Bài 2 những hằng đẳng thức đáng nhớ

HỌC TOÁN SƠ ĐỒ
CÙNG THẦY VIỆT ĐỨC

GV: ĐÀO VIỆT ĐỨC


Đại số 9
BUỔI 1. những hằng đẳng thức đáng nhớ

Giáo viên dạy : Đào Việt Đức
Học viện toán sơ đồ MMA-Thanh Xuân


Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi : nêu quy tắc nhân đa thức
với đa thức.
Quy tắc :Muốn nhân một đa thức với một
đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức
này với mỗi hạng tử của đa thức kia rồi
cộng các tích với nhau.

Trong bài tập 15 bạn phải thực
hiện phép nhân đa thức.Để có
kết quả nhanh chóng cho phép
nhân một số dạng đa thức thường
gặpvà ngược lại biến đổi đa thức
thành tích, người ta đã lập
các hằng đẳng thức đáng nhớ.
trong chương trình tốn lớp 8
chúng ta sẽ lần lượt học 7 hằng
đẳng thức đáng nhớ

Bài15/9. làm tính nhân:
a)

b)

1
1 2
1
 1
 1 2 1
2
2
x

y
x

y

x

xy

xy

y

x


xy

y



2
2
4
2
 2
 4
1
1 2
1 2
 1  1  2 1
2
 x  y   x  y  x  xy  xy  y x  xy  y
2
2
4
4
 2  2 


NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1.Bình phương của một tổng
?1 Với a,b là 2 số bất kì, thực

a

hiện phép tính (a+b)(a+b).
2
2
2
2b
Ta có (a+b)(a+b)=a +ab+ab+b =a +2ab+b

a

b

a2

ab

ab

Từ đó rút ra (a+b)2=a2+2ab+b2
Với A, B là các biểu thức tùy ý,
ta cũng có:
(A+B)2=A2+2AB+B2

(1)

Nhìn vào hình
1 hãy cho biết
diện tích hình
vng lớn
bằng bao nhiêu

b2
Hình 1

Diện tích hình vng lớn: (a+b)
(a+b)=a2+2ab+b2


?2

Phát biểu đẳng đẳng thức (1) bằng lời

Áp dụng:
a) Tính (a+1)2
b) Viết biểu thức x2+4x+4 dưới dạng bình
phương của một tổng
c) Tính nhanh: 512, 3012

Bình phương của một
tổng bằng bình phương
biểu thức thứ nhất cộng hai
lần tích của biểu thức thứ
nhất với biểu thức thứ hai
cộng bình phương biểu thức
thứ hai.

Giải
a) (a+1)2=a2+2a+1
b) x2+4x+4=x2+2.x.2+22=(x+2)2
c) 512=(50+1)2=502+2.50+1=2500+100+1=2601

3012=(300+1)2=3002+2.300+1=90000+600+1=90601


2. Bình phương của một hiệu
2
Tính
[a+(-b)]
(với a, b là các số tùy ý)
?3

Ta có: [a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
Thực hiện phép tính
Từ đó rút ra (a-b)2=a2-2ab+b2
(A-B)(A-B)ta cũng có
Với hai biểu thức tùy ý A và B ta cũng có: hằng đẳng thức (2)

(A-B)2=A2-2AB+B2
?4

(2)

Phát biểu hằng đẳng thức 2 bằng lời
Bình phương một hiệu hai biểu thức
bằng bình phương biểu thức thứ nhất trừ
đi hai lần tích biểu thức thứ nhất với biểu
thức thứ hai cộng với bình phương biểu
thức thứ hai.


Áp dụng

a) Tính
b) tính

1

x

2


2

2x  3y

2

c) Tính nhanh 992
Giải
2

a)
b)
c)

2

1
1

 1  1

2
2
 x    x  2 x      x  x 
2
4

 2  2

 2x  3 y

2

2

2

2

 2 x   2 2 x  3 y    3 y  4 x  12 xy  9 y

992 = (100 - 1)2=1002 - 2.100.1 + 1 = 10000 - 200 + 1 = 9801

2


3. Hiệu hai bình phương
?5

Thực hiện phép tính(a+b)(a-b) ( với a, b là các số tùy ý )
Ta có: (a+b)(a-b)=a2-ab-ab-b2=a2-b2

Từ đó rút ra a2-b2=(a+b)(a-b).
Với A và B là các biểu thức tùy ý ta cũng có:
A2-B2=(A+B)(A-B)

?6

(3)

Phát biểu hằng đẳng thức (3) bằng lời.

Hiệu hai bình phương của hai biểu thức
bằng tích của tổng hai biểu thức với
hiệu của chúng.


Áp dụng
a) Tính (x+1)(x-1)
b) Tính (x-2y)(x+2y)
c) Tính nhanh 56.64

Giải

a) (x+1)(x-1)=x2-1
b) (x-2y)(x+2y)=x2-(2y)2=x2-4y2
c) 56.64=(60-4)(60+4)=602-42=3600-16=3584
?7 Ai đúng? Ai sai?

GIẢI

Đức và Thọ đều viết đúng vì:

Đức viết: x2-10x+25 = (x-5)2
x2-10x+25 = 25-10x+x2
Thọ viết: x2-10x+25 = (5-x)2
Hương nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng. 
(x-5)2 = (5-x)2
Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút ra một hằng
Sơn đã rút ra hằng đẳng thức:
đẳng thức rất đẹp!
(A-B)2 = (B-A)2
Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng
đẳng thức nào?


• 4. Lập phương của một tổng
1. Tính: (a+b)(a+b)2 ; Với a,b là hai số tuỳ ý.
Từ đó rút ra (a+b)3= a3+ 3a2b+3ab2+ b3
Lời giải:
Ta có : (a+b)(a+b)2 = (a+b) ( a2 + 2ab + b2)
= a3+2a2b + ab2 +a2b+ 2ab2 +b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
Vậy : ( a+ b)3 = a3+3a2b+ 3ab2 + b3
Tổng quát : Với A và B là hai biểu thức
Ta cũng có: (A+B)3 =A3 +3A2B+3AB2 + B3


4. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

• Tquát : (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
với A,B là hai biểu thức bất kỳ
Phát biểu thành lời:

Lập phương của tổng hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất cộng ba lần
3 . thứ
Bài nhất
tập áp
tích của bình phương biểu thức
vớidụng:
biểu thức thứ hai cộng ba lần tích của biểu
thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai3cộng lập phương biểu thức thứ hai
a / Tính ( x+ 1)
b/ Tính ( 2x + y)3
Lời giải :
a/ ( x + 1 )3 = x3 + 3x2 + 3 x + 1
b/ (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3


NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
5 . Lập phương của một hiệu
Tính : [a +(- b) ]3 với a,b là hai số tuỳ ý
Từ đó rút ra ( a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3
Lời giải :
Ta có : [a + ( - b) ]3 = a3 + 3a2(-b)
Do [ a + (-b)]

=a-b

+3a(-b)2 + (-b)3

= a3 -3a2 b + 3ab2 - b3

Nên (a – b) 3 = a3 -3a2b + 3ab2 - b3

Tổng quát : với hai biểu thức A,B bất kỳ ta có
(A –B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 + B3


5 . LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU
Tổng quát : với hai biểu thức A,B bất kỳ ta có
(A –B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 – B3

Phát biểu thành lời
Lập phương của một hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ ba lần tích
cuả bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích của biểu thức thứ
nhất với bình phương biểu thức thứ hai ,trừ lập phương biểu thức thứ hai.
3. Bài tập áp dụng:
a. tính ( x - 1)3
3

= x3

1

2

 1
 1
3x   +  3 
 3

- 3x2. +
3
x

1
3
2
=x –x + 
3 27

3


Bài tập áp dụng:
b/ T a có ( x + 2y )3

= x3 + 3 x2 2y + 3 x .(2y)2 + ( 2y)3
= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
c/ Trong cỏc khng nh sau,khng nh no ỳng

1)
2)
3)
4)
5)

Khẳng định
( 2x - 1)2 = ( 1- 2x)2
(x - 1)3 = ( 1 - x)3
(x + 1)3 = ( 1 + x)3
x 2 - 1 = 1 - x2
( x - 3)2 = x2 - 2x + 9

KÕt qu¶

Đ
Đ

Nhận xét : ( A – B)2 = ( B – A)2 còn (A – B)3 = - (B –A)3


Phương pháp đồng nhất viết một biểu thức về dạng bình phương

• Ví dụ : Viết biểu thức sau về dạng bình phương:
H = 4x2 + 12 x + 9
1.Đốn biểu thức H là ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Vì biểu thức H tồn là dấu “ +”
2. Tìm a ;b bằng cách:
Cho a2 = 4x2 = (2x)2 => a = 2x
Cho b2 = 9 = 32 => b = 3
3. Tính thử 2ab và so sánh với hạng tử còn lại là 12x
a = 2x ; b = 3 thì 2ab = 2.2x.3 = 12x
4. Kết luận 4x2 +12x + 9 = (2x + 3)2


NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Tính.

(a + b)(a2 – ab + b2)

(a - b)(a2 + ab + b2)

= a3 – a2b +ab2 + a2b - ab2 + b3

= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3

= a3 - b3

= a3 + b3


NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

6/ Tổng hai lập phương.

(a + b)(a2 – ab + b2) =
2
2
2
a3 –Balà
bhai
+abbiểu
+ athức
b - tùy
ab2 +
b3 có
Với A= và
ý ta

= a3 + b3 2

A3 + B3 = (A+ B)(A – AB + B )
2

Tổng hai lập phương bằng tích của
tổng hai biểu2thức đó với bình phương

2
A – AB
B hiệu
là bình
phương
thiếu+của
hai biểu
thức đó

thiếu của một hiệu

7/ Hiệu hai lập phương.

(a - b)(a2 + ab + b2) =
= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3
Với A và B là hai biểu thức tùy ý ta có
= a3 - b3

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

Hiệu hai lập phương bằng tích của
hai biểu 2thức đó với bình phương
A2Hiệu
+ AB
+ B là bình phương
thiếu của tổng hai biểu thức đó

thiếu của một tổng

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

6/ Tổng hai lập phương.

7/ Hiệu hai lập phương.

Với A và B là hai biểu thức tùy ý ta có

A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)

Với A và B là hai biểu thức tùy ý ta có

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

•Áp dụng:
1/ Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a/ x + 8= x + 2
= ( x + 2)( x2 – 2.x + 22)
3

3

3

b/ 8x3 – y3 = (2x)3 - y3
= ( 2x - y )( 4x2+ 2x.y + y2)

= ( x + 2 ) ( x 2 – 2x+ 4) = (2x - y)(4x2 +2xy+ y2)

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

6/ Tổng hai lập phương.
Với A và B là hai biểu thức tùy ý ta có

A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)
•Áp dụng:

7/ Hiệu hai lập phương.
Với A và B là hai biểu thức tùy ý ta có

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

1/ Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a/ x3 + 8
= ( x + 2 ) ( x 2 – 2x+ 4)
2/ Viết các tích sau dưới dạng tổng (hiệu)

2a/ (x + 1)(x2 – x + 1)
= X3+1

b/ 8x3 – y3
= (2x - y)(4x 2 +2xy+ y2)
2b/ (x - 1)(x2 + x + 1)
= X3-1


NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

7 trái
HẰNG
ĐẲNG
Nối một câu ở cột bên
và một
câu ởTHỨC
cột bênĐÁNG
phải đểNHỚ
có một hằng đẳng thức

1.Bình phương của một tổng

a

(A + B)2=

2.Bình phương của một hiệu

b

(A - B)2 =

3. Hiệu hai bình phương

c

A2 - B2 =

4. Lập phương của một tổng

d

5. Lập phương của một hiệu

e

(A + B)3 =

(A - B) =
3

6. Tổng hai lập phương

f

A3 + B3=

7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3=

g

A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
(A +B )(A2 - AB + B2)

A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A –B )(A + B)

A2 +2AB +B2

(A –B )(A2 +AB + B2)
A2 -2AB +B2