Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
Chuyên đề 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU –
ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG
Bài 1. ( ĐH Ngoại Ngữ HN – 97)
Cho hai đường thẳng (D
1
) và ( D
2
) lần lượt có phương trình
( ) ( )
1 2
1
2
2 2
3
2
2
2
1
: :
x t
x u
D y t D y u
z u
z t

=

= − +



 
= + = −
 
 
= +

= − −



1. Chứng minh rằng (D
1
) và ( D
2
) chéo nhau
2. Tính khoảng cách giữa (D
1
) và ( D
2
)
3. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt đồng thời
cả (D
1
) và ( D
2
)
Bài 2.

Cho hai đường thẳng (D
1
) và ( D
2
) lần lượt có phương trình
( ) ( )
1 2
1 3
4 2 2
: :
x t x u
D y t D y u
z t z u
= = −
 
 
= − =
 
 
= − − = −
 
1. Chứng minh rằng (D
1
) và ( D
2
) chéo nhau
2. Tính khoảng cách giữa (D
1
) và ( D
2

)
3. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua điểm M(2; 3; 1) và cắt đồng thời
cả (D
1
) và ( D
2
)
Bài 3.
Cho hai đường thẳng
( )
1
∆
và
( )
2
∆
lần lượt có phương trình
( ) ( )
1 2
1
23 8
2
10 4
5
4
: :
x
x t

y t y u
z t
z u

=

= − +



∆ = − + ∆ =
 
 
=


= −

1. Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lượt đi
qua
( )
1
∆
và
( )
2
∆
2. Tính khoảng cách giữa
( )
1

∆
và
( )
2
∆
3. Viết phương trình đường thẳng (
∆
) song song với trục Oz và cắt đồng thời
cả
( )
1
∆
và
( )
2
∆
Bài 4 (ĐH Y Dược TPHCM – 98)
Trong không gian cho hai đường thẳng
( )
1
∆
và
( )
2
∆
có phương trình
( ) ( )
1 2
7 3 9 3 1 1
1 2 1 7 2 3

: , :
x y z x y z− − − − − −
∆ = = ∆ = =
− −
Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Bài 5. (ĐH HUẾ - 97)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
( ) ( )
1 2
2 7 4
1
1
: :
x x u
y t y u
z t z u
= = − +
 
 
∆ = − ∆ =
 
 
= = +
 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng vuông góc với nhau và tìm đường vuông góc chung
của chúng. Từ đó suy ra khoảng cách của chúng.
Bài 6. (ĐH THƯƠNG MẠI – 97)

Cho hai đường thẳng chéo nhau có phương trình
( ) ( )
1 2
1 3
4 2 3 2
3 2
: :
x x u
y t y u
z t z
= = −
 
 
∆ = − + ∆ = +
 
 
= + = −
 
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
Bài 7. (ĐH SƯ PHẠM HÀ NỘI – 98)
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình
( ) ( )
1 2
2 2 2
1 3
2
: :
x t x u
y t y

z t z u
= + = −
 
 
∆ = − ∆ =
 
 
= =
 
1. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình đường vuông
góc chung của chúng.
2. Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng đã cho.
Bài 8. (HỌC VIỆN KT QUÂN SỰ - 98)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz, cho bốn điểm A(4; 1; 4),
B(3; 3; 1) , C(1; 5; 5), D(1; 1; 1)
1. Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) và tính thể tích tứ diện
ABCD.
2. Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD
Bài 9. (CĐ HẢI QUAN – 99)
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2;
1)
1. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD
2. Tính thể tích tứ diện ABCD
3. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

2
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
3
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập

Tổ Toán - Tin
4
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
5
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
6
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
7
Trần Minh Vũ – Trường PT Cấp 2 – 3 Tân Lập
Tổ Toán - Tin
8