cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

KHO NG CÁCH T

Chuyên đ : Hình h c không gian

ĐI M T I M T

TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

A. Bài gi ng

B. Ví d minh h a
Ví d 1. Cho hình chóp t giác đ u S. ABCD có c nh đáy b ng a , c nh bên t o v i đáy ( ABCD) m t
góc 600 . Tính theo a kho ng cách gi a hai đ
1. SA và CD

ng th ng:
2. SH và CD .
Gi i:

Do S. ABCD là hình chóp đ u nên
g i AC

S

BD  H   SH  ( ABCD) , suy ra góc t o b i

SB và m t ph ng ( ABCD) là SBH  600 .

Do ABCD là hình vuông c nh a nên
AC a 2
a 6

 SH  BH .tan 600 
2
2
2
1. Ta có CD // AB  CD // ( SAB) , suy ra:
BH  AH 

E
A

d (CD, SA)  d (CD,(SAB)  d (C,(SAB)) (1)

D

I

M

H
B
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

C
- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

d (C , ( SAB)) CA

2
d ( H , ( SAB)) HA
hay d (C,(SAB))  2d ( H ,(SAB)) (2)

Do CH

( SAB)   A 

K HI  AB ( I  AB)  AB  (SIH )

 HE  AB
K HE  SI ( E  SI ), khi đó 
 HE  ( SAB)  d ( H , ( SAB))  HE (3)
 HE  SI
Ta có HI 

1
1
1

4
2
14
a 42
AD a


 2  2  2  HE 
 . Xét tam giác SHI , ta có:
2
2
2
3a
3a
14
HE
HI
SH
a
2
2

(4)
a 42
.
7
 HM  SH
AD a
2. Do SH  CD nên ta k HM  CD , khi đó 
 d ( SH , CD)  HM 

 .
2
2
 HM  CD

T (1), (2) , (3) và (4), suy ra d (CD, SA) 

Ví d 2. (THPT QG – 2015). Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , SA vuông
góc v i m t ph ng ( ABCD) , góc gi a đ ng th ng SC và m t ph ng ( ABCD) b ng 450 . Tính theo a
kho ng cách gi a hai đ

ng th ng SB, AC .
Gi i:

Ta có: SA  ( ABCD)   SC,( ABCD)   SCA  450

S

Suy ra tam giác SAC vuông cân t i A

 SA  AC  a 2
D ng đi m E sao cho ACBE là hình bình hành,
khi đó : AC // EB  AC // ( SBE )
 d ( AC, SB)  d ( AC,(SBE))  d ( A,(SBE))

H

(1)

AI  EB ( I  EB ), khi đó:

E
 EB  SA
 EB  ( SAI )

I
 EB  AI
K AH  SI ( H  SI ) , khi đó:
 AH  EB
 AH  ( SBE )  d ( A,(SBE ))  AH (2)

 AH  SI
Ta đi tính AI có th theo m t trong các cách sau:
EB AC
a
Cách 1: Tam giác ABE vuông cân t i A  AI 


2
2
2

K

Cách 2: Ta có AI 

450

a

B

C

2SABE SABCD
a2
a



EB
AC
a 2
2

Xét tam giác SAI , ta có:

1
1
1
1
2
5
10a
 2  2  2  2  2  AH 
2
2a
2a
5
AH
SA AI

a

T (1), (2), (3) suy ra: d ( AC , SB) 

Hocmai – Ngôi tr

D

A

(3)

10a
.
5

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Ví d 3. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có các m t bên đ u là hình vuông c nh a . G i D, E l n l
trung đi m c a c nh BC, A' C ' . Tính kho ng cách gi a các c p đ

1) B ' C ' và A' B .

ng th ng
2) DE và AB '

Gi i:
Do l ng tr ABC. A' B ' C ' có các m t bên đ u là hình vuông c nh a .
Nên ABC. A' B ' C ' là l ng tr đ ng v i hai đáy là tam giác đ u c nh a .
1) Ta có B ' C ' // BC  B ' C ' // ( A' BC )

E

A'

C'

Suy ra d ( B ' C ', A' B)  d ( B ' C ',( A' BC )  d ( B ',( A' BC ))
M t khác g i giao đi m A' B và AB ' là I , khi đó I là trung đi m
c a B ' A , suy ra d ( B ',( A' BC))  d ( A,( A' BC )) .

F

V y d (B ' C ', A' B)  d ( A,( A' BC)) (1)
Do ABC là tam giác đ u c nh a  AD 

B'

a 3
và AD  BC
2

I

H

Suy ra BC  ( A' AD) (*)
K AH  A' D ( H  A' D ), mà AH  BC (do có (*))
Do đó AH  ( A' BC )  d ( A,( A' BC ))  AH
(2)
Xét tam giác A' AD , ta có:
1
1
1
1
4
7
a 21


 2  2  2  AH 
2
2
2
3a
3a
7
AH
AA'
AD
a

T (1); (2) và (3), suy ra d ( B ' C ', A' B) 

t là

A

C
D

K

(3)

B

a 21
.
7

 EF / / A' B '
 ( FED) / /( A' B ' BA)  DE / /( A' B ' BA)
2) G i F là trung đi m c a B ' C ' , khi đó : 
 FD / / B ' B
 d ( DE, AB ')  d ( DE,( A' B ' BA))  d ( D,( A' B ' BA))
 DK  AB
K DK  AB ( K  AB ), khi đó : 
 DK  ( A' B ' BA)  d ( D, ( A' B ' BA))  DK
 DK  AA'

a2 3
S
2S
a 3
Ta có DK  ADB  ABC  4 
AB
AB
a
4
a 3
.
V y d (DE , AB ') 
4

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 3 -