n  uk

b) Đặt

k 1

. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n  2 thì S n chia hết cho n .

n 1

Ta có:

S n  uk 2  22  ...  2n  1  3  1  2  ...  ( n  1) 

S n 2.

k 1

1  2n  1
(n  1)n
(n  1)n
 3.
2  2n  1  1  3
1 2
2
2 .

.


Với

Do
Vậy

n

n

là số nguyên tố

 2n 1  1

là số nguyên tố lớn hơn 2

chia hết cho


( n  1)n
2

n

.

chia hết cho

n

.

S n n .

Bài 18. Cho dãy số

u1 0

 un  u2 18

*

un 2 5un 1  6un  24, n  

.

Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n  3 thì un chia hết cho 6n .
Hướng dẫn giải.
*
Đặt vn un  12 hay un vn  12, n   .

Khi đó vn 2 5vn 1  6vn .
v1 12
 vn  v2 30
v 5v  6v
n 1
n
 n 2
Ta được
.
2
Phương trình đặc trưng   5  6 0 có nghiệm  2   3 .
n
n
Khi đó vn a.2  b.3 .

v1 12


v2 30

Ta có

Suy ra

 2a  3b 12


4a  9b 30

a 3

b 2 .

vn 3.2n  2.3n .

n
n
Khi đó un vn  12 3.2  2.3  12 .

Ta có

un 6  2n  1  3n  1  2 

nên un chia hết cho 6 .

Mặt khác n là số nguyên tố nên theo định lý Fermat.
n
 2 2(mod n)
 n
3 3(mod n)

hay

n
3.2 6(mod n)
 n
 2.3 6(mod n)

.

n
n
Từ đó un (3.2  2.3  12) 0(mod n) .

Suy ra un chia hết cho n .
Với n là số nguyên tố và n  3  (n, 6) 1 .
Suy ra un chia hết cho 6n .


x 
Bài 19. Cho dãy số n

 x1 1

2
 xn 1  xn  xn  5   xn  5 xn  8   16
với

 nN  .
*

n 1

a) Chứng minh xn  5 , với mọi n 2 .
n

b) Đặt

yn 
k 1

1
yn
xk  3 . Tìm nlim
 
.

Hướng dẫn giải.
n 1
a) Chứng minh xn  5 , với mọi n 2 .

x2 10  5 52 1 .
n 1
 n 2  .
Giả sử ta có xn  5

xn 1  xn  xn  5   xn 2  5 xn  8   16 

x

n

2

 5 xn   xn 2  5 xn  8   16

 xn 2  5 xn  4  5 xn  5.5n  1 5n

.

n
Suy ra xn 1  5 .
n 1
Vậy theo qui nạp xn  5 với n 2 .
n

b) Đặt

yn 
k 1

1
yn
xk  3 . Tìm nlim
 
.

Ta có:.
xn 1  xn 2  5 xn  4  xn 1  2  xn2  5 xn  6  xn  2   xn  3


1
1

1
1



xn 1  2  xn  2   xn  3 xn  2 xn  3



1
1
1


xn  3 xn  2 xn1  2
n

yn 
k 1

.

.

n
 1
1
1 
1
1

1
1
 


 

xk  3 k 1  xk  2 xk 1  2  x1  2 xn 1  2 3 xn 1  2

1
1  1
1
lim yn  lim  
 lim
0

n
n  
n   3
n


xn 1  2  3
xn 1

(vì xn 1  5
).
Vậy

lim yn 

n  

1
3.

3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.


Bài 20. Cho dãy

 an  n1 :.

.


1
1
1
an sin1  22 sin  32 sin  ...  n 2 sin
n 1
2
3
n
.


 an 
a
lim n2

 n2 
n .
Chứng minh dãy   n1 hội tụ và tính
Hướng dẫn giải.
Bổ đề 1:

x  sin x  x 

1 3
x x  0
6
.

1 1
1
1    ... 
2 3
n 0
lim
n
Bổ đề 2:
.
Đặt

xn n 2 sin

1
1
1 1
1

1
 sin  
 k  xk  k 
3
n . Áp dụng bổ đề 1: k
k k 6k
6k .
1 1
1
 1   ...  
6 2
n.

 1  2  ...  n  an  1  2  ...  n 

1 an 1
 2  
2
2
Chia các vế cho n : 2 n

1
1
1   ... 
2
n
2
6n
.

Cho n   , và lấy giới hạn, suy ra

Bài 21. Cho dãy số

u1 2, un 1 

an 1
 .
n2 2 .

lim

 n  1

2

un  1

n 1

un
. Tính giới hạn n   n .
lim

Hướng dẫn giải.
n2
un n  1 , n 1
Ta chứng minh quy nạp n  1
.
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 .

2

 k  1 u k  2
k2
uk k  1, k 1
k 1
Giả sử đã có k  1
. Ta chứng minh k  2
.
2

(k  1) 2  k  1
uk k  1  uk 1 

u

1
k 2 .
k
Thật vậy:
2

uk 

k2
(k  1) 2  k  1
1
 uk 1 
 2
k  2  2

k  2 .
k
k 1
uk  1
k  k 1
1
k 1
.

u
n2
un n  1, n 1  lim n 1
n   n
Vậy ta có n  1
.


Bài 22. Cho α> 2

và dãy số

x n >1

a) Chứng minh:

( x n)

b) Chứng minh dãy số

với:

với ∀ n∈N

¿

{ x 1=α ¿ ¿ ¿ ¿

.

.

( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải.

x n >1

Ta chứng minh
Ta có:

x 1=α

Giả sử:

x k >1

Ta có:

3 x2k >3

Vậy

x n >1

nên

và

nên

¿

¿

Đặt

n+ 3
>2
n
. Suyra: x n+1 >1 .

là dãy giảm bằng quy nạp.

√ 3 α2+4<2 α

.Ta có

x 2k +1 <3 x 2k

x 2< x 1 .

n+1
và f ( n ) = n

là hàm nghịch biến nên:.

k+ 4
k+3
<3 x 2k +
k +1
k
.

Suy ra: x k +2
( x n)

√

3 x 2n +

.

Giả sử: x k +1 < x k . Ta có: 3

3 x2k +1 +

bằng quy nạp.

.

n+1
>1
n
nên

với ∀ n∈N

( x n)

¿

x 1 >1 .

với k ∈N

Ta chứng minh
Vì α >2

với ∀ n∈N

( x n)

là dãy giảm.

lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.

lim x n=α .Ta có 2 α= 3 α 2 +1 ⇔α=1 .  xn 

√

 x1 1

3 xn  4 (n  N * )  un  un x2 n  1  n  N * 

x

 n 1
xn  1


Vậy lim x n=1 .
Bài 23. Cho dãy số thực với .
Xét các dãy số thực với và

 vn 

a) Chứng minh các dãy số

 un  ,  vn 

b) Chứng minh các dãy số

 xn 

Hướng dẫn giải.

với

vn  x2 n  n  N * 

.

có giới hạn hữu hạn khi n   .

có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn đó.


a) Xét hàm số

f  x

Ta có:

f  x 

3x  4
x  1 trên  0;  .

nghịch biến trên

 0;  ; liên tục trên  0; 

 0;  .

và nhận giá trị trong

 x1 1

x  f  xn 

u  v 
Dãy số đã cho được viết lại  n 1
.Ta chứng minh n , n bị chặn bằng quy nạp.
Ta có u1 x1 suy ra 0  u1  4 .
Giả sử: 0  uk  4 .
Vì

f  x

nghịch biến trên

Tương tự cho dãy

 0; 

nên

f  4   f  xk   f  0 

 un  .Ta chứng minh  un 

là dãy tăng;

.Suy ra: 0  xk 1  4 .

 vn 

là dãy giảm bằng quy nạp.

f  x

 0;  nên f  x1   f  x3  hay
Ta có x1  x3 .Vì hàm số
nghịch biến trên

x 2> x 4 .

¿
f  x2 k  1   f  x2 k 1 
Giả sử x2 k  1  x2 k 1 ta có
hay x2 k  x2 k 2 ( với k ∈N ).

f  x2 k   f  x2 k 2 
Với x2 k  x2 k 2 Ta có:
hay
Với

x 2k+1
x 2k+1 <x 2 k+3 ta có: f ( x 2 k +1 ) >f ( x 2k +3 ) hay x2 k 2  x2 k 4 .

Vậy theo quy nạp ta có thì

( x 2n−1 )

 x2n 

là dãy giảm.

Hay ta có

 un 

 un  ,  vn 

là các dãy đơn điệu và bị chặn nên lim x2 n v;lim x2 n  1 u .

b) Ta có:

là dãy tăng;

x2 n  f  x2 n  1 

và

 vn 

là dãy tăng,

là dãy giảm.

x2 n  1  f  x2 n  2 

nên qua giới hạn ta có:.

3v  4

u  v  1
u  f  v 

v  3u  4


v

f
u



u  1  u v .
. Từ hệ trên ta có 
Dãy số

 xn 

có hai dãy con

 x2 n  ,  x2 n 1 

Qua giới hạn và từ phương trình

u

3u  4
u  1 ta có u 1  5 .

u 
Bài 24. Cho dãy số n

được xác định:

Chứng minh rằng dãy số

 un 

Hướng dẫn giải.

có cùng giới hạn là u v nên lim xn u .

{u1=2011 ¿ ¿¿¿

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

.


1
2n un+1 =|2n . un −1|⇔un+1 =|un − n |
2 .
Ta có
1– n
Chứng minh : un  2 (bằng quy nạp).
0
*với n 1 ta có u1 2011  2 .
1– k
*Giả sử uk  2 (với k  1 ).
–k
*Cần chứng minh : uk 1  2 .

1−k

−k

Ta có

uk +1 =|uk −2 |>|2

−k

−2 |=2

–n
Từ đó ta có un – 2  0 với mọi n

Ta có

u2 u1 

⇒u n=u 1−

−k

⇒u n+1 =un −

1
2n .

1
1
1
1

; u3 u2  2 ; u4 u3  3 ;...; un un 1  n  1
2
2
2
2 .

( 12 + 21 + 21 +. . .+ 2 1 )
2

3

n−1

1
un =2011− .
2

.

1−

Công thức tổng quát :
Vậy

. Suy ra điều phải chứng minh.

1
2
1
2

n−1

()

1
=2011−1+
2

n−1

()

.

lim un =2010 .

u1 a


1
2013
un 1 
un2 
un , n   

a   0;1
un 

2014

2014
Bài 25. Cho số thực
, xét dãy số
với: 
.

a) Chứng minh rằng: 0  un  1, n   .

b) Chứng minh rằng

 un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh:

0  un  1, n     1

n 1: u1 a   0;1   1

.

đúng với n=1.

1
1
0  uk2  1  0 
uk2 
0

u


1

k

1,
k


k
2014
2014 .
Giả sử
với
. Ta có:
0  uk  1  0 
 0

2013
2013
uk 
2014
2014 .

1
2013
uk2 
uk  1  0  u  1
k 1
2014

2014
.



Vậy: 0  un  1, n   .

b) Chứng minh rằng
Ta chứng minh:

 un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

 un  là dãy tăng.

n    , un 1  un 

1
2013
1 
un2 
u n  un 
un 
2014
2014
2014 



un

 u

n



 un  2013   0

.

 un 1  un , n    hay  un  là dãy tăng.(2).
Từ (1),(2) suy ra
Ta có:

a

 un  có giới hạn hữu hạn.Giả sử  un  có giới hạn là a,  o  a 1 .

1
2013
a2 
a  a 1
2014
2014
. Vậy lim un 1 .

3

u1  2


u 1 u 3  2 , n  N 
n 1
n
3
3
Bài 26. Cho dãy số(un) xác định như sau: 
.

a) Chứng minh rằng:  1  un  2, n   .

b) Chứng minh rằng

 un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải.
3
n 1: u1    1
2
a) Với:
đúng với n=1.
Giả sử:  1  uk  2 với k 1, k   .
1
8 1
uk 1  2  uk3    uk  2   uk2  2uk  4   0  uk 1  2
3
3 3
Ta có:
.
uk 1  1 

1 3
 uk  1  0  uk 1   1
3
.

  1  uk 1  2 . Vậy:  1  un  2, n    .
b)

n    , un 1  un 

Từ (1),(2) suy ra

1
2
 un  1  un  2   0  u  u , n  
u 
n 1
n
3
hay n là dãy giảm (2).

 un  có giới hạn hữu hạn.

u 
Gọi a là giới hạn của n ,  1 a  2 .
1
2
a  a 3   a 1
3
3

Ta có
. Vậy lim un  1 .


Bài 27. Cho dãy số

 un 

xác định bởi:

u1 1; un 1 

un2
 un , n  N *
2015
.

u u
u 
lim  1  2  ...  n 
n   u
un 1 
 2 u3
Tìm giới hạn sau:
.
Hướng dẫn giải.

Từ đề bài ta có:

un 1  un 

 1
un
1 
un2
2015  

 un un 1  .
2015 . Suy ra: un 1

1

u
u1 u2
1 
1 
  ...  k 2015  
 2015  1 

u u3
uk 1
 u1 uk 1 
 uk 1 
Ta có: 2
Ta có

Nếu

 un 

là dãy đơn điệu tăng và u1 1 .

lim un 

n  

( vơ lí vì
Suy ra:

.

 un 

thì



2
    0
2015
.

là dãy đơn điệu tăng và u1 1 ).

lim un 

n  

.

u u
u 
lim  1  2  ...  n  2015
n   u
un 1 
 2 u3
Kết luận:
.

Bài 28. Cho dãy số

 un  xác định bởi

u1 2013
n N* 

 2
un  2un .un 1  2013 0

.

Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải.
2
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un 1 un  2013 .

Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n.
Do đó ta có:.
un 

un  12  2013 1 
2013 
2013
  un  1 
 2013, n 1
  un .
2un  1
2
un  1 
un

.

Mặt khác ta có :.
un 1 un 2  2013 1 2013 1 1

 
  1
un
2un 2
2 2un 2 2 2
.
(un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi
Đặt lim un a .

2013 , do đó (un) có giới hạn hữu hạn.


a

Ta có :

a 2  2013
 a  2013 . Vậy lim un  2013 .
2a

Bài 29. Cho dãy số
a) Chứng minh rằng

 xn 

xác định bởi:

lim xn 

n  

x1 4, xn 1 

xn4  9
, n  *
3
xn  xn  6
.

;.
n

b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt

yn 
k 1

1
x  3 . Tính lim yn .
3
k

Hướng dẫn giải.

 xn  3  xn3  3
xn4  9
xn 1  3  3

 *
xn  xn  6  xn3  3   xn  3

a) Xét

.

Bằng quy nạp chứng minh được xn  3, n 1 .

 Xét

xn 1  xn 

 xn 1  xn

Do đó

 x  3
 n
3
n

Do đó:

 0, n  *

bị chặn trên  lim xn a .

a4  9
 a 3  4
x 
a3  a  6
(vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  .
1

b) Từ (*), suy ra: xn 1  3
n

Suy ra:

.

là dãy tăng và 4  x1  x2  x3  ... .

 xn 
a

2

x  xn  6

 xn 

 Giả sử

xn4  9
xn2  6 xn  9

x

n
xn3  xn  6
xn3  xn  6 .

yn 
k 1



1
1
1
1
1
 3
 3



xn  3 xn  3
xn  3 xn  3 xn 1  3 .

n
 1
1
1 
1



 1 

3
xk  3 k 1  xk  3 xk 1  3 
xn 1  3
.


1 
lim yn lim  1 
 1
xn 1  3 

Vậy
.
 x1 1



xn2015
x

 xn
 n 1
2015
Bài 30. Cho dãy số 
.
Tìm giới hạn của dãy số un với
Hướng dẫn giải.

un 

x 2014
x12014 x22014

 ...  n
x2
x3
xn 1 .