ĐẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN

0
ð CƯƠNG BÀI GIảNG
ð_I Số Số CP VÀ THế C HNH GIảI TỐN
(TÁI LÀIEU DÙNG Cho SINH VIÊN ðHSP TỐN LÀÝ)
Nămà 2014
1
MÀ_C LọC
Chương 1. Giải bài toán như thế
nào………………………………………………………. 2
1.1. Cách Giải màột bài
toán………………………………………………………………. 2
1.2. Các phương pháp suy luận thường gặp trong Giải
toán……………………………... 5
Chương 2: Các tập hợp
số…………………………………………………………………... 9
2.1. Tập hợp số tự
nhin…………………………………………………………………. 9
2.2. Số
nguyên…………………………………………………………………………….
10
2.3. Số hữu
tự……………………………………………………………………………... 12
2.4. Số
thức………………………………………………………………………………. 18
Chương 3: ða thức- Phân thức h_u
tự……………………………………………………… 23
3.1. ða
thức………………………………………………………………………………. 23
3.2. Phân thức hữu
tự……………………………………………………………………... 31
Chương 4: Hmà số và đãơ

thứ………………………………………………………………… 35
4.1. Kếhi niemà hmà số và đãơ thứ hmà
số…………………………………………………. 35
4.2. MÀột vi pháp bàin đội đãơ
thứ………………………………………………………… 36
4.3. Kếhá_o st màột hmà số bang phương pháp số
cp…………………………………….. 37
Chương 5: Phương trình – Hệ phương
trình……………………………………………… 42


5.1. Phương
trình…………………………………………………………………………. 42
5.2. Hệ phương
trình……………………………………………………………………... 45
Chương 6: Bt phương trìnhỏ Hệ bt phương
trình………………………………………. 52
6.1. Bt đang
thức………………………………………………………………………... 52
6.2. Bt phương trìnhỏ Hệ bt
phương…………………………………………………… 55
Tái làieu thậmà
kếhá_o…………………………………………………………………………... 62
2
CHƯƠNG 1
Giải bài toán như thế nào
Số táiết: 05 (LÀý thữuyết: 04 táiết; bài tập, thảo luận: 01 táiết)
A) MÀ_C TÁIU
Chương này gồmà hai phân. Phân thứ nhất của chương trợng bị cho người học các
bước Giải màột bài tốn, bao gồmà: tìmà hiệu đầu bài; xây dựng chương trình

Giải; thức hiện chương trình Giải; kếiểmà trợ kết quả và biện luận. Ba bước đầu
táiên rõèn cho người học kếhi đãứng trước màột bài toán dùễ dùng đãịnh hình
được các cơng việc chính, Trên cố sở đó từng bước tiếp cận, vận dụng các kếiến
thức liên quan để hỗàn thành lời Giải của bài toán đã cho. Bước thứ tư rõèn cho
người học biết cách phân tích để kếhai thác bài tốn thệo nhiều góc độ, đây là màột
nhiệmà vụ quan trợọng, đặc biệt là đối với người học là các sinh viên ngành sư
phùạmà toán. Phân thứ hai trợng bị cho người học màột số phương pháp suy luận
thường dùng như: phân tích và tổng hợp; quáy nạp; tương tự; đặc biệt hóa; tổng
quáát hóa. Qua đó, người học biết vận dụng chúng trong quá trình tư duy và quá
trình lập luận kếhi Giải tốn.
B) NỘI DÙUNG
1.1. Cách Giải màột bài tốn
Thơng thường để Giải màột bài toán, người ta thường trợải qua các cơng đoạn:
tìmà hiệu đầu bài; xây dựng chương trình Giải; thực hiện chương trình Giải;
kếiểmà trợ kết quả và biện luận. MÀặc dù trong thực tế, kếháơng phùải q trình
Giải bài toán nào cũng phùải tuần tự trợải qua đầy đủ các bước kếể Trên, nhưng
việc tìmà hiệu và vận dụng bốn bước này sẽ giúp ích kếhá nhiều cho việc nghiên
cứu các bài toán, đặc biệt là đối với những bài tốn chọn lọc điển hình thì nhất thiết
phùải được trình bày và phân tích kếĩ lưỡng thệo thứ tự các bước để rõèn luyện các
thao tác tư duy và
nắmà bắt rõ bản chất.


1.1.1. Tìmà hiệu đầu bài
Đây là cơng việc bắt buộc đầu táiên kếhi màuốn Giải màột bài toán. Kếhi đọc đầu
bài, chúng ta cần hiệu rõ đầu là giả thiết của bài toán và đâu là yêu cầu của bài
toán. Trên cố sở đó, cố gắng kếhoẩnh vùng phùạmà vi của đề toán: bài toán này
thữuộc vùng kếiến thức nào? Cần có những kếiến thức và kếĩ năng gì? Nếu Giải
được thì sẽ Giải quyết được vấn đề gì?
*) Lưu ý:

- Cần tìmà rõ màối quan hệ giữa cái cần tìmà và những cái đã biết đối với bài tốn
và tìmà tịi, tính tốn.
- Cần nêu rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng màinh.
- Nên sử dụng và kếhai thác hình vẽ trực quan để hỗ trợ.
- Nên chọn lựa kếí hiệu phù hợp.
1.1.2. Xây dựng chương trình Giải
a) Nhận dạng và tập hợp kếiến thức
Trên cố sở đã kếhoẩnh vùng bài toán, trước hết chúng ta cố gắng nhận dạng và
phân loại nó. Tiếp đó, chúng ta cố gắng hữuy động và tổ chức các kếiến thức đã
biết để tìmà rõ lời Giải. Q trình
3
này có thể là tự phát, thậmà chí nếu đã thao tác quá quen lập lại nhiều lần nó có thể
được tái hiện màột cách vô thức. Chẳng hạn, kếhi gặp bài tốn “phân tích đa thức
thành nhân tử” thì trong đầu hiện lên màột loạt các phương pháp đã biết và dạng
tốn này (nhómà hạng tử, đặt nhân tử chữung, thêmà bớt hạng tử, sử dụng nghiệm
đa thức, dùng hằng đang thức, đặt ẩn phụ,…).
b) Phân tích bài tốn để đưa về những bài tốn đơn giản hơn
MÀột bài tốn có thể được xây dựng từ những bài toán đơn giản hơn. Chúng ta
nên cố gắng phân tích bài tốn đã cho, chia tách nó thành nhiều bài tốn nhỏ, rồi
Giải từng bài tốn nhỏ ấy, sau đó kết hợp chúng lại để được lời giải của bài toán
ban đầu. Chẳng hạn, để chứng màinh rằng
“nếu p là số nguyên tố p ³ 5 thì ( p2 −1)⋮24 ”, ta có thể tách ra thành hai bài toán
nhỏ: (i)
( p2 −1)⋮8 và (ii) ( p2 −1)⋮3.
c) Liên hệ và sử dụng các bài toán đã Giải
Kếhi gặp màột bài toán màà chưa tìmà rõ lời Giải, chúng ta hãy cố gắng nhìn lại
xemà đã gặp màột bài tốn tương tự hoặc có liên quan đến bài tốn đã cho mà ta đã
biết cách Giải. Điều này rất hữu ích vì nó giúp ta tiếp cận gần hơn bài toán đang
xét Trên cơ sở kế thừa những điểm tương đồng và phương pháp giải, về kinh
nghiệm, và kết quả,…

dù) MÀị màamà, dù_ đãốn
Trong kếhi tìmà tịi lời Giải cho bài tốn, ta có thể táin hnh thế* nghiệm với màột
số trợư_ng hợp


đặc biệt rõing là.. Trên cố sở quan st kết quả x_y rõ đối với các trợư_ng hợp này,
chúng ta sẽ có
thêmà những Thơng táin để Giải quyết cho trợư_ng hợp tổng quáát.
e) Sử dạng bản g_i ý c%a Pơlàya
ð_ng trước màột bài toán kếháĩ, nhiều kếhi chúng ta hỗẩng màẩng thậmà chí màt
phương hư_ng
và rất kếháĩ tiếp cận trong thứi giữẩn ngẩn. Các gi ý sau của Pơlàya giúp cho
chúng ta bình tĩnh để
từng bước thếo g' táin tựi Giải quyết bài toán đã cho.
- B#n đã gặp bài toán này hay bài toán tương tự lên nào chưa?
- B#n có biết màột bài tốn nào liên quan kếháơng? MÀột đãịnh làí nào có thể sử
dụng _ đây được
kếháơng?
- Xét kếĩ cái chưa biết (ẩn) và thế* nhìn lại màột bài tốn qen thữuộc có cầng ẩn
hay có ẩn
tương tự.
- đây là màột bài toán liên quan mà b#n đã có lên Giải rồi. Có thể sử dụng nó
kếháơng? Có thể
sử dụng kết quả của nó kếháơng? Có thể sử dụng phương pháp của nó kếháơng?
Có cần phùải
đưa thêmà màột số yêu tố phụ thì mà_i sử dụng được kếháơng?
- Có thể phát bàieu bài tốn màột cách kếhác kếháơng?
- Nếu b#n vận chưa Giải được bài tốn đã cho thì hãy thế* Giải màột bài tốn liên
quan mà dùễ
hơn được kếháơng? MÀột bài tốn tổng qát hơn? MÀột trợư_ng hợp đặc biệt?

MÀột bài toán
tương tự? MÀột phân của bài toán? Hãy gi lại màột số đãiu kếien, b- qua các đãiu
kếien
kếhác. Kếhi đó ẩn sẽ được xc đãịnh đến màột ch ng mà_c nào đó, nó bàin đội như
thế nào?
Có thể nghĩ rõ những dù kếien kếhác giúp b#n xc đãịnh được ẩn kếháơng? Có thể
thếay đội ẩn
hoặc các dù kếien (hoặc c_ hai) sao cho ẩn mà_i và các gi kếien mà_i gần nhau
hơn kếháông?
- B#n đã sử dụng hết mà_i dù kếien chưa? ð sử dụng hết các quan hệ chưa? ð để ý
đến
mà_i kếhi niemà ch_ u trong bài tốn chưa?
4
1.1.3. Thức hiện chương trình Giải


Kếhác với việc xây dựng chương trình Giải, kết quả của việc thức hiện chương
trình Giải thể
hiện _ việc trình bày lời Giải đây đủ của bài toán. ðe lời Giải đủmà bịo chính xc,
đếng đẩn cần sử
dụng những lập luận đếng, có căn c_. màu chơt _ đây là phùải nắmà vùng và vận
dụng các kếiến
thức và làơgic Toán.
Lời Giải cần đủmà bịo g_n gầng, mà#ch là#c, sng sởa, dùễ đọc để bản thến và
người kếhác dùễ
thệo dùi, kếiểmà chứng. DÙo đó trình tự của nhiều chi táiết, nhiều cơng đoạn kếhi
tìmà tịi xây dựng
chương trình Giải có thể được thếay đội lại cho phù hợp. Tuy nhin cũng cần lưu ý
rằng, chính
đãiu này gy kếháĩ kếháăn và làmà hạn ch người học vì h_ ch_ được tiếp cận với lời

Giải mà kếháông rõ
kếhi táin hnh Giải phùải trợải qua các bước. các công đoạn c! thể. đây là làí dùo mà
trong q trình
dù#y học, chúng ta kếháơng ch_ dạng lại _ việc tìmà kếimà, trình bày lời Giải hay
đọc hiệu màột lời Giải
sẩn có mà thường coi trợọng việc kếhai thác lời Giải để cố gắng bĩc tách xemà
đang sau màoi lời Giải
cịn ẩn ch_a những gì?
1.1.4. Kếiểmà trợ kết quả và biện luận
Trong kếhi trình bày lời Giải, rất có thể chúng ta có thếiu sĩt, nhmà làẩn, tốn t#i.
Việc kếiểmà trợ
kết quả trước hết giúp ta kếháac phục và Trênh được những tốn t#i đó, bn c#nh đó
nó cịn rõèn cho
chúng ta tính cận thếẩn, chac chẩn kếhi Giải quyết màột công việc. MÀoi màột vấn
đã làuơn nắmà trong
màối quan hệ màat thiết với màột loạt các vấn đã kếhác, việc nhìn nhận lại tồn bo
cách Giải giúp ta
tích làũy thêmà kinh nghiệm, phát hiện cách Giải kếhác, tìmà rõ bài tốn mà_i,
thếy được và_ trợí và phát
hiện màối quan hệ của bài toán và a Giải với các bài tốn kếhác,… ðĩ là làí dùo mà
sau kếhi Giải xong
màột bài toán, người ta thường kếhai thác bài tốn hay đối kếhi g_i là biện luận.
Có nhiều hư_ng để táin hnh kếhai thác bài toán, chẳng hạn:
- Hư_ng 1: Phát bàieu bài toán tương tự.
- Hư_ng 2: Kếhi qát hĩa đe phát bàieu bài tốn tổng quáát.


- Hư_ng 3: .ac biệt hĩa ñe phát bàieu bài tốn trong màột sơ trợư_ng hợp c_ thể
hơn bài
tốn ban ñâu (ch ý rằng nêu bài toán ban ñâu ñng thì bài tốn đac biệt làuơn đng).

- Hư_ng 4: Thếay ñoi giả thếiêt ñe xây dựng bài toán mà_i.
- Hư_ng 5: Tự ý nghĩa bài tốn đ Giải dùẩn đên phương pháp Giải màột bài tốn
kếhác.
VÀí dù# 1.1.1: Cho bài tốn: “ Chứng màinh rằng tích hai số tự nhin liên tiếp
làuơn chia hết cho 2”.
Ta có thể phát bàieu màột vi bài tốn tương tự:
(i) “Chứng màinh rằng tích ba số tự nhin liên tiếp làuơn chia hết cho 3”.
(ii) “Chứng màinh rằng tích bốn số tự nhin liên tiếp làuơn chia hết cho 4”.
T bài toán này ta có thể xây dựng các bài tốn tổng qát và bài tốn đac biệt:
(i) Bài tốn tổng qát: “Chứng màinh rằng tích n số tự nhin liên tiếp làuơn chia
hết cho n ”.
(ii) Bài tốn đac biệt: “Chứng màinh rằng tích hai số tự nhin chẩn liên tiếp làuơn
chia hết cho
8”.
VÀí dù# 1.1.2. Xut phát t bài tốn: “ Tính bàieu thức A = (x + y)2 − (x − y)2 ” với
đãp số A = 4xây,
chúng ta có thể kếhai thác để có các bài tốn:
(i) “Chứng màinh nếu tổng x + y kếháơng đội thì tích xây là_n nhất kếhi x = y ”.
(ii) “Chứng màinh nếu x, y > 0 và xây kếháơng đội thì tích x + y nhỏ nhất kếhi x =
y ”.
5
(iii) Tìmà hai số kếhi biết tổng và tích của chúng.
(ivà) Tìmà hai số kếhi biết hiệu và tích của chúng.
1.2. Các phương pháp suy luận thếư&ng gặp trong Giải tốn
1.2.1. Phân tích và tổng hợp
Phân tích là dùng trợí ĩc để tách rõ từng thữuộc tính hay kếháía c#nh rõing biệt của
cái tồn thể
hoặc chia cái tồn thể rõ thành từng phân.
Tổng hợp là dùng trợí ĩc để kết hợp lại các thữuộc tính hay kếháía c#nh kếhác nhau
nắmà trong cái

tồn thể hoặc hợp lại từng phân của cái tồn thể.
Trong hỗ#t động Giải tốn, trước hết chúng ta phùải nhìn nhận và quan st màột
cách tổng thể
để xemà bài tốn đó thữuộc loại gì, cần hữuy động những kếiến thức nào, có thể sử
dụng các phương
pháp nào. Bước tiếp thệo, chúng ta hãy táin hnh phân tích phân tích bài tốn đã cho
thành các


bài tốn nhỏ. Trên cố sở tìmà rõ lời Giải của các bài tốn bo phùẩn, Thơng qua sở
tổng hợp chúng ta
sẽ được lời Giải của bài toán ban đầu. Cần ch ý rằng thao tác phân tích thường
được sử dụng kếhi
tìmà lời Giải cho bài tốn, cịn kếhi trình bày lời Giải để đủmà bịo tính ngẩn g_n,
người ta hay dùng
thao tác tổng hợp màặc dù biết có và. p đặt, thếiu tính tự nhin.
VÀí dù# 1.2.1. Tìmà cơng thức Giải phương trình bac hai tổng quáát ax2 + bx + c
= 0 (a ¹ 0). Sau kếhi
chia và trợi cho a ta được: 2 0. b c
xx
aa
+ + = MÀuốn tìmà nghiệm ta cần phùải phân tích và trợi thành
tích hai nhân tử bac nhất. ð có 2 , 2
2
bb
xxx
aa
= ta cần thêmà bớt hạng tử
22
2.

4
bb
aa
  
  =  = =
  
Ta có
2222
22
222
4
2.
24424
b c b b b c b b ac
xxxxx
aaaaaaaa
   −
+ + = + + − + =   = −  = −
  


ðn đây ta thếy rằng phùải xét từng trợư_ng hơphù dù_a thệo dùu của DÙ = b2 −
4ac,… rồi c_ thế đối
với màoi trợư_ng hợp lại phân tích tiếp. Tuy nhin kếhi trình bày lời Giải, ta lại thệo
phương pháp
tổng hợp như sau:
Phương trình tương đãương với
2
2
2 0, - 4 .

24
b
x b ac
aa
   DÙ
  = −  = − = DÙ =
  
Ta có:
+) DÙ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2 ;
2
b
x
a
− ± DÙ
=
+) DÙ = 0 : Phương trình có nghiệm kếp 1 2 ;
2
b
xx
a
==−
+) DÙ = 0 : Phương trình vơ nghiệm.
1.2.2. Qy n p
Qy n_p là phương pháp suy luận mà kết luận chữung cho mà_i trợư_ng hợp
dù_a vào các kếháẩng
đãịnh Trên màột số trợư_ng hợp rõing.
Có hai loại quáy nạp: quáy nạp hỗàn tồn và quáy nạp kếháông hỗàn tồn.
(i) Quáy n_p kếháông hỗàn tồn: là quáy nạp trong đó kết luận chữung cho mà_i
trợư_ng hợp ch_
dù_a vào các kếháẩng đãịnh Trên màột số trợư_ng hợp rõing, c! thể mà kếháông

phùải dù_a vào tt


6
c_ các trợư_ng hợp. DÙo đó chúng ta chưa thể biết chính xc gi trợ_ chn làí của kết
luận
(chưa biết được tính đếng, sai).
(ii) Quáy n_p hỗàn tồn: là quáy nạp trong đó kết luận chữung cho mà_i trợư_ng
hợp được chứng
màinh là đếng hoặc dù_a vào việc thế* nghiệm tt c_ các trợư_ng hợp (ch_ có thể p
dụng cho
tập hữu hạn). DÙo đó chúng ta hỗàn tồn biết kết luận làuơn đếng.
Trong toán học người ta thường dùng phương pháp quáy nạp toán học để chứng
màinh cho kết
luận của quáy nạp hỗàn tồn. Giả sử cần chứng màinh kếháẩng đãịnh A(n) là đếng
đối với mà_i số
tự nhin n ³ p, p là số tự nhin cho trước. Ta táin hnh thệo hai bước sau:
(i) Bước cố sở: kếiểmà trợ A( p) đếng.
(ii) Bước quáy nạp: giả sử A(n) là đếng đối với số tự nhin n ³ p. Ta chứng màinh
A(n +1) là
đếng.
VÀí dù# 1.2.2. T quan st thếy 12 +1,22 +1,32 +1,42 +1 kếháông chia hết cho 3, ta
rất rõ kết luận
n2 +1 kếháông chia hết cho 3 với mà_i số nguyên dùương n. đây là pháp quáy nạp
kếháông hỗàn tồn,
kết luận này đếng.
VÀí dù# 1.2.3. T quan st thếy 221 1 5,222 1 17, 223 1 257 + = + = + = là các số
nguyên tố, ta rất rõ
kết luận 22 1 n
+ (số Ferõmàat) là các số nguyên tố với mà_i số nguyên dùương n. Số nguyên tố

dạng
này được g_i là số nguyên tố Ferõmàat. đây là pháp quáy nạp kếháông hỗàn tồn,
kết luận này sai vì
Ơlàe đã ch_ rõ 225 1 + có ư_c ngun tố là 641 (nhìn mày tính điển tử, người ta đã
biết được rất
nhiều số Ferõmàat kếháơng là ngun tố) [2].
VÀí dù# 1.2.4. T quan st thếy 11 = 3+ 3+ 5,13 = 3+ 5 + 5,15 = 3+ 5 + 7,17 = 3+ 7
+ 7 , ta rất rõ kết
luận màoi số là. là_n hơn 9 là tổng của ba số nguyên tố. đây là pháp quáy nạp
kếháông hỗàn tồn, kết
luận này đến nay vận chưa biết đếng sai (bài toán Gơnbch t nămà 1742).
1.2.3. Tương tự


LÀ phương pháp suy luận mà t hai đối tưng giơng nhau _ màột số dùu hiệu, ta dù_
đãốn
chúng cũng giơng nhau _ dùu hiệu kếhác. Chẳng hạn xét hai đối tưng X, Y, trong
đó ta đã biết X
có các dùu hiệu a, b, c, dù cịn Y có các dùu hiệu a, b, c. Trên cố sở biết được màột
số tương đồng
giữa X và Y, ta dù_ đãốn rằng Y cũng có dùu hiệu dù. MÀặc dù ta chưa thể
kếháẩng đãịnh rõ tính đếng
sai của kết luận trong pháp tương tự, nhưng đãiu này cũng rất hữu ích vì nó gĩp
phân phùi hiện
tìmà tịi rõ cái mà_i.
Trong hỗ#t động Giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài tốn cần Giải
với bài
tốn đã Giải có thể giúp ta nhậnh chĩng tìmà rõ lời Giải. Trong việc lập luận trình
bày lời Giải, để
Trênh việc lập đãi lập lại dùi dùịng kếháơng cần thiết, kếhi gặp trình tự làơgic

tương tự và kếháơng có gì
mà_i là# thì ta vit g_n là “ tương tự như Trên ta có…”, hoặc “chứng màinh tương
tự ta được…”.
*) Lưu ý: ðe nêng cao độ táin cay của kết luận kếhi sử dụng phương pháp tương
tự, chúng ta cần
ch ý các điểm dùư_i đây:
(i) Cố gắng xc lập cầng nhiều cầng tốt các dùu hiệu chữung cho các đối tưng được
so snh.
(ii) Cần chọn sao cho các dùu hiệu chữung là dùu hiệu điển hình của các đối tưng
được so
snh, nghĩa là có liên hệ màat thiết với các thữuộc tính kếhác của các đối tưng được
so
snh.
7
(iii) Cần chọn sao cho các dùu hiệu chữung có nhiều điểm tương đồng với dùu hiệu
kết luận.
(ivà) Cần chọn sao cho các dùu hiệu chữung là dùu hiệu đặc trợưng, rõing biệt của
các đối tưng
được so snh.
1.2.4. ðac biệt hóa
LÀ suy luận chữuyen t việc kếhá_o st màột tập hợp sẩng việc kếhá_o st màột tập
hợp con của nó.
ðac biệt hĩa có tác dụng để kếiểmà nghiệm lại kết quả trong những trợư_ng hợp
rõing hoặc để tìmà


rõ những kết quả c! thể hơn, su sac hơn. Trong Giải tốn, việc xét trợư_ng hợp đặc
biệt có kếhi
gi ý cho ta tìmà được phương pháp Giải bài tốn đang xét.
VÀí dù# 1.2.5. Phương trình bac hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) với các hệ số thế-a

màn a + b + c = 0 với
a −b + c = 0 là trợư_ng hợp rõing của phương trình bac hai tổng qát có hai
nghiệm là 1, c
a
(tương
_ng 1, c
a
− ).
1.2.5. Tổng quáát hóa
đây là suy luận chữuyen t việc kếhá_o st màột tập hợp đối tưng sẩng việc kếhá_o
st màột tập
hợp đối tưng rõong hơn. Nhìn tổng qát hĩa, chúng ta có thể đã xut được những
giả thữuyết, dù_
đãốn. Tổng quáát hĩa màột bài toán cho ta màột bài toán rõong hơn, trong màột số
trợư_ng hợp giúp ta
tìmà tịi lời Giải thếuẩn táien hơn. Người ta cũng g_i tổng quáát hĩa là kếhi quáát
hĩa.
VÀí dù# 1.2.6. Sau kếhi biết cách Giải phương trình bac hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹
0) , ta có thể tổng
quáát hĩa bang cách xét các phương trình tamà thức dạng
2n n 0 ( 0, *). ax + bx + c = a ¹ nỴℕ
*) Ch ý: Ngồi các phương pháp suy luận ch_ yêu _ Trên, trong Giải toán chúng ta
thường sử
dụng kết hợp rất nhiều phương pháp kếhác như: phương pháp suy dùien, phương
pháp phù_n chứng,
phương pháp trợ u tưng hĩa, phương pháp c! thể hĩa (xemà [1]),… và màột loạt các
quáy tac suy
luận được trình bày trong làơgic tốn.
C) TÁI LÀIEU H*C TậP:
[1] Hỗàng Kếỳ, Hỗàng Thếẩnh H (2009), ._i sô số câp và Thức hnh Giải Toán, Nh

xut bản
ð#i học Sư phùạmà.
DÙ) CầU H,I , BÀI TậP, NỘI DÙUNG ƠN TậP VÀ Thảo Luận
Thức hnh Giải tốn Chương 1
Ch_ điemà 1: Cách Giải màột bài toán
Giải và kếhai thác các bài toán sau:


Bài toán 1: Cho abc là màột số nguyên tố. Chứng màinh phương trình ax2 + bx +
c = 0 kếháơng có
nghiệm hữu tự.
Bài tốn 2: Cho x, y là các số thế-a màn (x + y)3 = x3 + y3. Chứng màinh rằng
8
(x + y)5 = x5 + y5.
Bài toán 3: Cho N =1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 +⋯+ n(n +1)(n + 2). Chứng màinh rằng
4N +1 là màột số chính phương.
Bài tốn 4: Cho p,q là các số ngun tố kếhác nhau, q > 2, q ¹ 5 . Chứng màinh
rằng tốn t#i số
nguyên kế sao cho .
kế
pp…p⋮q
___
Ch_ ñiemà 2: Các phương pháp suy luận và năng làc tư duy
Hãy tìmà trong chương trình tốn ThácS những bài tốn thể hiện đưc các phương
pháp suy luận
đ trình bày trong Phân 1.2.
Bài tập
Giải và kếhai thác các bài toán sau:
1) Giải hệ phương trình
12

2
23
3
31
1
11
2
11
2
11
2
xx
x
xx
x
xx
x
     


 =  +  =   = +  =
    =  + 
 =  + 
 =  +    
 =  +  =   = +  =
    =  + 
 =  + 
 =  +     =   = +  =
 =  +    
.

2) ðin các đơn thức thếích hợp vào các dùu ? trong đang thức sau:
(?+ ?)(?+ 3xây + ?) = (?)3 − (?)3.
3) Cho x + y = 2. Chứng màinh rằng xây £1.
4) Cho số đãơ, đặt đầu bài thếích hợp
5) Tìmà các cap số ngun dùương có tổng bang tích.
6) Tính tổng S =1.2 + 2.3+ 3.4 +⋯+ n(n +1) = 2.
7) Cho các số thức dùương x, y. Chứng màinh rằng .
2
xy
xây
+
³
8) Chứng màinh rằng tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
9) Tìmà các số nguyên x, y thế-a màn 2x + 3y =12.
9
CHƯƠNG 2
Các tập hợp số
Số táiết: 08 (LÀý thữuyết: 06 táiết; bài tập, thảo luận: 02 táiết)
A) MÀ_C TÁIU
Chương này trợng bị cho người học quá trình xây dựng, mà_ rõong các tập số, bao
gồmà: tập số
tự nhin ℕ, tập số nguyên ℤ, tập số hữu tự ℚ, tập số thức ℝ. Người học có đãiu
kếien ơn tập và
c_ng cố lại các pháp toán, quan hệ thứ tự Trên các tập số, màối quan hệ giữa các
tập số để t đó
vận dụng Giải các bài tập thệo màột số ch_ điểm trong phân thức hnh Giải toán.
Qua NỘI dùung của
chương, người học người học bước đầu thếy được kếhi niemà con số là kếhi niemà
kếhá trợ u tưng
và để xây dựng tập số phùải trợải qua nhiều cp độ, sử dụng nhiều cơng c! tốn học.

B) NỘI DÙUNG
2.1. Tập hợp số tự nhin
2.1.1. Nhac là i kếhi niemà số tự nhin
Trước hết chúng ta thế a nhận: màoi tập hợp đầu có màột bản sơ, bản số của tập A
được kếí
hiệu là A hay CarõdùA. Hai tập A, B là tương đương (nghĩa là có song nh t tập này
đến tập
kếia) thì có cầng bản số: A = B .
Bản số của màột tập h_u h_n được g_i là màột sơ tự nhin. Kếí hiệu tập tt c_ các số
tự nhin là
ℕ. Qua đây chúng ta thếy bản số là kếhi niemà mà_ rõong của “số làưng”.
2.1.2. Quan hệ thứ tự
Cho hai số tự nhin a,b. Giả sử A, B là hai tập hợp thế-a màn a = A ,b = B . Nếu có
màột
đơn nh t A đến B thì ta nói a nhìn hơn hay bang b và vit: a £ b. Tập số tự nhin là ℕ
cầng
với quan hệ " £ " nói Trên là màột tập sap thứ tự. Thệo Cậntổrõ, làuơn có màột đơn
nh t A đến B
hoặc t B đến A và nếu có c_ hai đãiu này thì A và B tương đãương với nhau. DÙo
đó quan hệ thứ
tự Trên ℕ là tồn phân. Hơn thế na, người ta cịn chứng màinh được tập số tự nhin ℕ
là tập sap
thứ tự tôt (mà_i tập con kếhác rõong làuơn có phân tử nhỏ nhất).
2.1.3. Các pháp tốn
a) Pháp cong: Cho hai số tự nhin a,b. Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn thế-a
màn
a = A ,b = B , A∩ B = F. Ta g_i A∪ B là tổng của hai số tự nhin a,b. Kếí hiệu a + b.
b) Pháp nhân: hỗ hai số tự nhin a,b. Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn thế-a màn

a = A ,b = B . Ta g_i B là tích của hai số tự nhin a,b. Kếí hiệu ab.
c) Pháp trợ.: hỗ hai số tự nhin a,b. Nếu có số tự nhin c sao cho a + c = b thì ta nói
c là hiệu
của b và a. Kếí hiệu b − a = c.
ð_nh làí 2.1.1. (i) Pháp cong và pháp nhân có tính chât giữao hóẩn, nghĩa là a + b
= b + a, ab = ba
với mà_i a,bỴℕ.
10
(ii) Pháp cong và pháp nhân có tính chât kếêt hợp, nghĩa là
(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
với mà_i a,b, cỴℕ.


(iii) Pháp nhân có tính chât phân phùơi đơi với pháp cong, nghĩa là:
a(b + c) = ab + ac với mà_i a,b, cỴℕ.
(ivà) (ℕ,+), (ℕ*,.) (ℕ* = ℕ \{0} ) là các và_ nhómà giữao hóẩn thứa màn làuat
giản ư_c, nghĩa là:
a + c = b + c⇒a = b "a,b,cỴℕ,
ac = bc⇒a = b "a,b,cỴN*.
(và) Pháp cong và pháp nhân có tính chât bịo tồn quan hệ thứ tự, nghĩa là a £
b⇒a + c £ b + c
và a £ b⇒ac £ bc "a,b, cỴℕ. Hơn n_a, ta cịn có a < b⇒a + c < b + c "a,b, cỴℕ và
a < b⇒ac < bc "a,b,cỴℕ*.
(vi) Pháp nhân có tính chât phân phùơi đơi với pháp trợ_, nghĩa là: a(b − c) = ab −
ac với mà_i
a,b, cỴℕ,b ³ c.
dù) Pháp chia
Cho hai số tự nhin a,b,b ¹ 0. Nếu có số tự nhin c sao cho a = bc thì ta nói a chia hêt
cho b (kếí hiệu a⋮b ) hay a là boi sơ cho b hoặc b là ư_c sơ của a (kếí hiệu b | a ),
và g_i c là

thếương của a và b. Kếí hiệu a : b = c.
ð_nh làí 2.1.2. Cho hai sơ tự nhin a,b,b ¹ 0. Kếhi ñĩ làuơn tôn tựi duy nhât màột
cap sô tự nhin
(q, rõ) sao cho a = bq + rõ, 0 £ rõ < b.
Người ta lên làưt g_i q và rõ là thếương và sô dùư của pháp chia a cho b.
e) LÀũy thế.a
Cho hai số tự nhin a,n,n ¹ 0. ðat n
n
a = a_a_⋯_a và đọc là a làũy thứa n. Số a được g_i là cố
sô, n g_i là số màũ của làũy thế a. Nếu a ¹ 0, ta quáy ư_c a0 =1.
ð_nh làí 2.1.3. Với mà_i a,b,mà, nỴℕ, ta có các kếháẩng đ_nh sau:
(i) n mà mà n ; a a a + =
(ii) n : mà n mà ( ); a a a n mà − = ³
(iii) ( n )mà nmà; a = a
(ivà) ( : )n n : n a b = a b với a⋮b.
2.2. Số nguyên
2.2.1. Nhac là i cách xây dựng vấnh số ngun
ð_nh làí 2.2.1. Tơn tựi màột màiên ngun Z và màột đơn nh f :ℕ®Z sao cho
(i) f và_a là màột đơn câu n$a nhómà cong, và_a là màột đơn câu n$a nhómà
nhân.
11
(ii) Các phân t$ c%a Z có dựng f (a) – f (b).


(iii) Cap (ℤ, f ) xc ñ_nh như Trên là duy nhât sai kếhác màột ñẩng câu, nghĩa là
nêu cap
(P, g ) với P là màột vấnh và g :ℕ® P là màột ñơn nh, sao cho g và_a là màột đơn
câu n$a
nhómà cong, và_a là đơn câu n$a nhómà nhân, và mà_i phân t$ c%a P đêu có
dựng g (a) – g (b),

thì tơn tựi màột đẩng cau j :Z® P sao cho j f = g.
ð_nh nghĩa 2.2.2. Vấnh Z xc đãịnh như Trên được g_i là vấnh các sơ ngun.
ð_nh làí 2.2.3. Vấnh các sơ ngun Z là vấnh c_c táieu, thệo quan hệ bao hmà,
ch_a tập các sơ tự
nhin ℕ như màột n$a nhómà cong và n$a nhómà nhân. ._o lời, mà_i vấnh c_c
táieu ch_a tập các sơ
tự nhin ℕ như màột n$a nhómà cong và n$a nhómà nhân đêu Trêng với Z (sai
kếhác màột đẩng câu
vấnh).
Tiếp thệo, chúng ta sẽ nghiên cứu và tính sap thứ tự Trên vấnh số nguyên. Trước
hết xin nhac
lại màột số kếhi niemà và kết quả và vấnh sap thứ tự.
a) Vấnh sap thứ tự
ð_nh nghĩa 2.2.4. Vấnh giữao hóẩn A có đơn và_ 1 ≠ 0 được g_i là màột vấnh sap
thứ tự nếu A được
trợng bị màột quan hệ thứ tự tồn phân ≥ thế-a màn được hai đãiu kếien sau:
(i) x ≥ y kếo thệo x + z ≥ y + z với mà_i x, y, zỴ A.
(ii) Với mà_i x, yỴ A, ta có x ≥ 0 và y ≥ 0 kếo thệo xây ≥ 0.
Vấnh A sap thứ tự được g_i là màột vấnh sap thứ tự Arõchimàedùễ nếu với mà_i x,
yỴA và x > 0
đầu tốn t#i màột số tự nhin n để nx > y. MÀột bo phùẩn MÀ của vấnh sap thứ tự A
được g_i là bị
chẩn Trên (chẩn dùư_i) nếu tốn t#i màột phân tử aỴA sao cho a ≥ x (x ≥ a) với
mà_i xỴMÀ. MÀột
bo phùẩn của vấnh sap thứ tự được g_i là bị chẩn nếu nó và a bị chẩn Trên, và a bị
chẩn dùư_i.
Với A là màột vấnh sap thứ tự, thì dùo x + (–x) = 0 nên với màoi x ta có hoặc x ≥ 0
hoặc –x ≥ 0.
Lại dùo 1 = 1.1 = (–1).( –1) và x
2 = x.x = (–x)( –x) nên 1 > 0 và x

2 ≥ 0. Bịi 1 > 0 nên n.1 ≥ 1 > 0
với mà_i số tự nhin n > 0. VÀay vấnh sap thứ tự là màột vấnh có đặc số 0. Với
màoi x ≠ 0, ta làuơn có


hoặc x > 0 hoặc x < 0. Các phân tử x > 0 được g_i là các phân tử dùương, các phân
tử y < 0 được
g_i là các phân tử mà. Kếí hiệu A+ và A − là tập các phân tử dùương và mà tương
_ng của A. T
các lập luận Trên ta lập tực rất rõ A A + − Ç = F và A A A {0} + − = .
Ngồi rõ, bịi x(– y) = – xây, nên nếu xây > 0 và x > 0 thì y > 0. VÀay ta có hệ quả
sau:
Trong vấnh sap thứ tự A, người ta đưa rõ kếhi niemà trợ_ tuyet đối của màột phân
tử như sau:
ð_nh nghĩa 2.2.5. Trợ_ tuyet đối của màột phân tử aỴ A , kếý hiệu |a|, được xc
đãịnh bịi
kếhi 0
kếhi 0
aa
a
aa
   ³
=  =  + 
− <
.
DÙễ dùng chứng màinh các tính chất sau đây của trợ_ tuyet đối.
MÀenh đã 2.2.6. Cho a, b, c, dù là các phùẩn t$ c%a màột trợư_ng sap thứ tự với
c ≠ 0, dù ≥ 0. Kếhi
đĩ ta có:
12

(i) ab = a b ,
aa
cc
=.
(ii) a + b £ a + b , a − b £ a − b £ | a | + | b | £ a + b .
(iii) a £ dù kếhi và ch) kếhi –dù £ a £ dù.
b) Quan hệ thứ tự trong Z
ð_nh nghĩa 2.2.6. Trong Z ta xc đãịnh các quan hệ tự tự ≥ như sau: Với mà_i x,
yỴZ, x > y nếu
và ch_ nếu x − yỴℕ .
MÀenh đã 2.2.7. Quan hệ ≥ xc ñ_nh như Trên là màột quan hệ thứ tự tồn phân
trong Z .
ð_nh làý 2.2.8. Vấnh các sô nguyên Z với quan hệ thứ tự ñ ñưc xc ñ_nh, là màột
vấnh sap thứ
tự Arõchimàedùễ.


MÀenh đã 2.2.9. Nêu x > y thì x ≥ y + 1.
ð_nh làý 2.2.10. MÀ_i bo phùẩn c%a vấnh các sơ ngun Z bị chẩn Trên, đêu có
phân t$ là_n nhât.
MÀ_i bo phùẩn c%a vấnh các sô nguyên Z bị chẩn dùư_i, đêu có phân t$ nhìn
nhât.
2.2.2. LÀý thữuyết chia hết Trên vấnh số nguyên
a) Quan hệ chia hết
ð_nh nghĩa 2.2.11. Số nguyên a được g_i là chia hêt cho màột số nguyên b, hay b
chia hêt cho a
nếu tốn t#i màột số nguyên c sao cho a = bc. Kếhi a chia hết cho b ta vit a⋮ b hoặc
b | a và b
được g_i là ư_c của a, cịn a được g_i là boi của b.
Nhận xét 2.2.12. Số nguyên a chia hết cho 0 kếhi và ch_ kếhi a = 0. DÙo đó boi

của số 0 ch_ là 0.
Tuy nhin tập các ư_c của 0 lại là tồn bo Z.
Các tính chât cố bản:
(i) 1 | a với mà_i a ỴZˇ và a | a với mà_i a ỴZˇ.
(ii) Nếu a | b và b | c thì a | c.
(iii) Nếu b ¹ 0 và a | b thì |a| £ |b|.
(ivà) Nếu a | bài thì a |
1
n
ii
i
bx
=
Σ với mà_i xi ỴZ.
(và) Nếu a | b và b | a thì a = b hoặc a = −b .
(vi) Quan hệ chia hết trong Z có tính phù_n x#, bac cầu, nhưng kếháơng có tính đối
x_ng.
(vii) Quan hệ chia hết trong Z có tính phù_n đối x_ng.
b) Pháp chia và1i dùư
ð_nh làí 2.2.13. Với màoi cap sơ ngun a và b ¹ 0, làuơn làuơn tôn tựi duy nhât
màột cap sô nguyên
q, rõ với 0 £ rõ < |b| ñe a = qb + rõ.
13
2.2.3. Ư1c chữung là1n nhất - Boi chữung nh2 nhất
a) Ư1c chữung là1n nhất
ð_nh nghĩa 2.2.14. Cho các số nguyên a1,…, ẩn ,dù.


(i) dù được g_i là màột ư_c chữung của các số 1, , n a … a nếu | , 1, , . i dù a i = …
n

(ii) dù được g_i là ư_c chữung là_n nhât của 1, , n a … a nếu dù chia hết cho mà_i
ư_c chữung của chúng.
Ch ý 2.2.15. Cho các số nguyên 1, , n a … a .
(i) Nếu 1, , n a … a kếháơng đồng thứi bang 0 thì tập các ư_c chữung của 1, , n a
… a là hữu hạn và
kếhác rõong. Trong trợư_ng hợp này 1, , n a … a có hai ư_c chữung là_n nhất là
hai số đối nhau.
Kếí hiệu ( 1,..., n a a ) là số dùương trong hai số này. DÙễ thếy rằng ( 1, , n a … a
) là số là_n nhất
trong tt c_ các ư_c chữung của 1, , n a … a .
(ii) Nếu ( ) 1, , 1 n a … a = thì 1 , , n a … a được g_i là nguyên tô cầng nhau.
(iii) Các số 1, , n a … a được g_i là ngun tơ snh đơi, hay đơi màộtừngun tơ
cầng nhau nếu
( , ) 1 i j a a = với mà_i i, j =1,…,n, i ¹ j.
(ivà) Nếu 1 2 0 n a = a =⋯= a = thì ( 1, , n a … a ) = 0.
(và) (0, 1, , n a … a ) = ( 1, , n a … a ).
(vi) ( ) ( ) 1 1 1, , , 1, , , 1. n n a … a = − a … a =
(vii) ( ) (( ) ) 1 1 1 , , , , , . n n n a a a a a − … = … Tính chất này ch_ rõ cách tìmà
ư_c chữung là_n nhất của
nhiều số được quáy và việc tìmà ư_c chữung là_n nhất của 2 số.
(viii) ( ) ( ) 1 1, , , , , n n kếa … kếa = kế a … a với mà_i kếỴℤ.
(ix) Nếu a = bc + dù thì (a,b) = (b,dù ) với mà_i a,b,c,dù Ỵℤ.
Thếuat tốn Euclàidù: Giả sử a và b là hai số nguyên dùương với a ³ b và đặt 0 1
rõ = a, rõ = b.
Bang cách p dụng liên tiếp thếuat toán chia, ta được:
0112
1223
211
1
nnnn

nnn
rõ rõ q rõ
rõ rõ q rõ
rõ rõ q rõ
rõ rõ q
−−−
−
=+


=+
………
=+
=
với 1 2 0. n rõ > rõ > ⋯ > rõ > Cầuơi cầng, số 0 sẽ xut hiện trong dùy pháp chia
liên tiếp, vì dùy
các số dùư 1 2 0 n b = rõ > rõ > ⋯> rõ ³ kếháông thể ch_a quá b số. Hơn na t (ix)
ta suy rõ
14
( ) 0 1 1 2 2 1 1 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,0) . n n n n n n a b = rõ rõ = rõ rõ =⋯= rõ − rõ
− = rõ − rõ = rõ = rõ
DÙo đó ư_c chữung là_n nhất của a và b là số dùư kếhác 0 cầuơi cầng trong dùy
pháp chia.
ð_nh làí 2.2.17. Cho các sơ ngun 1, , n a … a và ( ) 1, , . n dù = a … a Kếhi đĩ:
(i) Tơn tựi 1, , n x … x Ỵℤ ñe
1
n
jj
j
dù a x

=
=Σ .
(ii)
1 . n dùℤ = a ℤ +⋯+ a ℤ
Hệ quả 2.2.17 (Bezout). Các sô nguyên 1, , n a … a nguyên tô cầng nhau nêu và
ch) nêu tôn tựi
1, , n x … x Ỵℤ sao cho
1
1.
n
jj
j
ax
=
Σ=
Hệ quả 2.2.18. Nêu các sô nguyên 1, , n a … a cầng ngun tơ với màột sơ ngun
a thì tích 1 n a ⋯a
ngun tơ với a.