91 tính thể tích các khối đa diện đều tổ 11 nguyễn trung hiếu

Chương 1: Bài 3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.
Tên FB: Hieu nguyen . Email:
.Dạng : Tính thể tích khối đa diện đều

_Tóm tắt lý thuyết cơ bản:
. Các loại khối đa diện đều:
a. Định nghĩa
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
+ Các mặt là những đa giác đều n cạnh
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại

 n, p

b. Định lý

 3;3 , loại  4;3 , loại  3; 4 , loại  5;3 ,loại  3;5
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại
.Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối
lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

Loại

Tứ diện đều

4

6

4

 3;3

Khối lập phương

8

12

6

 4;3

Bát diện đều

6

12

8

 3; 4

Mười hai mặt đều

20

30

12

 5;3

Hai mươi mặt đều

12

30

20

 3;5

Fb: Hieu nguyen

-- 1--


_Phương pháp tính nhanh: Sử dụng các cơng thức tính nhanh để tìm ra
đáp án

. Các cơng thức tính nhanh :

V x3

Thể tích khối lập phương cạnh là x :

x3 2
V
12

- Thể tích khối tứ diện đều cạnh là x :
-Thể tích khơi chóp tam giác đều cạnh bên bằng y và cạnh bên
3 3
V
y cos 2  sin 

4
tạo với mặt đáy một góc
:
-Thể tích khơi chóp tam giác đều cạnh đáy bằng x và cạnh bên tạo
x 3 tan 
V
12
với mặt đáy một góc  :
-Thể tích khơi chóp tam giác đều cạnh đáy bằng x và mặt bên tạo
x 3 tan 
V
24
với mặt đáy một góc  :
-Thể tích khơi chóp tam giác đều cạnh đáy bằng x và cạnh bên
bằng y :
x2

V
3 y2  x2
12
Thể tích khơi chóp tứ giác đều cạnh đáy là x , cạnh bên hợp với
đáy một góc 
x 3 2 tan 
V
6
Thể tích khơi chóp tứ giác đều cạnh đáy là x , mặt bên hợp với đáy
một góc 
x 3 tan 
V
6
Thể tích khơi chóp tứ giác đều cạnh đáy là x , cạnh bên là y :
V

x2 4 y 2  2 x2
6

_ Bài tập minh họa trong các đề đã thi của BGD.

Câu 1:

(Tham khảo THPTQG 2019) Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng

A. 8a

3

B. 2a

3

C. a

3

D. 6a

3

Lời giải
3

_Công thức giải nhanh.

V x3  2a  8a 3

_Bài học kinh nghiệm

Câu 2:(THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả
Fb: Hieu nguyen

-- 2--


các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. S 4 3a

2
B. S  3 a

2
C. I 2 3 a

2
D. I 8a

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm
Diện tích tam giác đều cạnh x

 a2 3 
2
S 8 
 2a 3
 4 

S

x2 3
4

Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng

8a 3

B. 3

4 2a 3
A. 3

8 2a 3
C. 3

2 2a 3
D. 3

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm

3

V

x 3 2  2a  2 4a 3 2


6
6
3

Câu 4: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và
cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC

A.

V

13a 3
12

B.

V

11a 3
12

C.

V

11a 3
6

D.

V

11a 3
4

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.

 x a
x2
V
3 y 2  x2 ; 
12
 y 2a
2

V

a 2 3  2a   a 2
12

_Bài học kinh nghiệm

a 3 11

12

Câu 5: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
của khối chóp đã cho.

A.

V

14 a 3
6

B.

V

a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V

14a 3
2a3
V
2
6
C.
Lời giải

_Cơng thức tính nhanh.

Fb: Hieu nguyen

D.

V

2a3
2

_Bài học kinh nghiệm

-- 3--


V

x 2 4 y 2  2 x 2  x a
; 
6
 y 2a
2

V

a 2 4  2 a   2a 2
6



a 3 14
6

y 2 x 4  1 D 

y 8 x3 y 0  8 x 3 0  x 0 y  0  1
lim y  lim y 

x  

x  

 0;

_ Bài tập áp dụng rèn luyện trong các đề thi thử năm 2019.

Câu 1: Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 là:

2 2
.
A. 3

2
.
B. 12

1
.
C. 8

D. 2 2

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.
V

Với

x

3

_Bài học kinh nghiệm

2

12
x 2  V 

23 2 2 2

12
3

0
Câu 2:Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo đáy góc 60 . Thể tích của khối
chóp đó bằng:

a3 3
A. 12

a3 3
B. 6

a3 3
C. 36

a3 3
D. 18

Lời giải
Fb: Hieu nguyen

-- 4--

_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm

3

V

x tan 
12

Với x a, 60 ta có :


V

a 3 tan 60 a 3 3

12
12

Câu 3: [Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - KSCL - Lần 1 (2017 - 2018)] Cho hình chóp tứ giác đều
S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho

4a 3
4 7a 3
V
V
9
3

B.
C.
Lời giải

3
A. V 4 7a

_Cơng thức tính nhanh.

4 7a 3
V
3
D.

_Bài học kinh nghiệm

x2 4 y2  2x2
V
6
Với x 2a, y 3a ta có
V

 2a 

2

2

4  3a   2  2a 

2

6



4 7 3
a
3

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD
2a 3 3
A. 3

2a 3 6
B. 3

4a 3 3
C. 3

a3 3
D. 3

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm

3

x tan 
6
Với x 2a,  60 ta có
V

 2a 
V

3

tan 60 4 3 3

a
6
3

Câu 5: (THPT TRIỆU SƠN 2) Kim tự tháp Kê – ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm
trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m , cạnh đáy dài 230m .
Thể tích của nó là
A. 2592100m

3

2

B. 2592100m
C. 7776300m
Lời giải

_Cơng thức tính nhanh.

Fb: Hieu nguyen

3

D. 3888150m

_Bài học kinh nghiệm

-- 5--

3


1
1
V  Bh   2302  .147 2592100(m3 )
3
3

y 2 x 4  1 D 

y 8 x3 y 0  8 x 3 0  x 0 y  0  1
lim y  lim y 

x  

x  

 0;
Câu 6:[THPT ĐK-HPT - Giữa HKI (2017 - 2018)] Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a,
cạnh bên bằng a 2. Thể tích khối chóp S . ABC là
a3 3
A. 6

a3 3
B. 12

a3 5
C. 6

a3 5
D. 12

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm

2

x
V
3 y 2  x2
12
 x a

y a 2
Ta có 

V

a2 3





2

2a  a 2
12



5 3
a
12

Câu 7: B2D3M3] (THPT TIÊN DU SỐ 1) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 45 . Thể tích hình chóp S . ABC là:
a3 3
A. 4

a3
B. 4

a3
C. 12

a3 3
D. 12

Lời giải
_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm

3

x tan 
12
 x a
a 3 tan 45 a 3

V

12
12
Ta có :  45
V

Fb: Hieu nguyen

-- 6--


Câu 8:(HKI-SGD Quảng Trị 2018-2019) Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh
bên tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 45 . Thể tích của khối chóp đó là

a3 2
A. 8

B. 2a

3

4a 3 2
C. 3

2

a3 2
D. 6

Lời giải
_Quy trình bấm máy.

_Bài học kinh nghiệm

x 3 2 tan 
6
3
 x 2a
2a  2 tan 45 4 2 3


V

a

6
3
Ta có :  45
V

Câu 9: (SGD – HÀ TĨNH ) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một
mặt bên là a 3 . Thể tích V của khối chóp đó là:

A.

V

2 2 3
a
3

B.

V

4 2 3
2 3
V
a
a
3
6
C.
Lời giải

_Quy trình bấm máy.

x 3
cạnh bằng x là : 2

x2 4 y2  2x2
6
Với x 2a, y 2a ta có :
V

V

2

2

4  2a   2  2 a 
6

2



2 3
a
9

_Bài học kinh nghiệm
Đường cao của tam giác đều

x 3
a 3  x 2a
Ta có : 2

 2a 

D.

V

4 2 3
a
3

[B2D3M3] (GK1-THPT Nghĩa Hưng C) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy

Câu 10:

2a
0
bằng 3 . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD

4a 3 2
A. 81

a3
C. 81

a3 2
B. 81

4a 3
D. 81

Lời giải

y 2 x 4  1 D 

y 8 x3 y 0  8 x3 0  x 0 y  0  1
lim y  lim y 

x  

x  

Fb: Hieu nguyen

-- 7--


 0;

_Cơng thức tính nhanh.

_Bài học kinh nghiệm

3

V

x tan 
6
3

2 
 a  tan 45 4
2a
3 
x  ,  45  V 
 a3
3
6
81
Với

Fb: Hieu nguyen

-- 8--