Một số ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế. Trình bày cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
KHOA KẾ TOÁN – KIỂM TOÁN


ĐỀ TÀI THẢO LUẬN MƠN
TỐN CAO CẤP

Đề tài:
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TỒN
PHƯƠNG TRONG THỰC TẾ. TRÌNH BÀY CÁCH
ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC,
CHUẨN TẮC.

Nhóm: 5
Lớp học phần: 2265FMAT0111
Người hướng dẫn: Nguyễn Thu Thủy

Hà Nam, tháng 12 năm 2022


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 4
PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 5
CHƯƠNG IV: DẠNG TOÀN PHUƠNG ........................................................ 5
A. LÝ THUYẾT ............................................................................................... 5
I. Các khái niệm cơ bản................................................................................ 5
1. Mở đầu về dạng tồn phương ................................................................. 5
2. Dạng tồn phương chính tắc, chuẩn tắc .................................................. 6
3. Phép biến đổi tuyến tính ......................................................................... 7
4. Giá trị riêng và vectơ riêng ..................................................................... 7
II. Đưa dạng tồn phương về dạng tồn phương chính tắc, chuẩn tắc ..... 8

1. Phương pháp giá trị riêng ....................................................................... 8
2. Phương pháp Jacobi................................................................................ 9
3. Phương pháp Lagrange ......................................................................... 10
4. Định luật qn tính ............................................................................... 12
B. ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG VÀO THỰC TẾ .............. 12
I. Nhận dạng đường, mặt bậc hai .............................................................. 12
II. Ứng dụng của dạng toàn phương trong việc giải một số bài toán cực
trị ................................................................................................................. 15
1. Điều kiện cần và đủ của cực trị ............................................................. 15
2. Giải bài tốn tìm cực trị khơng điều kiện .............................................. 16
PHẦN KẾT LUẬN ......................................................................................... 17

3


LỜI MỞ ĐẦU
Tốn cao cấp là một trong những mơn học chính ở những năm đầu bậc đại
học. Đặc trưng của nó là mơn tốn cơ sở mang tính hệ thống chặt chẽ, chính xác
và trừu tượng . Vì vậy để học tập và hiểu thật kĩ mơn tốn cao cấp là một thách
thức đối với nhiều bạn sinh viên. “Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc,
chuẩn tắc. Ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế” là một trong những
nội dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ mơn tốn cao
cấp. Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các bạn sinh
viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng em đã chọn nội dung
này làm đề tài thảo luận cho nhóm.
Đề tài gồm phần lý thuyết, phần bài tập và ứng dụng trong thực tế. Phần
lý thuyết đã trình bày một cách cơ đọng các khái niệm cơ bản về dạng toàn
phương và tập trung vào hai nội dung cơ bản: biến đổi dạng tồn phương về
dạng chính tắc, chuẩn tắc và ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế. Sau
mỗi nội dung đều có ví dụ minh họa, cuối đề tài là phần bài tập gồm các bài tập

có liên quan đã được giải một cách chi tiết bằng nhiều phương pháp để thấy
được phương pháp nào là phù hợp nhất.
Qua đề tài này, hy vọng rằng nó sẽ phần nào cung cấp lại cho các bạn
trong nhóm cũng như các bạn sinh viên trong lớp nội dung kiến thức: Thế nào là
dạng tồn phương? Có những phương pháp nào để đưa dạng tồn phương về
dạng chính tắc, chuẩn tắc? Và ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế.
Cuối cùng, tuy nhóm chúng em đã chuẩn bị đề tài khá kỹ nhưng khơng
thể tránh khỏi sai sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và cơ
giáo để đề tài của chúng tơi hồn thiện hơn.

4


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG IV: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
A. LÝ THUYẾT
I. Các khái niệm cơ bản
1. Mở đầu về dạng toàn phương
Định nghĩa (*): Cho n biến thực 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
 Một tổng có dạng
n

F(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≔ ∑

i,j=1

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 ,

(*)

trong đó 𝑎𝑖𝑗 là các số thực thỏa mãn 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 với mọi i,j = 1,2,...n, gọi là một
dạng toàn phương với các biến 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
 Ma trận
𝑎11 𝑎21 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 )
𝐴  ≔ (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑚 = ( 𝑎22
⋮
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
gọi là ma trận của dạng tồn phương (*).
 Thơng thường dạng tồn phương được cho dưới dạng
𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∶= ∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑖≤𝑗

nghĩa là nếu i < j thì: 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 + 𝑎𝑗𝑖 𝑥𝑗 𝑥𝑖 = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 . Khi đó, các phần tử của
ma trận A được xác định bởi:
𝑎𝑖𝑖 = 𝑏𝑖𝑖 khi i = j; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 =

𝑏𝑖𝑗
2

khi i < j.

 Hạng của ma trận A gọi là hạng của dạng toàn phương (*).
 Nếu r(A) < n hay |𝐴| = 0 thì ta nói dạng tồn phương (*) là suy biến.
Trường hợp ngược lại: r(A) = n hay |𝐴| ≠ 0 thì ta nói dạng tồn phương
là khơng suy biến.
 Từ giả thiết 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 ta thấy ma trận A là đối xứng qua đường chéo
chính, nghĩa là 𝐴 = 𝐴′.
Ký hiệu vectơ n chiều ở dạng cột:

𝑋 ∶= (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )′ ,
khi đó dạng tồn phương trên trở thành
5


𝐹 (𝑋) = 𝑋′ 𝐴𝑋
Đây là biểu diễn ma trận của dạng toàn phương (*). Như vậy, 𝐹 ∶ 𝑅 𝑛 →
𝑅. Nói cách khác, F là một hàm vectơ, xác định trên Rn , nhận các giá trị trên R.
Ta ln có 𝐹 (0) = 0′ 𝐴0 = 0 và từ nhận xét ở cuối chương 2, ta có kết quả sau:
Mệnh đề(*): Các mệnh đề sau là tương đương:







Dạng toàn phương 𝐹 (𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 suy biến.
Tồn tại 𝑋 ≠ 0 trong R𝑛 , sao cho 𝐹 (𝑋) = 0.
r(𝐴) < 𝑛.
|𝐴| = 0.
Hệ phương trình 𝐴𝑋 = 0 có nghiệm khơng tầm thường.
A có ít nhất một giá trị riêng bằng 0.

2. Dạng tồn phương chính tắc, chuẩn tắc
Định nghĩa(**): Nói dạng tồn phương (*) có dạng chính tắc nếu 𝑎𝑖𝑗 =
0, ∀𝑖 ≠ 𝑗. Nói cách khác, ma trận của nó có dạng đường chéo chính:
𝑛

𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∶= ∑ 𝑘𝑖 𝑥𝑖 2(𝑘𝑖 ∈ 𝑅 ).

𝑖=1

Nếu ở dạng toàn phương chính tắc các hệ số 𝑘𝑖 chỉ nhận giá trị hoặc 1 hoặc -1
hoặc 0 thì ta nói dạng tồn phương có dạng chuẩn tắc.
Ma trận của dạng tồn phương chính tắc là
𝑘1 0
0 𝑘2
𝐴=(
… …
0 0

0 …
0 …
… …
0 …

0
0
)
…
𝑘𝑛

Chú ý.
 Trong biểu thức của dạng chính tắc ở trên ta gọi ngắn gọn 𝑘𝑖 là hệ số của
biến 𝑥𝑖 .
 Trong biểu thức của dạng tồn phương chính tắc, chuẩn tắc tên gọi và số
thứ tự của các biến là khơng thực sự quan trọng. Vì thế, ta có thể vẫn
dùng kí hiệu 𝑥𝑖 để chỉ các biến và có thể đổi số thứ tự của các biến đó cho
nhau.
Ví dụ:

6


𝐹(𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 ) = 3𝑥12 + 5𝑥22 − 7𝑥32 ;
𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥22 − 4𝑥32(= 0𝑥12 + 𝑥22 − 4𝑥32 )
là các dạng tồn phương chính tắc.
𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥32 ;
𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥22 − 𝑥32(= 0𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥32 )
là các dạng toàn phương chuẩn tắc.
3. Phép biến đổi tuyến tính
Dạng tồn phương chính tắc, chuẩn tắc đơn giản hơn nhiều so với dạng
toàn phương ở dạng tổng quát. Vì vậy người ta thường tìm cách đưa dạng tồn
phương về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc sao cho trong q trình đó khơng mất
đi những tính chất quan trọng của dạng tồn phương đó. Điều này được thỏa
mãn nếu trong phép biến đổi tuyến tính 𝑋 = 𝑆𝑌 (xem chương 2), ma trận biến
đổi 𝑆 = (𝑠𝑖𝑗 )𝑛 × 𝑛 là khơng suy biến. Với phép biến đổi khơng suy biến này,
dạng tồn phương mới, kí hiệu là 𝐺(𝑌) sẽ là
𝐹(𝑋) = 𝑋′ 𝐴𝑋 = (𝑆𝑌)′ 𝐴(𝑆𝑌) = 𝑌 ′ (𝑆 ′ 𝐴𝑆)𝑌 ∶= 𝑌 ′ 𝐵𝑌 ∶= 𝐺 (𝑌).
Như vậy, các ma trận của dạng toàn phương mới và cũ liên hệ với nhau như sau:
𝐵 = 𝑆 ′ 𝐴𝑆.
Dạng chính tắc 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 có thể đưa về dạng chuẩn tắc
bằng phép biến đổi không suy biến 𝑦𝑖 = √|𝑘𝑖 |𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛).
Nhận xét:
 Do biến X có mặt hai lần trong dạng toàn phương 𝐹 (𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 nên mối
phép biến đổi tuyến tính 𝑋 = 𝑆𝑌 sẽ tương ứng với hai lần nhân ma trận: 𝑆′ vào
bên trái 𝐴, 𝑆 vào bên phải 𝐴.
 Với S là ma trận biến đổi sơ cấp 𝑆 (𝑖) (𝑖 = 1,2,3), khi nhân (𝑆 (𝑖) )′ vào bên
trái của A và đồng thời nhân (𝑆 (𝑖) ) vào bên phải của A thì điều đó cũng tương
ứng với các phép biến đổi tuyến tính trên vectơ X. Phép biến đổi như thế thực
chất là biến đổi sơ cấp đồng thời trên các dòng và trên các cột của A một cách

“đối xứng”.
4. Giá trị riêng và vectơ riêng
7


Ta đã biết, với A là một ma trận vuông cấp n, E là ma trận đơn vị cấp n.
Phương trình đại số |𝐴 − 𝑘𝐸| = 0, trog đó k là ẩn số cần tìm, goi là phương
trình đặc trưng của A. Phương trình đặc trưng trên có đúng n nghiệm phức. Các
nghiệm phức của phương trình đặc trưng là các giá trị riêng của ma trận A. Nói
chung, các tính chất quan trọng của A đều được quyết định bởi sự phân bố của
các giá trị riêng trên mặt phẳng phức. Nếu 𝐴 = 𝐴′ thì đó là sự phân bố của các
giá trị riêng trên trục thực R. Ta sẽ thấy điều đó ở phần “tính xác định dấu”.
Giả sử k là một giá trị riêng của A, nghĩa là |𝐴 − 𝑘𝐸| = 0. Vậy hệ thuần
nhất ( 𝐴 − 𝑘𝐸 )𝑋 = 0 có nghiệm không tầm thường, nghĩa là, tồn tại vectơ 𝑉 ≠
0 trong 𝑅 𝑛 sao cho (𝐴 − 𝑘𝐸 )𝑉 = 0 hay 𝐴𝑉 = 𝑘𝑉. Vectơ 𝑉 ≠ 0 thỏa mãn đẳng
thức này gọi là vectơ riêng của ma trận A.
Người ta chứng minh đươc rằng:
Mệnh đề (**): Nếu A là một ma trận thực, đối xứng thì mọi gia riêng của A đều
là số thực.
Nếu X,Y,…,Z là các vectơ riêng của A, ứng với các giá trị riêng khác nhau ℎ ≠
𝑘 ≠ ⋯ ≠ 𝑙 thì {𝑋, 𝑌, … , 𝑍} là môt hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Định nghĩa: Ma trận A vng cấp n gọi là trực giao nếu nó khả nghịch và có
ma trận nghịch đảo đúng bằng ma trận chuyển vị. Nói cách khác, ma trận vuông
A được gọi là ma trận giao nếu 𝐴′ = 𝐴−1 hay 𝐴𝐴′ = 𝐴′ 𝐴 = 𝐸.
Chú ý.
 Các ma trận trực giao đều là vuông và không suy biến.
 Định thức của ma trận trực giao chỉ có thể hoặc bằng 1 hoặc bằng -1.
 Các giá trị riêng của ma trận trực giao chỉ có thể hoặc bằng 1 hoặc
bằng -1.
 Các phép biến đổi tuyến tính với ma trận biến đổi là ma trận trực giao

sẽ được gọi một cách ngắn gọn là các phép biến đổi trực giao.
II. Đưa dạng toàn phương về dạng tồn phương chính tắc, chuẩn tắc
1. Phương pháp giá trị riêng
Xét dạng toàn phương F(X) = X’AX trong Rn . Khi n khơng q lớn hoặc
việc tìm các giá trị riêng của A khơng q phức tạp, ta có thể đưa dạng tồn
phương về dạng tồn phương chính tắc theo cách sau đây.
Định lí:
8


Giả sử 𝑘₁; 𝑘2 ; ...; 𝑘𝑛 là các nghiệm, kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội của
phương trình đặc trưng |A – kE| = 0 của dạng toàn phương F(X) = X’AX. Khi đó,
G(𝑥1 ; 𝑥2 ; ...; 𝑥𝑛 ):= 𝑘₁𝑥12 + 𝑘2𝑥22 + 𝑘𝑛 𝑥𝑛2 là một dạng tồn phương chính tắc của
dạng tồn phương nói trên.
Ví dụ 2: Đưa dạng toàn phương sau về dạng toàn phương chính tắc,
chuẩn tắc.
F(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 4𝑥12 + 4𝑥22 − 8𝑥32 − 10𝑥₁𝑥₂ + 4𝑥₂𝑥₃ + 4𝑥₃𝑥₁
Lời giải. Ma trận của dạng toàn phương này là
4
(−5
2

−5 2
4
2)
2 −8

−5
4−𝑘
2

2
2 ] = 0 ⇔ k = 9;k=−9;k=0
−8 − 𝑘

Phương trình đặc trưng:
4−𝑘
|A-kE| = [ −5
2

Vậy, dạng tồn phương chính tắc là:
G(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦₃) = 9𝑦12 − 9𝑦22 + 0𝑦32 = 9𝑦12 − 9𝑦22 .
𝑥₁ = 3𝑦₁
Đặt tiếp {𝑥₂ = 3𝑦₂ , ta có dạng tồn phương chuẩn tắc:
𝑥3 = 𝑦₃
H(𝑧1; 𝑧2; 𝑧3) = 𝑧12 − 𝑧22 + 0𝑧32 = 𝑧12 − 𝑧22
Như đã lưu ý ở phần trên, ta có thể dùng lại các biến là 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3
Ta có: H(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 𝑥12 − 𝑥22 + 0𝑥32 = 𝑥12 − 𝑥22
Nhận xét: Với n > 2, việc tìm các giá trị riêng của ma trận A nói chung là khó.
Đó là hạn chế lớn nhất của phương pháp nói trên.
2. Phương pháp Jacobi
Cho ma trận:

 a11
A  (aij )  
a
 n1

a1n 



ann 

Các định thức con chính của A là:
9


D1  a11
a12 
a
D2   11

 a21 a22 
....
D3 | A |
Định lí Jacobi: Nếu ma trận của một dạng tồn phương có các định thức con
chính 𝐷𝑖 ≠ 0∀𝑖 = 1,2, … 𝑛 thì dạng tồn phương chính tắc của nó là:
G(𝑦1 , 𝑦2 , … . 𝑦𝑛 )=𝐷1𝑦12 +

𝐷2
𝐷1

𝑦22 + ⋯ +

𝐷𝑛

𝑦2
𝐷𝑛−1 𝑛

Phương pháp:

 Bước 1: Viết ma trận của dạng tồn phương
 Bước 2: Tính các định thức con chính
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện các định thức con chính đều khác 0 và thay
vào cơng thức của dạng tồn phương chính tắc
G(𝑦1 , 𝑦2 , … . 𝑦𝑛 )=𝐷1𝑦12 +

𝐷2
𝐷1

𝑦22 + ⋯ +

𝐷𝑛

𝑦2
𝐷𝑛−1 𝑛

Ví dụ 1: Đưa dạng toàn phương sau về dạng toàn phương chính tắc:
𝐹 (𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 𝑥12 − 2𝑥22 + 𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1𝑥3 + 2𝑥2 𝑥3
1 1 2
Ma trận của dạng toàn phương: A=(1 −2 1)
2 1 1
1 1
Các định thức con chính : 𝐷1 = 1; 𝐷2 = |
| = −2 − 1 = −3;
1 −2
1 1 2
𝐷3 = |1 −2 1|= − 2 + 2 + 2 + 8 – 1 – 1 = 8
2 1 1
Các định thức con chính đều khác 0, ta có dạng tồn phương chính tắc:
G(𝑦1 , 𝑦2 , … . 𝑦𝑛 )=𝐷1𝑦12 +

𝐷2
𝐷1

𝑦22 +

𝐷3
𝐷2

8

𝑦32 = 𝑦12 − 3𝑦22 − 𝑦32
3

3. Phương pháp Lagrange
Nội dung của phương pháp này là: thực hiện liên tiếp các phép biến đổi
tuyến tính (theo cách đặt Lagrange), khơng suy biến, đưa dạng toàn phương ở

10


dạng tổng quát về dạng chính tắc mà ở mỗi bước biến đổi tất cả các tích chéo
của một biến nào đó sẽ biến mất khỏi tổng.
a) Trường hợp 1: Tồn tại ít nhất một hệ số 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, khơng mất tính tổng
qt. Giả sử 𝑎11 ≠ 0.
F (𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥𝑛 ) = ∑𝑛𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗
=𝑎11 [𝑥1 2 + 2𝑥₁ ∑𝑛𝑖=2

𝑎𝑖1
𝑎11

=𝑎11 [𝑥1 2 + 2𝑥₁ ∑𝑛𝑖=2

𝑥𝑖 ] + những số hạng không chứa 𝑥₁

𝑎𝑖1
𝑎11

𝑥𝑖 ] 2+ 𝑔 (𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 )

𝑎

𝑦1 = 𝑥1 2 + 2𝑥₁ ∑𝑛𝑖=2 𝑖1 𝑥𝑖
𝑎11
Đặt {𝑦2 = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑥2
𝑦3 = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑔
Khi đó: F (𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥𝑛 ) = G((𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦₃) = 𝑎11 𝑦1 2 + 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , ⋯ 𝑦𝑛 )
Vậy chỉ cần xét tiếp dạng toàn phương n−1 biến 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , ⋯ 𝑦𝑛 ). Tiếp tục
quá trình trên nhận được kết quả n−1 bước.
b) Trường hợp 2: 𝑎𝑖𝑖 = 0, ∀𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 và có 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0. Giả sử 𝑎12 ≠ 0
Trường hợp này có thể đưa về dạng a) bằng cách đặt:
𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2
𝑥3 = 𝑦3
⋯
{ 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛
Nhận xét:
 Phương pháp Lagrange tuy chậm nhưng chắc chắn đưa được dạng tồn
phương về dạng chính tắc.

 Trong q trình biến đổi phải chú ý ở mỗi bước biến đổi tất cả các tích
chéo của một biến nào đó sẽ biến mất.
 Trong quá trình biến đổi chú ý giữ ngun số biến
Ví dụ: Đưa dạng tồn phương về chính tắc, chuẩn tắc:
F(𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 𝑥12 + 4𝑥22 + 4𝑥32 + 4𝑥₁𝑥₂ + 4𝑥₁𝑥₃ + 16𝑥₂𝑥₃
Lời giải. Vì 𝑎11 = 1 ≠ 0 và F(𝑥1; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃)2 + 8𝑥2 𝑥3
nên ta đặt:
11


𝑦₁ = 𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃
𝑦₂ = 𝑥₂
{
𝑦₃ = 𝑥₃
Dạng toàn phương trở thành G(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦₃) = 𝑦12 +8𝑦₂𝑦₃. Đặt tiếp:
𝑦₁ = 𝑧₁
{𝑦₂ = 𝑧₂ + 𝑧₃
𝑦₃ = 𝑧₂ − 𝑧₃
Ta sẽ có dạng chính tắc: H(𝑧1; 𝑧2; 𝑧3 ) = 𝑧12 + 8𝑧22 −8𝑧32. Đặt tiếp:
𝑡₁ = 𝑧₁
{𝑡₂ = √8𝑧₂
𝑡₃ = √8𝑧₃
Ta sẽ có dạng chính tắc: F(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = K(𝑡1; 𝑡2 ; 𝑡3 ) = 𝑡12 + 𝑡22 −𝑡32
4. Định luật quán tính
Số các hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu âm và số hệ số bằng
không của dạng tồn phương chính tắc nhận được là khơng đổi khi ta đưa một
dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc bằng các phép biến đổi tuyến
tính khơng suy biến khác nhau.
B. ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀO THỰC TẾ
I. Nhận dạng đường, mặt bậc hai

Phép biến đổi trực giao
Xét không gian vectơ R𝑛 với cơ sở trực chuẩn. Phép biến đổi tuyến tính có ma
trận biến đổi là ma trận trực giao được gọi là phép biến đổi trực giao. Phép biến
đổi như vậy có rất nhiều ưu điểm vì nó bảo tồn được nhiều tính chất quan trọng
của đối tượng, được mô tả bởi dạng tồn phương đó. Ma trận biến đổi trực giao
thường được lập từ hệ các vectơ riêng, độc lập tuyến tính của ma trận A. Véc tơ
X = (𝑥1; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 ) có độ dài bằng 1, nghĩa là (𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2 )1⁄2 = 1
được gọi là vectơ chuẩn hóa.
Người ta chứng minh được kết quả sau:
Định lí: Xét dạng tồn phương F(X)=X’AX. Nếu ma trận của phép biến đổi
tuyến tính có các cột là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của ma trận A thì
bằng phép biến đổi đó sẽ đưa được dạng tồn phương đã cho về dạng chính tắc.
12


Nếu ma trận của phép biến đổi tuyến tính có các cột là các véc tơ riêng độc lập
tuyến tính chuẩn hóa thì đó là ma trận trực giao đưa được dạng tồn phương đã
cho về dạng tồn phương chính tắc.
Duới đây, ta đưa ra một ví dụ về việc tìm một ma trận trực giao từ các vectơ
riêng để đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc.
Ví dụ: Cho dạng toàn phương F(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 𝑥12 + 2𝑥22 + 3𝑥32 + 4𝑥1 𝑥2 +
4𝑥2 𝑥3 . Đưa dạng toàn phương này về dạng toàn phương này về dạng tồn
phương chính tắc bằng ma trận biến đổi là ma trận được lập từ các vectơ riêng
độc lập tuyến tính của ma trận A.
Lời giải. Ta có
1
A = (2
0

2

2
2

0
2)
3

Các giá trị riêng của A là 𝑘1 = −1; 𝑘2 = 2; 𝑘3 = 5. Với k = 𝑘1 = −1, ta tìm được
vectơ riêng V ở dạng V = (𝑎, 𝑏, 𝑐 )′ sao cho
1 − (−1)
2
2
2 − (−1)
(
0
2

0
𝑎
0
2
𝑏
) ( ) = (0)
3 − (−1) 𝑐
0

Lấy c = 1 ta được b = −2; a = 2. Vậy 𝑉1 = (2, −2, 1)′. Tương tự vơi k = 𝑘2 = 2
tìm được vectơ riêng tương ứng 𝑉2 = (−2, −1,1)′, với k = 𝑘3 = 5 tìm được 𝑉3 =
(1,2,2)′. Do đó
2 −2 1

(
S = 𝑉1 |𝑉2 |𝑉3 ) = (−2 −1 2)
1
1 2
Gọi cơ sở cũ là E cơ sở mới là F. Như đã nói ở trên, trong cơ sở mới F, nhận
được từ cơ sở E bằng ma trận đổi cơ sở S, ma trận của dạng toàn phương là
−9
B = S’AS = ( 0
0

0
18
0

0
0)
45

Đây là một ma trận có dạng đường chéo chính. Vậy dạng tồn phương chính tắc
là
F(X) = G(Y) = −9𝑦12 + 18𝑦22 + 45𝑦32 .
Dạng toàn phương chuẩn tắc là
13


F(X) = G(Y) = H(Z) = −𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧32 .
Lưu ý rằng, trong ví dụ này ma trận đổi cơ sở chưa phải là ma trận trực giao.
Phương pháp đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc như trên gọi là phương
pháp vectơ riêng.
 Nhận dạng đường cong

Trong hệ tọa độ trực chuẩn xOy của không gian 𝑅 2 đường cong có phương trình
tổng qt là
𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
(𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 ≠ 0) gọi là một đường bậc hai. Viết lại phương trình đường
cong trên như sau:
𝐹 (𝑥; 𝑦) ∶= 𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 = −𝐷𝑥 − 𝐸𝑦 − 𝐹.
Ta thấy vế trái của phương trình là một dạng tồn phương của hai biến x;y. Câu
hỏi đặt ra là: Với một bộ hệ số đã cho (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐹), ta muốn biết xem đường
cong có phương trình được cho như trên là đường tròn, đường elip, đường
parabol hay hybebol? Viết phương trình chính tắc của đường cong đó. Ta có thể
làm được điều đó bằng cách tịnh tiến, quay hệ trục tọa độ, sao cho một vế của
phương trình đường cong có dạng tồn phương chính tắc. Phép biến đổi tuyến
tính bằng ma trận trực giao thực chất là phép quay hệ tọa độ. Để xử lý các hệ số
ở vế phải của phương trình đường cong ta có thể sử dụng các phép tịnh tiến hệ
trục tọa độ. Dễ thấy, với các cách biến đổi như thế, góc giữa hai đường thẳng bất
kỳ và khoảng cách giữa hai điểm bất kì là khơng thay đổi. Nói cách khác, trong
không gian 𝑅 2 phép biến đổi trực giao và các phép tịnh tiến hệ trục tọa độ không
làm thay đổi hình dáng của các hình.
Ví dụ: Viết phương trình chính tắc, nhận dạng đường bậc hai:
4xy + 16x +1 = 0
Lời giải. Xét dạng toàn phương 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦.
Ta có 𝐴 = (

0 2
).
2 0

A có hai giá trị riêng là 𝑘1 = 2; 𝑘2 = −2. Tìm được vectơ riêng tương ứng với
k = 2 là 𝑉1 = (1,1)′. Tìm được vectơ riêng tương ứng với k = −2 là 𝑉2 =
(1, −1)′ . Chuẩn hóa 𝑉1 , 𝑉2 như sau:

14


𝑉1
1 1 ′
𝑉1
1
1 ′
𝑉̂1 =
= ( , ) ; 𝑉̂2 =
= ( ,− ) .
|𝑉1 |
|𝑉1 |
√2 √2
√2 √2
1
2

Ma trận 𝑆 = (√1

√2

1
√2
1

−

) là trực giao, nghĩa là thỏa mãn 𝑆 −1 = 𝑆 ′ . Với ma trận

√2

đổi cơ sở này, gọi (𝑢, 𝑣 ) là tọa độ của điểm (𝑥, 𝑦) trong cơ sở mới ta có
𝑥=
{

𝑦=

1
√2
1
√2

𝑢+
𝑢−

1
√2
1
√2

𝑣
𝑣.

Trong cơ sở này, phương trình đường cong sẽ là:
2𝑢2 − 2𝑣 2 + 8√2𝑢 + 8√2𝑣 + 1 = 0
hay
2

2

2(𝑢 + √8) − 2(𝑣 − √8) + 1 = 0.
Đổi (tịnh tiến) hệ trục tọa độ:
𝑧 = 𝑢 + √8
{
𝑡 = 𝑣 − √8
ta được phương trình của đường cong hệ tọa độ mới là
𝑡2 𝑧2
−
= 1.
1
1
2
2
Đây là phương trình chính tắc của một Hypebol có bán trục thực là
trục ảo là

1

1
√2

và bán

.

√2

II. Ứng dụng của dạng toàn phương trong việc giải một số bài toán cực trị
1. Điều kiện cần và đủ của cực trị

Điều kiện cần: Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị tại (𝑥0 , 𝑦0 ) thì 𝑓𝑥 ′(𝑥0 , 𝑦0 ) =
𝑓𝑦 ′(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0
Điểu kiện đủ: Nểu hàm 𝑓 (𝑥, 𝑦) liên tục trong lân cận s của điểm
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), có
15


f x  x0 , y0   f y  x0 , y0   0, .
f x*2 ( x, y ), f y2 ( x, y ), f xy* ( x, y ) liên tục trong s và d 2 f  x0 , y0   0 thì

d 2 f  x0 , y0   0 , nên hàm đạt cực tiểu tại  x 0 , y0  . Nếu d 2 f  x0 , y0   0  hàm
đạt cực đại tại  x 0 , y0 

2. Giải bài tốn tìm cực trị khơng điều kiện
Vi dụ 1. Tìm cực trị của hàm số

z  6 x3 y 2  x 4 y 2  x3 y 3 ( x, y  0)
Giải. Điểm dùng của hàm được xác định từ hệ
2 2
3 2
2 3

 z x  18 x y  4 x y  3 x y  0

3
4
3 2

 z y  12 x y  2 yx  3x y  0

 z x  x 2 y 2 (18  4 x  3 y )  0

 M (3, 2)
3
 z y  x y (12  2 x  3 y )  0





d 2 z ( x, y )  36 xy 2  12 x 2 y 2  6 xy 3 dx 2





 12 x3  2 x 4  6 x3 y dy 2





2 36 x 2 y  8 x 5 y  9 x 2 y 2 dxdy

 d 2 z (M )  144dx 2  216dxdy  162dy 2
Đây là một dạng toàn phương của các biến dx, dy có ma trận
 144 108
A

 108 162

Ta thấy Ai | 144 | 144  0 ,

| A |

144 108
 11664  0
108 162

nên dạng toàn phưong xác định âm theo tiêu chuẩn Sylvester.

16


PHẦN KẾT LUẬN
Tốn cao cấp là một trong những mơn học chính ở những năm đầu bậc đại
học. Đặc trưng của nó là mơn tốn cơ sở mang tính hệ thống chặt chẽ, chính
xác và trừu tượng . Vì vậy để học tập và hiểu thật kĩ mơn tốn cao cấp là một
thách thức đối với nhiều bạn sinh viên. “Đưa dạng tồn phương về dạng chính
tắc, chuẩn tắc. Ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế” là một trong
những nội dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ mơn
tốn cao cấp. Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các
bạn sinh viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng em đã
chọn nội dung này làm đề tài thảo luận cho nhóm.
Đề tài gồm phần lý thuyết, phần bài tập và ứng dụng trong thực tế. Phần
lý thuyết đã trình bày một cách cơ đọng các khái niệm cơ bản về dạng toàn
phương và tập trung vào hai nội dung cơ bản: biến đổi dạng tồn phương về
dạng chính tắc, chuẩn tắc và ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế.
Sau mỗi nội dung đều có ví dụ minh họa, cuối đề tài là phần bài tập gồm các
bài tập có liên quan đã được giải một cách chi tiết bằng nhiều phương pháp để
thấy được phương pháp nào là phù hợp nhất.

Qua đề tài này, hy vọng rằng nó sẽ phần nào cung cấp lại cho các bạn
trong nhóm cũng như các bạn sinh viên trong lớp nội dung kiến thức: Thế nào
là dạng tồn phương? Có những phương pháp nào để đưa dạng tồn phương
về dạng chính tắc, chuẩn tắc? Và ứng dụng của dạng tồn phương trong thực
tế.
Cuối cùng, tuy nhóm chúng em đã chuẩn bị đề tài khá kỹ nhưng khơng
thể tránh khỏi sai sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và
cơ giáo để đề tài của chúng tơi hồn thiện hơn.

17