Gv88 khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Chương III: Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
Tên FB: Đỗ Bảo Châu. Email:
.Dạng 1: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

_Tóm tắt lý thuyết cơ bản:
1. Khoảng cách từ M đến đường thẳng  :

 
 MM 0 , a 



d  M ,  
a


M
a
0
Đường thẳng  đi qua điểm
và có VTCP  là
.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1

M1

M
a
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTCP 1 . Đường thẳng 2 đi qua điểm 2 và có VTCP
  
 a1 , a2  .M 1M 2

 
d  1 ,  2  

 a1 , a2 
a2 , khi đó khoảng cách giữa chúng là:


.
_Phương pháp Casio:








. LỆNH CASIO VỚI CASIO 580 VNX PLUS
Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 5
Nhập thơng số vecto MODE 5 1 3

Tính tích vơ hướng của 2 vecto : OPTN 3 vectoA OPTN 4 vectoB
Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT ( Abs
Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT ( Abs

Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chép nhau.
_ Bài tập minh họa trong các đề đã thi của BGD. (5-10 câu) hoặc có thể
tìm thêm.

Câu 1:

Tính

d ':

A.

khoảng

cách

giữa

cặp

đường

thẳng

d:

x  1 y 3 z  4


2
1
 2 và

x  2 y  1 z 1


4
2
4

127
4 .

B.

127
4 .

C.

386
3 .

D.

386
3 .

Lời giải
 Đường thẳng d đi qua điểm
 2;1;  2 
phương

M  1;  3; 4 

và có vecto chỉ

_Bài học kinh nghiệm

M '   2;1;  1
Đường thẳng d ' đi qua điểm
và có vecto
Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 1--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

chỉ phương

  4;  2; 4 


Dễ thấy 2 đường thẳng trên song song với nhau
Khoảng
cách cần tìm là khoảng cách tứ M ' đến d

 M M  3;  4;5 

 M ' M ;u
386



6.5489... 

3
u
 Đáp số chính xác là D
_Quy trình bấm máy.

 M M  3;  4;5 
Ta nhập vecto
.

Nhập vecto


u  2;1;  2 

Thực hiện phép toán


 M ' M ;u
386



6.5489... 

3
u

Chọn D

Câu 2: Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng

2 7
A. 7 .

4 2
B. 3 .

d:

x 1 y 2 z 3


1
2
3 và

24
D. 11 .

26
C. 13 .

Lời giải

u
 1; 2;3
 Đường thẳng d đi qua điểm
và có vecto chỉ phương

M
'
2;

1;
0
u
'   1;1;1


Đường thẳng d ' đi qua điểm
và có vecto chỉ phương

M  1; 2;3

Fb: Đỗ Bảo Châu

 x 2  t

d ' :  y  1  t
 z t


-- 2--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Dễ thấy 2 đường thẳng trên chéo nhau  Khoảng cách cần tìm là

 
MM '  u; u '
26

0.3922... 

13
 u ; u '



 Đáp số chính xác là C
_Bài học kinh nghiệm

Câu 3:
phẳng:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

 P  : x  3 y  z 0 và  Q  : x  y 
12
A. 15

z  4 0

 x 3  t

 :  y  1  2t
 z 4


. Gọi  ' là giao tuyến của 2 mặt

. Tính khoảng cách giữa  ,  '

25
B. 21

20
C. 21

Lời giải


 
u '  nP ; nQ   2; 2; 4 
 Đường thẳng  ' có vecto chỉ phương

16
D. 15

_Bài học kinh nghiệm

M '  0; 2;6 
Và  ' đi qua điểm
Đường thẳng  có vecto chỉ phương


u  1; 2;0 

và đi qua điểm

M  3;  1; 4 
 Ta hiểu: khoảng cách giữa hai đường thẳng chỉ tồn tại khi
chúng song song hoặc chéo nhau.
Kiểm tra sự đồng phẳng của 2 đường thẳng trên bằng tích hỗn


tạp

 
MM '  u; u '

 


Nhập ba vecto MM ' , u , u ' vào máy tính Casio
Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 3--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD


Xét tích hỗn tạp

 
MM '  u; u '  40 0  ,  '

chéo nhau

 Tính độ dài hai đường thẳng chéo nhau  ,  ' ta có cơng
thức:
  
MM '.  u; u '
20
d
4.3640.. 

21
 u; u '




⟹ Đáp án chính xác là C

Câu 4:

Cho hai đường thẳng

 x 2  t

d :  y 1  t
 z 2t


và

 x 2  2t '

d ' :  y 3
 z t '


. Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng

d và d’ có phương trình:
A. x  5 y  2 z  12 0

B. x  5 y  2 z  12 0 C. x  5 y  2 z  12 0

D. x  5 y  2 z  12 0
Lời giải
_Quy trình bấm máy.
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
qua điểm

_Bài học kinh nghiệm
và đi

M  2;1;0 

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
qua điểm


u  1;  1; 2 


u '   2; 0;1

và đi

M '  2;3; 0 

Dễ thấy hai đường thẳng d,d’ chéo nhau nên mặt phẳng

 P

cách đều hai đường thẳng trên khi mặt phẳng đó đi

qua trung điểm MM’ và song song với cả 2 đường thẳng
đó.
 Mặt phẳng

 P

song song với cả 2 đường thẳng nên

nhận vecto chỉ phương của 2 đường thẳng là cặp
Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 4--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

vecto chỉ phương.

 
 nP  u; u '   1;  5;  2 

 P

lại đi qua trung điểm

I  2; 2;0 

của MM’ nên

 P  : x  5 y  2 z  12 0
⟹ Đáp án chính xác là D

Câu 5:

Tìm điểm M trên đường thẳng
  1;1;0 

 2;1;  1
A. 




 x 1  t

d :  y 1  t
 z 2t


A  0; 2;  2 
sao cho AM  6 với

  1;1; 0 

  1;3;  4 
B. 
C.

Lời giải

M  1  t;1  t ; 2t 
Gọi điểm M thuộc d có tọa độ theo t là


2
AM  6  AM  6  AM  6 0
Ta có

   1;3;  4 

  2;1;  1

D. Khơng có M thỏa

_Bài học kinh nghiệm

Sử dụng máy tính Casio tìm t



Ta tìm được hai giá trị của t
Với

t 0  M  1;1;0 

, với

t  2  M   1;3;  4 

⟹ Đáp án chính xác là B

y 2 x 4  1 D 
y 8 x 3 y 0  8 x 3 0  x 0 y  0  1

lim y  lim y 

x  

x  

Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 5--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

 0;
_ Bài tập áp dụng rèn luyện trong các đề thi thử năm 2019. (10-15 câu)
3NB

Câu 1:

4TH

Cho hai đường thẳng

d:

2VD

1VDC

x  2 y 1 z  3
x  1 y  1 z 1


d ':


1
2
2 và
1
2
2 . Khoảng cách giữa

hai đường thẳng d, d’ là:
4 2
B. 3

A. 4 2

4
C. 3

D. 2 3

Lời giải


Đường thẳng d có vecto chỉ phương
qua điểm


u  1; 2; 2 

và đi

_Bài học kinh nghiệm

M  2;  1;  3

Đường thẳng d’ đi qua điểm

M '  1;1;  1

Dễ thấy hai đường thẳng d, d’ song song với nhau nên
khoảng cách từ d’ đến d chính là khoảng cách từ điểm
M’ (thuộc d’) đến d.
Gọi khoảng cách cần tìm là h ta có:
 
 MM '; u 
4 2



h
1.8856... 

3
u

⟹ Đáp án chính xác là B

Câu 2:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm

Fb: Đỗ Bảo Châu

A   2;3;1

và

-- 6--

B  5;  6;  2 

. Đường


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

MA
thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số MB
MA 1

A. MB 2

MA
2
B. MB

MA 1

C. MB 3

MA
3
D. MB

Lời giải
_Bài học kinh nghiệm



Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y=0



MA
Để tính tỉ số MB ta sử dụng cơng thức tỉ số khoảng

cách (đã gặp ở chuyên đề hình học khơng gian)

Ta có:

MA d  A;  Oxz  

MB d  B;  Oxz  

bất kể hai điểm A,B cùng

phía hay khác phía so với (Oxz)
Ta có thể dùng máy tính Casio tính ngay tỉ số này

Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng cách
đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho
vào phép tính của Casio
⟹ Đáp số chính xác là A

Câu 3:

Tính khoảng cách từ điểm

M  2;3;  1

đến đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

   : x  y  2 z  1 0 và   ' : x  3 y  z  2 0 .
A.

215
24

B.

205
C. 15

205
15

215
D. 24

Lời giải


d là giao tuyến của hai mặt phẳng

 

và

  '

nên

_Bài học kinh nghiệm



u
cùng thuộc 2 mặt phẳng này ⟹ vecto chỉ phương
của đường thẳng d vng góc với cả 2 vecto pháp
tuyến của 2 mặt phẳng trên.
   
 u  n ; n '   8;  4; 2 

Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 7--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD



Gọi điểm

N  x; y;0 

thuộc đường thẳng

5 3 
d  N  ; ;0
2 2 



Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là
 
 MN ; u 
205


h
3.8265... 

14
u

⟹ Đáp số chính xác là B

Câu 4:

Cho

A  1;1;3 B   1;3; 2  C   1; 2;3
,
,
. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC)

là:
A.

3

3

C. 2

B. 3

3
D. 2

Lời giải


Vecto pháp tuyến của (ABC) là

   
n  AB; AC   1; 2; 2 

_Bài học kinh nghiệm

⟹

 ABC  :1 x  1  2  y  1  2  z  3 0  x  2 y  3z  9 0


Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là
h

000 9
12  22  22

3

⟹ Đáp số chính xác là B

Câu 5:

Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng
Fb: Đỗ Bảo Châu

d:

x 1 y 2 z 3


1
2
3 và

-- 8--

 x 2  t

d ' :  y  1  t
 z t



Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

2 7
A. 7

4 2
B. 3

26
C. 13

24
D. 11

Lời giải
_Quy trình bấm máy.


Đường thẳng d đi qua điểm

u  1; 2;3
phương
Đường thẳng d’ đi qua điểm

u '   1;1;1
chỉ phương

_Bài học kinh nghiệm

M  1; 2;3

và có vecto chỉ

M '  2;  1; 0 

và có vecto

Dễ thấy 2 đường thẳng trên chéo nhau
⟹ Khoảng cách cần tìm là



 
MM '  u; u '
26

0.3922... 

13
 u ; u '



⟹ Đáp số chính xác là C
y 2 x 4  1 D 
y 8 x 3 y 0  8 x 3 0  x 0 y  0  1

lim y  lim y 

x  

x  

 0;

Câu 6:

 P  : 2 x  2 y  z 1 0 và đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x 1 y2 z  1
:


2
1
2 . Tính khoảng cách d giữa  và  P  .
Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 9--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

A.

d

1
3

B.

d

5
3

C.

d

2
3

D. d 2

Lời giải
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm

( P) có vecto pháp tuyến n(2;  2;  1) và đường thẳng 


u
có vecto chỉ phương (2;1; 2) thỏa mãn n.u 0 nên
 //( P ) hoặc   ( P ) .

Do

đó:

lấy

d( ( P )) d( A;( P )) 

A(1;  2;1)  

ta

có:

2.1  2.(  2)  1  1
2
4  4 1
.

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng
174
87
A. 6 .
B. 6
C.
Lời giải
_Quy trình bấm máy.

d1 :

x 1 y 2 z



2
 1 1 và

174
3

D.

87
3

_Bài học kinh nghiệm

Chọn B
M 1;  2;0 
Đường thẳng d1 đi qua điểm 
và có một vectơ

u  2;  1;1
chỉ phương 1
.
N 1;  1; 2 
Đường thẳng d 2 đi qua điểm 
và có một vectơ

u  4;  2; 2 
chỉ phương 2
.



u
u
Do 1 cùng phương với 2 và M  d 2 nên d1 // d 2 từ đó
 
 u1 , MN 
  
d  d1 ; d 2  d  N ; d1  
u1
.
 

MN  0;1; 2   u1 , MN    3;  4; 2 
có
,
suy ra
Ta

Fb: Đỗ Bảo Châu

 x 1  4t

d 2 :  y  1  2t , t  
 z 2  2t


-- 10--

.

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập

 
 u1 , MN 
  

u1

Vậy

hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

2

2

  3    4   22
2
22    1  1

d  d1 ; d 2  



174
6

.

174
6 .

 P  đi qua hai điểm A  2;1;0  , B  3;0;1 và song song với
Câu 8: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
x  1 y 1 z
:


1
 1 2 . Tính khoảng cách giữa  và mặt phẳng  P  .
3
A. 2 .

3
B. 2 .

3
D. 2 .

2
C. 2 .

Lời giải
_Quy trình bấm máy.
_Bài học kinh nghiệm
x  1 y 1 z

:


1
 1 2 đi qua M  1;  1; 0  và
Đường thẳng

u  1;  1; 2 
có vectơ chỉ phương
.
 P  đi qua hai điểm A  2;1;0  , B  3;0;1 và
Mặt phẳng

BA   1;1;  1
song song với  nhận hai vectơ
và

u  1;  1; 2 
 P  nhận
làm cặp vectơ chỉ phương nên
   
n  BA, u   1;1;0 
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó, mặt phẳng

 P

Khoảng cách giữa  và mặt phẳng
M  1;  1; 0 
 P

cách từ
tới mặt phẳng
3
d  ,  P   d  M ,  P   
2.

Câu 9:

 P  : x  y  3 0
 P  bằng khoảng

có phương trình:

 P  : x  2 y  2 z  1 0 và đường thẳng
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng phẳng
x  1 y 1 z
d:


1
2
 1 . Biết điểm A  a; b; c   c  0  là điểm nằm trên đường thẳng d và cách
 P

một khoảng bằng 1. Tính tổng S a  b  c
2
S 
5.
A. S 2 .
B.

C. S 4 .
Lời giải
_Quy trình bấm máy.
Fb: Đỗ Bảo Châu

12
S
5 .
D.

_Bài học kinh nghiệm
-- 11--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

Ta có
Gọi

 x 1  t

d :  y  1  2t
 z  t


A  1  t;  1  2t ;  t   d

d  A,  P   

Mà

1  t  2   1  2t   2   t   1
2

12    2   22

d  A,  P   1 

2  5t
3

2  5t
1
3

 2  5t 3
 2  5t 3  

 2  5t  3
Vì



1  A 4 ;  7 ; 1 

t



 

5    5 5 5

 A  2;1;  1
 t 1

c  0  A  2;1;  1

Vậy S 2 .

x  3 y  2 z 1
d1 :


Oxyz
4
1
1 và
Câu 10:
Trong không gian
, cho hai đường thẳng:
x
y 1 z 2
d2 :


6
1

2 . Khoảng cách giữa chúng bằng
A. 5 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .

Lời giải

y 2 x 4  1 D 
y 8 x 3 y 0  8 x3 0  x 0 y  0  1
lim y  lim y 

x  

x  

 0;
Fb: Đỗ Bảo Châu

-- 12--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh_Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia
2020.
Thầy Cơ hãy cố gắng làm cho thật đẹp phần lý thuyết và chọn lựa bài tập
hay, mới và phù hợp kiểu bài trắc nghiệm của BGD

_Quy trình bấm máy.
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
A  3;  2;  1

điểm
.


u1   4;1;1

_Bài học kinh nghiệm
và đi qua


u2   6;1; 2 
d
2
Đường thẳng
có vecto chỉ phương
và đi qua
B  0;1; 2 
điểm
.
 P .
Gọi mặt phẳng chứa d1 và song song với d 2 là

 
u  u ; u   1; 2; 2 
Ta có: P  1 2 
.

 P  chứa

Vì

 P

d1 nên A   P  , ta suy ra phương trình mặt phẳng

là:

1 x  3  2  y  2   2  z  1 0  x  2 y  2 z  3 0
.
Ta suy ra:
d  d1 ; d 2  d  d 2 ;  P   d  B;  P   

0.1  2.1  2.2  3

Fb: Đỗ Bảo Châu

12  22  22

3
.

-- 13--