92 các bài toán khác(góc, khoảng cách, ) liên quan đến thể tích khối đa diện tổ 11 good hope

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

CĐ27: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Dạng: CÁC BÀI TỐN KHÁC (GĨC, KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH)
Tên FB: Good Hope .

Email:

.Dạng 1: Dùng thể tích để tính khoảng cách

_Tóm tắt lý thuyết cơ bản:

. Áp dụng cơng thức

h

3V
V
h
S ( với hình chóp ) hoặc
S (với lăng trụ)

. Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ cơng thức tính diện tích tam giác:

S ABC  p  p  a   p  b   p  c 

với p là nửa chu vi và a, b, c là kích thước của 3 cạnh.

_Phương pháp Casio:

. Trong dạng này thì Casio chỉ được sử dụng làm cơng cụ tính diện tích đáy theo cơng
thức Hê-rơng.
. Các thao tác
Ta tính được và lưu vào máy độ dài 3 cạnh :
AB = …. lưu vào biến nhớ C (Bấm SHIFT STO C)
AC = …..

lưu vào biến nhớ B (Bấm SHIFT STO B)

BC = ……. lưu vào biến nhớ A (Bấm SHIFT STO A)
Áp dụng cơng thức Hêrơng:
Gọi phép tính:
Gọi phép tính:

S ABC  p  p  a   p  b   p  c 

(p: là nửa chu vi)

1
 A B C
2
Lưu vào biến nhớ D
D  D  A  D  B   D  C 

Ta được kết quả

_Phương pháp tính nhanh:

Ngồi cách sử dụng thể tích ta có thể sử dụng một số công thức nhanh sau:

Fb: -------

-- 1--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là
d  A;SBC 
được tính nhanh theo cơng thức sau:
1
 d  A,SBC  

2



1
 d  A, BC  

h = SH là đường cao hình chóp và
1. Nếu H A thì k = 0.
2. Nếu AH / /BC thì k = 0.

k

2

1 k


2

h2

AH
AI .

3. Nếu H I , tức là H  BC thì k = 1.
k

4. Nếu H là trung điểm AB hoặc AC thì
2
k
3.
5. Nếu H là trọng tâm  ABC thì

1
2.

. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Khoảng cách giữa SA và BC được tính nhanh theo cơng thức sau:

1
 d  SA, BC  

2



1
 d  A, BC  

2



k2
h2

với h = SH là đường cao hình chóp và
1. Nếu H A thì k = 0.
2. Nếu AH || BC thì k = 0.

k

AH
AI

3. Nếu H I , thì k = 1.
k

4. Nếu H là trung điểm AB hoặc AC thì
2
k
3.
5. Nếu H là trọng tâm  ABC thì

1
2.

_ Bài tập minh họa. (5-10 câu) hoặc có thể tìm thêm.
3
Câu 1. Cho khối chóp S . ABC có thể tích bằng 24 cm , SB BC 5 cm, SC 8 cm. Tính khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng
A. 3 cm.

 SBC  .
B. 4 cm.

C. 6 cm.

D. 12 cm.

Lời giải
Fb: -------

-- 2--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

S

8
5

C

A
5
B

Nửa chu vi của SBC là:

p

SB  BC  SC 5  5  8

9 cm.
2
2

2
S  p  p  SB   p  BC   p  SC   9  9  5   9  5   9  8 
12 cm .
Diện tích SBC là: SBC

Thể tích của khối chóp S . ABC là:
3VS . ABC 3.24
1
VS . ABC  .SSBC .d  A,  SBC    d  A,  SBC   

S SBC
12 6 cm.
3

Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB a; AD 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm

 ABCD  bằng 45 . Gọi M là trung
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mp
 SAC  .
điểm của SD . Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến
A.

d

a 1513
89 .

B.

d

2a 1315
a 1315
d
89
89 .
.
C.
Lời giải

 SH   ABCD 
Gọi H là trung điểm đoạn AB
.
a 2 a 17

CH  4a 

4
2 .
Xét BCH vng tại B , có:
2

Fb: -------

-- 3--

D.

d

2a 1513
89
.


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

Xét SHC vng cân tại H , có:

Xét SAH vng tại H , có:

SH 

SA 

a 17
a 34
; SC 
2
2 .

17a 2 a 2 3 2


a
4
4
2
.

2
2
Xét ABC vng tại B , có: AC  a  4a a 5 .

 SSAC 

89 2
a
4
.

1
a 3 17
1

a 3 17
VS . ABCD V  .SH .S ABCD 
VS . ACD  V 
3
3 ;
2
6 .
Ta có:
1
a 3 17
1
89 2
a 1513
VS . ACM  VS . ACD 
VS . MAC  .d .SSAC 
a .d
d

2
12 . Mà
3
12
89 .

Câu 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a ,
mặt phẳng

 ABCD 

SD 

a 17
2 , hình chiếu vng góc H của S lên

là trung điểm của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chóp H .SBD theo a .

a 3
A. 5 .

a 3
B. 7 .

3a
D. 5 .

a 21
C. 5 .
Lời giải

S

B

C

H
A

D
C

B
I

H

D

A

2

 a 17   2  a  2 
 SH  SD  HD  
   a     a 3
2
 2  

 
Ta có SHD vuông tại H
.
2

VS . ABCD

2

1
3 3
1

1
a3 3
 SH .S ABCD  a  VH .SBD  VA.SBD  VS . ABCD 
3
3
2
4
12 .

Tam giác SHB vuông tại H

 SB  SH 2  HB 2 
Fb: -------

a 13
2 .
-- 4--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

Tam giác SBD có

SB 

 d  H ,  SBD   

a 13
a 17

5a 2
, BD a 2, SD 
 S SBD 
2
2
4 .

3VS .HBD a 3

S SBD
5 .

Câu 4. Cho tứ diện ABCD có AB a , AC a 2 , AD a 3 , các tam giác ABC , ACD , ABD là các tam

 BCD  .
giác vuông tại đỉnh A . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng
A.

d

a 66
11 .

B.

d

a 6
3 .

C.

d

a 30
5 .

D.

d

a 3
2 .

Lời giải
D

C

A

B

Do các tam giác ABC , ACD , ABD vng tại A nên nếu D là đỉnh hình chóp thì AD là đường cao của
hình chóp. Khi đó thể tích khối chóp D. ABC là:
1
1
1
a3 6
VD. ABC  .DA.S ABC  .a 3. .a 2.a 

3
3
2
6 .
3VABCD
1
VABCD VD. ABC  .d  A,  BCD   .S BCD  d  A,  BCD   
S BCD .
3
Ta lại có

Ta có AB a , AC a 2 , AD a 3 nên BC a 3 , BC 2a , CD a 5 .
Theo công thức Hê rông, ta có

S BCD 

11 2
a
2
.

a3 6
6  a 66

11
11 2
a
2
.
3.

d  A,  BCD  
Vâỵ

Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc. Biết OA a , OB 2a , OC a 3 . Tính

 ABC  .
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
Fb: -------

-- 5--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

a 3
A. 2 .

B.

a 17
C. 19 .
Lời giải

a
19 .

2a 3
D. 19 .

A

O

C

B
VOABC

1
a3 3
 OA.OB.OC 
6
3 .

2
2
2
2
2
2
Tính được AB  OA  OB a 5 , AC  OA  OC 2a , BC  OB  OC a 7 .

S ABC  p  p  AB   p  AC   p  BC  

Gọi

h d  O;  ABC  

19
2

1
3V
2 3
VOABC  h.S ABC  h  OABC 
3
S ABC
19 .
. Ta có


y 

 4x



x2  1



2

0 x0

BẢNG ĐÁP ÁN
1.C

2.A

3.A

4.A

5.D

_ Bài tập áp dụng công thức giải nhanh khoảng cách
Câu 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đấy bằng a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng
a
(A’BC) bằng 3 . Tính thể tích lăng trụ.
3
A. 3 3a

3a 3
B. 4

C.

2a 3
4

D.

3a 3
2

Lời giải

d  A, BC  AB a
1.
;
2. Hình chiếu A’ xuống đáy trùng A nên k = 0.

Fb: -------

-- 6--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

1
 d  A, A ' BC  
 Chọn C

2



1
 d  A, BC  

2



1
1

9 1
8
a 2
a3 2





h


V

h2
h2 a2 a2 a2
4
4

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Khoảng cách giữa đường thẳng
AD và mặt phẳng (SBC) là:

a 6
A. 6
1.

a 6
B. 3

a 2

C. 2
Lời giải

a 3
D. 2

d  A, BC  a

2. H là trực tâm của hình vng ABCD nên H là trung điểm AC. Do đó

k

1
2

1
a 2
a 2
AH  AC 
 h  SA 2  AH 2 
2
2
2
3.
1
 d  A,SBC  

2



1 1 4
3
a 6
 . 2  2  d  AD,SBC  d  A,SBC  
2
a
4 2a
2a
3

 Chọn B

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vng tại A và D có AB = 2AD = 2CD, SA
0
vng góc với đáy (ABCD), Góc giữa SC và đáy bằng 60 . Biết khoảng cách từ

a 42
VS.ABCD
3
B đến (SCD) là 7 , khi đó tỉ số a
bằng
3
A. 2

6
B. 3

6
C. 2

Lời giải

3
D. 3

Đặt AD = x thì CD = x, AB = 2x.
SA   ABCD  , BA || CD
1.
nên k = 1.
2.

d  B, CD  AD x

.

2
2
0
3. AC  AD  DC x 2  h AC.tan 60 x 6 .

1
 d  B,SCD  

 VABCD

2



1

 d  B, CD  

2



k2 1
1
7
x 42 a 42
 2  2  2  d  B,SCD  

 x a
2
h
x 6x
6x
7
7

1
1
1
x3 6 a3 6
 h.SS.ABCD  .x 6. x.  x  2x  

3
3
2
2

2  Chọn C

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy ABCD. Khoảng cách từ A đến (SBC) là:

a 3
A. 4
1.

a 6
B. 2

a 6
C. 3
Lời giải

a 3
D. 2

d  A, BC  AB a

Fb: -------

-- 7--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

2.

3.

SH   ABCD 

h

với H là trung điểm AB nên

k

1
2.

a 3
2

k2 1 1 4
4
a 3

 2  2  . 2  2  d  A,SBC  
2
2
h
a
4 3a
3a
2
 d  A,SBC  
 d  A, BC  

 Chọn D
1

1

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có

SC   ABC 

và có đáy ABC là tam giác vng tại B, BC a 3, AB a .

0
Biết góc giữa SB và (ABC) bằng 60 . Tính khoảng cách giữa SB và AC.

3a 13
B. 13

3
A. 2
1
2



2a 3
C. 13
Lời giải

a 3
D. 2

1
1
4
a 3

 2  d  B, AC  
2
2
BA BC
3a
2

 d  B, AC  
1. 
2. Do H C  BC nên k = 1.
0
3. h SC BC.tan 60 3a
1
 d  SB, AC  

2



1
 d  B, AC  

2



k2
4
1
13
3a 13
 2  2  2  d  SB, AC  
2
h
3a 9a
9a
13

 Chọn B

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a. Tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Khoảng cách giữa SB và AD bằng:

a 3
A. 3
1.

a 3
B. 2

a 3
D. 6

d  A, BC  AB a

2. H là trung điểm AB nên
3.

a 4
C. 4
Lời giải

h

k

1
2.

a 3
2 .
1

 d  SB, AD  

2



1
 d  B, AD  

2



k2 1 1 4
4
a 3
 2  . 2  2  d  SB, AD  
2
h
a
4 3a
3a
2

 Chọn B

Câu 7. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của A’ xuống (ABC)

a3 3
là trọng tâm tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là 4 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’
và BC là:
2a
3a
4a
3a
A. 3
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Fb: -------

-- 8--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

d  A, BC  

1.

a 3
2

2. Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là trọng tâm  ABC nên
h

Vlăng tru
Sđáy

3.

k

2
3.

a3 3
 24 a
a 3

4

1
 d  AA ', BC  



2

1
 d  A, BC  

2

k2
4 4 1
16
3a
 2  . 2  2  d  AA ', BC  
2
h
3a
9 a
9a
4



 Chọn D

3
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là
hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA và CD.
2a
a
A. 2 3a
B. a 3
C. 3
D. 2

Lời giải

 SAB    ABC  thì hình chiếu của S xuống (ABC) là H, trung điểm AB.
Chọn
1. AH || CD nên k = 0.
h

2.

a 3
2

SABCD 
3.

2S
S
3V 3a 3
2 3a 2


2 3a 2  d  A, CD   ACD  ABCD 
2 3a
h
CD
AB
a
a 3
2

1
 d  SA, CD  

2



1
 d  A, CD  

2



k2
1
 2   d  SA, CD  2a 3
2
h
12a

 Chọn A


y 

 4x



x2  1



2

0 x0

BẢNG ĐÁP ÁN
1.C

2.B

3.C

4.D

5.B

6.B

7.D

8.A

_ Bài tập áp dụng rèn luyện trong các đề thi thử năm 2019. (10-15 câu)
3NB

Fb: -------

4TH

2VD

1VDC

-- 9--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

a2 3
a3 6
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có diện tích đáy 4 , biết thể tích khối chóp A. ABC là 12 .
Tính khoảng cách h giữa hai mặt đáy của lăng trụ.

A. h 2a .

C. h a 3 .
Lời giải

B. h a .

A

D. h a 2 .

C

B

A

C

B

 ABC 
Vì khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ cũng là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
 h d A, ABC  
.
3.a 3 6
 12
a 2
3VA. ABC
1
a2 3

h


d

VA. ABC  d A, ABC   SABC
 A, ABC  
S ABC
3
4
Ta có:
.
Câu 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy và thể tích
a3
của khối chóp đó bằng 4 . Tính cạnh bên SA .

A. a 3 .

a 3
B. 3 .

a 3
D. 2 .

C. 2a 3 .
Lời giải

S

A

C

a
B

ABC là tam giác đều cạnh a  diện tích tam giác ABC là

SABC 

a2 3
4 .

1
VS . ABC  .SA.SABC
SA vng góc với đáy  thể tích khối chóp S . ABC là
3
.
3
a
3.
3.V
 SA  S . ABC  2 4 a 3
S ABC
a 3
4
.

Fb: -------

-- 10--

Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt
phẳng
A.

 BDA .

d

3
3 .

B.

d

6
4 .

C.

d

2
2 .

D. d  3 .

Lời giải

 BDA là d .
Đặt khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
Ta có:

VAABD VAABD 
d  AA.

Do đó:

1
1
AA.S ABD  d .S ABD
3
3

S ABD
SABD .

1
1
S ABD  AB. AD 
2
2 , tam giác ABD đều cạnh
AA 1 ,

2 có

S ABD 

3
.
4

 2

2



3
2 .

1
3
d 1. 2 
3
3
2
Vậy
.
Câu 4. Cho khối chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
phẳng

 SAD 

a 6
A. 3 .

2a 3
6 . Khoảng cách từ B đến mặt

bằng
a 3
B. 2 .

a 2
D. 2 .

C. a .
Lời giải

Fb: -------

-- 11--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

Gọi O  AC  BD . Khối chóp đều S . ABCD nên SO  ( ABCD) .

3VS . ABCD
1

VS . ABCD  SO.S ABCD  SO 
S
3
ABCD

Ta có:

3.

2a 3
6  2a
2
a
2 .

3V
1
d ( B, ( SAD))  S . ADB
VS . ADB  d  B,  SAD   .S SAD
S SAD .

3

Mặt khác,

VS . ADB

1
1 2a 3
2a 3
 VS . ABCD  .

2
2 6
12 .

2

2

 2a   2 a 
a 2 SA SD  SO  OA  
 2    2  a  AD
OA OD 

 

2 ;
Tính được:
.
Do đó tam giác SAD đều cạnh bằng a 

d ( B,( SAD)) 
Vậy

3VS . ADB
S SAD

2

2

S SAD 

a2 3
4 .

2a 3
a 6
 2 12 
3
a 3
4
.
3.

0
d  C ,  ABD  



Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB 3a , AC 2a , AD 5a ; BAC CAD  DAB 60 . Tính
.

2a 6
A. 3 .

a 6
B. 9 .

a 6
C. 3 .

2a 6
D. 9 .

Lời giải

Áp dụng công thức


VABCD 

AB. AC. AD






1  2 cos BAC
cos CAD
cos DAB
 cos 2 BAC
 cos 2 CAD
 cos 2 DAB
6

3a.2a.5a
1 1 1 1 1 1 5 2 3
1  2. . .    
a
6
2 2 2 4 4 4
2
.

Fb: -------

-- 12--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

1
 D  1 .3a.5a. 3 15 3 a 2
S ABD  AB. AD.sin BA
2
2
2
4
.

1
3V
VC . ABD  d  C ,  ABD   .S ABD  d  C ,  ABD    C . ABD
3
S ABD

5 2 2
a
2 6
2



a
3
15 3 2
a
4
/
3.

Câu 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA vng góc với đáy, mặt bên ( SCD) tạo
a3 3

với mặt đáy một góc bằng 60 , M là trung điểm BC . Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng 3 . Khoảng

cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD) bằng
a 3
A. 6 .

a 3
C. 4 .

B. a 3 .

a 3
D. 2 .

Lời giải

CD  AD
 CD   SAD   CD  SD


CD

SA

Ta có
.
CD  SCD    ABCD 



 AD   ABCD  , AD  CD    SCD  ,  ABCD    SD , AD  60

SD   SCD  , SD  CD
Do 
.

 SA  AD tan 60  AD 3.
SA 
Mà

3VS . ABCD a 3 3
a3 3


AD
3

 AD a
S ABCD
AD 2

AD 2

 SA a 3.
2
2
2
2
Trong tam giác vng SAD có SD  SA  AD  3a  a 2a .

Fb: -------

-- 13--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

1
 S SCD  .a.2a a 2
2
.
1
1
1 a
a3 3
VM .SCD  SA.SMCD  .a 3. . .a 
3
3
2 2
12

Mặt khác

3V
a3 3 1 a 3
 d  M ,  SCD    M .SCD 
. 
S SCD
4 a2
4 .
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại S và

 SAD  vng góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp
mặt bên
 SCD  .
cách h từ điểm B đến mặt phẳng
3
2
h a
h a
4 .
3 .
A.
B.

4 3
a
S . ABCD bằng 3 . Tính khoảng

4
h a

3 .
C.
Lời giải

8
h a
3 .
D.

Ta có chiều cao của khối chóp S . ABCD là SI với I là trung điểm của AD .
4 3
1
4
a  2a 2 .SI  a3  SI 2a
3
3
Suy ra thể tích của khối chóp S . ABCD bằng 3
.
Xét tam giác SCD vuông tại D có:
3a 2
1
1 3a 2
3a 2
S SCD  SD.CD  .
.a 2 
2 nên
2
2 2
2 .
4 3

1
4

a

2.
S
.
h

h

a

SCD
V
2VS .BCD 2VB.SCD
3
3
3 .
Thấy ngay S . ABCD
SD  SI 2  ID 2 

Câu 8.

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên bằng SA vng góc với

 SBC  ?
đáy , SA a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
A.

d

a 3
.
2

B.

d

Fb: -------

a 2
.
2

C.
Lời giải

d

a 6
.
2

D.

-- 14--

d

a 6
.
3


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

S
a

C

2a

A

2a E

2a

B
2
2
Ta có SB SC a 5;SE  5a  a 2a.
2
2a  3


S
 3a 2 .
4
Diện tích tam giác ABC là
1
1
S '  SE.BC  .2a.2a 2a 2 .
2
2
Diện tích của tam giác SBC là

1
3
V  a. 3a 2  a3 .
3
3
Thể tích hình chóp S.ABC là
3 3 1
3a 3
3a
V  a  d  A;  SBC   .S '  d  A;  SBC    2 
.
3
3
2a
2
Mặt khác
2a 3
Câu 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy ABC bằng 3
0

và góc giữa hai đường thẳng AB và BC  bằng 60 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và BC  .

A.

d

2 2a
3 .

B.

d

4a
3 .

C.

d

2 3a
3 .

Lời giải

Fb: -------

-- 15--

D.

d

2 6a
3 .


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

Có

S ABC 

AB.BC .CA AB 2 3
AB 2a 3

 R

 AB 2a
4R
4
3
3
.

AB, BC  DC , BC  600 .
Dựng hình hộp ABCD. ABC D suy ra AB  DC  nên
BH
sin 600 

 BC  2a  BC
BC D 1200
BC 
TH1:
. Xét tam giác BDC  có
0

TH2: BC D 60 suy ra BC  2 BH 2a 3  BB 2 2a  BC .

VC .BCD

1
2 6a 3
 VABC . ABC  
3
3

d d  AB, BC  d  AB ,  BC D   d  A,  BC D   d  C ,  BC D   

3VC .BCD
S BC D

2 6a 3
3.
3  2 2a

3
3 3a 2

Câu 10. Cho lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của điểm A lên

a3 3
ABC 
mặt phẳng 
trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ là 4 . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AA và BC .

2a
A. 3 .

4a
B. 3 .

3a
C. 4 .
Lời giải
A

3a
D. 2 .

C
B

I
K

A

C

H

B

M

Gọi H là trọng tâm của ABC , M là trung điểm BC .
Kẻ MI  AA tại I .
Kẻ HK  AA tại K .
AH   ABC   AH  BC
Ta có
mà BC  AM
 BC   AAM   BC  MI
.
Suy ra MI là đoạn vng góc chung của AA và BC .

S ABC

V
a2 3

 AH  ABC . ABC  a
4
S ABC

1
1
1
3 1
4

a
2
a 3



 2  2  2  HK 
AH  AM 
2
2
2
3
3
HK
AH
AH
a a
a
2

Fb: -------

-- 16--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

3
3a

d  AA, BC  MI  HK 
2
4 .
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của
DD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD bằng
a 3
A. 3

a 3
B. 2

a
D. 3

2a 3
C. 3
Lời giải
H

D

A

K

C

B

C'

D'

A'

B'

 H  CC  .
Từ D kẻ DH // CK
Khi đó

d  CK , AD  d  CK ,  ADH   d  C ,  ADH  



3VCAHD
S ADH .

1
a3
VACDH  AD.S DHC 
3
12 .
Ta có
a 5
a 17
AH 
2 ,
2 .
Mà AD a ,

AD 2  AH 2  DH 2
5
3
cos DAH 

 sin DAH 


2 A D. A H
34
34
Xét tam giác ADH có
DH 

1
3a 2
 S ADH  AD. AH 
2
4 .

d  C ,  ADH  
Vậy

3a 3
a
 122 
3a
3
4
.



Fb: -------

-- 17--


Cùng luyện Mắt nhanh vui cùng Casio nhanh
Tuyển chọn 110 dạng tốn Ơn thi Quốc Gia 2020.

y

2 x 1
x 1

D    ;1   1;  
y 

3

 x  1

2

 0, x     ;1   1;  

   ;1  1; 

BẢNG ĐÁP ÁN

1.D
11.D

2.A

3.A

4.A

5.A

6.C

7.C

8.A

9.A

_Ghi chú:Ghi chú: mỗi câu có tóm tắt HDG nhanh hoặc quy trình bấm máy.

Fb: -------

-- 18--

10.C