Bai giang dsdc (da sua)

Bài 1 Nhóm và nửa nhóm
1.Định nghĩa 1
Nhóm là tập X , trân đó đã xác định được một phép tốn hai ngơi thỏa mãn các điều
kiện:
N1.(Kết hợp):x,y,zX thì (xy)z=x(yz).
N2.(Đơn vị): xX,eX thì ex=xe=x.
N3.(Nghịch đảo): xX,x-1X thì x.x-1=x-1x=e.
2.Định nghĩa 2
Nhóm là tập X , trong đó đã xác định được một phép tốn hai ngơi thỏa mãn các
điều kiện:
N1.(Kết hợp):x,y,zX thì (xy)z=x(yz).
N2.(Đơn vị): xX,eX thì ex=x.
N3.(Nghịch đảo): xX,x-1X thì x-1x=e.
3.Định nghĩa 2’: Nửa nhóm X được gọi là nhóm nếu nó có đơn vị và mọi phần tử đều có
nghịch đảo.
4.Định nghĩa
Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax=b và xa=b có nghiệm trong X và với mọi
a,bX.
Bài tập
1.Cho tập X=ZxZ={(k1,k2),k1,k2Z} xác định trên X phép toán như sau:
(k1,k2) (m1,m2)=( k1+m1,k2+(-1)k1m2)
CMR: X với phép tốn trên là nhóm.

 a b 

X 
:
ac

0



0
c



2.cho
Chứng minh rằng: X là nhóm đối với phép nhân ma trận.


Nhóm con
1.Tiêu chuẩn 1
Một tập con A trong nhóm X là nhóm con của X nếu:
+x,yA thì xyA.
+eA.
+xA thì x-1A.
Ví dụ:

2.Tiêu chuẩn 2
Một tập con A trong nhóm X là nhóm con của X nếu:
+x,yA thì xyA.
+xA thì x-1A.
Ví dụ:

3.Tiêu chuẩn 3
Một tập hợp con A trong nhóm X là nhóm con của X nếu: x,yA thì xy-1A
Ví dụ:

Bài 3.Nhóm Cyclic và cấp một phần tử trong nhóm
Định nghĩa: Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử aX và X=<a>.

Tức X trùng với nhóm con sinh bởi phần tử a, gồm tất cả các lũy thừa nguyên của a.
Vậy: X=<a>={an: nZ}.


Định nghĩa 2: Cho nhóm X và aX. cấp của phần tử a là cấp của nhóm con cyclic sinh
bởi phần tử a.
Bài tập:
Câu 1: Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1. Chứng minh rằng A với phép nhân
thông thường các số phức là một nhóm cyclic.
Giải:

Bài 4 Nhóm con chuẩn tắc
Định nghĩa: Một nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm con chuẩn tắc của X. nếu A
thỏa mãn điều kiện sau:
xX,aA thì xax-1A hoặc x-1axA (điều kiện chuẩn tắc).
Để kiểm tra AX thì ta kiểm tra:
+A là nhóm con của X.
+A thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc.
Bài tập
1.Cho nhóm

 a b 

 1 b 

X  
:
ac

0

;A

:
c

0




0 c
0
c






Chứng minh rằng: AX.
2.Trong nhóm X:

 a b 

 a b 

 1 b

X  
:

ac

0
;B

:
a

0
;C

:
b

R








 0 c 

 0 1 

 0 1

Chứng minh rằng: Các bộ phận B,C là các nhóm con chuẩn tắc.

3.Trong nhóm nhân M*n các ma trận vng cấp n, không suy biến, chứng minh rằng các
bộ phận sau là các nhóm con chuẩn tắc:
i.M1n={AM*n:detA=1}
ii.M1n={AM*n:detA2=1}
iii.M+n={AM*n:detA>0}

Bài 5: Đồng cấu nhóm
Cho X,Y là các nhóm, ánh xạ f: X®Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu:
a,bX: f(ab)=f(a).f(b).
Ví dụ: Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 6 đến nhóm cyclic cấp 24.
Giải:
Cho các nhóm X=<a>6; Y=<b>24 là các nhóm cyclic cấp 6 và 24.
Nếu f:X®Y là đồng cấu, thì tồn tại k mà 0k24 sao cho mọi anX thì f(an)=(bk)n.
Biết f là đồng cấu khi và chỉ khi 6k chia hết cho 24.
Vậy các đồng cấu f:X®Y bằng các số nguyên k mà 0k24 thỏa mãn 6k chia hết cho
24 thì có 6 số ngun k là: k=0,4,8,12,16,20.
Vậy có 6 đồng cấu khác nhau từ nhóm cyclic cấp 6 tới nhóm cyclic cấp 24 là:
f1:an|®e; f2:an|®b4n; f3:an|®b8n; f4:an|®b12n; f5:an|®b16n; f6:an|®b20n;
Câu 1: Chứng minh rằng: f:(R,+)®(R,.) với mỗi xR thì f(x)=ex là một đồng cấu nhóm.


Câu 2: X là nhóm A ben. CMR: g:X®X mà g(x)=xk, với kZ.
+g là một đồng cấu nhóm.
+tìm Img và Kerg.
Câu 3: X là nhóm. CMR: g:X®X mà g(x)=x-1, với xX.
+g là một đồng cấu nhóm.
+Tìm Img và Kerg.
Câu 4: X là nhóm. CMR: g:X®X mà g(x)=x-1, với xX, g là một đồng cấu nhóm khi

và chỉ khi X là nhóm A ben.
Câu 5: Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 24 đến nhóm cyclic cấp 6.
Câu 6: Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp n đến chính nó.
Câu 7: Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 8 đến nhóm cyclic cấp 20.

Bài 6 Nhóm đẳng cấu
Định nghĩa: Nhóm X đẳng cấu với nhóm Y (XY) nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu
f:X®Y.
Quan hệ đẳng cấu trong lớp các nhóm là quan hệ tương đương. Vì:
+Với mọi nhóm X thì XX theo ánh xạ đồng nhất 1X.
+Nếu XY theo f thì YX theo ánh xạ ngược của f-1.
+Nếu XY theo f và YZ theo g thì XZ theo gf.
Như vậy, để chứng tỏ hai nhóm X và Y là đẳng cấu với nhau thì ta thiết lập một ánh xạ
đẳng cấu từ X tới Y hay từ Y tới X hoặc có thể thiết lập các ánh xạ đẳng cấu từ X,Y tới
một nhóm thứ ba.
Ví dụ: Cho tập hợp các ma trận vuông cấp hai:


 1 a 

A  
:
a

R


  0 1

Chứng minh:

i.A là nhóm với phép tốn nhân ma trận.
ii.A(R+,.), trong đó (R+,.) là nhóm nhân các số thực dương.

Định lí (Nơte): Cho f:X®Y là tồn cấu. khi đó tồn tại và duy nhất một đẳng cấu
f’:X/kerf®Y để sao cho f=f’.p trong đó p:X®X/kerf là đồng cấu chiếu.
Sử dụng định lí này nếu ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thương X/AY, ta chỉ cần
thiết lập tồn cấu f:X®Y để sao cho kerf=A và từ định lí ta có đẳng cấu f’:X/AY
Ví dụ:

Bài 7: Mơ tả cấu trúc của nhóm
Các bài tốn thường có nội dung: Cho X là nhóm thỏa mãn một số điều kiện cho trước
nào đó, kết luận của bài tốn u cầu chỉ ra rằng, khi đó nhóm X cũng thỏa mãn một số
tính chất xác định.
Ví dụ: Cho X là nhóm mà aX: a2=e. chứng minh X là nhóm A ben.


Giải:
Mọi a,b thuộc X thì: a2=e, aX: a=a-1, a-1X
Do đó: a,bX: ab=(ab)-1= b-1a-1=ba.
Định lí (Lagran): Cho nhóm hữu hạn X và A là nhóm con của X, khi đó cấp A là ước số
của cấp X.
Hệ quả 1: Cấp của một phần tử a trong nhóm X là ước số của cấp X.
Hệ quả 2: Nếu cấp của nhóm X là số ngun tố thì X là nhóm cyclic.

Bài 8: Vành và vành con
Định nghĩa: Vành là một nhóm cộng giao hoán (R,+) được trang bị thêm một phép toán
nhân có tính chất kết hợp:
+x,y,zR thì (xy)z=x(yz)
+Có tính chất phân phối với phép cộng
x,y,zR thì x(y+z)=xy+xz và (y+z)x=yx+zx

Như vậy: Vành là một tập R trên đó đã xác định được hai phép tốn hai ngơi:
1.(R,+) là nhóm giao hốn.
2.Phép nhân trong R có tính chất kết hợp.
3.Phép nhân phân phối đối với phép cộng.


Ví dụ: Cho tập Mn các ma trận thực vng cấp n là một vành với hai phép toán cộng và
nhân ma trận.
Câu 1: Cho R là vành, Z là vành các số nguyên. Trên tập
R.Z={(r,n):rR,nZ}
Ta xác định các phép tốn:
(r1,n1)+(r2,n2)=(r1+r2;n1+n2)
(r1,n1).(r2,n2)=(r1r2+n1r2+ n2r1+ n1n2)
Chứng minh R.Z là vành có đơn vị, vành này giáo hốn khơng?
Tiêu chuẩn vành con: Cho vành R, bộ phận A của R là một vành con của R khi và
chỉ khi:
+x,yA thì x-yA.
+x,yA thì xyA.
Hay là tập A của R là một vành con của R khi và chỉ khi A ổn định đối với phép trừ
và nhân.
Ví dụ: Cho R là vành. Ta gọi tậm của vành R . tập
Z(R)={aR: ar=ra,rR}
i.CMR: Z(R) là vành con của vành R.
ii.Tìm Z(Mn) với Mn là vành các ma trận thực vuông cấp n.
Câu 1: Cho R là vành, Z là vành các số nguyên. Trên tập:
R.Z={(x,n): xR,nZ}
Ta xác định các phép toán:
(x1,n1)+(x2,n2)=(x1+x2;n1+n2)
(x1,n1)(x2,n2)=(x1x2+n1x2+ n2x1;n1n2)
Chứng minh rằng: R.Z là vành có đơn vị, vành này có giao hốn khơng? Điều kiện nào

của R thì R.Z giao hốn?
Câu 2: Cho R là vành. Ta gọi tâm của vành R là tập:


Z(R)={aR:ax=xa,xR}
+CMR: Z(R)=là vành con của vành R
+tìm Z(Mn) với Mn là vành các ma trận thực vuông cấp n.
Câu 4: Một ma trận A=(aij)mxn gọi là ma trận tam giác nếu a ij=0 khi i>j. chứng minh rằng
tập MTn các ma trận tam giác lập thành một vành đối với phép cộng và nhân ma trận.
Câu: Cho R là một nhóm cộng giao hốn. Gọi End(R) là tập tất cả các tự đồng cấu
f:R®R, trong End(R) ta định nghĩa các phép tốn sau:
(+): f,gEnd(R): f+g:X®X mà xR: (f+g)(x)=f(x)+g(x)
(.): fg:X®X mà xR: fg(x)=f[g(x)].
a.Chứng minh: End(R) là vành có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân ở trên.
b.Cho A là nhóm con của R, gọi N(A) tập tất cả các đồng cấu fEng(R) mà f(A)=0.
Chứng minh rằng: N(A)End(R).
c.Với mỗi số nguyên nZ ta xác định ánh xạ gn:X®X mà xR: gn(x)=nx.
Chứng minh: gn là tự đồng cấu, H={gn:nZ} là vành con giao hốn có đơn vị là End(R).
Câu: cho các ma trận vuông cấp n như sau:
+Mcn={A=(aij)mxn: ai1=0, i=1…n}
+MFn={A=(aij)mxn: ai1=0=a1j, I,j=1…n}
Chứng minh rằng: Các tập hợp trên đều là vành với hai phép toán cộng và nhân các ma
trận.

Bài 9: Miền nguyên và trường
Định nghĩa 1: Miền nguyên R là vành giao hốn có đơn vị 10 (và do vậy |R|>1) và
tích của hai phần tử khác khơng là khác khơng.
Định nghĩa 2: Trong vành giao hốn R, phần tử a0 được gọi là ước của không nếu tồn
tại phần tử b0 để sao cho ab=0.

Ví dụ: Cho R là vành giao hốn có đơn vị 10. Chứng minh rằng: R là miền nguyên khi
và chỉ khi trong R có luật giản ước cho các phần tử a0 đối với phép nhân.

Như vậy: Miền nguyên là một vành giao hốn có đơn vị 10 và khơng có ước của
khơng.
Định nghĩa: Trường là một vành giao hốn có đơn vị 10 và phần tử bất kỳ khác khơng
đều có nghịch đảo.
Định nghĩa: Trường là một tập hợp X có nhiều hơn một phần tử. trên đó xác định được
hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn:
1.(X,+) lập thành nhóm giao hốn.
2.(X,.) lập thành nhóm giao hốn.
3.Luật phân phối phép nhân đối với phép cộng.
Ví dụ: Cho các tập số sau:

Z



 

 

 3  a  b  3 : a,b  Z ;Q

 

Z



3



Q



3

 là trường các thương của miền nguyên Z 

i.Chứng minh rằng:
là miền ngun,
tốn cộng và nhân thơng thường các số.
ii.Chứng minh rằng:



 3  a  b  3 : a,b  Q
Q



3



là một trường với các phép

3



Giải:

Bài tập1: Cho các ma trận cấp hai:

 a b

M  
:
a,b

R


 b a 

a. Chứng minh rằng: M là vành giao hốn có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân các
ma trận.


 a b
A 

 b a  là ước của không trong M khi detA=0.
b.Phần tử

 a 0

K  
:
a

R

0 a 


 là một trường con của vành M nếu có một trường con T
c.Tập
của M mà TK thì T=K.

  a
L  
  b 2
d.Tập


b 2
:
a,b

Q


a 
 là một trường con của M. Trường L có một tính

chất như K không.
Bài tập: Cho tập các ma trận cấp hai như sau:

 a b

 a a 

R  
:
a,b


;A

:
a






 a a
b
a









Chứng minh rằng: R là vành giao hốn có đơn vị (+,.) và A là iđêan tối đại của R.
Chứng minh rằng: A là vành con của vành R.

Ví dụ: Cho tập các ma trận nguyên cấp hai:

 a b 

 a  b 

R  
:
a,b

Z
;A

:
a

Z





 b a 


  b a 

Chứng minh rằng: R là vành giao hốn có đơn vị và A là iđêan ngun tố của vành R.


Ví dụ: Cho tập các ma trận nguyên cấp hai:

 a b 

 a a 

R  
:
a,b

R
;A

:
a

R





 b a 


 a a 

Chứng minh rằng: R là vành giao hốn có đơn vị (với phép tốn cộng và nhân ma trận)
và A là iđêan tối đại của vành R.

Bài tập: Cho các tập số phức sau:

Z



 







 5  a  b  5 : a,b   ; I  5a  b  5 : a,b  

i.Chứng minh:

IZ

phức và

Z





5

5

 là vành với hai phép toán cộng và nhân thông thường các số



ii.Chứng minh vành thương

Z





5 /I

là trường.

Giải:
i.Chúng ta kiểm tra Z(  5)  ( , ,.)
Ta kiểm tra
Vậy

IZ



IZ
5



5

 ta kiểm tra (-; .)I.



ii.Ta có vành thương:

Z









 



 5 / I  a  b  5  I : a,b    a  I,a  (b  5  I)

=  0  I,1  I,2  I,3  I,4  I


Z



5



Ta dễ thấy:
là một vành giao hốn có đơn vị nên vành thương
vành giao hốn có đơn vị.

Z





5 /I

là

Ta phải chứng minh mọi phần tử bất kỳ m+I0+I trong vành thương đều có nghịch đảo.
Thật vậy khi đó m khơng chia hết cho 5 nên (m,5)=1 (nguyên tố cùng nhau) nên tồn tại
các số nguyên k và t sao cho: km+5t=1 và tồn tại phần tử k+I mà:
(m+I)(k+I)=km+I=1-5t+I=1+I
Tức (k+I)=(m+I)-1.

Vậy

Z





5 /I

là một trường

Bài tập: Cho các ma trận nguyên cấp hai sau:

 a b

 a  a 

R  
:
a,b


;A

:
a







 a a 
b
a








Chứng minh rằng: R là vành giao hốn có đơn vị và A là iđêan nguyên tố của vành R.

Bài tập: Cho các ma trận vuông cấp hai sau:

  a

 a b

b 3
R  
 : a  
 : a,b    ;A  
3b
a

a 



  b 3

Chứng minh rằng: R, A là trường đối với hai phép toán cộng và nhân các ma trận.

Bài tập: Tìm tất cả các đồng cấu của các vành sau:


+từ Z6 tới Z12.
+từ Z15 tới Z9.

Bài tập: Tìm tất cả các tự đồng cấu của:
+Vành các số nguyên Z.
+Trường các số thực R.
+Trường các số phức C.
+Trường các số hữu tỉ Q.

Bài 10: Idêan và vành thương
Định nghĩa: Cho X là một vành, bộ phận I trong X và được gọi là một idêan nếu I là
nhóm con của X đồng thời thỏa mãn điều kiện: xX,aI thì axI và xaI (*)
Khi I là iđêan của X (kí hiệu: IX) thì tập thương X/I={x+I:xX} được trang bị các
phép tốn như sau:
+Phép cộng: (x1+I)+(x2+I)=(x1+x2)I.
+Phép nhân: (x1+I)(x2+I)=x1x2+I.
Trở thành một vành và gọi là vành thương của vành X theo iđêan I kí hiệu là (X/I;+;.)
hay X/I.
Nếu X là vành giao hốn thì X/I giao hốn.

Nếu X là vành giao hốn có đơn vị thì X/I có đơn vị là 1+I.
Tiêu chuẩn iđêan:
Cho vành X, tập I trong X là iđêan của X khi và chỉ khi:
+a,bI thì a-bI.
+xX,aI thì axI và xaI.
Ví dụ: cho các tập số phức sau:









Z(  5)  a  b  5 : a,b  Z ;I  5a  b  5 : a,b  Z
a.Chứng minh rằng:
phức và

IZ



5

Z



5

 là vành với hai phép cộng và nhân thông thường các số

.

b.Chứng minh rằng: Vành thương

Z





5 /I

là trường.

Định nghĩa: Cho R là vành giao hốn có đơn vị là 1.
+Ideanl IR được gọi là idean nguyên tố nếu xyI thì hoặc xI hoặc yI.
+Ideanl IR được gọi là idean tối đại nếu I là iđêan thật sự của R và không bị chứa trong
bất kỳ iđêan thật sự nào khác I. (nếu có JR mà JI thì hoặc J=X hoặc J=I).
Ví dụ: Cho R là vành giao hốn có đơn vị 1. Chứng minh rằng nếu IR thì:
i.I là iđêan nguyên tố khi vành thương R/I là miền nguyên.
ii.I là iđêan tối đại khi R/I là trường.


Ví dụ: cho tập các ma trận cấp hai như sau:

 a 0 


 0 0

R  
:
a,b


;A

:
a






 a 0
0
b








i.chứng minh rằng R là vành giao hốn có đơn vị. (+;.)
ii.chứng minh AR và R/A là trường.

Ví dụ: Cho tập các ma trận cấp hai như sau:

 a b 

 m

5n  m 
R  
:
a,b


;A

:
m,n






m 
 b a 

  5n  m

Chứng minh rằng A là iđêan tối đại của R.

Ví dụ: Cho tập ma trận cấp hai như sau:

 a b 

R  
:
a,b




b
a



Chứng minh rằng A là iđêan tối đại của R.


Bài 11: Đồng cấu vành
Định nghĩa: Cho các vành X,Y. ánh xạ f:X®Y là một đồng cấu vành nếu a,bX thì ta
có:
+f(a+b)=f(a)+f(b)
+f(ab)=f(a)f(b)
Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu nếu ánh xạ f đồng thời là đơn ánh.
Đồng cấu vành f được gọi là toàn cấu nếu ánh xạ f đồng thời là toàn ánh.
Và Đồng cấu vành f được gọi là đẳng cấu nếu ánh xạ f đồng thời là song ánh.
Dĩ nhiên f là đẳng cấu thì f đồng thời là đơn cấu và toàn cấu.
Hạt nhân của một đồng cấu f là: kerf=f-1(0) luôn là một iđêan.
+Khi chứng minh bộ phận A là iđêan của vành X thì f là một đồng cấu f:X®Y với Y

là một vành và kerf=A.
+Đồng cấu vành f:X®Y là một đơn cấu khi kerf=0, cho ta việc kiểm tra f đơn ánh thì ta
chỉ cần tính kerf.
+Nếu f:X®Y là tồn cấu vành thì tồn tại và duy nhất đẳng cấu f’:X/kerf®Y sao cho
f=f’.p trong đó p là phép chiếu p:X®X/kerf.
+Khi chứng minh về sự tồn tại một đẳng cấu từ một vành thương X/A tới vành Y nào
đó thì ta chỉ cần thiết lập một tồn cấu f:X®Y và kerf=A.
+Nếu f:X®Y là đẳng cấu thì f-1:Y®X là đẳng cấu. quan hệ đẳng cấu là một quan hệ
tương đương.


Bài 12: Phần tử khả nghịch
và phần tử bất khả quy trong vành giao hốn có đơn vị
Các vành giao hốn có đơn vị, các miền ngun được xem là sự tổng quát hóa của vành
Z các số nguyên. Ta có thể trang bị các yếu tố lí thuyết chia hết của vành số nguyên và
nghiên cứu về chúng.
Cho X là vành giao hốn có đơn vị 1 và a,bX, ta nói a chia hết cho b hay a là bội của b
nếu tồn tại phần tử cX để sao cho a=bc.
Phần tử khả nghịch trong vành giao hốn có đơn vị X là phần tử uX để sao cho u là
ước của đơn vị 1. Hay u khả nghịch khi vX mà u.v=1.
Tập U là tập tất cả các phần tử khả nghịch của một miền nguyên X lập thành một nhóm
đối với phép nhân.
Nếu X là vành giao hốn có đơn vị thì tập U các phần tử khả nghịch của X cũng lập
thành một nhóm đối với phép nhân.
Ví dụ:


Bài 13: Vành chính
Định nghĩa 1: Vành chính là một miền nguyên X và iđêan bất kỳ của X đều là iđêan
chính.

Ví dụ:

Tính chất:
+Trong vành chính A, ước chung lớn nhất hai phần tử bất kỳ là tồn tại.
+Trong vành chính A, hai phần tử a,b là nguyên tố cùng nhau khi tồn tại s,t thuộc A mà
sa+tb=1.
+Trong vành chính A nếu ab chia hết c và (a,c)=1 thì b chia hết cho c.
+Trong vành chính A phần tử p0 không khả nghịch là bất khả quy nếu ab chia hết cho
p thì hoặc a chia hết p hoặc b chia hết p.
+ Trong vành chính A phần tử a0 khơng khả nghịch đều phân tích được thành tích các
nhân tử bất khả quy và sự phân tích là duy nhất nếu khơng tính đến thứ tự các nhân tử
hay sự sai khác các nhân tử khả nghịch.
Ví dụ:


Bài 14: Vành Ơclit
Định nghĩa: Vành Ơclit là một miền nguyên A, sao cho trên tập A* các phần tử khác
khơng xác định được ánh xạ g:A*®N, thỏa mãn các điều kiện:
+Nếu a,bA* mà a\b thì g(a)g(b).
+Mọi a,bA*, b0 ln tồn tại q,rA sao cho a=qb+r, nếu r0 thì g(r)Ánh xạ g được gọi là hàm bậc hay ánh xạ Ơclit.
Ví dụ:

Bài 15: Vành đa thức