Toan 8 thanh son (17 18)

UBND HUYỆN THANH SƠN
PHỊNG GD&ĐT THANH SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM
NĂM HỌC 2017–2018
Mơn: Tốn 8
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi có 02 trang

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu đúng 0,5 điểm)
Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm
Câu 1. Cho x  y 7, xy 8 . Giá trị của x 2  y 2 bằng:
A. 33

B. 65

C. 47

D. 15

3
5
7
x2  1



Câu 2. Cho phương trình
, giá
( x  2)( x  5) ( x  5)( x  10) ( x  10)( x  17) ( x  2)( x  17)

trị của x thỏa mãn là:
A. 15
B. 4
Câu 3. Cho a, b, c thỏa mãn
A. 1

C. 1

1 1 1
bc ca ab
  0 . Giá trị biểu thức A  2  2  2 là:
a b c
a b
c

B. 2

Câu 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 5

B.

7
2

D. -4

C. 3
x 2  15

là:
x2  3
5
C.
2

D. Kết quả khác

D.

11
4

Câu 5. Giá trị m để (x – 1)(x2 + mx + 2) = x3 + 4x2 – 3x – 2 là:
A. - 1
B. 3
C. 1
D. 5
2017
2018
Câu 6. Biết đa thức x + 2x + ax + b chia hết cho đa thức x - 1. Kết quả a + b là:
A. 1
B. 3
C. - 3
D. 0
Câu 7. Phương trình (2m - 7)x - 3 = mx - 3 vơ số nghiệm thì m bằng:
A.

7
2

B. 3

C. 0

D. 7

Câu 8. Kết quả phép nhân (x2017 – 3x – 5)(x2018 + 2x – 1) là một đa thức có tổng các
hệ số là:
A. -12
B. -14
C. 10
D. 2018
17
16
15
14
Câu 9. Giá trị biểu thức B =x –12x +12x –12x + ...–12x2 +12x –1 với x=11 là:
A. 11
B. 10
C. -12
D. 12
3
Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình (x – 1) + (x + 2)3 = (2x + 1)3 là:
A.

3
2

B. -3

C. 3

D.

5
2

Câu 11. Tam giác ABC có AB=12cm; AC=18cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho
AM=4cm, đường thẳng qua M và song song với BC cắt AC tại N. Độ dài đoạn thẳng
NC bằng
A. 9cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 12cm
Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD, AB=10cm, AD=6cm. E, F, G, H theo thứ tự
thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AE=AH=CF=CG. Tìm giá trị lớn nhất của
diện tích tứ giác EFGH
1


A. 6
B. 37
C. 4
D. 32
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD có AC = 12 cm, BD = 9cm. Từ C kẻ CE, CF lần
lượt vng góc với AB, AD. Tính giá trị của AB.AE + AD.AF. Kết quả là:
A. 144 cm
B. 81cm
C. 108cm

D. 189cm
Câu 14. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 5cm, đường phân giác AD. Qua D
kẻ song song với AB cắt AC ở E. Độ dài AE là:
A. 1,8cm
B. 1,625cm
C. 1,875cm
D. 1,5cm
Câu 15. Cho tam giác ABC có B 2C và AB = 8cm, BC = 10 cm. Độ dài cạnh AC
bằng:
A. 10cm
B. 12cm
C. 9cm
D. 13cm
Câu 16. Một ca nơ đi xi dịng từ A đến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B
về A hết 1 giờ 30 phút. Tìm vận tốc riêng của ca nơ biết vận tốc của dòng nước là
3km/h.
A. 15 km/h
B. 12 km/h
C. 24 km/h
D. 26km/h
II. TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Trình bày lời giải đầy đủ cho các bài toán sau:
Câu 1. (3,5 điểm).
a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó
cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
1

1

1

b) Cho x, y, z là các số khác 0. Chứng minh rằng : Nếu x  y  z  x  y  z 0
thì

x6  y 6  z 6
 xyz
x3  y 3  z 3

Câu 2. (3,5 điểm).
1. Cho biểu thức P 

 x 1
x2  x
1
x2  2 
:




x2  2 x 1  x
x  1 x2  x 

a) Rút gọn P ;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P với x > 1.
2

 x 
2. Giải phương trình: x  
 8

 x  1
2

Câu 3. (4,0 điểm).
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD và DA; M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vng ;
b) Chứng minh DF  CE và tam giác MAD cân;
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a.
Câu 4. (1,0 điểm).
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P =

a2  b2  c2 

9abc
.
2

-------------------- Hết -------------------Họ và tên thí sinh:.................................................. ; Số báo danh...............
2


Thí sinh được sử dụng máy tính. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

3


HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018

Mơn: TỐN 8
Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
Đáp án
Điểm
I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm). Mỗi ý đúng được 0,5 điểm,
nếu học sinh chưa tìm, thiếu hoặc thừa kết quả đều không được điểm.
Câu 1

A

Câu 9

B

Câu 2

B, D

Câu 10

A

Câu 3

C

Câu 11

D

Câu 4

A

Câu 12

D

Câu 5

D

Câu 13

A

Câu 6

C

Câu 14

C

Câu 7

B

Câu 15

B

Câu 8

D

Câu 16

C

II. TỰ LUẬN (12 điểm).
Câu 1. (3,5 điểm).
a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng
với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
b) Cho x, y, z là các số khác 0. Chứng minh rằng :
1 1 1
x6  y 6  z 6
x

y

z




0
Nếu
thì 3 3 3 xyz

x y z
x y z

a) Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

0,25

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1
= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn 
a2 + a + 1 là số lẻ
b) Từ x  y  z 0  x 3  y 3  z 3 3xyz
Ta có:

1 1 1
  0  xy  yz  zx 0  x3 y 3  y 3 z 3  z 3 x 3 3x 2 y 2 z 2
x y z

x 6  y 6  z 6 ( x3  y 3  z 3 ) 2  2( x3 y 3  y 3 z 3  z 3 x3 )
 3

x  y3  z3
3xyz


9 x2 y 2 z 2  6 x2 y 2 z 2
 xyz
3 xyz

1,25

0,5
0,5
0,5
0,5

Câu 2. (3,5 điểm).
1


 x 1
x2  x
1
x2  2 
:


1. Cho biểu thức P  2

x  2 x 1  x
x  1 x2  x 

a) Rút gọn P ;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P với x > 1.
2

 x 
2. Giải phương trình: x  
 8
 x  1

1. a) ĐKXĐ : x 0; x 1
2

2

x
x 1
1
 2 2  2 4 (theo bất đẳng thức Cauchy)
b) Ta có : P ( x  1) 
x 1
Min P = 4  x 2
2. ĐKXĐ: x 1

Rút gọn ta được : P 

2

 x 
 8 
 x  1

Ta có : x 2  

0,25
0,75
0.5
0,25

2

x 
x

8
x
  2x
x  1
x 1


2

 x2 
x2


2
 8 0

x 1
 x  1

0,5

 y 4
x2
2
2
, ta được: y  2 y  8 0  ( y  1) 9  

x 1
 y  2
+ Với y 4  x 2 là nghiệm
+ Với y  2 : vô nghiệm (vì ( x  1) 2  1  0 với  x )

Đặt y 

0,5
0,75

Câu 3. (4,0 điểm). Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F; G; H
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; M là giao điểm của
CE và DF.
a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vng ;
b) Chứng minh DF  CE và MAD cân ;
c) Tính diện tích MDC theo a.
A

E

H

B

M

F

N

D

G

C

a) Chứng minh: EFGH là hình thoi
Chứng minh có 1 góc vng.

1,25

Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vng


b) BEC CFD(c.g.c)  ECB
mà CDF vng tại C
FDC




 CDF
 DFC
900  DFC
 ECB
900  CMF vuông tại M.

2

1,0

Hay CE  DF.
Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG  DF 
GN//CM mà G là trung điểm DC nên  N là trung điểm DM. Trong 
MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến   MAD cân tại A.

0,75

c) CMDFCD (g.g)
2

2

S
 CD 
 CD 
 SCMD 
Do đó : CMD 

 .SFCD
SFCD  FD 
 FD 
1
2

1
4

Mà : SFCD  CF .CD  CD 2 . Vậy : SCMD 

CD 2 1
. CD 2 .
2
FD 4

Trong DCF theo Pytago ta có :
1
5
1

DF 2 CD 2  CF 2 CD 2   BC 2  CD 2  CD 2  .CD 2 .
4
4
2


Do đó :

SMCD 

1,0

CD 2 1
1
1
. CD 2  CD 2  a 2
5
5
5

CD 2 4
4

Câu 4. (1,0 điểm).
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P = a 2  b 2  c 2 

9abc
.
2

Dễ dàng chứng minh được BĐT:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc (1)
Từ (1) kết hợp với giả thiết a + b + c = 1, ta có:
abc  (1 – 2c)(1 – 2a)(1 – 2b)
= 1 – 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) – 8abc
9abc
2
1
1
1
1
 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) - = (a + b + c)2 =1- = .
2
2
2
2
1
Min P =
khi và chỉ khi (1) trở thành đẳng thức.

2
1
Suy ra: a = b = c =
3

 9abc  4(ab + bc + ca) – 1  P = a 2  b 2  c 2 

------------- --------Hết---------------------

3

1,0